“数与代数”内容变化及教学建议

“数与代数”内容变化及教学建议

作者:邳州市教育局教研室聂艳军

【编者按】《义务教育数学课程标准（2011年版）》对数学教育基本理念、

数学课程目标和各学段课程内容等进行了完善和修订。为了帮助教师学习和研究

修订后的数学课程标准，我们对数学课程四个内容领域的具体变化进行了对比分

析，并提出相应的教学建议。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新标准”）关于“数

与代数”领域的内容结构没有变化，但“数的认识”“数的运算”“式与方程”

的内容发生了一定的变化。

一、“数的认识”内容变化及教学

1.内容变化情况。

主要有三个方面的变化：一是内容有所增加。第一学段增加了“知道用算盘

可以表示多位数”，“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同

分母分数的大小”。第二学段增加了“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和

最大公因数”。二是要求适当调整，并使用新标准规定的课程目标术语，使得要

求更加明确。例如，第一学段将''认识符号V,=,＞的含义”调整为“理解符

号V,=,＞的含义”；将“识别各数位上的数字表示的意义”调整为“理解各

数位上的数字表示的意义”。三是要求表述进一步准确、完整。例如，在第一学

段中，将“能认、读、写万以内的数”修改为“在现实情境中理解万以内数的意

义，能认、读、写万以内的数”；在第二学段中，将“能运用数表示日常生活中

的一些事物，并进行交流”修改为“会运用数描述事物的某些特征，进一步体会

数在日常生活中的作用”；将“进一步认识小数和分数，认识百分数”修改为“结

合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义”。

“数的认识”内容变化表现出三方面特点：一是突出数概念在小学数学中的

核心地位。自然数、整数、小数、分数、百分数等，都是小学数学中最基本的概

念，这些概念都是学生今后构建“概念网络图”、学习数的运算、研究数量关系

的重要基础，是小学数学中的核心内容。新标准的修改有利于增强内容标准的可

操作性，让课程目标切实得以落实。二是突出理解数的意义是认数教学的重点。

新标准在继承从数的含义、计数技能、数的相对大小关系、用数进行交流等方面

理解数的意义的基础上，进一步丰富学习的途径与内容。例如，引入认数工具算

盘，有利于学生了解十进制计数法，了解祖国的传统文化；把比较两个一位小数

的大小、比较两个同分母分数的大小单列出来，有利于学生在比较活动中进一步

加深对一位小数和同分母分数意义的理解；增加了解公倍数、最小公倍数、公因

数、最大公因数的学习，不仅是建立正确数概念的需要，也是学生后面正确开展

相关数学活动的需要；强调结合具体情境认识数，不仅能让学生感受数学与生活

的联系，而且有利于学生体会数的意义和作用，增强应用数的意识。三是突出数

感的学习与培养。数感是数学课程内容的核心之一。数感是指关于数与数量、数

量关系、运算结果估计等方面的感悟。新标准在“数的认识”学习中，处处体现

出对学生数感的培养。在现实情境中认数、读数、写数，感受数值大小，体会数

的量化功能，不仅有利于学生加深对数的意义的理解，也给学生体会数用来表示

和交流的作用、初步建立数感提供了机会；在具体情境中感受大数的意义，开展

估计活动，在数量与它们所表示的实际含义建立起联系，能使学生加深对大数的

感觉。

2.教学中需要注意的问题。

“数的认识”在小学主要分为认识整数、认识分数（正分数）和认识小数三

大块。第一学段认识万以内的整数，初步认识小数和分数；第二学段认识万以上

的整数，了解倍数和因数、质数和合数，进一步认识小数、分数和百分数，了解

负整数，从而完成有理数系的认识。教学时，要理清每部分内容编排的线索，把

握内容的梯度。教学中，还要注意以下几点：

（1）把握认数的本质。

华罗庚先生说：“数起源于数，量起源于量。”数和量都离不开单位。自然

数是“十进位值制”的，不同计数单位与其个数的累加就构成了全部的自然数，

例如，2048=2X1000+0X100+4X10+8X1；小数也是如此，其累加的过程与自然

数基本相同，只不过分''有限次累加”和“与无限次累加”两类；分数也是其分

数单位累加的结果，即先有“分数单位”，再数出单位的个数，个数与分数单位

相乘的结果就是“分数”。这样看待“数”，全部“数”的构成与结构就都一致

了。进而，我们就能理解“加减法计算的本质就是相同计数单位'个数'相加减”。

（2）让学生在具体情境中认数。

实践证明，理解数的意义，既需要从数的组成去建构，又需要联系实际来体

会。教学数的认识，要把丰富多彩的现实世界当作学生学习数学的背景，引导学

生在具体情境中感受数的意义。如，认识整数时，选择现实的、有趣的素材，组

织学生在具体情境中认数、读数、写数，感受数值大小，体会数的量化功能，有

利于学生加深对数的意义的理解，同时也给学生体会数用来表示和交流的作用、

建立数感提供机会；初步认识小数时，创设学生熟悉的生活情境，能有效激活学

生已有的经验，促进学生对小数含义的领会；认识百分数时，让学生解释每个百

分数在具体情境中的含义，举出生活中见到过的百分数并进行解释，学生在交流

中能深化对百分数的认识。

（3）借助直观手段教学认数知识。

数是比较抽象的数学概念，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教

学的难度。以认识整数为例，了解十进制计数法教学的重点，十进制计数法的主

要内容有两部分：一是计数单位及每相邻两个计数单位间的关系；二是计数法的

位值原则。教学中，一方面可以引导学生操作实物、小棒、小方块等学具，认识

计数单位，体会计数单位之间的十进关系；另一方面，通过引进计数器、算盘等

认数工具，能帮助学生理解位值原则（同一个数字在不同的数位其意义不同，它

表示的是不同计数单位的个数），逐渐扩展数位顺序表。再以认识小数、分数为

例，如果用正方形表示整数“1”，要求学生用小数、分数表示其中的一部分，

能促进学生对小数、分数意义的理解；“数轴显示了数的存在性及其内部结构”，

在数轴上建立点与相应的小数、分数的联系，不仅有助于学生理解数的意义，而

且有助于沟通整数、小数、分数之间的联系，体会数的稠密性、无限性。

（4）设计活动，促进学生意义建构。

学生对数概念的意义建构，离不开教师对数学活动的科学设计。以分数初步

认识为例，为了让学生理解分数是在平均分的时候产生的数，加深对分数意义的

理解，动手操作（折纸、涂色）应当成为这部分内容学习最基本、最主要的活动。

这种操作活动应置于数学心理学理论的视角下。例如，认识几分之一时，可以利

用变式原理，从不同角度组织感性材料，变换事物的非本质特征，在各种表现形

式中突出事物的本质特征，从而使学生对分数的理解越来越概括；认识几分之几

时，应注意运用迁移原理，在学生原有认知结构中寻找和确定可以固定新知的相

关旧知，促使学生头脑中几分之一的经验向几分之几迁移。

二、“数的运算”内容变化及教学

1.内容变化情况。

主要有以下几方面变化：一是把原来第二学段“能口算百以内一位数乘、除

两位数”调到第一学段，并连同百以内的加减法改为“能口算简单的百以内的加

减法和一位数乘除两位数”。二是内容有所增加。第一学段增加“认识小括号，

能进行简单的整数四则混合运算（两步）"。第二学段增加两条，即“在具体情

境中，了解常见的数量关系：总价=单价X数量、路程=速度X时间，并能解决简

单的实际问题。”“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。”

