高考试题函数与导数全解析

09年高考试题函数与导数全解析

一、选择题

1.(2009年广东卷文)若函数y=/(x)是函数丁=优(。〉0,月。W1)的反函数，且

/(2)=1，则/(x)=

X2

A.log2XB.eC.log,XD.2~

2,2

【答案】A

【解析】函数y=优(。〉0,月4w1)的反函数是/(x)=log”x,又/(2)=1，即log”2=1,

所以,a=2,故/(x)=log?x,选A.

2.(2009年广东卷文)函数/(x)=(x-3)ex的单调递增区间是

A.(-oo,2)B.(0,3)C.(l,4)D,(2,+oo)

【答案】D

I解析】f\x)=(x-3)'/+(x-3*')'=(x—2)/,令/“(X)>0,解得x>2，故选D

3.(2009浙江文)若函数/(x)=x2+3(aeR),则下列结论正确的是()

x

A.WaeR,/(x)在(0,+oo)上是增函数

B.VaeR,/(x)在(0,+o。)上是减函数

C.3a&R,/(x)是偶函数

D.BaeR,/(x)是奇函数

C【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考

查结合函数的性质进行了交汇设问.

【解析】对于a=0时有/(x)=x2是一个偶函数

4.(2009北京文)为了得到函数y=1gY常4-3的图像，只需把函数y=lgx的图像上所有的

点()

A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

【答案】C

A.y=lg(x+3)+l=lglO(x+3),

B.y=lg(x-3)+l=lglO(x-3),

C.y=lg(x+3)-l=lg-^~,

D.y=lg(x-3)-l=lg^^.

故应选C.

5.(2009山东卷文)函数y的图像大致为().

eA—e'

【解析】：函数有意义，需使=0,其定义域为{x|x/0},排除C,D,又因为

ex+.e-xc2x+.1Ic

y==?」=1+=£~,所以当x>0时函数为减函数，故选A.

e—Te2x-le2x-l

答案:A.

[log(4-x),x<0

6.(2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=\2?，则f(3)

l/(x-l)-/(x-2),x>0

的值为()

A.-lB.-2C.lD.2

【解析1:由已知得/(-1)=log25,/(0)=log24=2,/(I)=/(0)-/(-I)=2-log25,

/(2)=/⑴—/(0)=-log25,/(3)=/(2)—/⑴=—log25-(2-log25)=-2，故选B.

答案:B.

7.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数/(x),满足/(X-4)=-/1),且在区间[0,2]

上是增函数，则（).

A./C-25)</(11)</(80)B./(80)</(11)</(-25)

C./(11)</(80)</(-25)D.〈(-25)<<(80)<<(11)

【解析】:因为f(x)满足/(x—4)=—/(x),所以/(x-8)=/(x)，所以函数是以8为周期的

周期函数，则/(一25)=/(—1),/(80)=/(0),/(11)=/(3),又因为/(x)在R上是奇函

数，〃0)=0,得/(80)=/(0)=0,/(-25)=/(-I)=一/(1),而由/(x-4)=—/(x)得

/(11)=/(3)=-/(-3)=一川-4)=/(I)，又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，所以

/⑴〉/(0)=0,所以一/⑴<0，即/(-25)</(80)</(11)，故选D.

答案:D.

8.(2009全国卷H文)函数产U7(xW0)的反函数是

(A)y=_?(x>0)(B)y=-x2(x>0)

(B)y=x2(x<0)(D)y=-x2(x<0)

答案：B

解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x«0可知AC错,原函数y20可知D错，

选B.

9.(2009全国卷II文)函数y=y=log2^—的图像

2+x

(A)关于原点对称(B)关于主线〉=一》对称

(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称

答案：A

解析:本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为(-2,2)关于原点对称，又f(-x)=-f(x),

故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

10.(2009全国卷H文)设a=lge,4=(lge>,c=lgj^则

(A)a>h>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a

答案：B

解析：本题考查对数函数的增减性，由l>lge>0,知a>b及c=\ge,作商比较知c>b,选

2

11.（2009安徽卷文）设。〈0,函数尸=的图像可能是

【解析】可得x=a,x=6为y=(x—a)2(x—6)=0的两个零解.

