信号理论(总结)

信号理论及应用（总结）内容：信号基本概念信号理论的数学基础信号变换信号空间理论的应用现代信号分析方法基本要求：基本思想信号分析和处理的基本方法信号分析方法应用实信号的复数表示：正交化方法解析信号方法带通线性系统的复数表述：线性系统的频域分析法脉冲相应频率特性随机信号的复数表示：将对确定信号与线性系统的复数表示方法应用到平稳随机过程。信号的特征表示：信号的时域描述

信号波形的时域特征：平均时间（时间中心）：持续时间(时宽）：任意时间函数的平均值：信号的频域描述

信号波形的频域特征：平均频率（中心频率）：带宽：任意频率函数的平均值：频率参数的计算方法：信号的瞬时特征：怎样定义信号的瞬时频率？平均频率:瞬时频率:瞬时频率定义的讨论：物理意义？合理性？瞬时频率的讨论：瞬时频率的悖论。瞬时频率可以不是信号频谱之一。线状频谱的信号，瞬时频率可以是连续的。解析信号的瞬时频率可以是负的。对带限信号，瞬时频率可以在带宽之外。第五个谬误的地方局部意义下的瞬时频率，需要知道全部信号才能计算。群延迟：频率信号的一个重要瞬时参数。平均时间:群延迟:Heisenderg不确定原理:更精确的不确定原理：第二章信号空间

--------信号理论的数学基础集合论基础集合:

具有某种特定性质的事物的总体。

信号的集合表示：正弦信号周期信号能量有限信号带宽有限信号关系:元素与集合的关系属于不属于

集合与集合之间的关系

包含

集合的划分和等价：划分：

S=S1∪S2∪S3……等价：

集合元素间的一种关系

记作～.

满足：自反性：x～x

对称性：x～yy～x

传递性：x～y与y～zx～z集合的运算：并集：

以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集）；记作A∪B（或B∪A）交集：

以属于A且属于B的元素构成的集合。

记作A∩B（或B∩A），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}映射定义集合上的运算：群一个集合X,在这个集合上有一个被称作乘法的内部运算。且满足：

环

一个集合X,在这个集合上有两个分别被称作乘法与加法的内部运算。且满足：环的恒等元Abel环在乘法运算下，还是一个Abel群的环。域一个具有恒等元的环，且满足除零（加法的恒等元）以外的所有元素都有逆元。模在一个Abel群上再加上一个被称为数乘的外部运算。代数 一个在具有恒等元的环R上的模A，再加上一个内部可结合运算（乘法）。

Lebesgue积分学定理

Riemann积分与Lebesgue积分f(x)xRiemann积分xLebesgue积分f(x)实变函数介绍：几乎处处收敛：

控制收敛定理Fubili定理距离空间（度量空间）距离的定义{A，d}称为距离空间赋范线性空间

设X是一个线性空间，若存在X上的一个泛函，满足：非负性:齐次性：三角不等式：则称X是赋范线性空间。内积空间

设X是一个复线性空间，若存在一个二元映射<.,.>，满足：线性性:<au+bv,w>=a<u,w>+b<v,w>对称性：<u,v>=<v,u>非负性：则称X是一个内积空间。赋范线性空间中的收敛概念：完备性：完备的赋范线性空间称为Banach空间。信号空间的不等式和正交概念：勾股定理合理性？第三章信号的矢量表示线性独立、基和维数:线性独立（线性空间的概念）

线性独立保证表示的唯一性。基

空间的最大线性独立组线性空间的基不是唯一的。维数

最大线性独立组中矢量的个数。分析：解线性方程组矩阵表示：称a为信号x的矢量表示（相对基φ）正交基：双正交性双正交基（逆转基）：L2空间信号的最佳逼近和投影定理：问题有限维空间M以外的信号如何表示：思路有限维空间以外的信号用距离最近的M中信号表示。投影定理：最小均方下的最佳逼近多维空间中的最佳逼近：问题的描述：？证明：正交投影的计算：解线性方程组基的正交化：Gram-Schmidt正交化过程问题：

找一组两两正交的单位矢量e1

e2

en

使e1

e2

en与a1

a2

an等价。称为把a1

a2

an规范正交化问题。随机信号的正交展开：希望能通过一组规范正交基来表征随机信号。用一组随机变量表示随机信号。第四章信号空间的线性算子信号处理系统由完成各种基本运算的部件组成。

（放大、滤波、调制、检测…）

S信号离散表示推广到连续函数。1.信号的积分变换与表示:积分变换核函数可逆性分析：可逆条件自对偶2.线性变换（线性算子）定义线性算子的运算（加、数乘）线性算子的范数（赋范线性空间）线性算子空间构成一个代数。（算子乘法）线性变换（线性算子）空间线性算子空间线性算子的范数线性算子的全体构成赋范线性空间。线性算子范数的其他表述3.有限维内积空间的线性算子空间的基基的变换响应4.L2空间的线性算子输入信号输出信号t:自变量s:参变量L2空间的线性算子的三种表示：信号变换基变换分量密度函数变换线性算子的第三种表示：变换核函数5.线性算子的实例非时变算子恒等算子乘法器微分算子时间平均算子理想滤波算子匹配滤波（相关）算子6.L2空间线性算子的有限维近似如何解决无限维空间上算子实现的困难？思路1：将线性算子的定义域限制在有限维空间上；7.算子的谱表示算子的特征值特征矢量什么是算子的最佳表示方式？算子的表示和实现将非常简单！伴随算子伴随算子算子特征值和特征矢量的计算怎样确定特征值和特征矢量？算子特征值和特征矢量的计算矩阵的特征值和特征矢量求解第五章信号空间理论的应用信号的数字特征信号的泛函信号、系统的最优设计泛函极值问题怎么得到？1.线性泛函具有运算线性性的泛函定义：内积空间中线性泛函的表示方式？由内积导出的泛函有界性连续性定理：

Hilbert空间中任意连续线性泛函均可表示为内积形式。唯一；变换核

在信号处理中，意味作什么？2.双线性泛函与二次泛函具有双线性性的二元泛函定义：内积是双线性泛函定理：

Hilbert空间中任意连续双线性泛函均可表示为：

在信号系统中，滤波器是其中重要部件之一。

滤波器的作用：

增强信号抑制噪声

3.最佳滤波器设计问题信号检测性能取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比。（信噪比）信噪比越大，错误判决的概率就越小；信噪比越小，错误判决概率就越大。目标：设计滤波器，使输出信号的信噪比最大。4.信号分辨理论（模糊函数）信号可分辨程度的度量距离：差异由什么造成？影响信号分辨能力的因素有哪些？

物理意义？信号质量检测方法信号形式模糊函数两个目标回波复包络的时间-频率复合自相关函数。第六章信号的时频分布时频分布的基本思想：建立一个函数，使其能够同时用时间和频率来描述信号的能量密度分布。这个函数还能提供计算能量密度分布的方法。能量密度分布的条件：边缘条件：时间和频率位移不变性时域位移不变性频域位移不变性线性尺度变换：瞬时频域与群延迟：短时傅立叶变换——对Fourier变换的修补频谱图Wigner_Ville分布的定义Wigner_Ville分布的问题：非负性问题

Wigner_Ville分布丢掉了作为能量密度分布的一个基本性质。

非负性不成立。Wigner_Ville分布的问题：交叉项干扰问题

交叉项抑制方法：加窗称为伪Wiger_Vill