2021中考数学一轮知识点系统复习之四边形基础达标测试题(附答案详解)

2021中考数学一轮知识点系统复习之四边形基础达标测试题（附答案详解）1．下面对矩形的定义正确的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．矩形是中心对称图形D．有一个角是直角的平行四边形2．如图，在菱形中，，，是的中点.过点作，垂足为.将沿点到点的方向平移，得到.设、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为（）.A． B． C． D．3．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和等于（）A．7.5 B．10 C．12.5 D．134．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，，，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③．其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2的值为（）A．18 B．24 C．36 D．646．如图，将一张三角形纸片折叠，使点落在边上，折痕，得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到矩形，若中，和的长分别为和，则矩形的面积为（）．A． B． C． D．7．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（，） B．（，） C．（2，－2） D．（，）8．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E是AB边上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE=（）A．4 B．23 C．5 D．9．如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE的度数是（）A．30∘ B．22.5∘ C．1510．正方形的面积是，则这个正方形的边长是（）A． B． C． D．11．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形.若一个四边形的中点四边形是一个矩形，则四边形可以是_______.12．菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为______.13．是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是、．若，，则的长为________．14．一个正多边形的内角和大于等于540度而小于1000度，则这个正多边形的每一个内角可以是________度。（填出一个即可）15．如图，正方形ABCD中，DE=2AE=4，F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH=45°,则FH的长度为________．16．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是______．17．菱形ABCD的两条对角线长分别为6和4，则菱形ABCD的面积是_____．18．在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________.19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过________秒后，四边形BEDF是矩形．20．如图，中，，，，点D是BC的中点，将沿AD翻折得到，联结CE，那么线段CE的长等于_______．21．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=4，求BC+DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请按照上述思路完成小明遇到的这个问题（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠DGC的度数．22．阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：垂美四边形的两组对边的平方和相等．已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵四边形ABCD是垂美四边形∴AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．拓展探究：（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；问题解决：如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长．23．（1）如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE=DF，连接EC、FC．求证：EC=FC．（2）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是上的一点，OE⊥BD于点G，连接AE交BC于点F，AC是⊙O的切线．求证：∠ACB=2∠BAE．24．如图（1），已知四边形ABCD的四条边相等，四个内角都等于90°，点E是CD边上一点，F是BC边上一点，且∠EAF=45°．（1）求证：BF+DE=EF；（2）若AB=6，设BF=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）过点A作AH⊥FE于点H，如图（2），当FH=2，EH=1时，求△AFE的面积．25．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2=DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若=，求的值．26．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．∵AD=2AB，∴AD=AE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴．（依据1）∵BE=AB，∴．∴EM=DM．即AM是△ADE的DE边上的中线，又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）∴AM垂直平分DE．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．27．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在AD上，点F在BC上，AE＝CF，EF与对角线BD交于点O．求证：O是EF的中点.28．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF.29．如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF、EG、DG．

求证：（1）EG=DG；（2）GF⊥DE．30．如图，点M，N在线段AC上，AM＝CN，AB∥CD，AB＝CD，求证：∠1＝∠2.参考答案1．D【解析】【分析】读清楚题意，矩形的定义是矩形的判定，而A、B、C选项都是矩形的性质，故A、B、C错误．【详解】根据题意，考查的是矩形的判定，而A、B、C说的全部是矩形的性质，故A、B、C选项错误，有一个角是直角的平行四边形可以判定矩形，故D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的各内角为直角性质，本题中读清楚题意是解题的关键．2．A【解析】【分析】如图,连接BD,DF,DF交于H.首先证明四边形是平行四边形,再证明,求出DH即可解决问题.【详解】:如图,连接BD,DF,DF交于H.

根据题意,,

四边形是平行四边形,

四边形ABCD是菱形,,

是等边三角形,

,

,,

在中,,,AF=4,

,,

,

在中,,,

,

,

,

平行四边形的面积.

