专题2.6逆命题和逆定理-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【浙教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题2.6逆命题和逆定理姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•道外区期末）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据全等三角形的性质和判定进行判断即可．【解析①形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，原命题是假命题；②在两个全等的三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边，原命题是假命题；③全等三角形的对应边相等，是真命题；④全等三角形对应边上的高相等，是真命题；故选：B．2．（2021春•桥西区期末）下列命题中的假命题是（）A．当x＝y时，有x2＝y2 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，同位角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行【分析】根据等式的性质、对顶角、平行线的性质和判定判断即可．【解析A、当x＝y时，有x2＝y2，是真命题；B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；C、两直线平行，同位角相等，是真命题；D、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；故选：B．3．（2021春•西安期末）命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是（）A．若a＞b，则a2＜b2 B．若a＜b，则a2＞b2 C．若a2＞b2，则a＞b D．若a2＞b2，则a＜b【分析】把一个命题的条件和结论互换即可得到其逆命题．【解析“若a＞b，则a2＞b2”的条件是“a＞b”，结论是“a2＞b2”，其逆命题是若a2＞b2则a＞b．故选：C．4．（2021春•江宁区校级月考）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用平行线的判定、互余的定义、直角的定义及对顶角的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解析①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意；②等角的余角相等的逆命题为余角相等的两个角相等，正确，是真命题，符合题意；③直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题，不符合题意；④相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，正确，为真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C．5．（2021春•越秀区校级期中）下列命题的逆命题不成立的是（）A．两条直线平行，同旁内角互补 B．全等三角形的对应边相等 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等【分析】先写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定定理、全等三角形的判定定理、绝对值的性质、线段垂直平分线的判定定理判断即可．【解析A、两条直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立，不符合题意；B、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，成立，不符合题意；C、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立，符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，成立，不符合题意；故选：C．6．（2021春•锦江区校级期中）已知下列命题：①四边形是多边形；②对顶角相等；③两直线平行，内错角相等；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；则原命题和逆命题均为真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据多边形的概念、对顶角的概念、平行线的判定和性质、有理数的乘法法则判断即可．【解析①四边形是多边形的逆命题是多边形是四边形，原命题是真命题，逆命题是假命题；②对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，原命题是真命题，逆命题是假命题；③两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，原命题是真命题，逆命题是真命题；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0的逆命题是如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，原命题是假命题，逆命题是真命题；故选：A．7．（2020秋•东阳市期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（）A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上 C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【解析∵PA＝PB，∴P点在在边AB的垂直平分线上，故选：B．8．（2021春•江汉区期中）下列命题：①全等三角形的对应角相等；②一个正数的绝对值等于本身；③若三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形．其中逆命题是真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用全等三角形的性质、绝对值的意义、勾股定理的逆定理分别判断后即可确定正确的选项．【解析①逆命题为对应角相等的两三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；②逆命题为绝对值等于本身的数是正数，错误，是假命题，不符合题意；③逆命题为：若直角三角形的三边长a、b、c，则满足a2+b2＝c2，正确，是真命题，符合题意．真命题的有1个，故选：B．9．（2021春•汝州市期末）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，CF＝2，则AC的长度为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝BF＝6，结合图形计算，得到答案．【解析∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，∴FA＝BF＝6，∴AC＝FA+CF＝6+2＝8，故选：C．10．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0 B．5 C．6 D．7【分析】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，当在一条直线上取等号，即可得出结果．【解析连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2≥P1P2，0＜P1P2≤5.6，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•埇桥区期末）“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形．【分析】写出该命题的逆命题即可．【解析“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形；故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形．12．（2021春•定西期末）把命题“实数是无理数”改写成“如果…，那么…”的形式为如果一个数是实数，那么这个数是无理数．【分析】先分清命题“实数是无理数”的题设与结论，然后写成“如果…那么…”的形式．【解析如果一个数是实数，那么这个数是无理数．故答案为：如果一个数是实数，那么这个数是无理数．13．（2021春•龙山县期末）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应角相等．