高考数学复习 专题六 统计与概率 6.1 概率、统计基础题练习 理-人教版高三数学试题

6.1概率、统计基础题命题角度1抽样方法高考真题体验·对方向1.(2013全国Ⅰ·3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D.系统抽样答案C解析因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.2.(2017江苏·3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.

答案18解析抽取比例为601000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300×典题演练提能·刷高分1.为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样C.按年龄段分层抽样 D.系统抽样答案C解析该地区老、中、青三个年龄段人员的活动情况有较大差异,而男女差异不大,所以按年龄段分层抽样具有代表性,比较合理.2.已知某单位有职工120人,男职工有90人,现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本,若已知样本中有18名男职工,则样本容量为()A.20 B.24 C.30 D.40答案B解析设样本容量为n,则n120=18903.(2019福建漳州质检二)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,…,599,600,从中抽取60个样本,如下提供随机数表的第4行到第6行:322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,则得到的第6个样本编号()A.522 B.324 C.535 D.578答案D解析第6行第6列的数开始的数为808,不合适,436合适,789不合适,535,577,348合适,994不合适,837不合适,522,535重复不合适,578合适,则满足条件的6个编号为436,535,577,348,522合适,578,则第6个编号为578,故选D.4.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八,西乡七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,何各几何?”意思是:北乡有8758人,西乡有7236人,南乡有8356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数是()A.102 B.112 C.130 D.136答案B解析由题意得,三乡总人数为8758+7236+8356=24350.∵共征集378人,∴需从西乡征集的人数是723624350×378≈112,故选B5.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314021443199714019832049234493682003623486969387181A.01 B.02 C.14 D.19答案A解析从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的,编号重复的保留前者.可知对应的数值为08,02,14,19,01,则第五个个体的编号为01.故选A.6.分层抽样是将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法;在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付5141109B.乙应付3224109C.丙应付1656109D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少答案B解析依题意,由分层抽样知识可知,100÷(560+350+180)=10109则甲应付10109×560=5141109钱;乙应付10109×350=3212109钱;丙应付10109×180=167.(2019山东德州一模)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示.现要从中抽取50名职工作样本,若采用分层抽样方法,则40~50岁年龄段应抽取人.

答案15解析从图中可知,三个年龄段的人数比例分别为5∶3∶2,40~50岁年龄段的人数占310,则40~50岁年龄段应抽取310×50=8.某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1~20号,第二组21~40号,…,第五组81~100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为.

答案64解析设在第一组中抽取的号码为a1,则在各组中抽取的号码满足首项为a1,公差为20的等差数列,即an=a1+(n-1)×20,又第二组抽取的号码为24,即a1+20=24,所以a1=4,所以第四组抽取的号码为4+(4-1)×20=64.9.某校高三年级3个学部共有600名学生,编号为:001,002,…,600,从001到300在第一学部,从301到495在第二学部,从496到600在第三学部.采用系统抽样的方法从中抽取50名学生进行成绩调查,且随机抽取的号码为003,则第二学部被抽取的人数为.

答案17解析由题意得,号码的间隔为60050=则抽取的号码构成一个等差数列,通项公式为3+12(n-1)=12n-9,由301≤12n-9≤495,即31012≤n≤504即26≤n≤42,共有17人.10.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本,若分别采用系统抽样法和分层抽样法,则都不用剔除个体;当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,那么样本容量n为.

答案6解析n为18+12+6=36的正约数,因为18∶12∶6=3∶2∶1,所以n为6的倍数,因此n=6,12,18,24,30,36.因为当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,所以n+1为35的正约数,因此n=6.命题角度2求古典概型的概率高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516 B.1132 C.2132答案A解析由题可知,每一爻有2种情况,故一重卦的6个爻有26种情况.其中6个爻中恰有3个阳爻有C63种情况,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为C2.(2019江苏·6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.

