考点21图形的相似（含黄金分割、位似）问题（解析版）-中考数学二轮复习课程标准考点方法突破

考点21图形的相似

课标对考点的要求

对图形的相似问题，中考命题需要满足下列要求：

（1）了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

（2）通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。

（3）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

（4）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形

相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。

（5）了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。

（6）了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。

（7）会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。

重要考点知识解康

一、比例

1.成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段

的长度的比相等，即刊=£（或a：b=c：d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果

bd

作为比例内项的是两条相同的线段，即色=2或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项。

hc

2.什么是黄金分割

C

__________N

点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果包=任成立，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫

ACAB

作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金分割比。如果把包=生化为乘积式是AC2=AB.BC,

ACAB

AC叫作AB和BC的比例中项。

3.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

4.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

5.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

数学使人精确。数学会让我们的生活更美好！数学也是艺术。

二、相似、相似三角形及其基本的理论

1.相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相

似比。

3.三角形相似的判定方法

（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。

（3）两个三角形相似的判定定理

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述

为两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角

形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简

述为三边对应成比例，两三角形相似。

4.直角三角形相似判定定理：

①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，

那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

三、位似图形

1.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直

线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2.性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为晨那么位似图形对应点的坐

标的比等于k或，；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比.

3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即

是位似中心.

4.画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或

缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点：5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.

重要问题解题思维方法总结

1.作一条线段的黄金分割点方法

一条线段的黄金分割点有两个.任意一条线段都可以找出两个黄金分割点,这两个黄金分割点关

于这条线段的垂直平分线对称。

DC

----------------------・B

方法1：

如图，已知线段49,按照如下方法作图：

(1)经过点B作BDLAB,使放=工AB.

2

(2)连接力〃，在加上截取止如

(3)在上截取则点C为线段油的黄金分割点。

方法2：

如图，设AB是已知线段。

DC

(1)在AB上作正方形ABCD；

(2)取AD的中点E,连接EB；

(3)延长DA至F,使EF=EB；

(4)以线段AF为边作正方形AFGH。

点H就是AB的黄金分割点。

2.黄金分割的魅力所在

⑴古埃及胡夫金字塔：文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高之比

都接近于0.618；

⑵蒙娜丽莎的微笑：著名画家达•芬奇的《蒙娜丽莎》构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用,

蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都完美的体现了黄金分割；

AF_FB

~FB~AB

⑶伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”，把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实

验中，为国家节约了大量的人力和能源。

⑷人体最感舒适的温度是23℃,也是正常人体温（37℃）的黄金点（37X0.618比23℃）。这说明医学与

0.618有千丝万缕的联系，尚待开拓研究。衡量一个人身材是否美观的重要标准就是看肚脐是否是头顶到脚

底的黄金分割点。人体肚脐不但是身型是否美化的黄金点，有时还是医疗效果的黄金点，许多民间名医在

肚脐上贴药治好了某些疾病。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金

点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节，上肢与下肢长度之比均近似0.618.

二、对相似多边形的理解

1.如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形.

2.相似多边形对应边的比叫做相似比.

3.多边形的相似比为1的相似多边形是全等形.

4.相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等.

三、解决相似三角形的武器就是灵活运用性质与判定

1.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似

比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角

形的面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相

似三角形面积的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三

角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等

且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

中考典例解析

【例题1】（2022山西省模拟）宽与长的比是避二1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰

2

富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCZ）,分别

取A。、BC的中点E、F,连接E凡以点F为圆心，以FD为半径画弧，交的延长线于点G；作

AD,交AD的延长线于点H,则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形EFC。C.矩形EFGHD.矩形。CGH

【答案】D

【解析】设正方形的边长为2,则CD=2,CF=1

在直角三角形DCF中，DF=df+T2=也

FG=6

CG=>/5-l

,CGV5-1

,CD-2

二矩形DCGH为黄金矩形

故选：D.

【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念.解题时注意，宽与长的比是

屿二1的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形.

2

【例题2】（2021贵州毕节）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，

身高1.1m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8〃?到达点。处，测得影子QE长是2m,

则路灯灯泡A离地面的高度AB为m.