三是表述有所变动。在第一学段中，将“能结合具体情境进行估算，并解释估算

的过程”修改为“能结合具体情境选择适当的单位进行简单的估算，体会估算在

生活中的作用”；将“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结

果的合理性进行判断”修改为“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并

能对结果的实际意义作出解释”。在第二学段中，将“探索和理解运算律，能应

用运算律进行一些简便运算”修改为“探索并了解运算律（加法的交换律和结合

律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简

便运算”。显然，修改后的表述更加准确、具体，实施过程中更容易操作。

“数的运算”内容调整充分体现继承与创新的和谐统一。一方面，运算能力

是数学能力的重要组成部分，它不仅是解决实际问题的需要，也是学生进一步学

习和发展的需要。课程改革初期,在数的运算教学方面出现一些矫枉过正的行为,

如过分重视算理理解而忽视算法抽象，过分强调算法多样（个性化）而忽视算法

优化（形式化），过分强调联系实际而忽视技能形成，过分强调基于经验而忽视

分析数量关系以及解题思路的形成等，学生的运算能力以及解决问题的能力一度

下滑。修改后的''数的运算”内容标准，彰显对优良传统的继承，一是提高运算

能力的要求。口算方面，把一位数乘、除两位数的口算学习从第二学段下移到第

一学段，“评价建议”中增加了百以内加减法和一位数乘除两位数口算的速度要

求；笔算方面，第一学段增加整数两步四则混合运算学习要求；估算方面，要求

更加明确具体。二是充实数的运算内容。数的运算中充满着数与数、数量与数量

的关系，新标准增加对常见数量关系的学习，突出对连续量和不连续量的数量关

系的形式刻画，提高运用数的运算知识解决简单实际问题的能力。增加“经历与

他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”，在学段目标中强调体验与他

人合作解决问题的过程、对解决问题过程的回顾，突出学生探究的过程、思考的

过程、反思的过程，以帮助学生从中积累数学活动经验，发展数学智慧。

2.教学中需要注意的问题。

（1）引导学生主动建构算法。

重视过程的教育要求教师引导学生经历算法的建构过程，在直接经验的基础

上，抽象概括具有一般意义的算法，积累数学活动经验，感悟数学思想方法。在

引导学生探索算法的过程中，要注意以下几点：一是“情境创设”与“复习铺垫”

的有机融合。学生的学习是一种主动建构的过程，这种建构总是与一定的情境相

联系的，但我们也应看到，计算内容之间具有较强的系统性、连贯性，新知识往

往是旧知识的延伸，必要的复习铺垫有时也是需要的。二是''算法多样"与''算

法优化”的和谐统一。“算法多样化”是学生主动建构算法的具体表现。在提倡

算法多样化的同时，充分利用资源性算法，引导学生抽象概括出一般的算法，也

是教师的重要职责。三是“算理直观”与“算法抽象”的有效联结。计算教学不

仅要让学生知道该怎么计算，还要让学生明白为什么要这样计算，在理解算理的

基础上掌握算法。

（2）尊重规律，有效训练。

新标准在教学建议中强调：“基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适

度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。教师应把握技能形成的阶

段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实”。提高训练的实效性，要

科学安排训练内容。复杂的计算技能一般可以分解为几个单一技能，教师应先对

单一技能进行针对性训练，并组合形成复合技能，然后安排综合练习，逐步达到

正确熟练程度。提高训练的实效性，应注重改善学生的计算心理。例如，传统的

“夺红旗”“开火车”等比赛活动，以趣激练，学生愿意积极投入；学生在计算

过程中，经常出现把算式中的数字、符号抄错，可以呈现一些典型错例，要求学

生纠错、改错，通过信息不断刺激，能让学生养成计算细心的习惯；在应用计算

解决实际问题时，启发学生感受到学习计算是为了解决实际问题，体会正确计算

的重要，增强计算的责任感；依据“评价建议”中对基本运算技能的指标要求，

经常安排计算测查，有利于学生了解自己的计算状况，看到进步、增强信心，等

等。

(3)加强估算教学。

估算是运算能力不可缺失的组成部分。估算教学应注意两点：一是把握估算

教学的阶段要求。结合具体情境，选择适当的单位是第一学段估算的核心。在计

算的估计中，“凑整计算”的内核就是通过选择适当的单位，借助口算估计笔算

结果。例如，学校组织987名学生去公园游玩，公园的门票每张8元，一共需要

多少元？我们可以把987人看成1000人进行估算，这里适当的单位就是“1000

人”。在度量的估计中，选择适当的单位是指确定合适的计量单位。例如，估计

教室的长度时，通常以“米”为单位；估计书本的长度时，通常以“厘米”为单

位。也可以用身边熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等。在解决问题中能

选择合适的方法进行估算是第二学段估算教学的重点。估算的方法既是具体的，

又是灵活的，要能满足解决问题的需要。二是有效开展估算教学。在教学数的认

识、数的运算、常见的量和测量等教学内容时，应有意识地利用数量估计、度量

估计进行估算的渗透，为教学估算作知识准备和思想铺垫；注意让学生在解决实

际问题的过程中体会估算的思想，掌握估算的要领；经常安排应用估算探索笔算

法则、验算笔算、解决实际问题等活动，培养估算的意识，提高估算能力。

(4)重建解决实际问题教学。

教学解决实际问题，教师应就基础知识和基本思想等方面把握各阶段的教学

内容和要求。常见的数量关系是学生分析信息之间关系的基础，是实现由数学问

题向解题思路转化的桥梁。教学常见的数量关系，教师应向学生提供丰富的现实

素材，引导学生经历从实际问题到数学模型的抽象过程。解决实际问题的教学应

以发展学生解题策略为价值取向，第一学段重点让学生运用数及数的运算解决生

活中的简单问题，初步学会分析法和综合法等分析数量关系的方法，第二学段结

合有关内容向学生介绍常用的解决问题策略。教学中，教师应引导学生经历解决

问题的过程，并通过对解题过程与方法的再认与反思，形成对方法的本质特点、

价值及使用要领的主观认识；要给学生提供题材丰富、数量关系多变的问题情境,

让学生在自主运用和监控策略的使用中，实现由程序性知识向元认知阶段转化。

三、“式与方程”内容变化与教学

1.内容变化情况。

主要有以下三点变化：一是增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并

能用字母表示。”“式与方程”的学习，标志学生从算术的学习转向代数的学习，

从对“数量”的理解转向对“关系”的探讨。建构对“相等关系”的理解是形成

方程概念的基础。新标准既提出了内容要求，又给出了学习路径，即把学习的过

程置于一个学生能够体验的环境，从而在直观的感受中，理解字母表达式所反映

的等量关系。二是将原来的“会用方程表示简单情境中的等量关系”修改为“能

用方程表示简单情境中的等量关系(如3x+2=5,2x一尸3),了解方程的作用。”