答案7解析由已知男女同学共5名.从5名学生中任选2名,共有C52=若选出的2人中恰有一名女生,有C31×C2所以所求的概率为P=6+110典题演练提能·刷高分1.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“8”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.23 B.12 C.13答案D解析从球“2”“0”“1”“8”中随机选取三个球有C43种取法,能成等差数列的取法只有一种,为“0”“1”“2”,即概率为1C2.(2019四川宜宾二模)一个袋子中有4个红球,2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是()A.45 B.35 C.25答案B解析一个袋子中有4个红球,2个白球,从中任取2个球,基本事件总数n=C62=15,这2个球中有白球包含的基本事件个数m=C41C21+C3.(2019河北武邑中学调研二)某学校10位同学组成的志愿者,组织活动分别由李老师和张老师负责.每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为()A.25 B.1225 C.1625答案C解析设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”,设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”,由题意P(A)=410=25,P(B)=410=25,∴甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P4.现有6张牌面分别是2,3,4,5,6,7的扑克牌,从中取出1张,记下牌面上的数字后放回,再取一张记下牌面上的数字,则两次所记数字之和能整除18的概率是()A.13 B.12 C.23答案D解析由题意,试验的情况总数有C61C61=6×6=36,又18=2×3×3,即两次所记数字之和能整除18的有:2+4,2+7,3+6,4+5,两次交换顺序共8种,还有3+3,即所求事件个数共有9,所以所求概率为5.有4张卡片(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿,从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片,则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为()A.13 B.35 C.12答案C解析有4张卡片(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿.从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片,基本事件总数n=C42取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件个数m=C11取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为p=mn=36.从3名男生,2名女生中选3人参加某活动,则男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动的概率为()A.310 B.25 C.12答案D解析由题意得总的基本事件个数为C53=10,事件A分三类,第一类:从三名男生中选两名男生和另外一名女生组合,有C32C11=3种方法;第二类:选除了甲以外的两名男生和女生乙,有一种方法;第三类:选两名女生,从除了甲以外的两名男生中选一个,有C22C7.甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是()A.29 B.49 C.23答案D解析由题意得甲不跑第一棒的总的基本事件有C31A33=18种,甲不跑第一棒,乙不跑第二棒的基本事件有C318.某办公楼前有7个连成一排的车位,现有三辆不同型号的车辆停放,恰有两辆车停放在相邻车位的概率是.

答案4解析7个车位都排好车辆,共有A77种方法,满足题意的排法等价于7辆车排列,满足其中三辆中恰有两辆车停放在相邻车位,则首先排列余下的四辆车,有A44种方法,然后从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑,3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中,共有A9.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是.

答案2解析由题意得共有(1,1,5),(1,5,1),(5,1,1),(1,2,4),(1,4,2),(2,1,4),(2,4,1),(4,1,2),(4,2,1),(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(2,2,3),(2,3,2),(3,2,2)这15种,其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有(5,1,1),(4,1,2),(4,2,1),(3,1,3),(3,3,1),(3,2,2)6种,所以概率为61510.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是.

答案2解析从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换,基本事件总数为n=C32·从中随机抽取2个人进行位置调换,第一次调换后,对调后的位置关系有三种:甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲,第二次调换后甲在乙左边对应的关系有:丙甲乙、甲乙丙;丙甲乙、甲乙丙;甲丙乙、丙甲乙,经过两次这样的调换后,甲在乙左边包含的基本事件个数m=6,故甲在乙左边的概率为p=mn命题角度3用几何概型的概率求解高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2+p3答案A解析设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为πc22,以AB为直径的圆面积为πb22,以AC为直径的圆面积为πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa22.(2017全国Ⅰ·2)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14 B.π8 C.12答案B解析不妨设正方形边长为2,则圆半径为1,正方形的面积为2×2=4,圆的面积为π×12=π.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即12πr2=12π,所以此点取自黑色部分的概率为3.(2016全国Ⅰ·4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13 B.12 C.23答案B解析这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为:7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=2040=4.(2016全国Ⅱ·10)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nm C.答案C解析利用几何概型求解,由题意可知,14S圆S正方形5.(2016山东·14)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.