BD，-------------

【答案】8.5.

【解析】由AB1BE,CDA.BE,得到AB//CD,推出根据相似三角形的性质列方程即可

得到结论.

'JABLBE,CDLBE,

.'.AB//CD,

.CD=DE,

"ABBE'

•1.7=2

"AB"2+8'

解得：AB=8.5,

答：路灯灯泡4离地面的高度48为&5米.

【例题3】（2021广西玉林）如图，在△ABC中，。在AC上，DE//BC,DF//AB.

（1）求证：tXDFCsXAED：

c

(2)若CD=LC,求-△DFJ的值.

3^AAED

【答案】见解析。

【解析】（1）证明：尸〃A8,DE//BC,

：.ZDFC=ZABF,ZAED=NABF,

，/DFC=NAED,

又,：DE〃BC,

：.ZDCF=NAOE,

：./\DFC^/\AED-,

（2）'：CD^1AC,

3

•CD-I

DA2

由（1）知△OFC和△4£：£）的相似比为：型=工，

DA2

S

故：ADFC=（CD）2=（上）2=工

^AAEDDA24

【例题4】（2021贵州黔东南）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2,1）、点B（2,

0）、点。（0,0）,若以原点。为位似中心，相似比为2,将aAOB放大，则点A的对应点的坐标为

【答案】（4,2）或（-4,-2）.

【解析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论.

如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4,2）或（-4,-2）.

考点问题综合训练

一、选择题

1.(2020•浙江绍兴)如图，己知NZM3=NC4E,那么添加下列一个条件后，仍然无法判定

的是()

C.ZB=ZDD.NC=ZAED

【答案】B

【解析】利用相似三角形的判定依次判断可求解.

VZDAB=ZCAE,ZDAE=ZBAC,

ADAQ

A.若——=——，且ZDAE=/BAC,可判定AABCS/^ADE,故选项A不符合题意；

ADAE

A3BC

B.若——=—，且NDAE=/BAC,无法判定AABCS^ADE,故选项B符合题意；

ADDE

C.若NB=/D,且NDAE=/BAC,可判定AABCSAADE,故选项C不符合题意；

D«若NC=NAED,且NDAE=NBAC,可判定AABCS^ADE,故选项D不符合题意；故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键.

2.(2021重庆)如图，在平面直角坐标系中，将△048以原点。为位似中心放大后得到△OC£>,若B(0,

1),D(0,3),则△OAB与△(%：力的相似比是()

A.2：1B.1：2C.3：1D.1：3

【答案】D

【解析】根据信息，找到0B与。力的比值即可.

•:B（0,I）,D（0,3）,

；.OB=1,OD=3,

•：/\OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,

...△OAB与△08的相似比是08：OD=\-.3.

3.（2021浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，点A,8的对应点分别为点4'

贝IJA'B'的长为（）

」B'

B

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【答案】B

【解析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可.

•••图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3,

.AB—2pn6—2

A'B'3NB'3

解得，A'B'=9.

4.（2020•浙江绍兴）如图，己知。43=NC4£,那么添加下列一个条件后，仍然无法判定

的是（）

A

D

ABACABBC

A.-----=------B,-----=-----c./■=/nD.ZC^ZAED

ADAEADDE

【答案】B

［解析】利用相似三角形的判定依次判断可求解.

ZDAB=ZCAE,二ZDAE=ZBAC,

A.若一=—,且NDAE=NBAC,可判定AABCS/^ADE,故选项A不符合题意;

ADAE

A3BC

B.若——=—,且NDAE=NBAC,无法判定AABCS/XADE,故选项B符合题意;

ADDE

C.若NB=ND,且NDAE=NBAC,可判定AABCSAADE,故选项C不符合题意；

Do若/C=/AED,且NDAE=NBAC,可判定AABCS/^ADE,故选项D不符合题意；故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键.