方程的学习，以往注重的是有关概念和技能，学生没有经历数学建模的过程，无

法真正体会方程的价值，应用意识和实践能力的培养成为空中楼阁。会用方程表

示简单情境中的等量关系，就是在具体情境中，用方程建立等量关系，有利于学

生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。三是将“理解等式的性质”

修改为“了解等式的性质”。利用等式的性质解方程，其目的是加强与中学数学

教学的衔接。因为过分强调方法统一，学生个性受到一定压制，很难体验“解决

问题方法多样化"。从“理解”调整为“了解”，降低对“等式性质”学习的要

求表明：根据等式性质解方程只是其中的一种方法，允许学生选用不同的方法解

方程。这样调整，既不妨碍中小学数学教学的衔接，也尊重了学生已有的知识经

验。

2.教学中需要注意的问题。

(1)教学用字母表示数，应让学生经历符号化的过程。

用字母表示数的过程，不是字母替代文字的过程，而是具体数量符号化的过

程。教学用字母表示数，应注重引领学生经历从“具体事物一个性化地用符号表

示一学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程，理解用字母表示数的意

义，体会数学符号的概括作用，发展符号意识。

(2)教学简易方程比例，应让学生体会模型思想。

方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。教学简易方程，教师应有“建模”

意识。教学认识方程，应通过设计丰富的情境，让学生用数学方式表述具体情境

中的各种关系，再通过观察、比较、分类、交流等活动，经历建立方程模型的过

程；教学列方程解决简单的实际问题，应让学生在问题情境中，经历探索、寻找

已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系并列方程解答的过程，领

会数学建模的思想和基本过程，提高解决问题的能力。教学正比例和反比例，应

让学生结合具体情境，体会正比例和反比例关系。

课程标准对“数与代数”内容标准的修改，一方面创新并发展经实践证明有

利于学生持续发展、符合中国国情的现代课程内容，另一方面很好地继承了中国

数学教育的优良传统。

“图形与几何"内容变化及教学思考

作者:南京东方数学教育科学研究所楚平

新标准把“空间与图形”改为“图形与几何”。课程内容的调整主要是对《九

年义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称“实验稿”)中文字表述不够

清楚或比较生涩、整体结构不够协调、内容安排不够合理的地方作一些调整，以

进一步完善几何课程内容体系。

一、核心内容的调整

新标准“图形与几何”部分课程核心内容的变化主要有两个方面：一是在实

验稿的基础上对空间观念的内涵进行更概括、更准确的描述；二是首次提出在义

务教育阶段应当注重发展学生的几何直观能力。

1.对空间观念进行再描述。

空间观念历来是小学数学课程的核心内容之一。一般认为，空间观念是人脑

藉由空间知觉所形成的物体形状、大小、位置关系、运动方式的映象。其主要是

通过对事物的空间形式进行观察、分析和描述，展现出再认、保留与回忆图像的

思考能力。也就是说，人脑在对现实世界空间形式获得映象的基础上，要能够借

助这些映象展开空间想象和推理，并在这一过程中发展空间思维能力。实验稿首

次对空间观念的主要表现给出了具体的描述:“能由实物的形状想象出几何图形,

由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。能

根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并

能分析其中的基本元素及其关系。能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用

适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进

行思考。”这对教师认识、理解空间观念的含义和特点，探索发展学生空间观念

的教学策略起到了重要的指导作用。

新标准对空间观念的描述是：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何

图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的

位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。”相对而言，

这一描述更具有概括性，更能反映空间观念的本质内涵。具体地说，主要有几下

几个方面：

(1)“抽象”。几何学是研究几何体和平面图形的空间形式、位置关系和量

的关系的学科。几何体是舍弃了现实物体的物质属性，如密度、重量、颜色等，

而仅仅从它的空间形式的观点加以考虑的数学对象；平面图形是更一般的概念，

其中甚至舍弃了空间的延伸。例如，三角形、平行四边形、圆……是二维的，直

线是一维的，点是没有维的，是精确到极限位置的抽象概念。学生的几何学习要

经历对现实物体的感觉和知觉的过程，并在这一过程中逐步舍弃其他属性，对其

形状、大小和位置等几何形态进行抽象和概括，进而获得相应的表象，建立几何

概念。可见，“抽象”是学生建立几何概念过程中最基本的思想方法。

(2)“想象”。小学几何并不是一个严格的公理化体系。学生的几何思维主

要诉诸于自身的直观感受和所形成的表象。只有当学生能够以头脑中形成的表象

为基本元素，展开想象和推理，学生的空间观念才能真正得到发展。因此，由几

何图形想象实物的形状，想象物体的方位和相互之间的位置关系等就成为学生几

何学习过程中最重要的思维形式，而这种借助表象展开想象的能力是学生空间观

念的重要表现形式。学生在几何学习过程中的想象主要包括：根据几何图形想象

物体形状和大小；根据图形之间的联系想象图形的转化过程；根据展开图想象几

何体的形状；想象现实空间的方位和物体之间的位置关系；想象图形的运动方式

等。

(3)“描述”。现实生活中存在着大量的图形运动和变化现象，而在运动和

变化中寻求不变是科学研究的重要方法，也是图形运动学习内容的价值所在。学

习和探索图形的运动和变化，就是要使学生在探索和理解“变”与“不变”的过

程中，抽象出图形运动的方式，并能借助已经形成的表象描述物体的运动和变化。

这既是空间观念的重要表现形式，也是发展学生空间观念的重要途径。这里的“描

述”可以是用语言进行描述，也可以是用图形进行描述。主要内容有：描述图形

的轴对称；描述图形的平移和旋转；描述图形的放大和缩小。

(4)“画出”。依据语言描述画出图形，是思维与外部语言、操作技能协同