答案3解析直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径,即d=|5k|1+k2<3,解得-34<k<34典题演练提能·刷高分1.函数f(x)=2x(x<0),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数x,则x∈D的概率是()A.12 B.13 C.14答案B解析函数f(x)=2x(x<0)的值域为(0,1),即D=(0,1),则在区间(-1,2)上随机取一个数x,x∈D的概率p=1-022.某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率为()A.110 B.16 C.15答案B解析由题意,此人在50分到整点之间的10分钟内到达,等待时间不多于10分钟,所以概率p=1060=13.(2019湘赣十四校联考二)如图,在等腰三角形ABC中,已知∠BAC=120°,阴影部分是以AB为直径的圆与以AC为直径的圆的公共部分,若在△ABC内部任取一点,则此点取自阴影部分的概率为()A.3π9-12C.1-3π9 D答案A解析如图所示,取BC的中点D,AC的中点O,连接AD,DO,设AB=2,在△ACD中,AD=1,CD=3,S△ACD=32∴S△ABC=3.在扇形OAD中,∠AOD=60°,S扇形OAD=12·π3·1=π6,S∴S阴影=2π6-34=∴P=S阴影4.(2019广东深圳高三适应性考试)勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线,它由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现,其作法是:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点,则此点取自正三角形内的概率为()A.2π-3C.32(π答案B解析如图,设BC=2,以B为圆心的扇形面积是π×226=2π3,△ABC的面积是1即2π3×3-23=2π-23,所以在勒洛三角形中随机取一点,此点取自正三角形的概率是35.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田”,把直角梯形的田称为“邪田”,称底是“广”,称高是“正从”,“步”是丈量土地的单位.现有一邪田,广分别为十步和二十步,正从为十步,其内有一块广为八步,正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树,求该株茶树恰好种在圭田内的概率为()A.215 B.25 C.415答案A解析邪田的广分别为十步和二十步,正从为十步,圭田广为八步,正从为五步.利用三角形的面积公式,算出圭田的面积为12×8×5=利用梯形的面积公式,算出邪田的面积为12(10+20)×10=在邪田内随机种植一株茶树,根据几何概型概率公式可得,该株茶树恰好种在圭田内的概率为p=20150=26.小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午5:00~6:00之间送货上门,已知小李下班到家的时间为下午5:30~6:00.快递员到小李家时,如果小李未到家,则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家,则快递员等小李回来;否则,就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为()A.19 B.89 C.512答案D解析设快递员到小李家的时间为x,小李到家的时间为y,由题意可得所有基本事件构成的平面区域为(x,y)5≤x≤6,5.5≤y≤6,设“小李需要去快递柜收取商品”为事件A,则事件A包含的基本事件构成的平面区域为(x,y)5≤∴阴影部分的面积为S阴影=12×13+56由几何概型概率公式可得P(A)=S阴影S矩形=77.在圆C:(x-3)2+y2=3上任取一点P,则锐角∠COP<π6(O为坐标原点)的概率是.答案2解析当∠COP=π6时,OP的方程为x±3y=0,圆心到直线OP的距离d=3又圆C的半径为3,此时弦所对的圆心角为π3,所以所求概率为P=1-π8.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行,当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行,则这只蚊子安全飞行的概率是.

答案π解析设正方体的棱长为2a,其体积V1=(2a)2=8a3,内切球直径为2a,其体积V2=43πR3=43πa3,利用几何概型公式结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率p=9.已知半径为R的圆周上有一定点A,在圆周上等可能地任意取一点与点A连接,则所得弦长介于R与3R之间的概率为.

答案1解析在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,其中满足条件AB弦长介于R与3R之间的弧长为2π3R,则AB弦的长度大于等于半径长度的概率p=2π10.在圆x2+y2=4上任取一点,则该点到直线x+y-22=0的距离d∈[0,1]的概率为.