当x<a时，则x<bf(x)<0

当a<x<。时，则/(x)<0,当x>b时,则/(x)>0.选C。

【答案】C

12.(2009江西卷文)函数~艺，的定义域为

x

A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,l]

答案：D

XH0

【解析】由《2得-44x<0或0<xKl,故选D.

-X2-3X+4>0

13.(2009江西卷文)已知函数/(x)是(-8,+8)上的偶函数，若对于X20,都有

/(x+2)=/(x),且当xe[0,2)时，/(x)=log2(x+l),则/(—2008)+/(2009)的值

为

A.-2B.-1C.1D.2

答案：C

【解析】/(-2008)+/(2009)=/(0)+/(l)=lg；+log：=l,故选C.

14.（2009江西卷文）如图所示，一质点P（x,y）在X。），平面上沿曲线运动，速度大小不变,

其在x轴上的投影点。（x,0）的运动速度V=V。）的图象大致为

答案：B

【解析】由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点。(x,0)的速度先由

正到0、到负数，再到0,到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接

近0,故。错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点。(x,0)的速度为常数,

因此。是错误的，故选8.

*，15

15.(2009江西卷文)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x和y=。厂+—9都相切,

则。等于

…25…21725

A.-1或—-B.一1或一C.,或士D.---或7

6444644

答案：A

3

【解析】设过(1,0)的直线与y=》3相切于点(x0,x0),所以切线方程为

32

y-x0=3X0(X-X0)

_3

即y=3/2%—2/3,又(1,0)在切线上,则玉1=0或%=

2

1525

当玉)=0时，由丁=0与丁=0+1%-9相切可得〃=一

64

3?72715

当今=一二时，由y='x-一^与y=a/+jx—9相切可得&=一1,所以选A.

16(2009天津卷文)设〃=108I2力=10813,。=4严，则

352

Aa<b<cBa<c<bCb<c<aDb<a<c

【答案】B

【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到。<0,0<c<1,而b=log23>1,

因此选Bo

17.(2009天津卷文)设函数/(x)=x-4x+6,尤“。则不等式/(x)〉/(i)的解集是()

x+6,x<0

A(-3,1)u(3,+oo)B(-3,1)u(2,+oo)

C(-1,1)U(3,+8)D(-a),-3)u(l,3)

【答案】A

【解析】由已知，函数先增后减再增

当xNO,/(x)N2/⑴=3令/(x)=3,

解得x=l,x=3。

当x<0,x+6=3,x=-3

故/(%)>/(1)=3,解得一3Vx<1或x>3

18.(2009天津卷文)设函数f(x)在R上的导函数为f，(x),且2f(x)+xf'(x)>x2,x下面的不等式

在R内恒成立的是

Af(x)>0Bf(x)<0Cf(x)>xD/(x)<x

【答案】A

【解析】由已知，首先令x=0,排除B,D。然后结合已知条件排除C,得到A

19.(2009四川卷文)函数>=2向(X€/?)的反函数是

A.y=l+log2x(x>0)B.y=log2(x-l)(x>1)

C.y=-1+log2x(x>0)D.y=log2(x+l)(x>-1)

【答案】C

【解析】由y=2"inx+l=log2y=x=—l+log2V，又因原函数的值域是y>0，

其反函数是y=-l+log2x(x>0)

20.(2009四川卷文)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数x都有

?(x+l)=(l+x)/(x),则/§)的值是

15

A.0B.-C.1D.-

22

【答案】A

【解析】若XKO,则有/(x+l)==/(x),MXx=--,则有：

x2

1-1

/(^)=/(-1+1)==-/(-1)=-/(1)(:/(X)是偶函数，则

~2

“合=吗))

由此得/(；)=0

于是

22

21.(2009湖南卷文)log2血的值为【D】

A.B.>/2C.---D.—

22

厂11

解:由log2J2=log,22'log22=/,易知D正确.

