第二章-线性方程组习题答案与解答

PAGEPAGE1第二章线性方程组习题答案与解答习题二对于数字计算题，仅给出Maple程序与答案.证明题答案仅供参考。1.用消元法解下列方程组(1)>A:=[[1,-1,2],[1,-2,-1],[3,-1,5],[-1,0,2]]:b:=[1,2,3,-2]:linsolve(A,b);>A:=[[1,-2,3,-1,2],[3,-1,5,-3,1],[2,1,2,-2,-1]]:b:=[2,6,8]:linsolve(A,b);(3)>A:=[[1,2,3],[3,5,7],[2,3,4]]:b:=[4,9,5]:linsolve(A,b,'r',c);(4)>A:=[[2,-2,1,-1,1],[1,-4,2,-2,3],[3,-6,1,-3,4],[1,2,-1,1,-2]]:b:=[2,3,5,-1]:linsolve(A,b,'r',c);(5)>A:=[[1,1,2,3],[2,3,5,2],[3,-1,-1,-2],[3,5,2,-2]]:b:=[1,-3,-4,-10]:linsolve(A,b,'r',c);(6)>A:=[[2,-4,5,3],[3,-6,4,2],[4,-8,17,11]]:b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);(7)>A:=[[1,3,-2,-1],[2,6,-3,0],[3,9,-9,-5]]:b:=[3,13,8]:linsolve(A,b,'r',c);(8)>A:=[[1,-1,2,-3,1],[2,-2,7,-10,5],[3,-3,3,-5,0]]:b:=[2,5,5]:linsolve(A,b,'r',c);2.当k取何值时,下面的齐次线性方程组有非零解,并求出此非零解.>A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,k]]);E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);k1:=solve(det(A)=0,k);A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,-3]]);b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);3.当k取何值时,下面的线性方程组无解?有解?,在方程组有解时,求出它的解..4.当a取何值时,线性方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有解时,求出它的解.时,方程组无解.5.已知向量计算(1);(2).>alpha:=[2,-1,0,1];beta:=[-1,4,2,3];2*alpha-beta;(1/2)*(alpha+3*beta);6.设求求向量解7.已知向量,而向量满足求向量.解>alpha1:=[3,2,0,-1];alpha2:=[0,4,3,3];alpha3:=[-1,6,5,8];beta:=(1/6)*(2*alpha1-3*alpha2+alpha3);8.把向量表示为其余向量的线性组合.(1)>beta:=[4,5,6];alpha1:=[3,-3,2];alpha2:=[-2,1,2];alpha3:=[1,2,-1];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,beta);(2)>beta:=[-1,1,3,1];alpha1:=[1,2,1,1];alpha2:=[1,1,1,2];alpha3:=[-3,-2,1,-3];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,beta);无法表示.(3)>beta:=[1,0,-1/2];alpha1:=[1,1,1];alpha2:=[1,-1,-2];alpha3:=[-1,1,2];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,beta,'r',c);取得特解9.向量可由向量线性表示,但不能由向量组(I):线性表示.记向量组试证不能由(I)线性表示,但可由(II)线性表示.