答案1解析圆心(0,0)到直线x+y-22=0的距离为221+1=2,则直线x+y-22=0与圆x2+y2=4相切,设直线x+y+m=0与直线x+y-22=0的距离为1,则|m+22|2=1,∴如图所示,设直线x+y-2=0与圆交于A,B两点,由题意可得:sin∠OAD=ODOA=12,∴∠OAD=30°,则∠AOB=180°-30°×2=120°,则劣弧AB命题角度4统计图表信息题高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案A解析设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.2.(2017全国Ⅲ·3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳答案A解析由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.3.(2016全国Ⅲ·4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个答案D解析由题图可知,0℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.4.(2015全国Ⅱ·3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D解析由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D错误.典题演练提能·刷高分1.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐,黔东南州以三轮竞演总分排名第一问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数(万人次)的变化情况,从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表,在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中,错误的是()A.旅游总人数逐年增加B.2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C.年份数与旅游总人数成正相关D.从2014年起旅游总人数增长加快答案B解析从题干图表中看出,旅游的总人数逐年增加是正确的;年份数与旅游总人数成正相关,是正确的;从2014年起旅游总人数增长加快是正确的;其中选项B明显错误,故选B.2.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均路程,收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均路程(单位:千米)的数据,绘制了下面的折线图.根据折线图,下列结论正确的是()A.月跑步平均路程的中位数为6月份对应的路程B.月跑步平均路程逐月增加C.月跑步平均路程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均路程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳答案D解析由题干折线图知,月跑步平均路程的中位数为5月份对应的路程;月跑步平均路程不是逐月增加的;月跑步平均路程高峰期大致在9,10月份,故A,B,C错.故选D.3.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是()答案D解析根据四个等高条形图可知,图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大,它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选D.4.为了解学生在课外活动方面的支出情况,抽取了n个同学进行调查,结果显示这些学生的支出金额(单位:元)都在[10,50],其中支出金额在[30,50]的学生有117人,频率分布直方图如图所示,则n=()A.180 B.160 C.150 D.200答案A解析[30,50]对应的概率为1-(0.01+0.025)×10=0.65,所以n=1170.655.“搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图,下列结论正确的是()A.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B.这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的方差小于11月份的方差D.从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值答案D解析根据走势图可知:这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化,A错;这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定,B错;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的搜索指数的稳定性小于11月份的搜索指数的稳定性,所以去年10月份的方差大于11月份的方差,C错;从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值,D正确,故选D.6.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各50人;男性60人,女性40人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别有关C.倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数答案C解析由比例图,可得是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关,倾向选择不生育二胎的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数,倾向选择生育二胎的人员中,男性人数为0.6×60=36,女性人数0.6×40=24,不相同.故选C.7.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据,绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据该折线图,下列结论错误的是()A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D.最低气温低于0℃的月份有4个答案D解析由图可以看出,当最低气温较大时,最高气温也较大,故A正确;10月份的最高气温大于20℃,而5月份的最高气温不超过20℃,故B正确;从各月的温差看,1月份的温差最大,故C正确;而最低气温低于0℃的月份是1,2,4三月份,故D错,选D.8.某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下,通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差.①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩②B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班的平均成绩③A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差④B班数学兴趣小组成绩的标准差大于A班成绩的标准差其中正确结论的编号为()A.①④ B.②③C.②④ D.①③答案A解析A班平均值78,标准差11.03.B班平均值66,标准差13.24,故A班平均值高,标准差小,故选A.9.空气质量指数(简称:AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数,空气质量按照AQI大小分为六级:[0,50)为优,[50,100)为良,[100,150)为轻度污染,[150,200)为中度污染,[200,250)为重度污染,[250,300)为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数,根据图表,下列结论错误的是()A.在北京这22天的空气质量中,按平均数来考察,最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B.在北京这22天的空气质量中,有3天达到污染程度C.在北京这22天的空气质量中,12月29日空气质量最好D.在北京这22天的空气质量中,达到空气质量优的天数有6天答案C解析因为97>59,51>48,36>29,68>45,所以在北京这22天的空气质量中,按平均数来考察,最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量,即选项A正确;AQI不低于100的数据有3个:143,225,145,所以在北京这22天的空气质量中,有3天达到污染程度,即选项B正确;因为12月29日的AQI为225,为重度污染,该天的空气质量最差,即选项C错误;AQI在[0,50)的数据有6个:36,47,49,48,29,45,即达到空气质量优的天数有6天,即选项D正确.故选C.10.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况,以及重要商品库存变化的动向,中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查,制定了中国仓储指数.由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数,绘制出如下的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是()A.2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B.2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55C.2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D.2016年1月至4月的仓储指数相对于2017年1月至4月,波动性更大答案D解析2016年各月的仓储指数最大值是在11月份,所以A错误;由题图可知,2017年1月至7月的仓储指数的中位数约为53,所以B错误;2017年4月的仓储指数的平均数为51+552=由题图可知,2016年1月至4月的仓储指数比2017年1月至4月的仓储指数波动更大,故选D.命题角度5条件概率、相互独立事件与二项分布、正态分布高考真题体验·对方向1.(2015全国Ⅰ·4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案A解析由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=2.(2015湖南·7)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2386 B.2718 C.3413 D.4772附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.答案C解析由于曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线,所以P(-1<X<1)=0.6826,由正态分布密度曲线的对称性知P(0<X<1)=0.3413,即图中阴影部分的面积为0.3413.由几何概型知点落入阴影部分的概率P=0.34131=0.3413.因此,落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413=34133.(2019全国Ⅰ·15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.

