柱、锥、台的表面积与体积习题(有答案)

第一章空间立体几何初步1.3空间几何体的外表积与体积柱、锥、台的外表积与体积测试题知识点1柱、锥、台的外表积1．正六棱柱的高为h，底面边长为a，那么它的外表积为()A．3eq\r(3)a2＋6ahB.eq\r(3)a2＋6hC．4eq\r(3)a2＋6ahD.eq\f(3,2)eq\r(3)a2＋6ah2．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为()A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．1∶33．一个几何体的三视图如下图，该几何体的外表积是()A．372B．360C．292D．4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的外表积与侧面积之比为()A.eq\f(1＋2π,2π)B.eq\f(1＋4π,4π)C.eq\f(1＋2π,π)D.eq\f(1＋4π,2π)5．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，那么它们的外表积之比为________．6．如下图的圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，那么圆台的侧面积为________．7．一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，那么圆锥的底面面积是________．8.如图，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的外表积为多少？9．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的外表积是多少？(结果保存π)10.一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值．知识点2柱、锥、台的体积11．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.eq\f(2\r(3),3)πB．2eq\r(3)C.eq\f(7\r(3),6)πD.eq\f(7\r(3),3)π12．(2014·课标全国卷Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，那么切削掉局部的体积与原来毛坯体积的比值为()A.eq\f(17,27)B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)13．(2014·日照高一检测)某几何体的三视图如图，那么它的体积是()A．8－eq\f(2π,3)B．8－eq\f(π,3)C．8－2πD.eq\f(2π,3)14．(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.假设它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，那么eq\f(V1,V2)的值是________．15．半径为2的半圆卷成一个圆锥，那么它的体积为________．16．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图，AA1＝3.(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的外表积和体积．17．如图，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的外表积和体积．【参考答案】1A【解析】柱体的外表积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其外表积为S侧＋2S底＝3eq\r(3)a22B【解析】以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以2所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，选B.3B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其外表积等于下面长方体的全面积与上面长方体的四个侧面积之和．S＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.应选B.4A【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，那么有h＝2πr，所以外表积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.52∶1【解析】S圆柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋2π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圆锥＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.6100π【解析】设圆台的上底半径为r，那么下底半径为4r，高为4r.由母线长为10可知10＝eq\r(〔3r〕2＋〔4r〕2)＝5r，∴r＝2.故圆台的上、下底半径和高分别为2，8，8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.7eq\f(S,2)【解析】如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)l2＝S，,πl＝2πr.))解得r＝eq\r(\f(S,2π))，所以底面积为πr2＝π×eq\f(S,2π)＝eq\f(S,2).8【解】几何体的外表积为：S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.9【解】如下列图所示，设圆台的上底面周长为ccm，上、下底面半径分别为r1cm，r2cm，那么r1＝10，r2因为扇环的圆心角是180°，所以c＝π·SA.又c＝2π·10＝20π，所以SA＝20.同理SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20.S外表积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．答：圆台的外表积为1100πcm2.10【解】(1)圆锥的母线长为eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)cm，∴圆锥的侧面积S＝π×2×2eq\r(10)＝4eq\r(10)πcm2.(2)画出轴截面如下图：设圆柱的半径为r.由题意知：eq\f(r,2)＝eq\f(6－x,6)，∴r＝eq\f(6－x,3)，∴圆柱的侧面积S＝2πrx＝eq\f(2π,3)(－x2＋6x)，∴当x＝3cm时，S最大＝6πcm2.11D【解析】S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.应选D.12C【解析】由三视图可知几何体是如下图的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm，底面半径为2cm，右面圆柱的高为2cm，底面半径为3cm，那么组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，那么所求比值为eq\f(54π－34π,54π)＝eq\f(10,27).13A【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为2×2×2＝8，圆锥的体积为eq\f(1,3)π×2＝eq\f(2π,3)，所以该几何体的体积为8－eq\f(2π,3)，选A.14.eq\f(3,2)【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，那么eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，那么eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2).15eq\f(\r(3),3)π【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如下图，设圆锥底面半径为r，高为h，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2πr＝2π，,h2＋r2＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,h＝\r(3).))∴它的体积为eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.16【解】(1)直观图如下图．(2)由题意可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4).S侧＝3AC×AA1＝3×3×3＝27.故这个三棱柱的外表积为27＋2×eq\f(9\r(3),4)＝27＋eq\f(9\r(3),2).这个三棱柱的体积为eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(27\r(3),4).17【解】在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.∴CD＝eq\f(12,5)，记为r＝eq\f(12,5)，那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝eq\f(12,5)，母线长分别是AC＝3，BC＝4，∴S外表积＝π