证如果可由(I)线性表示,那么就可以用(I)线性表示,又可由向量线性表示,则可由(I)线性表示,此与假设矛盾.故不能由(I)线性表示.由于可由向量线性表示,故存在数使得(*)其中的否则,将有于是可由线性表示,与假设矛盾.故必有由上面的(*),得即可由(II)线性表示.10.判定下列向量是线性相关,还是线性无关?(1)解(1)线性无关.因为两个向量线性相关,必对应分量成比例.(2)用做行向量组成矩阵,把矩阵用初等行变换化成阶梯形,非零行的行数如果小于向量数,则线性相关,等于行数,则线性无关.线性相关.(3)线性无关.11.已知向量组试求为何值时,向量组线性相关?线性无关?解向量个数等于向量维数时,如果有字母出现,可考虑用相应行列式是否等于零,判断线性相关和线性无关.或3时线性相关,否则线性无关.12.证明定理2.4:个维向量线性相关的充分必要条件是行列式证方程相当于齐次线性方程组(注意的系数是第个向量的分量,而第个方程的系数是各个向量的第个分量)而此方程组有非零解的充分必要条件是行列式13.证明定理2.5:定理n+1个n维向量线性相关.证明n+1个n维向量都有线性表示个向量用个向量线性表示，根据定理“若个向量用个向量线性表示，，则前面个向量向量必定线性相关”，线性相关.14.如果向量组线性无关,试证向量组线性无关.证法一第一个向量组记作I,第二个向量组记作II.II显然可用I线性表示,又,I可用II线性表示,I~II,II的秩等于其向量个数,故II线性无关.证法二.用PPT文件中的下例中的方法.15.已知向量组线性无关,设试问当为何值时,向量组线性无关,?线性相关?解由13题证法二得一般结论:当个向量的向量组I可用个线性无关向量的向量组II表示时,向量组I线性相关的充分必要条件是表示对应的矩阵的行列式等于零.于是考察满足的方程当或或时,线性相关,当且且时,线性无关.16.已知向量可由向量组:(1)试把向量组由向量组线性表示.(2)这两个向量组是否等价.解17.设维向量组.试证:向量组与维单位向量组等价.证已经知道线性无关,根据14题,线性无关,个维向量线性相关,线性无关,故可用线性表示,已知可用线性表示,故两个向量组等价.18.证明:如果维基本单位向量组可以用维向量组线性表示,则向量组线性无关.证向量组可以用维向量组线性表示,也可以用线性表示,二者等价,它们的秩相同,线性无关,其秩为,故的秩为,从而线性无关.19.设向量组的秩为,证明:中任意个线性无关的向量都是它的一个极大线性无关组.证不妨设是的一个线性无关向量组.任取,向量组线性相关,因否则,与假设矛盾.线性相关,而线性无关,故用线性表示.故是的一个极大线性无关组.20.已知向量组和如果各向量组的秩分别为证明向量组的秩为4.证(I)的秩是3,等于向量个数,表明(I)线性无关,(II)的秩是3,其部分组线性无关,说明是(I)的线性组合.(III)的秩是4,表明(III)线性无关,从而不是(I)的线性组合,结合是(I)的线性组合,得不是(I)的线性组合,否则将是(I)的线性组合,矛盾.由于(I)线性无关,又不是(I)的线性组合,故线性无关,从而其秩为4.21.如果向量组可以由向量组线性表示.证明证设并且是其极大线性无关组.设并且是其极大线性无关组.可以由向量组线性表示,线性无关,故,因为如果,根据有关定理将有线性相关.22.证明证(1)可用线性表示,由上题得(1).(2)的证明雷同.23.判断下述命题是否正确.如果命题成立,请简述理由,否则请举出反例.(1)若存在全为零的数使得则向量线性无关.错误.对于全为零的数总有岂不任何向量组都线性无关.正确说法是若必有(2)如果向量组线性相关,则其任一部分组也线性相关.错误如(1,1),(2,2)线性相关,但(1,1)线性无关.正确说法是如果向量组线性无关,则其任一部分组也线性无关.(3)如果向量组线性相关,则其任一向量都可以由其余向量线性表示.错误例如(0,0),(1,1)线性相关,(11)不能用(0,0)线性表示.正确说法是:如果向量组线性相关,则其中某一向量可以由其余向量线性表示.(4)向量组线性无关的成分必要条件是其中任一向量都不能由其余个向量线性表示.正确.证明如下.如果线性无关,而某一向量,不妨设可以由其余可以由其余个向量线性表示,即存在数使得,于是线性相关,矛盾.如果中任一向量都不能由其余个向量线性表示,则线性无关,否则如果线性相关,则存在不全为零的数不妨设,使得于是(5)如果两个向量组等价,则它们含有的向量数相同.