2024年广东省惠州市惠城区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省惠州市惠城区中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）3的倒数是（）A．﹣3 B． C．﹣ D．32．（3分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）计算a2•a4的结果是（）A．a8 B．a4 C．a6 D．a24．（3分）∠α在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）A． B． C． D．5．（3分）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份（）A． B． C． D．6．（3分）2023年12月11日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源（HEPS）加速器储存环最后一台磁铁安装就位，其发射度小于0.06纳米（nm）•弧度．已知1nm＝1×10﹣9m．将0.06nm用科学记数法表示应为（）A．0.6×10﹣10m B．6×10﹣11m C．60×10﹣10m D．0.06×10﹣9m7．（3分）如图，AB∥CD，∠A＝37°，那么∠F等于（）A．26° B．63° C．37° D．60°8．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（）A．15 B．12或21 C．15或18 D．219．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器（）A．＝1 B．＝1 C．＝50 D．＝510．（3分）如图所示，抛物线经过矩形ABCD的三个顶点A，B，D（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分11．（3分）因式分解：a2+4a+4＝．12．（3分）﹣＝．13．（3分）已知点P（2，﹣3）关于x轴的对称点为Q（a，b），则a﹣b＝．14．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，则图中阴影部分的面积是.（结果保留π）三、解答题（一）：本大题共5小题，每小题5分，共25分16．（5分）解不等式组：．17．（5分）计算：．18．（5分）如图，菱形ABCD中，过点C分别作边AB，CF，求证：BE＝DF．19．（5分）某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在边BC上求作一点P，使PA＝PB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）连接AP，若AC＝4，BC＝8四、解答题（二）：本大题共3小题，第21，22题各8分，第23题10分，共26分．21．（8分）综合与实践主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，开口的底部与桌面的接触点为D1，D2；步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去1，P2与点O在一条直线上为止．结论：这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同．探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；②由标准视力表中的b1＝72mm，l1＝5m，可计算出l2＝3m时，b2＝mm；运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为（﹣3，4）．22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径），且AD＝CD，过点A作⊙O的切线交OB的延长线于点E．（1）求证：AB平分∠DAE；（2）若BD＝3，AD＝6，求AE的长．23．（10分）2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：x＜70，比较满意：70≤x＜80，满意：80≤x＜90，非常满意：x≥90）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，87，88；抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，84，85，87，87，88，89，97，98，98，98，100．设备平均数中位数众数“非常满意”所点百分比A88b9645%B8887.5c40%根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中，a＝，b＝，c＝；（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行评分五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．24．（12分）如图所示，抛物线的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D为抛物线的顶点（1）求抛物线和直线BC的表达式，并求出点D的坐标；（2）如图所示，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，连接OM，过点M作x轴的平行线，交直线BC于点G①求用含m的代数式表示线段MG的长；②求的最大值．25．（12分）综合探究【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B，C重合），交对角线AC于点H，交CD于点F．为了探究HC与BE之间的数量关系，作∠BEM＝45°，EM交AB的延长线于点M．（1）如图2，①求证：△BHC∽△AEM；②当，时；【类比迁移】（2）如图3，在矩形ABCD中，，，BF⊥AE于点G，交AC于点H的值；【拓展应用】（3）如图4，在等边三角形ABC中，E是DC的中点，DF⊥AE，交AC于点F．请直接写出的值．

2024年广东省惠州市惠城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）3的倒数是（）A．﹣3 B． C．﹣ D．3【解答】解：∵3×＝1，∴3的倒数是．故选：B．2．（3分）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．3．（3分）计算a2•a4的结果是（）A．a8 B．a4 C．a6 D．a2【解答】解：a2•a4＝a6+4＝a6．故选：C．4．（3分）∠α在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示，∵AB＝3，BC＝4∴，故选：A．5．（3分）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份（）A． B． C． D．【解答】解：因为＝，所以顾客获奖的概率为．故选：D．6．（3分）2023年12月11日，国家重大科技基础设施高能同步辐射光源（HEPS）加速器储存环最后一台磁铁安装就位，其发射度小于0.06纳米（nm）•弧度．已知1nm＝1×10﹣9m．将0.06nm用科学记数法表示应为（）A．0.6×10﹣10m B．6×10﹣11m C．60×10﹣10m D．0.06×10﹣9m【解答】解：∵1nm＝1×10﹣2m，∴0.06nm＝0.06×10﹣2m＝6×10﹣11m，故选：B．7．（3分）如图，AB∥CD，∠A＝37°，那么∠F等于（）A．26° B．63° C．37° D．60°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠FEB，∵∠C＝63°，∴∠FEB＝63°，∵∠FEB＝∠A+∠F，∠A＝37°，∴∠F＝∠FEB﹣∠A＝63°﹣37°＝26°．故选：A．8．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（）A．15 B．12或21 C．15或18 D．21【解答】解：①腰长为4时，符合三角形三边关系；②腰长为7时，符合三角形三边关系．所以三角形的周长为15或18．故选：C．9．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器（）A．＝1 B．＝1 C．＝50 D．＝5【解答】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，根据题意，得﹣＝1．故选：B．10．（3分）如图所示，抛物线经过矩形ABCD的三个顶点A，B，D（）A． B． C． D．