高斯小学奥数五年级上册含答案-燕尾模型

第二十五讲燕尾模型

高家村和司家庄之间有一个三角形的湖

高家村

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高宗村有3。。户人家，司家庄有4。。户人泉.于是两村商定修一座堤坝，把湖,

分成两部分，面积之比为3:4」

高泉村

然而几年后，因为国湖造田，湖水的面积缩小了。）

一~~2

I注：虚线指的是原来的湖的边界）

村区认为湖水面积发生了变化，应该重产堤坝以作分配.为此两个村长】

O

应该往面移!

你怎么看?

之前我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，△ABC被线段一分为二，且

有比例关系St:S2=a:b.

如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有4个小三角形，这4个小三角形的面积之

间的比例关系如图中所示.

由于图中的阴影部分看起来很像燕子的尾巴,所以这个图形我们形象的把它称为燕尾模

型.阴影部分我们称之为燕尾形.

.S,邑E+S,BD

外比：」=」=」——=——

S2S452+S4CD

内比.1=$2=-+邑=AO

.S3S4S3+S40D

例题1.

如图，AD=6,CD=14,三角形ABE的面积是24,求三角形5EC的面积.

「分析」鼠医=42,据此就可以求出△BEC的面积.

,△BCEDC

练习1.

已知三角形A8C中，三角形的面积是60,三角形AFC的面积是20,三角形8FC的面

积是56,求三角形尸和三角形的面积.

给出不同边上的比例关系，我们就可以用“燕尾模型”解决三角形面积的问题，下面我

们先看一个给出两个外比的问题.

练一练

根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数.

外比：AD:DB=2:1外比：CD:DB=3:1

外比:AF:FC=1:1外比：AE:EC=1:3夕卜比：AE:EC=1:3

例题2.

如图，△ABC的面积等于28平方厘米.其中AE=EC,BD:DC=3:1,求阴影三角形的

面积.

「分析」图中并没有燕尾模型，所以第一步需要把它构造出来.应该连哪条线呢？

练习2.

在三角形A8C中，2AE=EB,AD=

有时题目给的不是两个外比，而是一个内比和一个外比，此时在利用燕尾模型解题的时

候，既需要由长度的比推出面积的比，也需要由面积的比推出长度的比.

这类问题较简单的一类是已知的内比和外比在同一个燕尾形中.

练一练

根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数.

夕卜匕匕：AD:DC=\:2外比：AD:DC=1:1

内比:BO:OD=1:1内比:BO:OD=2A

例题3.

如图，ZXABC中？BD:DC=1:3,阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几?

「分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第一种类型，

练习3

在三角形ABC中，AE=2EC,BF:FE=1A,阴影部分占△ABC的几分之几?

练一练

根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数.

内比：BO:OD=2:1内比：BO:OD=3:1

例题4

如图，△ABC中，AF=FD,AE=-AC,求四边形CE/*的面积是三角形ABC的几分之

3

几.

「分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第二种类型，按顺序填份数就可以了.

练习4.

在三角形ABC中，AE=-EC,CF=3DF,四边形AOFE的面积是三角形ABC的几分之

2

有些图形不能直接使用燕尾模型，我们需要添加辅助线后方可使用燕尾模型.

例题5.

如图，正方形ABCD的边长是6,E、尸分别是。C和边的中点，阴影部分的面积是多

少？

「分析」连结AC,燕尾模型就出来了.