作用的结果。“画出”是具体的行为，而行为受观念或思想的制约。“画出”图

形的过程中，学生同样需要借助表象和已有的经验进行数学地思考。因此，依据

语言描述画出几何图形也是空间观念的重要表现形式。画出几何图形主要包括画

图表示学过的平面图形，组合图形，图形之间的关系，以及在方格纸上表示图形

的位置，图形的运动和变化等。

2.明确提出发展学生几何直观的课程目标。

新标准将实验稿中“空间观念”的具体表现“能运用图形形象地描述问题，

能利用直观来进行思考”单列出来，作为几何直观加以阐释，以凸显几何直观在

学生数学学习过程中的地位和作用。

“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题”。具体地说，几何直观是指

学生通过几何学习，在掌握几何图形结构特征、空间关系以及度量的基础上，学

会借助图形的几何性质表征数学事实，描述、分析和解决数学问题，探索和发现

简单数学规律，初步形成从空间形式和关系的角度对现实问题进行抽象和推理论

证(小学不涉及几何证明)的能力。

“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问

题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习

过程中都发挥着重要作用”。归纳起来，几何直观的教育价值主要有以下四个方

面：第一，有助于强化学生的数学理解。一方面，数学抽象地反映着客观世界，

人们在认识和理解抽象的数学知识的过程中往往要借助视觉形象来表征，以更加

清晰地把握知识的实质和关键，达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。

另一方面，直观的背景材料和几何形象能为学生创造自主思考的机会，促使他们

通过自主探索和合作交流，发现和再创造数学知识，获得对数学的深刻理解。因

此，几何直观是揭示数学对象的性质和关系的有力工具，也是学生认识和理解数

学不可或缺的辅助手段。第二，有助于启迪学生的解题策略。借助几何直观描述

数学问题，能强化学生对问题信息及其关系的理解，能帮助学生从整体上把握问

题，提示问题的转化方法，获得正确的解题思路。第三，有助于促进学生的数学

思考。数学的抽象性和学生思维的直观形象性始终是数学教学中一对矛盾。而直

观的几何图形是学生最容易利用的数学形象，几何直观可以架起联结具体与抽象

的桥梁，起到调和矛盾的作用。借助几何直观，可以促使学生更有成效地展开数

学思考，揭示数学对象的性质和关系，获得形式化的数学知识，使思维逐步转向

更高级、更抽象的层面。因此，几何直观可以帮助学生透过现象看本质，有助于

发展数学思考，形成良好的思维品质。第四，有助于增强学生的创新意识和实践

能力。很多时候，学生解题的灵感往往来自于几何直观。解决问题时需要把抽象

的数学问题转化成可借用的几何直观问题，才有可能展开想象和创造性的探求活

动。从这个意义上说，几何直观对于培养学生创新意识和实践能力都是十分重要

的。

理解几何直观还应该弄清几何直观与以下几个概念之间联系：（1）几何直

观与直观化。直观化是一个外延相对宽泛的概念，且具有多种表征形式，不仅包

括直观的背景材料，如实物、图表、插图、物体模型等，还可以是现实的情景问

题、学生头脑里的“数学现实”和外显化的数学模式等。而几何直观是指利用图

形的几何性质描述和分析问题的过程。（2）几何直观与空间观念。几何直观和

空间观念是有着密切联系的统一体，两者是相辅相成、相互促进的。一方面几何

直观是建立在空间观念基础之上的，没有一定的空间观念就谈不上几何直观，另

一方面借助几何直观描述和分析数学问题的过程也是学生联系具体的问题情境

展开想象和思考的过程，这一过程本身就是发展空间观念的重要途径。（3）几

何直观与数形结合。数形结合是把数和形结合起来考察数学对象，即在研究问题

的过程中，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，使

复杂问题简单化；或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使抽象的问题

具体化。而几何直观是把抽象的数学对象直观化、可视化，即形成和使用关于数

学概念、性质、法则，以及数学问题的几何表征的过程。

二、具体内容变化

“图形与几何”部分在结构上没有变化，只是把实验稿中“图形与变换”改

为“图形的运动”。在教学内容和要求上，调整的幅度也比较小，主要有以下几

个方面：

1.删减的内容。

第一学段，由于学生对图形的认识以直观认识为主，图形学习经验并不丰富，

基本的操作技能还没有形成。因此，新标准适当删减了一些学生在这个阶段理解

或操作有困难的学习内容。主要包括：删去“能在方格纸上画出一个简单图形沿

水平方向、竖直方向平移后的图形”，相关要求放入第二学段教学，第一学段只

要求“能辨认简单图形平移后的图形”；删去“能在方格纸上画出简单图形的轴

对称图形”，相关要求放入第二学段；删去“会看简单的路线图”；删去“体会

并认识面积单位（千米2、公顷）”，相关要求放入第二学段。

第二学段，删去“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”，并

把“两点确定一条直线”移到第三学段，作为“基本事实”进行教学。

2.降低要求的内容。

认识东、南、西、北和东北、西北、东南、西南等八个方向，是进一步学习

图形与位置有关内容的重要基础，也是很重要的生活技能。而学生对现实空间良

好的方位感的形成，关键在于熟练掌握东、南、西、北这四个方位。因此，新标

准适当降低了这方面内容的教学要求，把根据“给定一个方向（东、南、西或北）

辨认其余七个方向”，改为根据''给定东、南、西、北四个方向中一个方向，能

辨认其余四个方向”，并且只要求知道“东北、西北、东南、西南”这四个方向。

3.增加的内容。

实验稿中要求学生认识扇形统计图，但没有安排认识扇形的学习内容。新标

准在第二学段增加“知道扇形”的要求，使课程内容更加完整，也有利于学生进

一步丰富对圆的认识，加深对扇形统计图特点的理解。

4.进一步规范课程目标的表述。

新标准对实验稿中表述不够准确、清楚的目标进行了必要的修改，以使课程

目标的表述更准确、规范、完整。例如，在第一学段，将“通过观察、操作，能

用自己的语言描述长方形、正方形的特征”改为“通过观察、操作，初步认识长

方形、正方形的特征”；将“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”

改为“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状”

