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1.6重因式和重根1.判别下列多项式有无重因式?若有,求其重数.(1);(2);(3)(4)解:(1),于是,所以没有重因式;(2)显然是的因式,因此是的二重因式.(3),由于,所以是的二重因式;(4)由于,所以有3重因式;此时2.确定a的值,使有重因式解:,由于所以当时,有3重因式;3.确定a、b的值,使至少是的二重因式.解:,于是有所以4.求在Q上的标准分解式.解:而所以5.设不可约多项式,且是的重因式,证明是的k重因式.证明:因为所以是的因式,设是的s重因式,由定理1.6.2,则一定是的重因式,于是,所以,即是的k重因式.6.证明:是的三重因式.证明:由于所以是的因式;考虑则所以是的因式;故它至少是的二重因式;再令,则,于是不再是的因式,所以只是的单因式,亦即只是的单因式,也亦即是的二重因式.所以是的二重因式,从而是的三重因式.7.a、b满足什么条件,下列有理系数多项式才能有重因式.(1);(2)解:(1)若则有3重因式;当时,只有单因式;如果在Q上不可约,则不可能有重因式;如果在Q上可约,则因式只能是的形式,此时如果有重因式,则所以此时有,即有重因式的充要条件是(2)当时,则有4重因式;当时,只有单因式;如果在Q上不可约,则不可能有重因式;如果在Q上可约,则因式只能是和的形式,此时如果有重因式,则所以此时有;如果有重因式,则而这个等式不可能成立,所以有重因式的充要条件是8.如果,求A、B解:因为,所以;其次设所以欲使9.设,证明证明:显然令,于是有但所以10.设,证明证明:设,令于是的根必为的根,而的根满足所以但进一步有,即11.设,证明的根只能是零或者n次单位根.这里证明:由于,若则,进一步有…所以都是的根,由于不是零多项式

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