DEC

例题6.如图，四边形ABC。中，AB=3BE,AD=3AF,四边形AE。尸的面积是12,BCDE

是平行四边形.那么四边形42。的面积是多少？

「分析」例题5中，我们通过连结正方形对角线构造

出了燕尾模型.本题中，我们应该连结哪条线段呢？

含有“燕”字的诗句

中国古代的诗句中，有很多都和燕子有关系。主要分为以下两类：

一、表现春光的美好，传达惜春之情。

相传燕子于春天社日北来，秋天社日南归，故很多诗人都把它当做春天的象征加以美

化和歌颂。如“冥冥花正开，阚阚燕新乳”（韦应物《长安遇冯著》），“燕子来时新社，

梨花落后清明”（晏殊《破阵子》），“莺莺燕燕春春，花花柳柳真真，事事丰丰韵韵”

（乔吉《天净沙•即事》），“鸟啼芳树丫，燕衔黄柳花”（张可久《凭栏人•暮春即事》），

南宋词人史达祖更是以燕为词，在《双双燕•咏燕》中写到：“还相雕梁藻井，又软语商

量不定。飘然快拂花梢，翠尾分开红影。”极研尽态，形神俱似。春天明媚灿烂，燕子娇

小可爱，加之文人多愁善感，春天逝去，诗人自会伤感无限，故欧阳修有“笙歌散尽游人

去，始觉春空。垂下帘桃，双燕归来细雨中”（《采桑子》）之慨叹，乔吉有“燕藏春衔

向谁家，莺老羞寻伴，风寒懒报衙（采蜜），啼煞饥鸦”（《水仙子》）之凄惶。

二、表现时事变迁，抒发昔盛今衰、人事代谢、亡国破家的感慨和悲愤。

燕子秋去春回，不忘旧巢，诗人抓住此特点，尽情宣泄心中的愤慨。最著名的当属刘禹

锡的《乌衣巷》：“朱雀桥边野草花，乌衣巷口夕阳斜。旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家。”

另外还有晏殊的“无可奈何花落去，似曾相识燕归来，小园香径独徘徊”（《浣溪沙》），李好

古的“燕子归来衔绣幕，旧巢无觅处”（《谒金门•怀故居》），姜夔的“燕雁无心，太湖西畔，

随云去。数峰清苦，商略黄昏雨”（《点绛唇》），张炎的“当年燕子知何处，但苔深韦曲，草

暗斜川”（《高阳台》），文天祥的“山河风景元无异，城郭人民半已非。满地芦花伴我老，旧

家燕子傍谁飞？”（《金陵驿》）。燕子无心，却见证了时事的变迁，承受了国破家亡的苦难,

表现了诗人的“黍离”之悲，负载可谓重矣。

作业1.如图，三角形ABC中已知2个三角形的面积，BO=2OD,那么三角形A0。的面

积是多少？三角形8OC的面积是多少？

作业2.如图，三角形ABC中，已知EC=2AE,BD.DC=2.1,请在图上标出各个小三

角形的面积份数.（即三角形COE、COD、BOD.,AOB的面积份数）

AA

L

BCB

第1题图第2题图

作业3.如图，三角形ABC的面积是30,AE=EC,BC=3DC,那么三角形AEF的面积

是多少？

作业4.在△ABC中，CE=3AE,尸是A。的中点，△ABC的面积是1,则阴影部分的面

积是多少？

作业5.在△ABC中，BD:DC=3:2,AE:CE=3I,QB与O£的比是多少？

AAA

「A、A

BDCBDC

第3题图第4题图第5题图

第二十五讲燕尾模型

例题1.答案：56

AABS

S_A。SXS56

详解:ACBE=—^ABE='

S△ACUREFCD

例题2.答案：12

详解：连结CF,设&CFE面积为1份，如图所示标份

数，可得s诩------------------------X28=12平方厘米.

1+1+6+4.5+1.5

例题3.答案：-

5

详解：连结CE,如图所示标份数.可知阴影的面

积占三角形ABC面积的L.

5

BD

例题4.答案：』

12

详解：连结CF,如图所示标份数.可知四边形COD占

三角形A8C的

12

例题5.答案：24

详解：设AC和CP的交点为0,连结0。，连结AC.设△AF0的面积为1,标出份数.可

看出三角形AOC的面积是三角形ACD的,，则三角形AOC的面积是正方形的

3

111117?

-x-=-.所以阴影部分是正方形的乙+_1=女，面积是62乂4=24.

2366233

例题6.答案：56