5.（2020•四川遂宁）如图，在平行四边形A8C。中，NABC的平分线交AC于点E,交A。于点凡交CD

BE

的延长线于点G,若AF=2FQ,则=的值为（）

【答案】C

【解析】由AF=2£＞尸，可以假设。尸=丸贝ijAF=2AAD=3k,

•四边形A8C。是平行四边形，：.AD//BC,AB//CD,AB^CD,

：.NAFB=NFBC=ZDFG,ZABF=ZG,

「BE平分NA8C,:.NA8F=ZCBG,：.NABF=NAFB=NDFG=NG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,：.CG=CD+DG=3k,

BEAB2k2lt,

'JAB//DG,:.AABESACGE,：.——=——=一=一，故选：C.

EGCG3k3

6.（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCO中，点E、尸分别在边AB、4。上，BE=DF,CE的延长线交

DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

（1）求证：ABECSABCH；（2）如果求证：AG=DF.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（I）：•四边形A8C。是菱形，.•.8=CB,ND=NB,CD//AB.

•:DF=BE,：.△CDF^△CBE（SAS）,:.NDCF=NBCE.

'：CDHBH,：.ZH=ZDCF,:./BCE=NH.且：./XBCH.

eBEAE,,AEAGBEAG

（2）•BEr=AB*AE>.♦--=----,•AG〃BC>..----=----,•-----=----,

ABEBBEBCABBC

,;DF=BE,BC=AB,：.BE=AG=DF,即AG=O尸.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识,

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

7.（202（）•甘肃金昌）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下。与全

身匕的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感，若图中b为2米，则”约为（）

A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米

【答案】A

［解析1根据a:b~0.618.且b=2即可求解.

由题意可知，”:从0.618,代入6=2,Aa=^x0.618=1.236-1.24.故答案为:A

【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题.

8.（2020•四川泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题:

点G将一线段MN分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例

中项，即满足些=0竺=避二1,后人把造二1这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的

MNMG22

“黄金分割”点.如图，在△A6C中，已知A8=AC=3,BC=4,若。，E是边的两个“黄金分

割”点，则AAOE的面积为（）

A.10-475B.3^-5C.D.20-875

2

【答案】A

【解析】过点A作AFJ_BC,：AB=AC,；.BF=LBC=2,

2

在RtAABF,AF=SJAB2-BF2=,32-22=亚，

•/D是边BC的两个“黄金分割”点，.••0=避二1即—=避二1，

5C242

解得CD=2后一2,同理BE=2百一2,

CE=BC-BE=4-（2亚-2）=6-275，，DE=CD-CE=475-8,

SAABC=-xDExAF=-x（4A/5-8）x75=10-475故选：A.

22

【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及•:角形的面积公式，求

出DE和AF的长是解题的关键。

9.（2020•重庆）如图，△4比与△应尸位似，点0为位似中心.已知勿：如=1：2,则与△戚的

面积比为（）

【答案】C

【解析】根据位似图形的概念求出△/欧与△龙尸的相似比，根据相似三角形的性质计算即可.

与△庞尸是位似图形，OA：⑺=1：2,

.♦.△4?。与环■的位似比是1：2.

a1与△戚的相似比为1：2,

...△/%与△两的面积比为1：4o

10.（2020浙江绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5,且三角板

的一边长为8颂.则投影三角板的对应边长为（）

【答案】A

【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.

【解答】解：设投影三角尺的对应边长为网出

•.•三角尺与投影三角尺相似，

.*.8：x=2：5,

解得x=20.

DE1

11.（2020•潍坊）如图，点£是口/反力的边力〃上的一点，且一=一，连接应并延长交圈的延长线于点人

AE2

若〃£=3,DF=4,则w的周长为()

C.34D.42

【答案】C

【解析】:四边形力腼是平行四边形,

：.AB//CF,AB=CD,

：・1\ABESXDFE,

.DEFD1

AE-AB-2’

,:DE=3,DF=4,

.••力£=6,AB=8,

.♦・49=49"?£=6+3=9,

・••平行四边形力质的周长为：(8+9)X2=34.

