第04讲 相交线（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（解析版）

第04讲相交线（核心考点讲与练）一．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．二．垂线（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．三．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．四．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．一．对顶角、邻补角（共7小题）1．（2021春•无为市期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠5【分析】根据对顶角、平行线的性质判断即可．【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，本选项说法正确；B、∵AD与AB不平行，∴∠2≠∠3，本选项说法错误；C、∵AD与CB不平行，∴∠3≠∠4，本选项说法错误；D、∵CD与CB不平行，∴∠1≠∠5，本选项说法错误；故选：A．【点评】本题考查的是对顶角、平行线的性质，掌握对顶角相等、平行线的性质是解题的关键．2．（2021春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（）A．150° B．180° C．210° D．120°【分析】根据对顶角相等和周角的定义求三个角的和．【解答】解：∵∠COF与∠DOE是对顶角，∴∠COF＝∠DOE，∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF＝×360°＝180°．故选：B．【点评】本题考查了利用对顶角相等计算角的度数的能力．3．（2021春•普陀区校级月考）若∠α与∠β是对顶角，且∠α+∠β＝120°，则∠β＝60°．【分析】由对顶角相等可得∠α＝∠β，再根据∠α+∠β＝120°，求出结果即可．【解答】解：∵∠α与∠β是对顶角，∴∠α＝∠β，又∵∠α+∠β＝120°，∴∠β＝120°×＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查对顶角，掌握对顶角相等以及角的和差关系是解决问题的关键．4．（2021春•静安区期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠AOC＝50°，OE平分∠BOD，那么∠BOE＝25度．【分析】根据对顶角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝∠BOD，又∵∠ACO＝∠BOD，∴∠BOE＝∠AOC＝×50°＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查对顶角，角平分线的定义，掌握对顶角相等和角平分线的定义是正确解答的前提．5．（2021春•杨浦区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，如果∠AOD＝140°，那么直线AB与CD的夹角是40°．【分析】根据邻补角互补可得∠AOC的度数，进而可得答案．【解答】解：∵∠AOD＝140°，∴∠AOC＝180°﹣140°＝40°，∴直线AB与CD的夹角是40°．故答案为：40°．【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握邻补角互补，对顶角相等．6．（2021春•杨浦区期中）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，如果∠BOE＝55°，那么∠AOD＝110度．【分析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC的度数，再根据对顶角相等求解即可．【解答】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝55°，∴∠BOC＝2∠BOE＝2×55°＝110°，∴∠AOC＝∠BOC＝110°．故答案为：110．【点评】本题考查了角平分线的定义以及对顶角相等，是基础题，比较简单．7．（2021春•奉贤区期中）如图：直线AB、CD相交于点O，若∠AOD＝2∠AOC+30°，则直线AB与CD的夹角度数为50°．【分析】本题直线AB与CD的夹角即∠AOC的度数，根据条件∠AOD＝2∠AOC+30°找到∠AOC的度数即可．【解答】解：∵∠AOD＝2∠AOC+30°，∴∠AOD+∠AOC＝2∠AOC+∠AOC+30°，而∠AOD+∠AOC＝180°，∴2∠AOC+∠AOC+30°＝180°，∴∠AOC＝50°，∴直线AB与CD的夹角度数为50°，故答案为：50°．【点评】本题考查对顶角、邻补角的概念，题中直线AB与CD的夹角即∠AOC的度数，根据条件∠AOD＝2∠AOC+30°找到∠AOC的度数即可．二．垂线（共6小题）8．（2021春•松江区期末）如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，OF⊥OE，若∠BOD＝46°，则∠DOF的度数为67°．【分析】由对顶角相等可得∠AOC＝46°，由角平分线的性质可得∠COE的度数，利用OF⊥OE，可得∠EOF＝90°，利用平角可求∠DOF的度数．【解答】解：∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOC．∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝46°，∴∠AOC＝46°．∴∠COE＝×46°＝23°．∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°．∴∠DOF＝180°﹣∠EOF﹣∠COE＝180°﹣90°﹣23°＝67°．故答案为：67．【点评】本题主要考查了垂线，对顶角和邻补角，角平分线的性质等知识点．利用平角表示角的大小是解题的关键．9．（2021春•杨浦区期末）如图，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝54°．【分析】根据∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，可求出∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，再根据OD⊥OC，得出∠COD＝90°，最后根据互余求出答案．