答案0.18解析前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.典题演练提能·刷高分1.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”,若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为25和3A.215 B.25 C.1925答案C解析两户中至少有一户获得扶持资金的概率p=252.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.56 B.0.336 C.0.32 D.0.224答案D解析该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×(1-0.6)=0.224,选D.3.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2),若ξ在(-∞,-1)内取值的概率为0.1,则ξ在(0,1)内取值的概率为()A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1答案B解析∵ξ服从正态分布N(0,σ2),∴曲线的对称轴是直线x=0,∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1,∴ξ在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B.4.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A=“第一次取到的是奇数”,B=“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)=()A.12 B.25 C.310答案A解析由题意得P(A)=C51C81A92=59,P(AB)=C5.为弘扬我国优秀的传统文化,市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试,经过大数据分析,发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16).试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为()A.0.13% B.1.3% C.3% D.3.3%答案A解析由题意,μ=78,σ=4,在区间(66,90)的概率为0.9974,成绩不小于90的学生所占的百分比为12(1-0.9974)=0.13%,故选A6.先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=()A.13 B.14 C.15答案A解析设事件A为“x+y为偶数”中包含的基本事件为(1,3),(1,5),(1,1),(3,3),(5,5),(3,1),(5,1),(5,3)(3,5),(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共18个,事件A中含有的B事件为(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4),共有6个,所以P(B|A)=618=7.已知随机变量ξ~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()注:P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.A.6038 B.6587 C.7028 D.7539答案B解析∵随机变量ξ~N(1,1),∴P(0<ξ<1)=12P(μ-σ<ξ<μ+σ)=34.∴S阴影=12-0.3413=0.6587,∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.6587=6587(个).选B.8.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有()(附:若X服从N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544)A.3413件 B.4772件C.6826件 D.8185件答案D解析由题意可得,该正态分布的对称轴为x=100,且σ=2,则质量在[96,104]内的产品的概率为P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544,而质量在[98,102]内的产品的概率为P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,结合对称性可知,质量在[98,104]内的产品估计有0.6826+0.9544-0.68262=0.8185,据此估计产品的数量为10000×09.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502).记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)()A.0.9772 B.0.6826C.0.9974 D.0.9544答案A解析∵随机变量X服从正态分布N(800,502),∴μ=800,σ=50,∴P(700<X≤900)=0.9544,∴根据正态分布的对称性可得p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=12+12P(700<X≤900)=12+12×命题角度6期望与方差的求解高考真题体验·对方向1.(2019浙江·