12.(2020年浙江省嘉兴)如图，在直角坐标系中，ZXOAB的顶点为0(0,0),A(4,3),B(3,0).以

点o为位似中心，在第三象限内作与AOAB的位似比为1■的位似图形aocD,则点c坐标()

44

A.(-1,-1)B.(--,-1)C.(-1,--)D.(-2,-1)

33

【答案】B

【解析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以-5即可.

3

•以点。为位似中心，位似比为方，

而A(4,3),

4

，A点的对应点C的坐标为（-停-1）.

13.（2021河北模拟）如图，以点0为位似中心，将aABC缩小后得到△△‘B'C',已

知0B=30B',则AA'B'C'与△ABC的面积比为（）

【答案】D

【解析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平

方即可.

V0B=30B（,

.OB'1

,•------Z：-'

0B3

♦.•以点0为位似中心，将△ABC缩小后得到AA'B'C',

.*.△A1B'Cfs/\ABC,

•N二OB'=1

AB-=OB?>

...SAAZBZCZB'）2」

^AABC屈9

二、填空题

1.（2021吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5〃？的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿

上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m,则坝高CF为m.

C

EB

【答案】2.7.

【解析】根据。£〃。凡可得他型，进而得出CF即可.

ACCF

如图，过C作CFJ_A8于F,则。E〃CF,

.♦AD_DEgp1_0.6

"AC"CF''T5^CF

解得CF=2.7.

2.（2021湖南益阳）如图，RtZXABC中，NB4C=90°,tan/ABC=3,将△ABC绕A点顺时针方向旋

2

转角a（O°<a<90°）得到△A3,C,连接88'，CC',则△C4C'与ABAB'的面积之比等于.

可得也空£_=（迪）2,解决问题.

【解析】证明△ACC',

S/kABB’AC

由旋转的性质可知，ZBAC=ZB'AC,

J.ZBAB'=NCAC',

'：AB=AB',AC=4C',

•AB二AB'

"ACAC，，

.,.△ACC'SAABB',

•SAACCZ

^AABBZ

VZCAfi=90°，

tanZABC=-^-=^-,

BC2

故答案为：a.

4

3.（2021湖北黄冈）人们把返工这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用

2

了黄金分割数.设。=遍1,b=近工得ab=\,记Si=—5^4——,$2=—^—4一^―•,—,Sio=

221+a1+bl+a21+b2

—二+一则S1+S2+…+Sio=_______.

1+a101+b10

【答案】10

【解析】利用分式的加减法则分别可求Si=LS2=l,Sio=l,即可求解.

oO

・.・S]=]]=2+b+1+a_2+a+b_6+a+b=],$3=]+1=1+b+6+a_

8+a1+b（1+a）（4+b）1+a+b+ab2+a+bl+a，l+b?l+a4+b2+a2b'

1,So=」—H一」=―迎*!叱_=3,

101010101010

2+al+bl+a+b+ab

S1+S2+…+Sio=4+1+…+1=10.

4.（2020•山东泰安模拟）如图，矩形4?口中，AB=3氓,仇?=⑵£为皿中点，尸为46上一点，将△力跖

沿斯折叠后，点4恰好落到行•上的点G处，则折痕房的长是—.

【答案】2任.

【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当

的辅助线，连接圆构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果.

连接6C,利用矩形的性质，求出£6,a'的长度，证明比1平分/比E再证/从。=90°,最后证△加Csa

EDC,利用相似的性质即可求出"的长度.

如图，连接

•.•四边形四切为矩形,

.♦.N/=N〃=90°,BC=AD=12,DC=AB=3氓,

:£为加中点,

:.AE=DE=LAD=6

2

由翻折知，△AEFaXGEF,

:"E=GE=6,AAEF=ZGEF,NEGF=NEAF=9Q°=/〃,

:.GE=DE,

:.EC平■分4DCG,

:.NDCE=ZGCE,

,/团＜7=90°-AGCE,/庞C=90°-ADCE,

:"GEg/DEC,

:.NFEC=NFE&rNGEC=LX\80°=90°,

2

:.NFEC=/D=9Q°,

又,：2DCE=NGCE,

：ZECs[\EDC,

.FEEC

"DE^DC'

a-VDE2+DC2=,\/62+(3V6)2=3标’

.FEWTU

••~~---=:-,

6-诉

:.FE=2/

5.（2020•绥化）在平面直角坐标系中，△/6C和△464的相似比等于士并且是关于原点〃的位似图形,

2

若点/的坐标为（2,4）,则其对应点4的坐标是.