错误.例如(1,1)和(2,2),(3,3)等价,但含有的向量数分别为1和2.(6)如果,则中任意个向量都线性无关.错误.例如向量组(1,1),(0,0)的秩为1,但(0,0)作为一个线性组,线性相关.正确说法是:如果,则中存在个向量线性无关,并且其余向量都可以由它们线性表示.(7)如果,则中任意个向量都线性相关.正确.因为如果中存在个向量线性无关,的秩将大于或等于.(8)如果,则向量组中任意部分都线性无关.正确.因为表明线性无关,如果一个部分组线性相关,整个组将线性相关,矛盾.24.把下列矩阵化为等价标准形,并且求矩阵的秩.25.已知矩阵(1)计算的所有三阶子式;(2)利用(1)的结果求矩阵的秩.解>D1:=det([[3,3,0],[-1,-4,3],[1,-5,6]]);D2:=det([[3,3,2],[-1,-4,0],[1,-5,-2]]);D3:=det([[3,0,2],[-1,3,0],[1,6,-2]]);D4:=det([[3,0,2],[-4,3,0],[-5,6,-2]]);(2)根据(1),26.把下列矩阵化成阶梯形矩阵,求矩阵的秩.27.求下面向量组的一个极大无关组,并且把其余向量用此极大无关组线性表示.解用向量为行向量组成矩阵,旁边标上向量记号,对矩阵做出等行变换,把它化成阶梯形,并且注意用旁边的向量记号表示对应的初等行变换.最后的零行给出相应的线性表示,再结合秩确定一个极大无关组.线性无关,并且.解以所给向量作为列向量组成矩阵,对于矩阵进行初等行变换,这样做不改变列向量的线性关系,即如果原来有关系则初等行行变换后所得列向量仍保持关系反之亦然.注意前后两个等式的系数是同样的.于是,并且线性无关,28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并且用此基础解系表示方程组的一般解.>A:=[[1,1,-1,1],[1,-1,2,-1],[3,1,0,1]]:b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);基础解系一般解>A:=[[1,-2,-1,-1],[2,-4,5,3],[4,-8,17,11]]:b:=[0,0,0]:linsolve(A,b);基础解系:一般解为任意常数.>>A:=[[2,1,-1,-1,1],[1,-1,1,1,-2],[3,3,-3,-3,4],[4,5,-5,-5,7]]:b:=[0,0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);基础解系一般解29.判断下列线性方程组是否有解.若方程组有解,试求其解[在有无穷多解时,用基础解系表示其一般解].A:=[[2,-4,-1,0],[-1,-2,0,-1],[0,3,1,2],[3,1,0,3]]:b:=[4,4,1,-3]:rankxsh:=rank(A);rankzg:=rank([op(A),b]);linsolve(A,b);方程无解.Maple解>A:=[[2,-1,4,-3],[1,0,1,-1],[3,1,1,0],[7,0,7,-3]]:b:=[-4,-3,1,3]:linsolve(A,b,'r',c);特解:=[3,−8,0,6],导出组基本解系:(−1,2,1,0).一般解Maple解>A:=[[1,1,1,1,1],[3,2,1,1,-3],[0,1,2,2,6],[5,4,3,3,-1]]:b:=[-1,-5,2,-7]:linsolve(A,b,'r',c);特殊解[−3,2,0,0,0],导出组:[1,−2,1,0,0],[1,−2,0,1,0],[5,−6,0,0,1].Maple解>A:=[[2,3,-1,-5],[1,2,-1,1],[1,1,1,1],[3,1,2,3]]:b:=[-2,-2,5,4]:linsolve(A,b,'r',c);30.已知线性方程组当取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程有无穷多解的情况下,试求其一般解.Maple解时方程有唯一解.时,时无解.时,特解=(-8,3,0,2),导出组基础解系(0,-2,1,0),一般解为任意常数.31.设有三维向量问为何值时(1)可由线性表示,且表达式是唯一的.(2)