等。在第二学段，将“能区分直线、线段和射线”改为“结合实例了解线段、射

线和直线”；将“欣赏生活的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计

图案”改为“能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们设

计简单的图案”；将“探索并掌握圆的周长公式”改为“通过操作，了解圆的周

长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式”等。

三、对教学的几点思考

“图形与几何”相关内容的教学主要是在学生已有的知识和经验基础之上，

通过观察和操作、比较和分析、抽象和概括、推理和判断等活动，帮助学生认识

常见几何图形和几何体的形状、大小、位置关系、运动方式，使学生更好地认识

和把握现实空间，发展空间观念、几何直观和推理能力，以及运用所学知识解决

实际问题的能力。

1.关于空间观念的教学。

发展学生空间观念的教学策略是多样的，观察与操作、抽象与概括、想象与

推理等都是学生感知和体验现实世界的空间形式和关系，建立几何概念，形成空

间观念的重要途径和方法。

(1)经历图形抽象的过程。学生的几何学习是一个不断抽象的过程，即在具

体的观察和操作活动中获得对研究对象的丰富感知，并逐步舍弃其物质属性，建

构正确的空间形式和关系。教学中，要引导学生经历由物体抽象出几何图形的过

程，通过对具体实物、几何模型、几何图形等材料的观察，通过搭一搭、折一折、

剪一剪、拼一拼、量一量、做一做、画一画等具体的操作活动，使学生的视觉、

触觉、听觉等多种感官协同作用，形成对研究对象的本质属性及性质之间关系的

充分感知，完成对具体对象的抽象，形成相应的空间表象，获得对几何知识和方

法的理解，发展空间观念。

(2)经历空间想象的过程。想象是数学思维的基本要素，是数学认知活动中

不可缺少的环节。在几何学习过程中，想象往往伴随着观察、操作等活动展开。

学生通过想象能直接、有效地获得物体的位置、物体间距离以及位置关系的表象,

形成正确的概念表征。因此，空间想象是学生几何学习过程中最重要的学习方式

之一，是学生发展空间思维、建立空间观念的关键因素。教学中，要引导学生经

历借助图形表象展开空间想象的过程，使学生在想象、判断、说理的过程中，不

断加深对所学知识的认识和理解，发展想象能力、语言表达能力和空间观念。

(3)经历直观推理的过程。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生

活中经常使用的思维方式。小学生几何学习过程中的推理很大程度上是依赖直观

展开的，学生的几何推理能力主要是在图形的转化、变换等过程中得到发展的。

教学中，要引导学生在观察与操作、比较和分析、抽象和概括、归纳和类比、想

象和交流等活动中，逐步认识图形的特征及性质，了解不同图形之间的关系，解

释或解决一些简单的几何问题，发展空间观念和推理能力。

2.关于几何直观的教学。

教学中，既要注重引导学生借助图形直观理解有关的数学知识，又要注意引

导学生经历用图形直观描述、分析和解决问题的过程，并逐步养成借助图形直观

展开数学思考的习惯。

(1)借助图形表征数学对象。小学数学中，相当一部分数学知识都是伴随着

几何意义而存在的，加强数学事实几何意义的阐释，有利于学生形成相应的表象,

促进对数学知识的理解和记忆，有利于学生积累表象建构的经验，同时也为问题

解决过程中的表象迁移提供了潜在的可能。教学中，要注意从学生年龄特点和已

有的知识经验出发，有计划、有步骤地引导学生利用图形直观表征数学概念、性

质、法则，以及量的关系，帮助学生获得清晰的表象。需要注意的是，低年级学

生一般不具备利用几何图形描述数学概念的能力，他们更易于接受实物或实物图

的直观，但这并不意味着教学时不能采用图形直观。相反，要注意根据学生的实

际，采取适当的措施，引领学生逐步由实物直观向图形直观过渡。

(2)借助图形描述问题。一般来说，纯文字形式的问题相对比较抽象，如果

能把抽象的问题以直观图示的方式表达出来，学生就可能主动发现条件和问题之

间的联系，找到解决问题的方法。因此，教给学生用直观图示描述问题的方法，

是发展学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的重要前提。教学时，一要注

意诱发学生画图描述问题的主观愿望。当学生在解决问题的过程中遇到困难时，

可以引导思考：“问题难在哪里？怎样整理条件和问题？”以诱发学生画图描述

问题的心理需要。二要教给学生一些必要的画示意图的技能。通过教师示范并逐

步放手让学生独立画图，形成必要的技能。三要注意培养画图描述问题的习惯。

完成解题后，要注意引导学生回顾解决问题的过程，并通过比较和交流，帮助学

生深刻体会直观图示在分析和解决问题过程中的作用。

(3)借助图形分析问题。加强几何直观教学并不是只要求学生能给出数学知

识的图形表征，还要充分发挥图形直观在发现问题、分析问题过程中的作用。注

意为学生创造主动思考的机会，鼓励学生借助图形直观进行比较、分析和想象，

展开直观推理，进而洞察数学对象的结构和关系，获得解决问题的方法。

(4)借助图形解决问题。几何直观在解决问题的过程中起着提示解题思路、

预测结果的作用，是探索数学规律、解决数学问题的有力帮手。学生在开始接触

数学问题时，往往会习惯性地对问题做出一种直观判断。教学中要充分发挥几何

直观在解决问题过程中的作用，注意引导学生经历利用几何直观把复杂问题转化

成简单问题的过程，特别是一些可以利用图形直观来描述的问题，不必急于给出

解决问题的方法，而要鼓励学生借助图形直观提出猜想或猜测，并尽可能地从中

找到解决问题的思路或直接利用直观手段求解，以帮助学生不断积累借助图形直

观进行思考的经验，发展几何直观能力。

“统计与概率”内容变化及教学启示

作者:南京东方数学教育科学研究所黄为良

“统计与概率”是实验稿所规定的小学数学课程内容之一。由于这部分

内容与传统的“确定性数学”存在较大差异，部分教师对“统计与概率”的核心

思想、统计与概率的联系和区别、课堂上应当突出的关键和重点，以及不同年级

学生应当达到的理解深度和应用能力等问题，或多或少还存在一些困惑和认识上

的分歧。为此，新标准对这部分内容做了较大的调整：一方面明确统计课程的核

心是数据分析观念，强调义务教育阶段统计教学的关键在于使学生想到用数据、

愿意亲近数据，初步培养通过数据来分析问题的习惯，在活动中逐步提高对随机

现象的把握能力；另一方面，重新梳理、整合统计与概率的内容及相关教学要求,

使得义务教育阶段三个学段的学习层次更加明确，从而有利于广大教师准确把握

教学重点和关键。

一、进一步明确和强调的内容

实验稿在“前言”部分给出了各部分内容学习的关键词，也是相关内容

中最为重要的核心。所谓核心，不是指具体的知识点，甚至不是指具体的知识本

身，而是概括很多知识的共性所反映出来的思想和思维方式。山就统计而言，

实验稿给出的关键词是“统计观念”，其内涵是：“能从统计的角度思考与数据

信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策,

认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的

结果进行合理的质疑。”容易看出，统计意识、统计过程、质疑评价是“统计观

念”所关注的三个主要方面。相应地，新标准给出的统计学习的关键词是“数据

分析观念”，其内涵是：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收

集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以

有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随

机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够

的数据就可能从中发现规律。”