所以A选项是正确的.【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.3．C【解析】【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=6.5+2.5=9，由此解决问题．【详解】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，∵AB=13，AC=12，BC=5，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP1B=90°，∴OP1∥AC，∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1=12∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=3.5，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值=6.5+2.5=9，∴PQ长的最大值与最小值的和是12.5．故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．4．D【解析】分析：根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出AB∥CD；然后根据平行线的性质即可推出；根据等底等高的三角形面积相等即可推出详解：∵AD∥BC，∴∵∠A=∠BCD，∴∠ABC=∠ADC，∵∠A=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵DE⊥AB，∴DE⊥CD，∵AB∥CD，∴△BED的边BE上的高和△EBC的边BE上的高相等，∴由三角形面积公式得：都减去△EFB的面积得：故选D.点睛：考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.5．D【解析】试题解析：连接EF、FG、GH、EH，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EF=AC，FG=BD，∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AC=BD，∴EF=FG，∴平行四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，EG=2OG，FH=2OH，∴EG2+FH2=（2OE）2+（2OH）2=4（OE2+OH2）=4EH2=4×（BD）2=82=64；故选D．6．B【解析】由翻折的性质可得：≌，∴，同理：≌，≌，∴，，∴，∴.故选B.7．A【解析】试题分析：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，根据题意得：∠BOB′=105°，∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，∴△OAB是等边三角形，∴OB=OA=2，∴∠AOB′=∠BOB′-∠AOB=105°-60°=45°，OB′=OB=2，∴OE=B′E=OB′•sin45°=2×，∴点B′的坐标为：（，-）．故选B．考点：1.菱形的性质；2.坐标与图形变化-旋转．8．B【解析】【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【详解】∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，∴EO⊥AC，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=33，在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=33-x，AE2=AO2+OE2，即（33-x）2=32+x2，解得x=3，∴AE=EC=33-3=23．故选B．【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．9．C【解析】【分析】根据矩形的性质∠EAB=∠AED=30°，再根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理求解．【详解】∵AB=2AD，AE=AB．∴AE=2AD．∴直角△ADE中∠AED=30°．∵AB∥CD∴∠EAB=∠AED=30°．又∵AE=AB．∴∠AEB=∠ABE=180−302∴∠CBE=15°．故选C．【点睛】解答此题要熟悉矩形的性质，直角三角形特殊角的判定．10．C【解析】【分析】根据正方形的面积等于边长的平方即可求得边长．【详解】解：正方形的面积等于边长的平方，因而正方形的边长是，故选C．【点睛】本题主要考查正方形面积的计算方法．11．正方形(对角线互相垂直的四边形均可)【解析】解：∵四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，∴四边形ABCD的对角线一定垂直，只要符合此条件即可，∴四边形ABCD可以是对角线互相垂直的四边形．故答案为：对角线互相垂直的四边形（如：正方形等）．12．8【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求得.【详解】设另一条对角线的长为x，则有=16，解得：x=8，故答案为8.【点睛】本题考查了菱形的面积，熟知菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半是解题的关键.13．【解析】【分析】先用正方形的性质得出结论，判断出，△ABE≌△CBE，得出AE=CE，然后判断出四边形EFCG是矩形，用勾股定理求出CE即可．【详解】解：如图，连接CE，∵BD是正方形的对角线，∴∠BCD=90°，∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE，∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠EGC=∠∠CFE=90°，∴∠EGC=∠CFE=∠BCD=90°，∴四边形EFCG是矩形，∴EF=CG=6，根据勾股定理得，CE=．【点睛】此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解本题的关键是判断出AE=CE．14．108或120或.【解析】分析：设这个正多边形是n边形，根据“一个正多边形的内角和大于等于540度而小于1000度”，列出不等式组，求出n的取值.详解：设这个正多边形是n边形，由题意得，，解之得，，∵n是正整数，∴n=5,6,7.当n=5时，；当n=6时，；当n=7时，；故答案是：108或120或.点睛：本题考查了多边形内角和公式和一元一次不等式组的几何应用，根据题意列出不等式组求出n的取值是解答本题的关键.15．【解析】分析：过B作BN∥FG交DC于G，连接EN．把△ABE绕B顺时针旋转90°得到△BCH．由BN∥FG，得到∠EBN=∠EFH=45°，故∠ABE+∠NBC=45°．由旋转的性质得到△ABE≌△CBG，进而得到∠ABE=∠CBG，BE=BG，AE=CG，得到∠EBN=∠GBN．从而可以证明△EBN≌△GBN，得到EN=NG．设NC=x，则EN=NG=x+2，DN=6-x．在Rt△EDN中，用勾股定理得到x=3，DN=NC，由EF=FB，得到FN是梯形EBCD的中位线，由梯形中位线定理得到FN的长．通过证明△FHN∽△BNC，得到HN的长．