两角和与差的三角函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

三角公式第1页一、两角和与差三角函数二、二倍角公式(升幂公式)(降次公式)sin(

)=sin

cos

cos

sin

cos(

)=cos

cos

sin

sin

-+tan(

)=tan

tan

1tan

tan

-+asin

+bcos

=a2+b2sin(

+

)cos2

=cos2

-sin2

=2cos2

-1=1-2sin2

sin2

=2sin

cos

tan2

=2tan

1-tan2

sin2

=1-cos2

2cos2

=1+cos2

2第2页三、半角公式四、万能公式五、其它公式sin3

=3sin

-4sin3;cos3

=4cos3

-3cos;sin(60

-)sin

sin(60+)=sin3;14cos(60

-)cos

cos(60+)=cos3.14sin=

1-cos

22

cos=

1+cos

22

tan=

1-cos

1+cos

2

=sin

1+cos

=1-cos

sin

sin

=2tan2

1+tan22

tan

=2tan2

1-tan22

cos

=1-tan2

2

1+tan22

第3页公式选择1.从函数名称考虑切割化弦(有时也可考虑“弦化切”),异名化同名(使函数名称尽可能统一);2.从角特点考虑异角化同角,抓住角之间规律(如互余、互补、和倍关系等等);3.从变换需要考虑达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目;4.尽可能避开讨论第4页惯用技巧与方法1.变换常数项将常数变换成三角函数;2.变角对命题中一些角进行分拆，从而使命题中角尽可能统一;3.升幂或降次利用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函数式结构;4.利用代数变换中惯用方法因式分解、配方、凑项、添项、换元等等.第5页三角函数式化简目标1.项数尽可能少;2.三角函数名称尽可能少;3.角尽可能小和少;4.次数尽可能低;5.分母尽可能不含三角式;6.尽可能不带根号;7.能求出值求出值.第6页经典例题1.求

sin220º+cos250º+sin20ºcos50º

值.思维精析

从幂入手,用降幂公式.解法1原式=++

(sin70º-sin30º)1+cos100º21-cos40º212=

-sin70ºsin30º+

sin70º1234=.34思维精析

从形入手,配成完全平方.=.3412解法2原式=(sin20º+

cos50º)2+cos250º

3412=[sin(50º-30º)+

cos50º]2+cos250º

34=(sin50ºcos30º)2+cos250º

34思维精析

从角入手,化异角为同角.=.34解法3原式=sin2(50º-30º)+cos250º+sin(50º-30º)cos50º=(sin50ºcos30º-cos50ºsin30º)2+cos250º+(sin50ºcos30º-cos50ºsin30º)cos50º=

(sin250º+cos250º)34第7页思维精析

从式入手,结构对偶式.解法4设x=sin220º+cos250º+sin20ºcos50º,

=.34思维精析

从三角形入手,结构图形,利用正余弦定理.解法5设

△ABC

外接圆半径为

1,A=20º,B=40º,y=cos220º+sin250º+cos20ºsin50º.则x+y=2+sin70º①,x-y=-cos40º+cos100º-sin30º②.x=

(2+sin70º-cos40º+cos100º-sin30º)12=

(+sin70º-2sin70ºsin30º)1232则

C=120º.由正余弦定理知:原式=sin220º+sin240º+sin20ºsin40º

=sin220º+sin240º-2sin20ºsin40ºcos120º

=sin2120º=.34得:2①+②∴sin220º+cos250º+sin20ºcos50º

值为.341.求

sin220º+cos250º+sin20ºcos50º

值.第8页2.已知

<

<

<

,cos(

-

)=,sin(

+

)=-,求

sin2

值.2

43

131235解:

∵

<

<

<

,2

43

∴0<

-

<,

<

+

<.4

23

∴sin(

-

)=,cos(

+

)=-,45135∴sin2

=sin[(

+

)+(

-

)]=sin(

+

)cos(

-

)+cos(

+

)sin(

-

)=-+(-)351312451356556=-.∴sin(

-

)>0,cos(

+

)<0,第9页3.已知sin

+cos

=2sin

,

sin

cos

=sin2

,

求证:

2cos2

=cos2

.4.已知

sin

=msin(2

+

),其中

m0,2

+

k(kZ),求证:tan(

+

)=tan

.1-m

1+m

证:

∵sin

+cos

=2sin

,∴(sin

+cos

)2=4sin2

.∴1+2sin

cos

=2(1-cos2

).∵sin

cos

=sin2

,∴1+2sin2

=2(1-cos2

).∴1+1-cos2

=2(1-cos2

).∴2cos2

=cos2

.证:

∵sin

=msin(2

+

),∴m=.sin

sin(2

+

)=tan(

+

).∴tan

=tan

1-m

1+m

sin(2

+

)+sin

sin(2

+

)-sin

=tan

2sin(

+

)cos

2cos(

+

)sin∴tan(

+

)=tan

.1-m

1+m

第10页另证:

∵sin

=msin(2

+

),∴sin[(

+

)-

]=msin[(

+

)+

].∴sin(

+

)cos

-cos(

+

)sin

整理得

(1-m)sin(

+

)cos

=(1+m)cos(

+

)sin

.=m[sin(

+

)cos

+cos(

+

)sin

].∴tan(

+

)=tan

.1-m

1+m

4.已知

sin

=msin(2

+

),其中

m0,2

+

k(kZ),求证:tan(

+

)=tan

.1-m

1+m

第11页5.已知

tan

,cot

是关于

x

方程

x2-kx+k2-3=0

两实根,且

3

<

<

,求

cos(3

+

)+sin(

+

)

值.72解:由已知

k2-3=tan

cot

=1,

∴

k2=4.∴k=tan

+cot

>0.∵3

<

<

,

是第三象限角,72∴tan

+cot

=2.∴tan

=1.∴

=3

+

.4

∴cos(3

+

)+sin(

+

)=cos

+sin4

4

=2.=cos(6

+

)+sin(4

+

)4

4

第12页6.已知

tan(

-

)=

,tan

=-

,且

,

(0,

),求

2

-

值.1217解:由已知

tan

=tan[(

-

)+

]1217-1217×1+=13=

.∴tan(2

-

)=tan[(

-

)+

]1213+1213×1-

==1.∵tan

>0,tan

<0,

,

(0,

),∴0<

<

,<

<

.2

2

∴-

<

-

<0.又

tan(

-

)>0,∴-

<

-

<-.2

∴-

<2

-

<0.

2

-

=-.43

∴由

tan(2

-

)=1

知注亦可由

tan

<1

得0<

<

.4

∴0<2<

.2

∴-

<2

-

<0.第13页7.计算-+64sin220º.sin220º3cos220º1sin220ºcos220º3cos220º-sin220º解:原式=

+64sin220ºsin220ºcos220º(

3cos20º+sin20º)(

3cos20º-sin20º)=+64sin220ºsin240º16sin80ºsin40º=

+64sin220º=32cos40º+64sin220º=32(1-2sin220º)+64sin220º=32.第14页8.已知

sin2

=(-

<

<-),函数

f(x)=sin(

-x)-sin(

+x)+2cos

.(1)求

cos

值;(2)若

f-1(x)

表示

f(x)

在

[-,]

上反函数,试求

f-1(-)

值.

342

352

2

10102

解:(1)∵-

<

<-,∴-

<2

<-

.3432∴cos

<0,cos2

<0.∴由已知可得

cos2

=-

.45故由

cos2

=2cos2

-1

得cos

=-

.1010(2)f(x)=sin(

-x)-sin(

+x)+2cos

=-2cos

sinx+2cos

=-2cos

(sinx-1)=

(sinx-1).1051010由

(sinx-1)=-得105sinx=

.122

2

∵x

[-,],∴x=

.6

6

∴f-1(-)=

.