【解答】解：∵∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，又∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54．【点评】本题考查角平分线，垂直，理解角平分线和垂直的意义是正确计算的前提．10．（2021春•浦东新区校级期中）如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，若∠1＝35°时，则∠2＝35°或145°．【分析】分两种情况分别画图计算可得答案．【解答】解：第一种情况，如图：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°，∴∠1＝∠2＝35°，第二种情况，如图：∠COD＝∠2，∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠1+∠BOC＝90°，∠1+∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠AOD＝90°﹣∠1＝55°，∴∠2＝∠COD＝∠1+∠BOC+∠AOD＝35°+55°+55°＝145°．故答案为：35°或145°．【点评】此题考查的是垂线的性质，掌握余角性质是解决此题关键．11．（2021春•松江区期中）如图，已知点O在直线AB上，OC⊥OD，∠BOD：∠AOC＝3：2，那么∠BOD＝54度．【分析】由垂直的定义得到∠COD＝90°，然后由平角的定义和已知条件∠BOD：∠AOC＝3：2进行计算．【解答】解：∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°．∴∠BOD+∠AOC＝90°．∵∠BOD：∠AOC＝3：2，∴∠BOD＝54°．故答案是：54．【点评】本题主要考查了角的计算和垂线，根据垂直的定义和平角的定义得到∠BOD+∠AOC＝90°是解题的关键．12．（2021春•浦东新区月考）如图直线AB，CD相交于O，直线FE⊥AB于O，∠BOD＝75°，则∠COF的度数为15度．【分析】利用图中角与角的关系即可求得，即∠COF＝∠DOE＝90°﹣∠BOD．【解答】解：∵直线FE⊥AB于O，∴∠BOE＝90°，∵∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD，∠BOD＝75°，∴∠DOE＝15°，∴∠COF＝∠DOE＝15°．故答案为：15．【点评】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线、垂线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．13．（2021春•普陀区校级月考）如图，EH⊥HG，FD过点H，∠EHD＝5∠FHG，求∠EHF．解：因为EH⊥HG（已知），所以∠EHG＝90°（垂直的意义），设∠FHG＝x，则∠EHF＝90°﹣x．（请完成后面求解过程）【分析】根据平角定义和垂直的意义列出方程，180°﹣5x＝90°﹣x，解得x的值，进而可得结果．【解答】解：因为EH⊥HG（已知），所以∠EHG＝90°（垂直的意义），设∠FHG＝x，则∠EHF＝90°﹣x，∵∠EHF＝180°﹣∠EHD＝90°﹣∠FHG，∠EHD＝5∠FHG＝5x，∴180°﹣5x＝90°﹣x，解得x＝22.5°，∴∠EHF＝90°﹣∠FHG＝90°﹣22.5°＝67.5°．【点评】本题考查了垂线，角的计算，解决本题的关键是掌握垂线．三．点到直线的距离（共4小题）14．（2021春•浦东新区月考）下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（）A． B． C． D．【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【解答】解：由题意得PQ⊥MN，P到MN的距离是PQ垂线段的长度，故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题关键．15．（2021春•奉贤区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，且∠ADC＝60°，那么下列说法中错误的是（）A．直线AD与直线BC的夹角为60° B．直线AC与直线BC的夹角为90° C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．【解答】解：A、∵∠CDA＝60°，∴直线AD与直线BC的夹角是60°，正确，故本选项错误；B、∵∠ACD＝90°，∴直线AC与直线BC的夹角是90°，正确，故本选项错误；C、∵∠ACD＝90°，∴DC⊥AC，∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故本选项错误；D、∵BD和AD不垂直，∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了点到直线的距离，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．16．（2021春•普陀区校级月考）如图，点B到直线AC的距离是线段AB的长度．【分析】根据点到直线的距离定义即可解答．【解答】解：点B到直线AC的距离是线段AB的长度．故答案为：AB．【点评】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．17．（2021春•浦东新区期末）如图，点A到直线BC的距离是线段AE的长度．【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案．【解答】解：∵AE⊥BC，垂足为E，∴点A到直线BC的距离是线段AE的长度．故答案为：AE．【点评】此题考查点到直线的距离，解题的关键是根据点到直线的距离及线段的长的意义解答．四．同位角、内错角、同旁内角（共9小题）18．（2021春•浦东新区校级期中）如图，下列判断中正确的个数是（）（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．【解答】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确；（2）∠A与∠B是同旁内角．正确；（3）∠4与∠1是内错角，正确；（4）∠1与∠3不是同位角，错误．故选：C．【点评】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．19．（2021春•杨浦区期中）如图，下列说法中，错误的是（）A．