在Rt△FNH中，由勾股定理即可得到结论．详解：过B作BN∥FG交DC于G，连接EN．把△ABE绕B顺时针旋转90°得到△BCH．∵正方形ABCD中，DE=2AE=4，∴AE=2，∴AB=BC=CD=DA=6．∵∠EFH=45°，BN∥FG，∴∠EBN=∠EFH=45°，∴∠ABE+∠NBC=45°．∵△ABE≌△CBG，∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，AE=CG，∴∠NBG=45°，∴∠EBN=∠GBN．在△EBN和△GBN中，∵BE=BG，∠EBN=∠GBN，BN=BN，∴△EBN≌△GBN，∴EN=NG．设NC=x，则EN=NG=x+2，DN=6-x．在Rt△EDN中，∵，∴，解得：x=3，∴DN=NC．∵EF=FB，∴FN是梯形EBCD的中位线，∴FN=(ED+BC)÷2=（4+6）÷2=5．∵FH∥BN，∴∠FHN=∠BNC．∵FN∥BC，∴∠FNH=∠BCN=90°，∴△FHN∽△BNC，∴FN：BC=HN：NC，∴5：6=HN：3，∴HN=2.5，∴FH===．故答案为：．点睛：本题是四边形综合题．主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，梯形的中位线定理、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形，依据全等三角形和相似三角形的性质进行计算求解．16．．【解析】试题分析：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，∵FC=2BF，∴BF=1，FC=2，∴AB=FC，∵E是CD的中点，∴CE=CD=1，∴BF=CE，在△ABF和△FCE中，∵AB=FC，∠B=∠C，BF=CE，∴△ABF≌△FCE（SAS），∴∠BAF=∠CFE，AF=FE，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠CFE+∠AFB=90°，∴∠AFE=180°﹣90°=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴ocs∠AEF=；故答案为．考点：矩形的性质；解直角三角形．17．12【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．【详解】∵菱形ABCD的两条对角线长分别为6和4，∴其面积为4×6=12．故答案为：12．【点睛】此题考查了菱形的性质．注意熟记①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）．18．41.8°【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD，再根据锐角∠A的正弦值解答即可．【详解】CD是斜边AB上的中线，AB=2CD=2，.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，解直角三角形，熟记性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键，作出图形更形象直观.19．2或8【解析】【分析】设经过t秒后，四边形BPDE是矩形；由平行四边形的性质得出OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4，得出OE=OF，证出四边形BFDE是平行四边形，当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形，得出6-t=4，或t-6=2，解方程即可．【详解】解：设经过t秒后，四边形BPDQ是矩形；则AE=CF=t，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形，当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形，此时6-t=4，或t-6=2，解得：t=2，或t=8，即经过2秒或8秒后，四边形BPDE是矩形.故答案为:2或8.【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质与判定，由对角线相等得出方程是解决问题的关键.20．【解析】分析：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．详解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H.在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==10，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=5，∵BC⋅AH=AB⋅AC，∴AH=，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵AD⋅BO=BD⋅AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中,EC===.故答案为.点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积求高，属于中考常考题型.21．（1）BC+DE=5；（2）∠DGC=60°．【解析】【分析】（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；（2）首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案．【详解】解：（1）∵DE∥BC，EF∥DC，∴四边形DCFE是平行四边形，∴EF=CD=3，CF=DE．∵CD⊥BE，∴EF⊥BE，∴BC+DE=BC+CF=BF==5．（2）解决问题：连接AE，CE，如图3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥FE，BF=AE，∴DC∥FE，∴四边形DCEF是平行四边形，∴CE∥DF．∵AC=BF=DF，∴AC=AE=CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE=60°．∵CE∥DF，∴∠DGC=∠ACE=60°．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．22．拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由详见解析；（2）四边形FMAN是矩形，理由详见解析；问题解决：.【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理可得直线AC是线段BD的垂直平分线，进而得证；（2）首先猜想出结论，根据垂直的定义可得∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，进而证得猜想，将已知代入即可求得CD；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可.【详解】拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形．