【解答】解：令y＝0，则，解得：x1＝2，x4＝﹣6，∴B（﹣6，3），0），令x＝0，则，∴，∵ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵，∴点A到点B的坐标变化为向右平移6个单位，再向下平移，∴点D到点C的坐标变化为向右平移6个单位，再向下平移，∴，∴，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分11．（3分）因式分解：a2+4a+4＝（a+2）2．【解答】解：原式＝（a+2）2，故答案为：（a+4）2．12．（3分）﹣＝．【解答】解：原式＝3﹣2＝，故答案为：．13．（3分）已知点P（2，﹣3）关于x轴的对称点为Q（a，b），则a﹣b＝﹣1．【解答】解：∵点P（2，﹣3）关于x轴的对称点为（8，∴a＝2，b＝3，∴a﹣b＝3﹣3＝﹣1，故答案为：﹣4．14．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是m＞．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+m＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4×6×m＝1﹣4m＜5，解得：m＞．故答案为：m＞．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，则图中阴影部分的面积是+.（结果保留π）【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，∴AB＝AF＝2AC＝8，BC＝CE＝AC＝，∴S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF＝+﹣＝+，故答案为：+．三、解答题（一）：本大题共5小题，每小题5分，共25分16．（5分）解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得：x＞5，解不等式②得：x＜15，则不等式组的解集为5＜x＜15．17．（5分）计算：．【解答】解：原式＝＝＝x6．18．（5分）如图，菱形ABCD中，过点C分别作边AB，CF，求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠B＝∠D，∵CE，CF分别边AB，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴BE＝DF．19．（5分）某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同【解答】解：设每棵甲种树苗的价格为x元，则每棵乙种树苗的价格为（x+10）元，依题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，∴x+10＝30+10＝40．答：每棵甲种树苗的价格为30元，每棵乙种树苗的价格为40元．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在边BC上求作一点P，使PA＝PB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）连接AP，若AC＝4，BC＝8【解答】解：（1）作AB的垂足平分线交BC于P，如图：点P即为所求；（2）设PA＝x＝PB，则CP＝8﹣x，∵AC2+CP7＝PA2，∴42+（8﹣x）2＝x8，解得x＝5，∴线段PA的长为5．四、解答题（二）：本大题共3小题，第21，22题各8分，第23题10分，共26分．21．（8分）综合与实践主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，开口的底部与桌面的接触点为D1，D2；步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去1，P2与点O在一条直线上为止．结论：这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同．探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；②由标准视力表中的b1＝72mm，l1＝5m，可计算出l2＝3m时，b2＝43.2mm；运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为（﹣3，4）（﹣6，8）．【解答】解：（1）①．由题意得P1D2∥P2D2，∴△OP8D1∽△OP2D5，∴，∴，∴；②∵b8＝72mm，l1＝5m，l8＝3m，∴．∴．故答案为：43.3．（2）∵①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，点P与点Q为一组对应点，4），∴点P的坐标为（﹣3×2，4×2），8），故答案为：（﹣3，8）．22．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径），且AD＝CD，过点A作⊙O的切线交OB的延长线于点E．（1）求证：AB平分∠DAE；（2）若BD＝3，AD＝6，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OA，则OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵AE与⊙O相切于点A，∴AE⊥OA，∴∠EAO＝90°，∵AD＝CD，∴OB⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠OBA＝90°，∵∠EAB+∠OAB＝∠EAO＝90°，∴∠EAB＝∠DAB，∴AB平分∠DAE．（2）解：∵∠ADO＝90°，∴AD2+OD2＝OA7，∵BD＝3，AD＝6，∴OD＝OB﹣6＝OA﹣3，∴66+（OA﹣3）2＝OA4，解得OA＝，∴OD＝﹣6＝，∴tan∠AOE＝＝＝＝，∴AE＝OA＝×，∴AE的长为10．23．（10分）2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，B两款AI聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：x＜70，比较满意：70≤x＜80，满意：80≤x＜90，非常满意：x≥90）．下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，87，88；抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，84，85，87，87，88，89，97，98，98，98，100．设备平均数中位数众数“非常满意”所点百分比A88b9645%B8887.5c40%根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中，a＝15，b＝88.5，c＝98；（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）在此次调查中，有200人对A款AI聊天机器人进行评分，160人对B款AI聊天机器人进行评分【解答】解：（1）由题意得：，即a＝15，∵A款的评分非常满意有20×45%＝6（个），“满意”的数据为84、86、88，∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88，∴中位数，在B款的评分数据中，98出现的次数最多，∴众数c＝98；故答案为：15，88.6；（2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高．∴A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；（3）（人），答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的人数为44人．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．24．（12分）如图所示，抛物线的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D为抛物线的顶点（1）求抛物线和直线BC的表达式，并求出点D的坐标；（2）如图所示，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，连接OM，过点M作x轴的平行线，交直线BC于点G①求用含m的代数式表示线段MG的长；②求的最大值．【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），2），∴，解得．∴抛物线的表达式为，即，∴顶点D的坐标为，对称轴为直线x＝1．∵A，B两点关于直线x＝6对称，∴点B的坐标为（3，0）．设直线BC的表达式为y＝ax+n（a≠5），且B（3，C（0，∴，解得，∴直线BC的表达式为；（2）①设，