江西省萍乡市濂溪中学高三数学文上学期摸底试题含解析

江西省萍乡市濂溪中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，，则集合A∪B=（

）A.(－2,3] B.(－4,3] C.[－3,2) D.[－3,4)参考答案：D【分析】求解一元二次不等式，解得集合，再求并集即可.【详解】对集合：，解得；对集合：，解得，故可得.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及集合并运算，属基础题.2.已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．3.函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.（5分）（2015?杨浦区二模）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：正弦函数的图象．【专题】：压轴题；数形结合．【分析】：根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．【点评】：本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．5.设非空集合A，B满足AB，则

A．∈A，使得xo∈B

B．A,有x∈B

C．∈B，使得xoA

D．B,有x∈A参考答案：B根据集合关系的定义可知选B.6.函数，若，，，则有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D，在上为减函数，且时，时，，且，，且，且，，在上单调递减，，即，故选D.

7.若框图所给的程序运行结果为S=90．那么判断框中应填人后的

条件是

(

)A.k=9

B．k≤8

C．k<8

D．k>8参考答案：D8.已知命题p：lnx＞0，命题q：ex＞1则命题p是命题q的（）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要参考答案：A略9.已知双曲线的渐近线方程为,则实数m=（

）A.4 B.16 C.－4 D.－16参考答案：A【分析】利用双曲线定义得出，再利用渐近线定义得，求出值.【详解】已知为双曲线，则，该双曲线的渐近线为，又，得出答案选A【点睛】本题考查双曲线及其渐近线的定义，属于简单题.10.设函数A. B.3或 C. D.1或参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是______．参考答案：或【分析】分类讨论函数的单调性，计算在上的最小值，根据函数经过的象限得出最小值与零的关系，从而求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，在上单调递减，又，所以函数的图象经过第二、三象限，当时，，所以，①若时，恒成立，又当时，，所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；②若时，在上恒成立，当时，令，解，所以在上单调递减，在上单调递增，又所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；（2）当时，的图象在上，只经过第三象限，在上恒成立，所以的图象在上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当时，在上单调递增，故的图象在上只经过第三象限，所以在上的最小值，当时，令，解得，若时，即时，在上的最小值为，令.若时，则在时，单调递减，当时，令，解得，若，在上单调递增，故在上的最小值为，令，所以；若，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，显然，故；结上所述：或.【点睛】本题考查了函数单调性的判断和最值计算，考查了数学运算能力.12.已知实数x，y满足，则z＝2x＋3y的最小值是________．参考答案：9略13.已知向量,，若，其中，则

.参考答案：14.已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，若，则集合的取法共有

种.参考答案：31略15.已知，，且，则

.

参考答案：由，，，则，所以.

16.已知函数，则不等式的解集为

．参考答案：17.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为___________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)棱长为的正四面体P—ABC中，E为BC中点，F为PC的中点．求证：(1)平面PAE⊥平面ABC；(2)求二面角P—AE—F的大小．参考答案：法一：(1)由题BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC5分(2)由(1)知，所求二面角大小与二面角F—AE—C大小互余．取AB中点M，连CM与AE交于O，则O为△ABC的中心，取CO的中点N，连结FN，则FN⊥面ABC，作NH⊥AE于H，则H为OE中点，连结FH，∠FHN即为F—AE—C的平面角．易求得··············9分∴···························12分∴所求角为··························13分法二：将正四面体置于正方体内，如图所示，则P（0，0，0），A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），E（，1，），F（，，0）(1)设平面PAE的一个法向量为，则由∴同理可求平面ABC的一个法向量为∵

∴∴平面PAE⊥平面ABC············································································5分(2)设平面AEF的一个法向量为，则由···········9分由(1)知平面PAE的一个法向量为········12分∴所求二面角为······························13分法三：也可如右图建系，则，，，，下略．略19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.（I）求证：PB∥平面AEC;(II)若，,四棱锥P-ABCD的体积，求点A到平面PCD的距离.参考答案：（I）证明：设与的交点为，连接，因为为矩形，所以为的中点；又因为为的中点，所以∥,,,所以∥平面．

…………6分(II)解:作于，由题设知，所以，故,所以点到的距离为．………………12分20.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知与⊙相切，为切点，为割线，弦，、相交于点，为上一点，且(1)

求证：；(2)

(2)求证：·=·．

参考答案：证明：（1），。是公共角，相似于，,.……5分.(2),相似,即··.弦相交于点,··.··.,……10分21.已知函数，（且）。（1）设，令，试判断函数在上的单调性并证明你的结论；（2）若且的定义域和值域都是，求的最大值；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；参考答案：解：方法一：（1）证明：任取，当a>0时，，F（x）在上单调递增；当a<0时，，F（x）在上单调递减方法二：,则当a>0时，，F（x）在上单调递增；当a<0时，，F（x）在上单调递减（2）由（1）知函数af（x）在上单调递增；因为a>0所以f（x）在[m,n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m,n],则f（m）=m,f（n）=n,即m,n是方程的两个不等的正根，等价于方程有两个不等的正根，等价于

,则,时，最大值是（3）,则不等式对恒成立，即即不等式,对恒成立,令h（x）=,易证h（x）在递增，同理递减。。略22.已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足，，其中n∈N*，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn．（1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式．（2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，称数列{cn}为“k坠点数列”．①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn．②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；函数思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由两数列为递增数列，结合递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，由此可得数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的通项公式求得答案；（2）①根据题目条件判断：数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，求解Sn即可．②运用数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1，综合判断数列{bn}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数，可得m必为偶数．再运用不等式证明m≤6，求出数列即可．【解答】解：（1）∵数列{an}，{bn}都为递增数列，∴由递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，则数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列．∴an=2n﹣1，；

（2）①∵数列{an}满足：存在唯一的正整数k=5，使得ak+1＜ak，且|an+1﹣an|=2，∴数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故；

②∵，即bn+1=±2bn，∴|bn|=2n﹣1，而数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1，∴数列{bn}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数，∴m必为偶数．

首先证明：m≤6．若m＞7，数列{an}中（Sm+1）max=1+3+…+（2m+1）=（m+1）2，而数列{bn}中，bm必然为正，否则≤﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，显然矛盾；∴=2m﹣1﹣3．设，设，而0（m＞7），∴{dm}