“数据分析观念”与“统计观念”是既有联系又有区别的两个概念：它

们的联系主要表现在对经历完整的统计过程，逐步培养运用统计方法分析和解决

简单实际问题的重视上；区别在于，后者更加关注数据在统计活动中的基础地位、

数据分析方法的特点，以及数据处理过程所蕴涵的更为一般的数学思想。

1.统计研究的基础是数据，统计就是通过数据来进行分析和推断的。

当今世界，人们在实际生活中所面临的数据越来越多，经济、科技、教育等

各行各业中都存在大量需要通过数据分析来获取信息、作出决策的例子。因此，

必须树立利用数据的意识，掌握一些分析数据的方法和模型。所谓数据，是指用

来描述对客观事物观察测量结果的数值。当我们对某个随机变量（比如某个年龄

的学生身高）进行观测时，事先不能预料会取到谁的身高，而一旦某位同学被抽

取到，就称这个人的身高数值为这个随机变量（身高）的一个观测值，即数据。

回广义地讲，数据不仅指具有现实背景的数，也包括图和语句。比如，网络中

的搜索引擎就是用统计方法进行语句检索的，此时统计所处理的数据就是语句O

£3]

作为统计研究基础的数据，往往具有随机性的特点。这种随机性主要有两层

涵义：一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能是不同的；另一方面，

有足够的数据就可能从中发现规律。例如，记录某位同学每天的上学时间，每天

得到的数据可能是不一样的，事先无法确定；但只要记录的数据足够多，就可以

从中发现一些确定的信息，比如该同学每天上学时间大约是多少等。

构成数据随机性的原因主要有两个：一是数据的抽样过程。首先抽样方法本

身通常是随机的，因为按随机性原则抽取的样本，能够较好地排除人个主观的选

择与成见，从而使得样本能够尽可能具有对总体的代表性；同时这种代表性也不

是绝对的，相对于总体参数而言，它只是趋近于后者，而不可能完全等同于后者。

其次，抽样过程中的数据本身也可能是随机的，特别是连续性数据的测量，由于

测量工具、观察者角度、测量时间等各种各样的原因，每次测量的结果事实上都

会存在误差，也就是存在一定的随机性。二是由部分推断总体的过程。统计推断

不同于演绎推理，它总是归纳性的，其结论永远带有一定的或然性，不一定准确

无误，甚至有可能是错误的。好的统计方法能够保证这种出错的可能性较小。

在以往的课堂教学中，我们更多关注的是概率事件的随机性，而上述“数据

随机性”则主要表现在统计活动过程中。换句话说，引导学生在统计活动过程中

体会随机思想是“数据分析观念”的基本内涵之一，也是需要我们特别予以关注

的一个重点。

2.数据分析的方法可以是多样的，不同方法没有对错之分，只有好坏之分。

对不同数据分析方法的选择源自两个原因：一是因为对样本数据的不同

理解；二是基于研究问题的目的和解决问题的需要。例如，对于两家公司最近五

年出口贸易额的数据，我们既可以逐年比较它们的绝对数额，也可以逐个分析每

家公司近五年出口贸易额的增长幅度。前者有利于我们了解每家公司的实力，后

者则有利于我们掌握每家公司的发展潜力。又如，有两组同学的投篮成绩，一组

是10人，另一组是8人。对这样的两组数据进行分析是否一定要采用平均数呢？

结论自然不是肯定的：如果我们要比较这两组同学投篮的整体水平，可以取每组

成绩的均值——成绩相对比较均衡用平均数，有极端数据也可用中位数；如果想

从中选拔投篮水平高的选手，则可直接比较每组的最高成绩或前三名成绩,等等。

这就是说，数据分析方法的选择应该依赖于研究问题的目的以及解决问题的实际

需要。

小学数学中对统计图形的选择以及根据统计图表中的数据回答不同的

问题，事实上也可以看作是用不同方法对数据进行分析。同样的数据，希望研究

的问题和获得的信息不同，所选择的数据分析方法自然也应有所区别。因为可以

用各种方法对数据进行归纳整理、分析判断，所以得到的结论可能不同也就十分

正常了。同时，十分重要的一点是，各种数据分析方法本身通常很难区分对错，

能够区分的只是好与不好——如果能够客观地反映实际背景，这样的方法就是好

的；反之，则是不好的。这也是统计与确定性数学内容十分重要的区别之一。

3.统计体现了一种不同于确定性数学的思维方式，这种思维方式有助于

培养学生的归纳能力和创新意识。

传统数学由于其所研究的问题本质上是确定性的，基础是定义和假设，遵循

约定的原则进行严格的计算或者推理，因而更多体现的是演绎；统计所研究的问

题本质上是随机的，是非确定性的，需要通过较多的数据进行推断，也就是通过

个别来推断一般，因而更多体现的是归纳。⑷

统计活动中的归纳还有别于一般数学规律和公式的归纳过程：公式和规律往

往是确定的，学生用于归纳的素材可以不同，但得到的结论一定是相同的；统计

活动中的归纳往往需要从一堆杂乱无章的数据中提炼信息、把握规律，或者从样

本出发推断整体，这个过程本身就具有诸多不确定性，所以得到的结论也就具有

个性化特点。显而易见，经历统计活动中的归纳过程，既有助于学生真正获得属

于自己的结论，同时也有助于培养他们初步学会用不确定的思维看待客观事物及

其规律，知道世界上大部分事情都处于随机状态，它们是否发生以及怎样发生尽

管不能完全确定，但也是有规律可循的。

二、教学要求有所调整的内容

新标准在进一步明确要把“数据分析观念”作为统计内容核心的基础上,

又依据广泛调研的结果，针对教材实验过程出现的问题，重新梳理并整合了“统

计与概率”的课程内容。就小学阶段而言，内容难度有所降低，容量有所减少，

具体有以下几点：

1.第一学段鼓励学生用自己的方式呈现数据整理的结果。

这里所说的“学生自己的方式”，包括文字、图画和表格，但显然不是

指规范的统计图表形式，如一格表示一个单位的条形图等。换句话说，只要学生

能将数据整理的结果清楚地呈现出来，我们不仅无需提出“方式”上的要求，而

且应该鼓励他们采取富有个性的不同方式。这样做的目的，一是为了避免学生把

注意力过早集中于统计图表的认识和制作等技能的学习，从而影响对数据收集、

整理和呈现等学习过程的兴趣；二是为了引导学生基于感兴趣的实际背景，从数

据的角度发现问题、提出问题、讨论问题，从而体会数据是蕴涵信息的，现实生

活中有很多问题可以通过收集数据，以及相应的分析和交流作出判断。

2.对平均数的认识从第一学段移至第二学段，对中位数和众数的认识从

第二学段移至第三学段。

对第一学段的学生来说，他们在开展统计活动时，关注的重点通常是一

组数据内部所蕴涵的各种信息，例如，一组数据中的最大值、最小值各是多少，

最大值与最小值相差多少，哪个数值出现的次数最多，与学生自身有关的数据处

于什么位置，等等。到了第二学段，学生则应该更多地学会把一组数据作为一个