写出成立的逆命题：内错角相等，两直线平行．【分析】根据实数的乘法、平行线的性质和全等三角形的性质判断即可．【解析①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数，逆命题是如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数，是假命题；②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；③全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题；故答案为：内错角相等，两直线平行．14．（2021春•江都区期末）命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）．【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【解析命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是负数是两个负数之和，错误，为假命题，故答案为：假．15．（2021春•南海区期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AC边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，且CD平分∠ACB，则∠A的度数等于30°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DCA，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠DCA，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【解析∵DE是AC边上的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠A＝∠DCA，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠DCA，∴∠A＝∠DCA＝∠BCD，∵∠B＝90°，∴∠A＝30°，故答案为：30°．16．（2021春•成都期末）如图，线段AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BOC＝86°，则∠1＝43°．【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，进而得到∠AOE=12∠AOC，同理得到∠AOD=1【解析连接OA，∵l2垂直平分AC，∴OA＝OC，∴l2平分∠AOC，即∠AOE=12∠同理可得：∠AOD=12∠∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，∠BOC＝86°，∴∠AOB+∠AOC＝360°﹣86°＝274°，∴∠AOD+∠AOE=12（∠AOB+∠AOC）=12∴∠1＝180°﹣（∠AOD+∠AOE）＝180°﹣137°＝43°，故答案为：43°．17．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC中，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，DE、FG相交于M点，连接FA、EA，若∠BAC＝80°，求∠EAF＝20°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，结合图形计算得到答案．【解析∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝100°，∴∠EAF＝∠EAB+∠FAC﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，故答案为：20°．18．（2021春•莱芜区期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D．设线段OD的长为m，下列结论中：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+12∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设△ABC的周长为p，则S△ABC=12pm．正确的结论有【分析】证明△EBO和△FCO为等腰三角形，则EB＝EO，FO＝FC，于是可对①进行判断；利用三角形内角和对②进行判断；过O点作OH⊥AB于H，OG⊥BC于G，如图，根据角平分线的性质得到OG＝OH，OG＝OD，则可对③进行判断；连接OA，如图，利用三角形面积公式，根据S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△CAO可对④进行判断．【解析∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠EBO＝∠CBO，∠BCO＝∠FCO，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，FO＝FC，∴EF＝EO+FO＝BE+CF，所以①正确；∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠OBC+2∠OCB＝180°﹣∠A，∴∠OBC+∠OCB＝90°-12∠∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°-12∠A）＝90°+12∠过O点作OH⊥AB于H，OG⊥BC于G，如图，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴OG＝OH，OG＝OD，∴OH＝OG＝OD，即点O到△ABC各边的距离相等，所以③正确；连接OA，如图，S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△CAO=12OH•AB+12OG•BC+12OD•AC=12m（AB+BC故答案为①②③④．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•郑州期末）请写出一对互逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．【分析】写出我们学过的一个命题，然后将结论和题设互换就变成了它的逆命题，判断真假即可．【解析同位角相等，两直线平行．两直线平行，同位角相等．这两个命题都是真命题．20．（2021春•贺兰县期中）写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据四边形内角和是360°、对顶角相等证明即可．【解析命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题．反例：如图1，∠CAB的两边与∠CDB的两边分别垂直，但∠CAB+∠CDB＝180°，∠CAB与∠CDB不一定相等；逆命题是假命题．反例：如解图2，∠AOC＝∠BOD，但AB与CD不一定垂直．21．（2021春•三元区校级月考）如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程．条件为：①②④（填序号）．结论为：③（填序号）．【分析】条件为：①②④，结论为：③；只需要证明△AFD≌△CEB即可．【解析条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一）已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求证：DF＝BE．证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∴在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠C∴△AFD≌△CEB（SAS），∴DF＝BE．故答案为：①②④；③22．（2020秋•滦南县期末）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．求证：∠BCD=12∠A（2）证明上述命题．【分析】（1）根据题意写出已知和求证；（2）根据等腰三角形的性质用∠A表示出∠B＝∠ACB，根据直角三角形的性质计算，证明结论．【解析（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，求证：∠BCD=12∠故答案为：CD⊥AB于D；∠BCD=12∠（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB=12（180°