【解析】（4,8）或（-4,-8）.

【解析】利用关于原点对称的点的坐标，把｛点横纵坐标分别乘以2或-2得到其对应点4的坐标.

•••△/a'和△45G的相似比等于士并且是关于原点0的位似图形，

2

而点A的坐标为（2,4）,

点/对应点4的坐标为（2义2,2X4）或（-2X2,-2X4）,

即（4,8）或（-4,-8）.

4

6.（2022成都模拟）如图，AABC与ADEF位似，位似中心为点0,且aABC的面积等于4DEF面积的一,

JOB：DE=_________

【解析】

试题分析：..A43C与此位似，位似中心为点。，尸，.•.△4C的面积：△£）即面积

=（——）2=—>.,.AB:DE=2:3,故答案为：2:3.

DE9

7.（2022湖北天门模拟）在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是A（4,2）,B（5,0）,以点

0为位似中心，相似比为!，把aABO缩小，得到△A30,则点A的对应点人的坐标为

2

【答案】（2,1）或（-2,-1）.

【解析】以点0为位似中心，相们比为工，把aABO缩小，点A的坐标是A（4,2）,

2

则点A的对应点儿的坐标为（4义工，2*工）或（-4义工，-2XL）,即（2,1）或（-2,-1）,

2222

故答案为：（2,1）或（-2,-1）.

三、解答题

1.（2021湖北黄冈）如图，在△4BC和△OEC中，ZA=ZD

（1）求证：△ABCs/\DEC；

（2）若SAABC：SADEC=4：9,BC=6,求EC的长.

D

C

【答案】见解析。

【解析】(1)由两角相等的两个三角形相似可判断

(2)由相似三角形的性质可得也些=(里)2=且，即可求解.

^ADECCE9

证明：(1)Y4BCE=/ACD.

，/BCE+/ACE=ZACD+ZACE.

：./DCE=/ACB,

又：ZA—ZD,

：.bABCsXDEC；

(2)•.・△ABCs△DEC；

S

.AABC=(CBX2=4

^ADECCE6

又,：BC=6,

：.CE=9.

2.(2021黑龙江鹤岗)在等腰△ADE中，AE=DE,△ABC是直角三角形，NC4B=90°,ZABC=^Z

AED,连接CD、B。，点尸是B力的中点，连接E凡

(1)当NE4O=45°,点8在边AE上时，如图①所示，求证：EF=^CD-,

(2)当NE4£>=45°,把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边A。上时，如图②所示，当NE4D=60°,

点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段E尸和C。又有怎样的数量关系？请直接写出你的

猜想，不需证明.

【答案】见解析。

【解析】（1）证明CD=B。，EF^—BD,可得结论.

2

（2）如图②中，结论：EF=^CD.取CO的中点7,连接AT,TF,ET,TE交4£）于点O.证明△AFT四

△E"（SAS）,推出EF=AT,可得结论.

如图③中，结论：EF=J^-CD.取4。的中点。，连接OF,OE.证明△EOFs^DAC,可得上巳=强=返,

2CDAD2

即可解决问题.

图①

'：EA=ED,Z£-40=45°,

：.ZEAD=ZEDA=45a,

：.ZAED=90°,

,:BF=FD,

：.EF=—DB,

2

VZCAB=90",

：.ZCAD=ZBAD=45°,

VZABC=—ZAED=45°,

2

AZACB=ZABC=45°，

：.AC=ABf

.•・4。垂直平分线段8C

:.DC=DB,

：.EF=—CD.

2

(2)解：如图②中，结论：EF=^CD.