整体来看待，学会从整体上描述一组数据的特征，或把一组数据与另一组相关数

据进行比较。而平均数、中位数和众数都是用来刻画一组数据整体水平的统计量,

因此，在学生初步积累收集、整理和分析数据的活动经验之后，再安排平均数、

中位数和众数的学习是较为恰当的。

另一方面，尽管简单算术平均数的计算方法并不复杂，但真正理解它在

数据处理过程中的意义和价值，恰当地使用平均数，却并不是一个容易达成的目

标。尤其是，如果在学习平均数之后，接着安排中位数和众数的学习，就势必会

涉及这三种统计量的比较和选择，即：平均数、中位数、众数之间到底有什么区

别？在具体情境中到底选择哪种统计量更具有代表性？真正弄清这些问题，既需

要对统计活动的现实背景以及相关问题的特点具有较为透彻的理解，而且还涉及

函数概念以及相关的代数运算。所以，把中位数和众数的学习移至第三学段是较

为务实的选择。

3.降低了“可能性”的教学要求。

统计和概率都是用来摹写、刻画随机现象的数学方法。所谓随机现象，

是指结果与条件之间不存在必然联系的现象，即在一定条件下某种结果可能会发

生，也可能不发生。尽管统计和概率都研究随机现象，而且从知识逻辑看，统计

学的研究需要以概率论为基础，但从认知角度看，统计比概率更为具体，概念和

定义也少得多，因而小学阶段通常以统计内容的学习为主。

新标准在第一学段删除了可能性的教学要求，同时在第二学段只要求学

生”通过实例感受简单的随机现象，能列出简单随机现象中所有可能发生的结

果……感受随机现象中结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单随机现象发

生的可能性大小作出定性描述。”这里有两点需要特别加以关注：一是明确所涉

及的随机现象仅限于简单随机事件，即所有可能发生的结果是有限的、每个结果

发生的可能性亦是相同的；二是只要求对可能性大小作出定性描述，而不要求进

行定量表达。显然，这些教学要求的调整，一方面是为了引导学生更多地关注试

验、游戏等蕴涵随机现象的活动过程，在活动中逐步感受随机现象的特点，体会

相应的思维方式，积累学习经验；另一方面，也是为了引导学生更多地学会从数

据的角度看待可能性大小，知道有些事情需要通过调查去估计或推断，养成用数

据分析问题的习惯，而不是急于从定义和假设出发进行概率计算。

4.删除了“初步体会数据可能产生误导”的教学要求。

就一组数据而言，大部分情况下它们是符合或近似地符合正态分布的，但也

有一些情况下数据的分布是偏态的，也就是存在极端数据。对于后一种情形，如

果不加分析地采用某种统计量（如平均数）去表示它们的整体水平，则可能使人

产生一种错觉，这就是所谓的“数据误导”。认识到数据有可能产生误导，就应

根据数据特点和解决问题的需要去选择适当的统计量，以便更为客观地反映数据

特点以及相关现象的本质。同时，也可以进一步考察一组数据的离散程度，通过

计算极差、方差等使数据的特点从不同角度得以显现。显而易见，由于中位数、

众数等知识的后移，对上述内容的认识和体会自然也不再适合放在第二学段。

三、几点教学启示

如前所述，小学生学习统计与概率，重要的不是制作统计图表、计算平均数,

以及求某个简单随机事件发生的可能性大小，而是要发展数据分析观念，包括“养

成通过数据来分析问题的习惯；初步建立随机的概念，学习如何去判断事情的主

要因素”⑸。另一方面，培养学生的数据分析观念，关键应依赖于他们的经验，

特别是他们亲身经历的经验。也就是说，让学生完整地经历收集数据、整理数据

和分析数据的过程，逐步学会提出用数据表达的问题，通过收集、组织、展示数

据以及选择和运用适当的方法分析数据，进而回答问题、作出判断、进行预测，

是培养学生数据分析观念的基本途径。

1.基于解决问题的需要收集数据。

收集数据的主要目的是为了回答那些无法立即找到答案的问题。事实上，培

养数据分析观念的首要方面就是引导学生有意识地从数据的角度思考有关问题，

也就是当遇到有关问题时能够想到通过设计简单的数据收集计划来回答这些问

题，从而体会数据是有用的，数据中往往蕴涵着我们想要的信息，数据能够帮助

我们作出判断和决策。

考虑到不同年龄阶段学生生活经验和认知水平的差异，我们应该努力创设不

同的情境，使学生有机会从这些情境中发现并主动提出一些需要借助数据来回答

的问题，通过数据的收集、整理、展示和分析，获得自己想要了解的信息或使问

题得到合乎情理的解释。对第一学段的学生来说，应侧重于引导他们提出一些与

自身有关的趣味性问题，并使他们提出问题的自然倾向得到保护和延续。例如，

喜欢的小动物，喜欢的运动项目，喜欢的饮料，喜欢的电视节目，作业本上小红

花的数量，等。对第二学段学生来说，应引导他们更多地关注与学校、家庭、社

区有关的现实问题，并把兴趣从自己的周边环境逐步转向其他情境，包括社会现

象、自然现象以及其他学科中具有特定意义的问题。例如，自己家一周扔几个垃

圾袋，同学们收看某个电视节目的情况，全班同学的身高体重情况，当地的气温

变化情况，某种植物的生长情况，等。

在提出一个问题之后，还应适当帮助学生明确具体的数据收集方法。第一学

段可重点引导学生通过举手数数、逐个询问、投票等方式获取数据。第二学段则

应鼓励学生多开展一些实际调查或测量活动，可以是在课堂上能够完成的，也可

以是需要花上一段时间才能完成的。止匕外，作为收集数据计划的一部分，还可提

醒学生：要根据数据收集过程中出现的新情况，适当调整相关选项甚至是最初的

问题；也要注意数据收集的一些具体环节，如提什么样的问题及向谁提问题，观

察什么及什么时候观察，测量什么及怎样测量，等等。

2.用不同的方式整理和展示数据。

无论是调查、测量，还是试验，得到的数据通常都显得有些杂乱，此时就需

要对这些原始数据进行必要的整理。整理数据在很多情况下并不仅仅是为了让自

己更好地理解数据、获得信息，同时也是为了与别人进行交流，与别人分享对问

题的理解，并引发对相关问题的讨论和思考，从而也就需要选择合适的方式进一

步地展示数据。

整理数据的基本方法是分类。分类是需要标准的，不同标准下的分类结果往

往是不同的，由此获得信息自然也会有所差异。就教学而言，一方面要注意引导

学生从“呈现每个数据”逐步过渡到“分类呈现数据”，以及“按不同标准分类

呈现数据”。例如，就“家里有几口人”这个问题，低年级可以要求学生用自己

的方式呈现小组里每个同学家里的人数，此后可以逐步过渡到要求他们按“3人

以下、3人及3人以上”的标准分类呈现全班同学家庭人口的情况；到了中年级，

除了要求按家庭人口数进行分类之外，还可要求按“两代人、三代人、三代以上”

