信息与编码理论 第2版 课件 6.4 BCH和RS码的仿真实例

§6.4BCH和RS码的仿真实例【例6-14】考虑例6-2中有限域各个元素的MATLAB仿真问题。如表6-4所示，用于表示有限域中元素的方法有幂形式和向量形式（即多项式形式中的系数），此外也经常将向量形式折算成对应的十进制整数来表示，称为整数形式。表6-4GF(8)元素的三种表示下列代码可以生成并显示中元素的幂形式、向量形式和整数形式。prim_poly=[1101];%用素多项式x^3+x+1生成GF(8)gf8_elements=[-inf0123456]';%生成GF(8)中的元素（幂形式的指数）[polyformat,expformat]=gftuple(gf8_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);disp('GF(8)中的元素（幂形式中的指数）：');disp(expformat);disp('GF(8)中的元素（向量形式）：');disp(polyformat);disp('GF(8)中的元素（整数形式）：');disp(integerformat);程序运行结果如下图：

p=2;%有限域GF(2)g2=[11111];%多项式x^4+x^3+x^2+x+1x1=[01];%x^1[quot1,remd1]=gfdeconv(x1,g2,p);x2=[001];%x^2[quot2,remd2]=gfdeconv(x2,g2,p);x3=[0001];%x^3[quot3,remd3]=gfdeconv(x3,g2,p);x4=[00001];%x^4[quot4,remd4]=gfdeconv(x4,g2,p);x5=[000001];%x^5[quot5,remd5]=gfdeconv(x5,g2,p);disp('元素X^1的多项式形式为：’);disp(remd1);disp('元素X^2的多项式形式为：’);disp(remd2);disp('元素X^3的多项式形式为：’);disp(remd3);disp('元素X^4的多项式形式为：’);disp(remd4);disp('元素X^5的多项式形式为：’);disp(remd5);程序运行结果如下图：【例6-16】考虑例6-5中最小多项式的仿真问题。用于产生共轭类的最小多项式的代码如下。m=4;%GF(2^m)=GF(16)prim_poly=[11001];%GF(16)的生成多项式gf_elements=[1248]';%生成幂形式的元素alpha^{1,2,4,8}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alphabpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^2cpoly=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^4dpoly=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^8epoly=conv(apoly,bpoly);fpoly=conv(cpoly,dpoly);min_poly=conv(epoly,fpoly);disp('元素alpha的最小多项式为：’);disp(min_poly.x);【例6-17】考虑例6-7中生成多项式的仿真问题。采用上题生成最小多项式的方法，可以得到产生该BCH码生成多项式的代码如下：m=4;%GF(p^m)=GF(16)prim_poly=[11001];%GF(16)的生成多项式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[1248]';%生成幂形式的元素alpha^{1,2,4,8}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alphabpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^2cpoly=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^4dpoly=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^8epoly=conv(apoly,bpoly);fpoly=conv(cpoly,dpoly);min_poly_alpha=conv(epoly,fpoly);%元素alpha的最小多项式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[36129]';%生成幂形式的元素alpha^{3,6,12,9}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alpha^3bpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^6cpoly=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^12dpoly=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^9epoly=conv(apoly,bpoly);fpoly=conv(cpoly,dpoly);min_poly_beta=conv(epoly,fpoly);%元素alpha^3的最小多项式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[510]';%生成幂形式的元素alpha^{5,10}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alpha^5bpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^10min_poly_gamma=conv(apoly,bpoly);%元素alpha^5的最小多项式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[7141311]';%生成幂形式的元素alpha^{7,14,13,11}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);apoly=gf([integerformat(1)1],m);%x+alpha^7bpoly=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^14cpoly=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^13dpoly=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^11epoly=conv(apoly,bpoly);fpoly=conv(cpoly,dpoly);min