图②

理由：取CO的中点T,连接AT,TF,ET,7石交AO于点。

•；NCAD=90°,CT=DT,

：.AT=CT=DTf

♦；EA=ED,

・・・4垂直平分线段AD,

：.AO=OD,

VZAED=90°,

・・・OE=OA=ODf

VCT=TD,BF=DF,

:・BC〃FT,

：.ZABC=ZOFT=45°,

VZTOF=90°,

：.ZOTF=ZOFT=45°,

:.07=。凡

：.AF=ETt

♦：FT=TF,NAFT=NETF,FA=TE,

.♦.△A/侬△£：?下(SAS)，

：.EF=AT,

：.EF^—CD.

2_

如图③中，结论：EF=®CD.

2

图③

理由：取AO的中点。，连接。兄OE.

；EA=ED,N4E£)=60°,

：./\ADE是等边三角形，

•：AO=OD,

：.OErAD,ZAEO=ZOED=30°,

：.tanZAEO^—=^-,

_OE3

.OEV3

AD2

VAABC=—ZAED=30°,/8AC=90°,

2

：.AB=y/3AC,

•：AO=OD,BF=FD,：.OF^—AB,

2

.OF_V3

••一_--,

AC2

.OE_OF

♦•疝一而‘

'：OF//AB,:.NDOF=NDAB,

■:NDOF+NEOF=90°,NDAB+NDAC=90°,

二ZEOF=ADAC,

：./\EOF^/\DAC,

.跃=述=返

"CDAD2'

：.EF=^-CD.

2

3.(2021苏州)如图，在矩形A8C0中，线段EF、G”分别平行于A。、AB,点Pi、尸2分别在线段PF、

PH上，PPi=PG,PPi=PE,连接PIH、PiF,PiH与P2尸相交于点Q.已知4G：GD=AE：EB=\-.2,

设AG=a,AE—b.

(1)四边形的面积四边形GPFC的面积(填、"=”或“<”)

(2)求证：/\P\FQs4P出Q；

(3)设四边形PP1QP2的面积为Si,四边形CFQ”的面积为S2,求包的值.

S2

【答案】见解析。

【解析】(1)分别用含小人的代数式表示出四边形E8HP和四边形GPFD的面积作比较即可；

(2)由(1)得边的比例关系，先证△尸尸2尸得NP">2=NP"P,得再根据对顶角相等即可得出

△P尸Qs△尸2”0;

(3)连接PP2,FH,先证△PiPP2s△CF”得出线段比例关系，从而得面积比例关系，再证△PQP2S4

FQH,得出面积比例关系，最后根据面积关系得出且值即可.

s2

解：(1)I•西边形ABC。为矩形，

AZA=ZB=ZC=90°,

,JGH//AB,

.•.NB=NGHC=90°,/A=NPGO=90°,

*：EF〃AD,

:・/PGD=/HPF=90°,

.••四边形尸"CH为矩形，

同理可得，四边形AGPE、EPHB均为矩形,

u

\AG=atAE=bf

:・PE=a,PG=b,EB=PH=2b,

：.四边形EBHP的面积=PE・PH=2",四边形GPFD的面积=PG・PF=8",

故答案为：=;

(2)•:PP\=PG,PP2=PE,

由(1)知PE・PH=7ab,PG*PF=2ab,

:・PPYPH=PPVPF,

即£ZI=里

PPlPH

又•：NFPP3=NHPP\,

：.4PP2FS/\PP&H,

：.NPFP2=ZPHPI,

■:NP2QF-P2QH,

：./\PIFQ^/^P3HQ；

(3)连接PiP2.FH,

»•^^2_a_1PPI=b=5

'-CH~272"~CF2b~2

p

•PP2=P6

CHCF'

,.•ZPIPP2=ZC=90°,

:APP3P2s△CFH,

.P1P2_PP1^1$3乒2=(P5P21

FHCF2"SACFHFH5"

由(2)中APIFQSAPZHQ,得立2_=里，

P2QHQ

.P]QP7Q

♦：/PTQP2=NFQH,

：./\P3QP2^/\FQH,

pp

.SfQPa=fi22

,△FQHFH4

•；Si=Sap.ppJS^PiQpjS?=SACFH+SNQH，

Si=^S^CFH+^S^FQH=—S3,

474

.S1^8

$24

4.(2021浙江温州)如图，在平面直角坐标系中，0M经过原点O(2,0),B(0,8),连结A8.直线

C用分别交。M于点。，E(点。在左侧)，交犬轴于点C(17,0)

(1)求OM的半径和直线CM的函数表达式；

(2)求点O,E的坐标；

(3)点P在线段AC上，连结PE.当NAEP与△OBO的一个内角相等时，求所有满足条件的。P的长.