（2）四边形FMAN是矩形，理由：如图3，连接AF，∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB、AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四边形AMFN是矩形；问题解决：连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，∵在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，∴CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=，BE=，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，∴GE=【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键；23．（1）答案见解析；（2）答案见解析。【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，∠ABC=∠ADC，∴∠EBC=∠FDC，在△EBC和△FDC中，，∴△EBC≌△FDC，∴EC=FC．（2）如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAB=90°，∴∠C+∠CAD=∠CAD+∠DAB=90°，∴∠C=∠DAB，∵OE⊥BD，∴2=，∴∠BAE=∠BAD，∴∠BAD=2∠BAE，∴∠ACB=2∠BAE．24．（1）见解析；（2）y=（0≤x≤6）；（3）．【解析】【分析】（1）如图1中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH．只要证明△AFH≌△AFE（SAS）即可解决问题；,（2）利用（1）中结论，在Rt△ECF中，根据EF2=CF2+EC2，构建关系式即可；（3）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM．首先证明AH=AB，设AB=x，在Rt△EFC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；【详解】（1）如图1中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAF+∠BAH=∠BAF+∠DAE=45°，∴∠FAH=∠FAE=45°，∵AF=AF，AH=AE，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF=FH，∵FH=BH+BF=DE+BF，∴EF=BF+DE；（2）∵AB=BC=CD=6，BF=x，DE=y，∴EF=x+y，FC=6=﹣x，EC=6﹣y，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴（x+y）2=（6﹣x）2+（6﹣y）2，∴y=（0≤x≤6）；（3）如图2中，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM．由（1）可知△AFM≌△AFH，∵AB⊥FM，AH⊥EF，∴AB=AH，设AB=BC=CD=AD=x，∵∠ABF=∠AHF=90°，∵AF=AF．AB=AH，∴Rt△AFB≌Rt△AFH（HL），∴BF=FH=2，同理可证：DE=EH=1，∴CF=x﹣2，EC=x﹣1，在Rt△ECF中，∵EF2=CF2+EC2，∴32=（x﹣2）2+（x﹣1）2，∴x=或（舍弃），∴S△AEF=•EF•AH=×3×=．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．（1）证明见解析；（2）四边形PMBN是菱形，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；（2）DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，从而可知PM=MB=AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；（3）由于，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，从而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得，，从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，从而可得．【详解】解：（1）过点P作PG⊥AB于点G，∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，∴AD=PG，DP=AG，GB=PC∵∠APB=90°，∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，∴∠APG=∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴，∴PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；（2）∵DP∥AB，∴∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，∴∠PAM=∠APM，∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB∴AM=PM，PM=MB，∴PM=MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形；（3）由于，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，∵PG2=AG•GB，∴4k2=k•GB，∴GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴，∴，又易证：△PCE∽△MAE，AM=AB=,∴∴，∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，∴.【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．26．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①直接得出结论；②借助问题情景即可得出结论；（2）先判断出∠BCE+∠BEC=90°，进而判断出∠BEC=∠BCG，得出△GHC≌△CBE，判断出AD=BC，进而判断出HC=BH，即可得出结论；（3）先判断出四边形BENM为矩形，进而得出∠1+∠2=90°，再判断出∠1=∠3，得出△ENF≌△EBC，即可得出结论．【详解】（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．②答：点A在线段GF的垂直平分线上．理由：由问题情景知，AM⊥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥FG，∴点A在线段GF的垂直平分线上．（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴CG=CE，∠GCE=90°，∴∠BCE+∠BCG=90°．∴∠2BEC=∠BCG．∴△GHC≌△CBE．∴HC=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，BE=AB，∴BC=2BE=2HC，∴HC=BH．∴GH垂直平