∠3和∠4是邻补角 B．∠1和∠2是同旁内角 C．∠1和∠5是同位角 D．∠5和∠6是内错角【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义进行判断即可．【解答】解：A．∠3和∠4是邻补角，因此选项A不符合题意；B．∠2和∠1是直线AG、BF被直线AC所截的同旁内角，因此选项B不符合题意；C．∠1和∠5既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，因此选项C符合题意；D．∠5和∠6是直线AC、DE被直线DF所截而得到的内错角，因此选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提．20．（2021春•沈河区期中）如图，下列说法正确的是（）A．∠2与∠3是同旁内角 B．∠1与∠2是同位角 C．∠1与∠3是同位角 D．∠1与∠2是内错角【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可．【解答】解：A、∠2和∠3是同旁内角，故本选项符合题意；B、∠1和∠2不是同位角，故本选项不符合题意；C、∠1和∠3是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意；D、∠2和∠3是同旁内角，不是内错角，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键．21．（2021春•普陀区期中）如图，∠4的内错角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠5【分析】根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成”Z“形作答．【解答】解：如图，∠4的内错角是∠5．故选：D．【点评】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．22．（2021春•普陀区校级月考）图中，∠B的同位角是∠ECD，∠ACD．【分析】根据同位角的意义结合图形进行判断即可．【解答】解：∠B与∠ECD是直线AB、CE被直线BD所截的一组同位角，∠B与∠ACD是直线AB、AC被直线BD所截的一组同位角，故答案为：∠ECD，∠ACD．【点评】本题考查同位角，理解同位角的意义以及两条直线的截线是正确判断的前提．23．（2021春•松江区期中）如图，和∠A是同位角的有∠BED和∠CDE．【分析】根据同位角的定义，可得答案．【解答】解：由图，得∠A的同位角是∠BED和∠CDE，故答案为：∠BED和∠CDE．【点评】本题考查了同位角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．24．（2021春•奉化区校级期末）如图，∠E的同位角有2个．【分析】根据同位角的定义解答即可．【解答】解：根据同位角的定义可得：∠BAD和∠E是同位角；∠BAC和∠E是同位角；∴∠E的同位角有2个．故答案为：2．【点评】此题考查了同位角的概念，熟记概念是解题的基础．25．（2021春•上海期中）如图，点D是BC上一点，∠C＝65°，则图中与∠C构成同旁内角的角有4个，这些角的度数和为230°．【分析】根据同旁内角的意义可得答案，利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：与∠C构成同旁内角的角有∠ADC，∠DAC，∠B，∠BAC，共4个，∠ADC+∠DAC+∠B+∠BAC＝（∠ADC+∠DAC）+（∠B+∠BAC）＝（180°﹣∠C）+（180°﹣∠C）＝（180°﹣65°）+（180°﹣65°）＝115°+115°＝230°，故答案为：4，230°．【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，三角形的内角和，理解同位角、内错角、同旁内角的意义，三角形的内角和定理是正确判断的前提．26．（2021春•浦东新区期中）如图，射线BD，CE相交于点A，则∠B的内错角是∠EAB．【分析】根据内错角的意义，结合具体的图形进行判断即可．【解答】解：由内错角的意义可得，∠B与∠EAB是内错角，故答案为：∠EAB．【点评】本题考查内错角，掌握内错角的意义是正确解答的前提．

分层提分分层提分题组A基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021春•杨浦区期末）下面不能检验直线与平面垂直的工具是（）A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可．【解答】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片是检验直线与平面平行的方法，故选：C．【点评】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提．2．（2020秋•徐汇区校级期中）下列题设中，一定能得到结论为“互相垂直”的个数是（）①互为邻补角的两个角的平分线；②互为对顶角的两个角的平分线；③两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线；④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据平行线的性质，线段垂直定义、对顶角定义分别进行分析即可．【解答】解：①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故①正确；②互为对顶角的两个角的平分线在同一直线上，故②不正确；③若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故③正确；④两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线互相平行，故④不正确．一定能得到结论为“互相垂直”的个数有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了垂线、对顶角、邻补角的性质，关键是掌握握垂线定义．3．（2020春•宝山区期末）如图，下列说法不正确的是（）A．∠1和∠2互为邻补角 B．∠1和∠4是内错角 C．∠2和∠3是同旁内角 D．∠1和∠3是同位角【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和邻补角的概念解答即可．【解答】解：A、∠1和∠2互为邻补角，正确，不符合题意；B、∠1和∠4不是内错角，错误，符合题意；C、∠2和∠3是同旁内角，正确，不符合题意；D、∠1和∠3是同位角，正确，不符合题意；故选：B．