1010第15页解法1

∵sin22

+sin2

cos

-cos2

=1,∴4sin2

cos2

+2sin

cos2

=2cos2

.1.已知

sin22

+sin2

cos

-cos2

=1,

(0,),求

sin

,tan

值.2

∴cos2

(2sin2

+sin

-1)=0

cos2

(2sin

-1)(sin

+1)=0.∵

(0,),2

∴cos2

0,sin

+10.∴2sin

-1=0.∴sin

=.12∴

=.6

∴tan

=.33故

sin

,tan

值分别为

和.3312解法2

∵sin22

+sin2

cos

-cos2

=1,∴sin2

cos

-cos2

=1-sin22

=cos22

.∴2sin

cos2

=2cos2

cos2

.∵

(0,),2

∴cos2

0.∴sin

=cos2

.即

cos(

-

)=cos2

.2

∵-

(0,

),2

(0,

),且

y=cosx

在(0,

)内是减函数,2

2

∴-

=2

.2

∴

=.6

∴sin

=,tan

=.1233课后练习第16页解法3

由已知

sin22

+sin2

cos

-cos2

-1=0,可看作关于

sin2

一元二次方程.解这个一元二次方程得:sin2

=-cos

cos2

+4(1+cos2

)2=.-cos

3cos

2∵

(0,),2

∴sin2

=cos

.即

2sin

cos

=cos

.∴

=.6

∴tan

=.33∴sin

=.121.已知

sin22

+sin2

cos

-cos2

=1,

(0,),求

sin

,tan

值.2

故

sin

,tan

值分别为

和.3312第17页2.已知

cos

=-,cos(

+

)=

,且

(

,),

+

(,2

),求

.13122617

223

23

23

23

解:

∵

(

,),

+

(,2

),∴

(0,

).267

2又由已知得

sin

=-,sin(

+

)=-,135∴cos

=cos[(

+

)-

]=cos(

+

)cos

+sin(

+

)sin

=

(-)+(-)(-/p>

2267

2=-.22∴

=.43

第18页3.已知

tan(+

)+tan

=a,cot(+

)+cot

=b,求证:ab(ab-4)=

(a+b)2.4

4

证:

∵a=cos(

+

)cos

sin(

+

+

)4

4

=,cos(

+

)cos

sin(

+2

)4

4

b=.sin(

+

)sin

sin(

+2

)4

4

4

sin(

+

)sin

cos(

+

)cos

sin2(

+2

)4

4

∴ab==2

sin(

+2

)sin2

2[1-cos(

+4

)]2

cos2

sin2

2(1+sin4

)sin4

4(1+sin4

)==.∴ab-4=

.sin4

4sin24

16(1+sin4

)∴ab(ab-4)=

.4

4

又∵a+b=tan(+

)+cot(+

)+tan

+cot

=+2

sin(

+2

)2sin2

2cos2

2=+sin2

2sin4

4(sin2

+cos2

)=,第19页∴(a+b)2=sin24

16(sin2

+cos2

)2

sin24

16(1+sin4

)=.∴ab(ab-4)

=(a+b)2.4.已知

sin(

+2

)sin(

-2

)=,

(

,),求

2sin2

+tan

-cot

-1

值.2

4

4

144

解:由已知=sin(

+2

)sin(

-2

)144

4

=sin(

+2

)cos(

+2

)4

4

=

sin(

+4

)2

12=

cos4

.12∴cos4

=

.12∵

(

,),4

2

∴

=

.125

∴2sin2

+tan

-cot

-1=-cos

-2cot65

65

=-cos2

-2cot2

=+2332=3.52=cos+2cot6

6

第20页5.设

,

,

是锐角,且

tan

=tan3,tan

=

tan

.求证:

,

,

成等差数列.2

2

12证:由已知tan

=

tan

12tan1-tan22

2

=tan(1+tan2)(1-tan2)(1+tan2)2

2

=2

2

2

tan

+tan

1-tan

tan2

2

=2

2

+

=tan

.∵

,

,

是锐角,∴

,

都是锐角.2

+

2

+

=tan故由

tan

知:

=

.2

+

∴

,

,

成等差数列.tan

+tan3

1-tan

tan3

2

2

=2

2

第21页6.已知

tan(

+

)=

.(1)求

tan

值;(2)求

值.sin2

-cos2

1+cos2

124

12解:(1)∵tan(

+

)=

,

且

tan(

+

)=,4

4

1+tan

1-tan

1+tan

1-tan

12∴

=.解得

tan

=-.13(2)原式=2sin

cos

-cos2

1+2cos2

-12sin

-cos

2cos

=12=tan

-13=--12=-.56第22页7.已知

6sin2

+sin

cos

-2cos2

=0,

[

,

),求sin(2

+

)

值.2

3

解:

∵6sin2

+sin

cos

-2cos2

=0,∴(3sin

+2cos

)(2sin

-cos

)=0.∴3sin

+2cos

=0

或

2sin

-cos

=0.又由已知得

cos

0,2

∴

.2

∴

(

,

),从而

tan

<0.∴tan

=-.23∴sin(2

+

)=sin2

cos

+cos2

sin