高二（上）期末数学试卷（理科）

高二(上)期末数学试卷(理科)

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题(共6题，共30分)

1、设fn(x)是等比数列1,-x,x2,(-x)n的各项和，则f2016(2)等于()

22016+1

A.~3-

22016-1

B.-3~

22017+1

C.~3-

22017—1

D.-3~

【考点】

【答案】C

【解析】解：,.,fn(x)是等比数列1,-x,x2,…，(-x)n的各项和，x于-1时,.'.fn(x)=1+x.

1-(-2产23017+1

.'.f2016⑵=1+2=-3~.

故选：C.

【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列｛an｝的前n项和sn与

通项an的关系'KN2)..

2、已知f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1,若用秦九韶算法求f(5)的值，下面说法正确的是()

A.至多4乘法运算和5次加法运算

B.15次乘法运算和5次加法运算

C.10次乘法运算和5次加法运算

D.至多5次乘法运算和5次加法运算

【考点】

【答案】D

【解析】解：多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1=((((5x+4)x+3)x+2)x+1)x+1,发现要经过5

次乘法5次加法运算.

故需要做乘法和加法的次数分别为：5、5

故选：D.

【考点精析】解答此题的关键在于理解秦九韶算法的相关知识，掌握求多项式的值时，首先计算最内

层括号内依次多项式的值，即v仁anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，把n次多项式的求值

问题转化成求n个一次多项式的值的问题.

1

3、AABC的两边长为2,3,其夹角的余弦为手，则其外接圆半径为()

9"

A.~

9"

B.4

9"

C.丁

2M

D.于

【考点】

【答案】C

1

【解析】解：AABC中，a=2,b=3,且cosC=3由余弦定理可知

c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2X2X3X=9,

.'.c-3；

2*2叵

又sinC=9=3,

...由正弦定理可知外接圆半径为

3

1c2/9M

R=2xsinC=x3=8.

故选：C.

【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定

—^―=—^―=~^—=2R

理：sindsinJsmC.

4、已知集合凶二仅|3*-*2>0},N={x|x2-4x+3>0},贝IjMClN;()

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(0,3)

D.(3,+8)

【考点】

【答案】A

【解析】解：由M中不等式变形得：x(x-3)<0,解得：0<x<3,即M=(0,3),

由N中不等式变形得：(x-1)(x-3)>0,

解得：xV1或x>3,即N=(-8,1)U(3,+8),

则MDN=(0,1),

故选：A.

【考点精析】通过灵活运用集合的交集运算，掌握交集的性质：(1)AABA,APBB,AAA=A,

AH=,AnB=BQA;(2)若ACB=A,则AB,反之也成立即可以解答此题.

5、甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近，为了判断甲、乙两名同学成绩哪个稳定，需要

知道这两个人的()

A.中位数

B.众数

C.方差

D.频率分布

【考点】

【答案】C

【解析】解：在A中，中位数像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的

“中等水平”.故A不成立；

在B中，众数反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”，故B不成立；

在C中，方差是样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数，方差是衡量一个样本波动大小的

量，故C成立；

在D中，频率分布反映数据在整体上的分布情况，故D不成立.

故选：C.

【考点精析】通过灵活运用平均数、中位数、众数，掌握⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据

集中趋势的量；⑵平均数、众数和中位数都有单位；⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的

每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数

据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据即可以解答此题.

6、双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为()

B.事

0.2

3

D.2

【考点】

【答案】A

【解析】解：设双曲线方程为『京口，则双曲线的渐近线方程为y=±ax..•两条渐近线互相垂直,

X(-)=-1

.'.a2=b2,

C/Q2+b之二在a

.*.e=a=

故选A

二、填空题(共3题，共15分)

7、4ABC的两个顶点为A(-1,0),B(1,0),ZkABC周长为6,则C点轨迹为.

【考点】

x2y2

【答案】以A,B为焦点的椭圆(除去椭圆与x轴的交点)，方程为彳+7=1()'"°)

【解析】解：...△ABC的两顶点A(-1,0),B(1,0),ZiABC周长为6,.・.AB=2,BC+AC=4,•.14>2,

•••点C到两个定点的距离之和等于定值，点0满足椭圆的定义，

...点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除去椭圆与x轴的交点)，

；.2a=4,2c=2,.'.a=2,c=1,b=6,

椭圆的标准方程是，

所以答案是以A,B为焦点的椭圆(除去椭圆与x轴的交点)，方程为.

y<x

{x+y<i且z=2x+y

8、若变量x,y满足约束条件y之一1的最大值=

【考点】

【答案】3

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=-2x+z,

平移直线y=-2x+z,

则当直线y=-2x+z经过点A(2,-1)时，直线的截距最大，

此时z最大，

此时z=3,

所以答案是：3；

9、设方程f(x,y)=0的解集非空.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确

的，有下面5个命题：①坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上；

②曲线C上的点的坐标都不满足f(x,y)=0；

③坐标满足f(x,y)=0的点不都在曲线C上；

④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x,y)=0；

⑤坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上.

则上述命题正确的是.(填上所有正确命题的序号)

【考点】

【答案】③④

【解析】解：..•命题"坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不正确，.•・命题"坐标满足方程f

(x,y)=0的点不都在曲线C上”正确，

即“至少有一个不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x,y)=0".

所以答案是：③④

【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假

性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题.