这样的标准重新分类，从而进一步体会标准对于分类的意义。另一方面，要引导

学生逐步学会自己给出标准，并注意标准自身的严谨性。这里，数据类型标准通

常是比较容易理解的，但数据的数值范围标准则需要多一些指导。例如，就“喜

欢的小动物”这个问题，学生通常不难给出标准；但如果进一步讨论“你家饲养

某种小动物的情况”，那么大部分学生就会感到困难。此时要通过组织讨论，使

他们认识到可以采用诸如“不养、养1只、养1只以上”这样标准去收集和整理

数据。

至于数据的展示方式，一方面要鼓励学生用自己的方法去表达对相关数据信

息的理解，另一方面也要通过合适的情境，使学生体会引入相关统计图表的必要

性，并在统计图表的选择过程中不断把握各种统计图表的特点和作用，学会根据

研究问题的需要合理选择恰当的数据展示方式。止匕外，还应适当引导学生从周围

环境中了解各种富有特色的数据展示方式。

3.从不同的角度分析数据。

从不同角度分析数据，以便从数据中获得尽可能多的信息，并发现蕴涵其中

的一些规律，是“数据分析观念”最为重要的内容之一。依据小学生的认知发展

特点，一般认为，教师应着重从以下几个方面来引导学生从统计图表（包括各种

“自己的方式”）中获取信息、作出估计或推断。

第一，要引导学生从只关心个别数据（尤其是极端数据）逐步过渡到关注一

组数据的方方面面。例如，就全班同学身高情况这个问题，学生通常首先会关注

这组数据中的最大值是多少、最小值的多少、最大值与最小值相差多少等问题。

以此为基础，我们可以引导学生进一步讨论这组数据中每个高度段各有多少人，

哪些高度段的人数较多，哪些高度段的人数较少，自己处于什么位置等问题，从

而使他们初步体会分析数据的一些基本方法。

第二，要引导学生逐步意识到把一组数据看作一个整体是非常重要的。可以

通过对两组相关数据的比较，使学生认识到要清楚地确定两组数据间的异同，仅

靠说明每组数据中的最大值、最小值或数据分布情况是不够的，由此引入均值的

概念；也可在讨论一组数据中的最大值、最小值以及全部数据的分布情况后，要

求学生找出一个能够代表这组数据整体水平的数值，从而感受平均数提供的是什

么样的信息，它在相应现实背景中究竟具有怎样的意义。

第三，要引导学生从关注“数据本身能够说明什么"逐步过渡到“基于数据

进行一些有意义的推断”。例如，从自己班同学中超过一半的人有蛀牙，是否可

以推出同年级其他班级同学，乃至全校所有同学的蛀牙情况？上面哪个判断要可

靠一些？要使推断更加可靠可以怎样做？事实上，这样的推断或多或少已经涉及

样本与总体的关系。尽管小学生不大可能也无需理解样本与总体等概念，但可以

借此初步感受样本与总体的关系。如果我们能够在活动中适当组织一些如上的讨

论，或者将从全班同学中获得的数据与更大范围的相关数据进行一些有意义的比

较，相信学生对数据的理解将更加透彻，基于数据所进行的思考也将更加深入。

4.在数据分析的基础上估计可能性的大小。

我们知道，判断一个简单随机事件发生的可能性大小，通常有两种方法：一

是列举出这个随机事件所有可能发生的结果，再根据这些结果作出判断。二是先

进行试验，并记录由试验所产生的数据，再根据收集的数据去估计相关结果发生

的可能性大小。事实上，上述第一种方法是基于定义和假设的概率计算，而第二

种方法则是基于数据的统计推断。在第二种方法中，尽管每次摸出的球的颜色是

不确定的，但是只要摸的次数足够多，我们就能从中发现一些规律，进而做出相

应的估计和推断，而这些正是数据随机性特点的基本内涵。因此，这样一种“运

用数据进行估计”的活动既有助于学生从不同角度丰富对统计与概率的认识，同

时也有助于凸显随机思想。

止匕外，在上述摸球活动中，我们也可以适当组织学生讨论：要使估计的结果

更准确，应该怎样做？通过讨论和相应的活动使他们进一步体会到：要使估计的

结果更加准确，需要增加摸球的次数；摸球的次数越多，估计的结果就越准确。

一般来说，这样的经历有助于学生进一步增强数据分析意识，提高运用数据分析

和解决问题的自觉性。

参考文献：

[1H3]史宁中，等.“数据分析观念”的内涵及教学建议[J].课程•教

材•教法，2008(6).

[2]张奠宙，过伯祥.数学方法论稿[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4][5]史宁中，等.中小学统计及其课程教学设计[J].课程-教材•教法,

2005(6).

“综合与实践”内容变化及教学启示

作者:南京东方数学教育科学研究所侯正海

新标准将“实践与综合应用”改成“综合与实践”，不再像过去那样统称为

“实践与综合应用”（三个学段又具体分为实践活动、综合应用和课题学习）。

这样的修改有利于教师在整体把握这一领域教学目标的基础上，灵活而富有弹性

地组织教学。

一、“综合与实践”的教育价值

实验稿设置“实践与综合应用”这一领域的意图主要有三个方面：一是发展

解决问题的能力，二是加深对其他几个领域内容的理解，三是体会各部分数学内

容之间的联系。新标准在阐述“综合与实践”内容设置的目的时明确指出：''培

养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意

识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。”

仔细分析，新标准关于“综合与实践”设置的目的与实验稿在以下三个方面

是一脉相承的：

1.能够帮助学生建立数学各领域之间和某一领域内知识之间的联系，体现数

学课程的综合性。

虽然新标准在内容设置目的的表述中没有直接提及加深对其他几个内容领

域的理解，体会各部分数学内容之间的联系，但''综合运用已有的知识和方法”

这一表述则既指明了解决现实问题的具体途径，也必然包含实现上述目的的意

图。

基于数学知识的内在结构和学生学习数学