【点评】此题考查同位角、同旁内角、内错角和邻补角，熟练掌握同位角、内错角相等，同旁内角的定义是解题的关键．4．（2020•香洲区校级一模）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝70°，则∠BOC的度数是（）A．100° B．115° C．135° D．145°【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝70°，∴∠1＝∠2＝35°，∴∠BOC＝180°﹣∠1＝145°，故选：D．【点评】本题考查了邻补角、对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．5．（2020春•金山区期中）如图，下列说法正确的是（）A．∠A与∠C是对顶角 B．∠EDC与∠ABC是内错角 C．∠ABF与∠ADC是同位角 D．∠A与∠ABC是同旁内角【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的概念进行判断即可．【解答】解：A、∠A与∠C不是对顶角，不符合题意；B、∠EDC与∠ABC不是内错角，不符合题意；C、∠ABF与∠ADC不是同位角，不符合题意；D、∠A与∠ABC是同旁内角，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的概念，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解．6．（2019春•闵行区期中）如图，同位角共有（）对．A．6 B．5 C．8 D．7【分析】根据同位角的概念解答即可．【解答】解：同位角有6对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3，故选：A．【点评】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．二．填空题（共10小题）7．（2021春•杨浦区期中）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，如果∠BOE＝55°，那么∠AOD＝110度．【分析】先根据角平分线的定义，求出∠BOC的度数，再根据对顶角相等求解即可．【解答】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝55°，∴∠BOC＝2∠BOE＝2×55°＝110°，∴∠AOC＝∠BOC＝110°．故答案为：110．【点评】本题考查了角平分线的定义以及对顶角相等，是基础题，比较简单．8．（2021春•上海期中）如图，点D是BC上一点，∠C＝65°，则图中与∠C构成同旁内角的角有4个，这些角的度数和为230°．【分析】根据同旁内角的意义可得答案，利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：与∠C构成同旁内角的角有∠ADC，∠DAC，∠B，∠BAC，共4个，∠ADC+∠DAC+∠B+∠BAC＝（∠ADC+∠DAC）+（∠B+∠BAC）＝（180°﹣∠C）+（180°﹣∠C）＝（180°﹣65°）+（180°﹣65°）＝115°+115°＝230°，故答案为：4，230°．【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，三角形的内角和，理解同位角、内错角、同旁内角的意义，三角形的内角和定理是正确判断的前提．9．（2021春•浦东新区期中）如图，射线BD，CE相交于点A，则∠B的内错角是∠EAB．【分析】根据内错角的意义，结合具体的图形进行判断即可．【解答】解：由内错角的意义可得，∠B与∠EAB是内错角，故答案为：∠EAB．【点评】本题考查内错角，掌握内错角的意义是正确解答的前提．10．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，则∠EOF＝90度．【分析】根据角平分线的定义表示出∠COE和∠COF，然后根据∠EOF＝∠COE+∠COF计算即可得解．【解答】解：∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝∠AOC，∵OF平分∠BOC，∴∠COF＝∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝90°．故答案为：90．【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．11．（2020秋•道外区期末）如图，已知AO⊥BC于O，∠BOD＝120°，那么∠AOD＝30°．【分析】根据垂直的定义得到∠AOB＝90°，结合图形找到相关角间的和差关系进行解答即可．【解答】解：∵AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∵∠BOD＝120°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝120°﹣90°＝30°，故答案是：30．【点评】本题考查了垂直的定义，如果两个角的和等于90°，两个角互为余角．12．（2020春•东城区校级期末）如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为9cm．【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【解答】解：因为∠C＝90°，所以AC⊥BC，所以A到BC的距离是AC，因为线段AC＝9cm，所以点A到BC的距离为9cm．故答案为：9．【点评】本题考查了点到直线的距离．解题的关键是掌握点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．13．（2020春•闵行区校级期中）如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到直线BC的距离是线段AD的长度．【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案．【解答】解：∵AD⊥BC，垂足为D，∴点A到直线BC的距离是线段AD的长度．故答案为：AD．【点评】此题考查点到直线的距离，解题的关键是根据点到直线的距离及线段的长的意义解答．14．（2020春•金山区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，过点O作EO⊥AB，则∠DOE的度数为50°．