三、解答题(共5题，共25分)

:^+pr=l(a>d>0)坐

10、已知椭圆C川的离心率为2,点四个在椭圆C上.直线I过点(1,1),且

与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M.(I)求椭圆C的方程；

(II)点0为坐标原点，延长线段0M与椭圆C交于点P,四边形0APB能否为平行四边形？若能，求出

此时直线I的方程，若不能，说明理由.

【考点】

CW

0=-=----

a2

7+4?=1

a5+d5=e2

【答案】解：(I)由题意得，解得於…2,所以椭圆c的方程为

(II)四边形0APB能为平行四边形，分2种情况讨论：

①当直线I与x轴垂直时，直线I的方程为x=1满足题意；

②当直线I与x轴不垂直时，设直线I：y=kx+m,显然k/0,m*0,A(x1,y1),B(x2,y2),

M(xM,yM).

将y=kx+m代入.得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

A=(Stow)5-4+xi=

故"2-4P71加―=岛

卜*=2xu

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段0P互相平分，即

f8AwY

+

则4

由直线I:y=kx+m(k=#0,m*0),过点(1,1),得m=1-k.

(164+4)(7):

则Y炉+】)，

则(4k2+1)(8k-3)=0.

则gg.满足△>().

=3x+5

所以直线I的方程为‘一§§时，四边形OAPB为平行四边形.

综上所述：直线I的方程为或x=1

C和

e=a=T

C31

【解析】(I)根据题意，可得+屈=《2,解得@2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；

(II)根据题意，分2种情况讨论，(1)当直线I与x轴垂直时，分析可得直线I的方程为x=1满足题意;

(2)当直线I与x轴不垂直时，设直线I为y=kx+m,分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入7+3，=1.得

(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅

8km2

一款2+1)2m；_]

当线段AB与线段0P互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得—5—+(4k2+P-，进而

(16/c2+4)(l-k)2_]

分析可得dd+l)。，解可得k、m的值，即可得答案.

11、设数列｛an｝是公差为d的等差数列.(I)推导｛an｝的前n项和Sn公式；

(II)证明数列I"J是等差数列.

【考点】

【答案】(I)解:Sn=a1+a2+a3+'"+anSn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+"-+[a1+(n-1)d]①,Sn=an+(an

-d)+(an-2d)+",+[an-(n-1)d]②

吵

(||)+②得2Sa=…

2

（II）证明：,•

$=■+4=q

当n=1时，12

S-Si_ai+%勺+〜—/一、/

当n22时，nn-12222,

，数列为公差的等差数列

又+an

【解析】（I）由等差数列的性质，利用“倒序相加”即可得出；（II）.=2,利用递推关系、等差

数列的定义即可证明.

【考点精析】掌握等比关系的确定和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道等比数列可以通过

定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公

式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

12、小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频

数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下：

（I）求小王这8天“健步走”步数的平均数；（II）从步数为17千步，18千步，19千步的几天中

任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概

16x3+17x2+18x1+19x2

=1725

【答案】解：（I）小王这8天每天“健步走”步数的平均数为8（千

步）（II）设小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件A.

“健步走”17千步的天数为2天，记为a1,a2,“健步走”18千步的天数为1天，记为b1,“健

步走”19千步的天数为2天，记为c1,c2.

5天中任选2天包含基本事件有：a1a2,a1b1,a1c1,a1c2,a2b1,a2c1,a2c2,b1c1,

b1c2,c1c2,共10个.

事件A包含基本事件有：b1c1,b1c2,c1c2共3个.

所以10

【解析】（I）由已知条件利用平均数公式能求出小王这8天每天“健步走”步数的平均数.（II）设小王

这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件A.“健步走”17千步的天数为2天，记为

a1,a2,“健步走”18千步的天数为1天，记为b1,“健步走”19千步的天数为2天，记为c1,

c2.利用列举法能求出小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.

【考点精析】掌握频率分布直方图是解答本题的根本，需要知道频率分布表和频率分布直方图，是对

相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通

过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息.

AB=AD=\:D

13、在四棱锥P-ABCD中，平面PADJ■平面ABCD,4PAD为等边三角形，2,AB_LAD,AB〃CD,

点M是PC的中点.⑴求证：MB〃平面PAD；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

【考点】

RHMICD,HM=-CD

【答案】证明：(I)取PD中点H,连结MH,AH.因为M为4v=7,中点，所以2

ABICD,AB=-CD

因为2.所以AB〃HM且AB=HM.

所以四边形ABMH为平行四边形，所以BM〃AH.

因为BM6平面PAD,AHu平面PAD,

所以BM〃平面PAD.

解：(II)取AD中点0,连结P0.

因为PA=PD,所以P0_LAD.

因为平面PADJ■平面ABCD,

平面PADCI平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以PO_L平面ABCD.取BC中点K,连结OK,则冰〃AB.

以。为原点，如图建立空间直角坐标系，

设AB=2,则HLao)，R(L2.o).c(T4⑼皿-iAo),p(oa£)

就=(-220)万=(L2,一招)

平面BCD的法向量有)，

设平面PBC的法向量”=(XJ*),

BC-n=0-2x+2y=0

由i而S=。，得1+2尸辰=。令则7=(11凡

COS<OP,n>|肾二=半

丽5

由图可知，二面角P-BC-D是锐二面角,

岳

所以二面角P-BC-D的余弦值为5.

C

【解析】(I)取PD中点H,连结MH,AH.推导出四边形ABMH为平行四边形，从而BM〃AH,由此能证明

BM〃平面PAD.(II)取AD中点0,连结P0.以0为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面

角P-BC-D的余弦值.

【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此

平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，