信息与编码理论 第2版 课件 2.6 离散多符号信源的信息熵_第1页
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2.6离散多符号信源的信源熵1.离散平稳无记忆信源为了研究离散平稳无记忆信源的极限熵，把信源输出的符号序列看成是一组一组发出的。例1：电报系统中，可以认为每2个二进制数字组成一组。这样信源输出的是由2个二进制数字组成的一组组符号。这时可以将它们等效看成一个新的信源，它由四个符号00，01，10，11组成，把该信源称为二进制无记忆信源的二次扩展。例2：如果把每三个二进制数字组成一组，这样长度为3的二进制序列就有8种不同的符号，可等效成一个具有8个符号的信源，把它称为二进制无记忆信源的三次扩展信源。1.离散平稳无记忆信源（续1）假定信源输出的是N长符号序列，把它看成是一个新信源，称为离散平稳无记忆信源的N次扩展信源，用N维离散随机矢量来表示：N次扩展信源的概率空间为：

是一个长为N的序列，1.离散平稳无记忆信源（续2）N次扩展信源的熵：离散平稳无记忆信源的N次扩展信源的熵等于离散单符号信源熵的N倍：1.离散平稳无记忆信源（续3）离散平稳无记忆信源的熵率：2.离散平稳有记忆信源实际信源常常是有记忆信源。设信源输出N长的符号序列，则可以用N维随机矢量来表示信源，其中每个随机变量之间存在统计依赖关系。N维随机矢量的联合熵为：2.离散平稳有记忆信源（续1）定理3.1-(1)：对于离散平稳信源，条件熵随N的增加是递减的。证明:所以条件熵随着N的增加是递减的。这表明记忆长度越长，条件熵越小，也就是序列的统计约束关系增加时，不确定性减小。2.离散平稳有记忆信源（续2）定理3.1-(2)：对于离散平稳信源，N给定时平均符号熵大于等于条件熵，证明:所以，即N给定时平均符号熵大于等于条件熵。2.离散平稳有记忆信源（续2）定理3.1-(3)：对于离散平稳信源，平均符号熵随N的增加是递减的。证明:所以，，即序列的统计约束关系增加时，由于符号间的相关性，平均每个符号所携带的信息量减少。

2.离散平稳有记忆信源（续1）定理：对于离散平稳信源，如果，则有

2.离散平稳有记忆信源（续2）证明：（1）首先证明极限条件熵存在：只要X的样本空间有限，则必然有。根据条件熵的性质，以及信源的平稳性有

是单调有界数列，极限必然存在，且极限为0和之间的某一个值。2.离散平稳有记忆信源（续3）（2）对于收敛的实数列，有以下结论成立：如果是一个收敛的实数列，那么利用上述结论可以推出：2.离散平稳有记忆信源（续6）结论：

如何从理论上解释这个结果？3.马尔可夫信源(1)定义(2)熵率(3)马尔可夫信源马尔可夫链(4)马尔可夫链3.马尔可夫信源（续1）

实际的有记忆信源，符号间的相关性可以追溯到很远，使得熵率的计算比较复杂。马尔可夫信源是一类相对简单的有记忆信源。信源在某一时刻发出某一符号的概率，除与该符号有关外，只与此前发出的有限个符号有关。(1)定义3.马尔可夫信源（续2）对于m阶马

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