【分析】根据对顶角相等求∠BOD，由垂直的性质求∠BOE，根据∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求解．【解答】解：∵直线AB与直线CD相交，∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°．∵EO⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°．故答案为：50°．【点评】本题考查了对顶角，垂直的定义．解题的关键是采用形数结合的方法得到∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD．15．（2020春•白云区期末）如图，已知直线a，b相交，∠α+∠β＝80°，那么∠α＝40°．【分析】根据对顶角相等可得∠α＝∠β，然后求解即可．【解答】解：∵∠α＝∠β（对顶角相等），∴∠α+∠β＝∠α+∠α＝80°，解得∠α＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了对顶角相等的性质，准确识图得到对顶角∠α＝∠β是解题的关键．16．（2019秋•临洮县期末）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝44°，则∠AOD＝134°．【分析】首先根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再根据角的和差关系可得∠COB＝134°，再根据对顶角相等可得∠AOD的度数．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵∠COE＝44°，∴∠COB＝90°+44°＝134°，∴∠AOD＝134°，故答案为：134°．【点评】此题主要考查了垂线以及对顶角，关键是算出∠EOB的度数，掌握对顶角相等．三．解答题（共1小题）17．（2020秋•增城区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝2∠BOD，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠AOF的度数．【分析】（1）根据平角的定义，角平分线的定义进行计算即可；（2）根据对顶角，角平分线的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠BOD，∴∠AOD＝180°×＝120°，∠BOD＝180°×＝60°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝∠BOD＝30°，（2）∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠EOF＝∠COE＝×150°＝75°，又∵∠AOC＝∠BOD＝60°，∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．【点评】本题考查角平分线的定义，平角的定义以及对顶角的性质，掌握角平分线的定义和对顶角的性质是解决问题的关键．题组B能力提升练一．填空题（共5小题）1．（2020春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，那么点B到直线CD的距离是线段BD的长．【分析】根据点到直线的距离，即可解答．【解答】解：∵CD⊥AD，垂足为点D，∴点B到直线CD的距离是线段BD的长，故答案为：BD．【点评】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．2．（2018春•杨浦区期末）已知直线AB和直线CD相交于点O，∠AOC+∠BOD＝200°，那么这两条直线的夹角等于80度．【分析】首先根据题意画出图形，然后根据对顶角和邻补角的性质计算即可．【解答】解：如图所示：由对顶角的性质可知：∠AOC＝∠BOD，又∵∠AOC+∠BOD＝200°，∴∠AOC＝×200°＝100°．∵∠AOD+∠AOC＝180°，∴∠AOD＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80．【点评】本题主要考查的是对顶角和邻补角的性质，掌握对应角和邻补角的性质是解题的关键．3．（2017春•闵行区校级期末）如图，直线AC与直线DE相交于点O，若∠BOC＝35°，BO⊥DE，垂足为O，则∠AOD＝55度．【分析】由垂直的定义可求得∠COE，再利用对顶角可求得答案．【解答】解：∵BO⊥DE，∴∠BOE＝90°，∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，∴∠AOD＝∠COE＝55°，故答案为：55．【点评】本题主要考查垂的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得∠COE是解题的关键．4．（2018春•浦东新区期中）已知，直线AB和直线CD交于点O，∠BOD是它的邻补角的3倍，则直线AB与直线CD的夹角是45度．【分析】设∠BOD＝x°，则它的补角为3x°，根据邻补角互补可得x+3x＝180，再解方程即可．【解答】解：设∠BOD＝x°，则它的补角为3x°，x+3x＝180，x＝45，故答案为：45°．【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握邻补角互补．5．（2018春•青浦区期中）如图，已知∠1+∠2＝180°，则图中与∠1相等的角共有3个．【分析】根据补角的性质、对顶角的性质，可得答案．【解答】解：如图，∠1＝∠3．∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°，∠2＝∠5＝180°，∴∠1＝∠4＝∠5，故答案为：3．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，利用补角的性质、对顶角的性质是解题关键．二．解答题（共5小题）6．（2017春•西城区校级期中）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理．【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段的性质，可得答案．【解答】解：过点A作CD的垂线段AB，则AB的长度最短，依据为：垂线段最短，【点评】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．7．（2021秋•虎林市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD：∠EOB＝2：