【解析】(1)点M是AB的中点，则点M(l,4),则圆的半径AM={(2-1)2+42=万，再用待定系

数法即可求解；

(2)由近7得：(x-1)2+(--kv+Al-4)--(</17^2>即可求解；

44

(3)①当NAEP=NDBO=45。时，则△AEP为等腰直角三角形，即可求解；②时，则4

EAPs^DBO,进而求解；③NAEP=N8。。时，同理可解.

解：(1),•点M是A8的中点，则点M(l,

则圆的半径为^^=7(2-4)2+44=^)

k=

设直线CM的表达式为卜=履+6,则("k+b=O,解得,T

lk+b=4

故直线CM的表达式为尸-W•:

(2)设点。的坐标为(x,--^r+lZ.),

44

由得：(x-3)2+(-(Jyy)8

34

解得x=5或-3,

故点。、£的坐标分别为(-5、(5；

(3)过点。作OH_LO8于点H,则。H=3,

由点A、E、B、D的坐标得1(8-2)2+(7-3)2=8，，,

同理可得：8£>=3加，。8=8,

①当乙4EP=NO8O=45°时，

则为等腰直角三角形，EP±AC,

故点P的坐标为(5,5),

故。尸=5；

②NAEP=NBDO时,

■:NEAP=NDBO,

：.4EAPsXDB0,

..典典，即之"="_=或，解得AP=8,

BDBO372BO5

故尸0=10；

③NAEP=/BO。时，

•：NEAP=NDBO,

:.XEAPS^OBD,

-AE_APgp378_AP解得AP=g,

"

"OB"BD"'83774

则尸0=5+旦=旦，

44

综上，0P为5或10或卫.

4

5.(2020•辽宁丹东)如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,

点A，3,C的坐标分别为A(l,2),B(3,l),C(2,3),先以原点。为位似中心在第三象限内画一个AAB|G，

使它与AABC位似，且相似比为2：1,然后再把A4BC绕原点。逆时针旋转90。得到AA282c2.(1)画

出AAB|G，并直接写出点A的坐标；(2)画出2c2,直接写出在旋转过程中，点A到点A?所经过

的路径长.

71•

【解析］连接AO、BO、CO,并延长到2AO、2BO,2CO,长度找到各点的对应点，顺次连接即可；

根据网格结构找出点A、B、C绕点。逆时针旋转90°后的对应点A?、Bz、C2的位置，然后顺次连接即可,

再根据勾股定理列式求出OA,然后利用弧长公式列式计算即可得解.

(1)如图所示，Ai(-2,-4)；

90%x百V5

(2)如图所示，.的长为:-----------=------71.

1802

【点睛】本题考查了平移变换作图和轴对称图形的作法及画位似图形.注意：画位似图形的一般步骤为:

①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的

位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

6.(2022四川省凉山州模拟)如图，NABD=NBCg9G0,DB①方4ADC,过点8作飒〃必交4〃于机连

接CM交DB于N.

(1)求证：B!f=A»CD；

(2)若缪=6,4?=8,求物V的长.

D

【答案】见解析。

【解析】证明：(1)通过证明△/如可得期■型，可得结论:

BDCD

,：DB平分匕ADC,

:./ADB=/CDB,且8g90°,

.AD_BD

,•丽同

：.Btf=AD'CD

(2)由平行线的性质可证乙㈱=N蹴；即可证/林=物=肪=4,由初和勾股定理可求物'的长,

通过证明△删?s/\cw,可得BM=MN=2,即可求物v.的长.'：BM//CD

CD-CN-3

二/做HABDC

：.NADB=Z.m且NABg90°

：.mi=MD,NMAB=NMBA