3-1-1-空间向量及其线性运算

基础巩固强化一、选择题1．下列命题中，正确的有()(1)若A、B、C、D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；(2)若a＝b，b＝c，则a＝c；(3)向量a、b相等的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|,a∥b))；(4)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；(5)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析](1)正确．∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|且eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→)).又∵A、B、C、D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).(2)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c.(3)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反．(4)正确．a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/a＝b.(5)不正确．由eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))，知|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(CD,\s\up16(→))|，且eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(CD,\s\up16(→))同向．故选C.2．设A、B、C是空间任意三点，下列结论错误的是()A.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)) B.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→)) D.eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\o(BA,\s\up16(→))[答案]B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0.3．已知空间向量eq\o(AB,\s\up16(→))、eq\o(BC,\s\up16(→))、eq\o(CD,\s\up16(→))、eq\o(AD,\s\up16(→))，则下列结论正确的是()A.eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)) B.eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))C.eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)) D.eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(DC,\s\up16(→))[答案]B[解析]根据向量加减法运算可得B正确．4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是()A.eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))B.eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))C.eq\o(AO,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))D.eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))[答案]D[解析]eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))，故选D.5．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量eq\o(AA′,\s\up16(→))相等的向量(不含eq\o(AA′,\s\up16(→)))的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析]利用向量相等的定义求解．6．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq\o(A1B1,\s\up16(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up16(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up16(→))＝c，则下列向量中与eq\o(B1M,\s\up16(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[答案]A[解析]eq\o(B1M,\s\up16(→))＝eq\o(B1B,\s\up16(→))＋eq\o(BM,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(B1A1,\s\up16(→))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.∴应选A.二、填空题7．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up16(→))＝a，eq\o(CB,\s\up16(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up16(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up16(→))＝________.[答案]b－c－a[解析]eq\o(A1B,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))－eq\o(CA1,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))－(eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CC1,\s\up16(→)))＝b－(a＋c)＝b－c－a.8．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，那么eq\o(AO,\s\up16(→))＝________.[答案]eq\o(OD,\s\up16(→))[解析]∵D为BC中点，∴eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝2eq\o(OD,\s\up16(→))，又eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝－2eq\o(OA,\s\up16(→))，∴eq\o(OD,\s\up16(→))＝－eq\o(OA,\s\up16(→))即eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→)).三、解答题9.如图所示的是平行六面体ABCD—A1B1C1D1(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))；(2)eq\o(DD1,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)).[解析](1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→)).(2)eq\o(DD1,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(DD1,\s\up16(→))－(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→)))＝eq\o(DD1,\s\up16(→))－eq\o(DB,\s\up16(→))＝eq\o(BD1,\s\up16(→)).10.如图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′，化简下列各式．(1)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BB′,\s\up16(→))－eq\o(D′A′,\s\up16(→))＋eq\o(D′D,\s\up16(→))－eq\o(BC,\s\up16(→))；(2)eq\o(AC′,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AA′,\s\up16(→)).[解析](1)原式＝eq\o(AB,\