高考数学大二轮复习 能力升级练（六）解三角形 文-人教版高三数学试题

能力升级练(六)解三角形一、选择题1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=()A.π6 B.C.2π3 D解析在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cos∠BAC=b2+c由A∈(0,π),得A=2π即∠BAC=23π答案C2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b=(A.2 B.3C.2 D.3解析由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×23,解得b=3,或b=-13答案D3.(2019山东潍坊一模)若角α的终边过点A(2,1),则sin32π-αA.-255 B.C.55 D.解析由三角函数定义,cosα=25则sin32π-α=-cos答案A4.若tanθ=-13,则cos2θ=(A.-45 B.-C.15 D.解析cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos答案D5.(2019广东深圳模拟)一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为()A.4003m B.400C.20033m D.解析如图所示.在Rt△ACD中可得CD=20033在△ABE中,由正弦定理得ABsin30则AB=2003所以DE=BC=200-2003=答案A6.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos2B2所以2cos2B2-1=a+所以cosB=ac所以a2所以c2=a2+b2.所以△ABC为直角三角形.答案B7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为()A.33 B.C.36 D.解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA=12又b2+c2-a2=8,∴cosA=b2则cosA>0.∴cosA=32即4bc=32∴△ABC的面积S=12bcsinA=1答案B8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.102海里 B.103海里C.203海里 D.202海里解析如图所示,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理,得BCsin30解得BC=102(海里).答案A9.(2019山东济宁模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π3,3sin2CcosC=2sinAsinBA.2 B.3C.4 D.6解析在△ABC中,A=π3,b=∴a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,①又3sin2CcosC=∴3c2cosC即cosC=3c∴a2+36=4c2,②由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.答案C二、填空题10.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为米.

解析连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos60°,即OC=507.答案50711.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=22,cosA=34,sinB=2sinC,则△ABC的面积是.解析由sinB=2sinC,cosA=34,A为△ABC可得b=2c,sinA=1-∴由a2=b2+c2-2bccosA,可得8=4c2+c2-3c2,解得c=2,则b=4.∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×答案712.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=.

解析在△ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-252×在△ABC中,由正弦定理可得ABsin则AB=ACsin答案513.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若sinAsinB=5c2b,sinB=74,S△解析由sinAsinB即a=52c,由S△ABC=12acsinB=574,sinB=74,得1联立①②,得a=5,c=2.由sinB=74且B为锐角,得cosB=34,由余弦定理,得b2=25+4-2×5×2×34=14,答案14三、解答题14.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10000m,速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为多少米?(取2≈1.4,3≈1.7)解如图,作CD垂直于线段AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,AB=50×420=21000(m).又在△ABC中,BCsin所以BC=2100012×sin15°=10500(6因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC=10500(6-2)×22=10500(≈7350(m).故山顶的海拔高度为10000-7350=2650(m).15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=π6,求A,C(2)若C=2π3,c=14,求S△解(1)由已知B=π6,a2-ab-2b2=0结合正弦定理,得sin2A-sinAsinπ6-2sin2π6=0,化简整理,得2sin2A-sinA-于是sinA=1或sinA=-12(舍)因为0<A<π,所以A=π2又A+B+C=π,所以C=