_poly_delta=conv(epoly,fpoly);%元素alpha^7的最小多项式%-----------------------------------------------------------------------a_x=conv(min_poly_alpha,min_poly_beta);b_x=conv(min_poly_gamma,min_poly_delta);g_x=conv(a_x,b_x);%生成多项式disp('生成多项式的系数为：');disp(g_x.x);程序运行结果如下图：【例6-18】考虑例6-9中BCH码译码问题的MATLAB仿真，代码如下：n=15;%码字向量长度k=7;%消息向量长度[genpoly,t]=bchgenpoly(n,k);%genpoly是生成多项式，t是可纠正错误个数y=gf([000000000001001]);%接收向量X^3+1[decoded,cnumerr,ccode]=bchdec(y,n,k);%译码disp('纠错后的消息向量：');disp(decoded.x);disp('错误个数：');disp(cnumerr);disp('纠错后的码字向量：');disp(ccode.x);程序运行结果如下图：【例6-19】考虑例6-10中RS码生成多项式的仿真问题。生成该码生成多项式的代码如下：m=4;%GF(p^m)=GF(16)prim_poly=[11001];%GF(16)的生成多项式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[123456]';%生成幂形式的元素alpha^{1,2,3,4,5,6}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);poly1=gf([integerformat(1)1],m);%x+alpha^1poly2=gf([integerformat(2)1],m);%x+alpha^2poly3=gf([integerformat(3)1],m);%x+alpha^3poly4=gf([integerformat(4)1],m);%x+alpha^4poly5=gf([integerformat(5)1],m);%x+alpha^5poly6=gf([integerformat(6)1],m);%x+alpha^6apoly=conv(poly1,poly2);bpoly=conv(poly3,poly4);cpoly=conv(poly5,poly6);dpoly=conv(apoly,bpoly);g_x_dec=conv(dpoly,cpoly);g_x_poly=double(de2bi(g_x_dec.x));[polyformat,g_x_exp]=gftuple(g_x_poly,prim_poly);disp('生成多项式的系数（幂形式的指数，升幂排列）为：');disp(g_x_exp');程序运行结果如下图：【例6-20】考虑例6-11中RS码生成多项式和码字多项式的仿真问题，代码如下：m=3;%GF(2^m)=GF(8)prim_poly=[1101];%GF(8)的生成多项式%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[1234]';%生成幂形式的元素alpha^{1,2,3,4}[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);integerformat=bi2de(polyformat);poly1=gf([1integerformat(1)],m);%x+alpha^1poly2=gf([1integerformat(2)],m);%x+alpha^2poly3=gf([1integerformat(3)],m);%x+alpha^3poly4=gf([1integerformat(4)],m);%x+alpha^4apoly=conv(poly1,poly2);bpoly=conv(poly3,poly4);g_x_dec=conv(apoly,bpoly);%生成多项式的系数（整数形式）g_x_poly=double(de2bi(g_x_dec.x));[polyformat,g_x_exp]=gftuple(g_x_poly,prim_poly);disp('生成多项式（降幂排列）的系数（幂形式的指数）为：');disp(g_x_exp');%-----------------------------------------------------------------------gf_elements=[531-inf-inf-inf-inf]';%移位消息多项式的系数（幂形式）[polyformat,expformat]=gftuple(gf_elements,prim_poly);m_x=bi2de(polyformat)';%移位消息多项式的系数（整数形式）[quot,p_x]=deconv(m_x,g_x_dec);%除以生成多项式c_x=[m_x(1:3)p_x(4:7)];%码字多项式的系数（整数形式）c_x_polyformat=double(de2bi(c_x.x,3));[polyformat,c_x_expformat]=gftuple(c_x_polyformat,prim_poly);disp('码字多项式（降幂排列）的系数（幂形式的指数）为：');disp(c_x_expformat');程序运行结果如下图：【例6-21】考虑例6-12中RS码译码过程中伴随式的仿真问题，代码如下：p=2;m=3;%GF(p^m)=GF(8)g=[1101];%GF(8)生成多项式r_x_expformat=[5,-Inf,1,6,4,2,0]’;%接收多项式（降幂排列）的幂形式系数[r_x_polyformat,expformat]=gftuple(r_x_expformat,m,p);r_x_integerformat=gf(bi2de(r_x_polyformat)',m);%接收多项式（降幂排列）的整数形式系数X_expformat=[6,5,4,3,2,1,0]';%X^{6,5,4,3,2,1,0}[X_polyformat,X_expformat]=gftuple(X_expformat,m,p);X_integerformat=gf(bi2de(X_polyformat),m);s1_integerformat=r_x_integerformat*X_integerformat;s1_polyformat=double(de2bi(s1_integerformat.x));[s1_polyformat,s1_expformat]=gftuple(s1_polyformat,m,p);disp('伴随式s1为：');disp(s1_expformat);%伴随式s1（幂形式的指数）只需要将变量X_expformat的值依次换为[12,10,8,6,4,2,0]'、[18,15,12,9,6,3,0]'、[24,20,16,12,8,4