22.(2009湖南卷文)若函数y=/(x)的号图到在区间［a,b］上是增函数，

则函数y=/(x)在区间口,3上的图象可能是【A】

A.B.C.D.

解:因为函数y=/(x)的号图藜y=/'(x)在区间［a,句上是增函数,即在区间［a,句上

各点处的斜率上是递增的，由图易知选A.注意C中y'=k为常数噢.

23.(2009湖南卷文)设函数了=/*)在(-8,+8)内有定义，对于给定的正数K,定义函

数

f(x)=<

K[K,f(x)>K.

取函数/(了)=2由。当K=；时，函数/Mx)的单调递增区间为[C]

A.(-8,0)B.(0,+oo)C.(—8,—1)D.(1,+oo)

解：函数/(x)=2虫=(；/，作图易知/(x)KK=gnxe(—8,—l]U[l,+8)，

故在(-叫―1)上是单调递增的，选C.

24.(2009辽宁卷文)已知函数/(幻满足：x24,则/(x)=(；>；当x<4时/(x)=

f(x+l),则/(2+log23)=

(A)—(B)—(C)-(D)-

241288

(解析J•••3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)

且3+log23>4

/./(2+log23)=f(3+log23)

11

z\

=-X(-l

8\2z

25.(2009辽宁卷文)已知偶函数/(x)在区间［0,+oo)单调增加，则满足

的x取值范围是

121212

(A)(一,一)(B)-)(C)(-,-)⑻□，上)

33332323

【解析】由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(|x|)

...得f(|2x-l|)<f(1),再根据f(x)的单调性

得|2x-1|V:12

解得—Vx<—

33

【答案】A

26.(2009陕西卷文)函数/1)=，2*—4*24)的反函数为

,1,,1,

(A)/-1(X)=-X2+4(X>0)(B)f-l(x)=-x2+4(x>2)

,1,

(C)/-'(X)=-X2+2(X>0)(D)/-'(X)=1X2+2(X>2)

答案：D.解析:令原式y=/(%)=J2x-4(x22)贝ij丁=2%一4,即x==^=^+2

22

故/i(x)=gx2+2(xN2)故选D.

27.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意的阳w[0,+oo)(x产々)，

有)(々)一)(芭)<。则

/一%

(A)/(3)</(-2)</(I)(B)/(I)</(-2)</(3)

(C)/(-2)</(1)</(3)(D)/(3)</(1)</(-2)

答案:A.

解析：由(/一xJ(/(/)—/(%))>0等价，于/(切一/⑷〉。则在

x2一芭

西用虫―8,0](X尸々)上单调递增，又/(X)是偶函数，故/(X)在

%,々€(0,+00](工产々)单调递减・且满足〃€河时，/(—2)=/(2),3>2>1>0,得

/(3)</(-2)<〃1),故选A.

28.(2009陕西卷文)设曲线y=x"+i(neN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐

标为Xn，则X,-x2...xn的值为

11n

(A)-(B)--(C)--(D)1

n〃+l〃+l

答案:B

解析：对y=x"+i(〃eN*)求导得y'=(〃+l)x",令x=l得在点(1,1)处的切线的斜率

%=〃+1,在点

(1,1)处的切线方程为y—l=A(x,—l)=(〃+l)(x“一1),不妨设y=0,%”=7VT

„.123n-\n1

贝...x„=­x—x—x...x----x----=----,故选B.

12"234nn+1n+1

29.(2009四川卷文)函数>=22(》€/?)的反函数是

A.y=1+log2x(x>0)B.y=log2(x-l)(x>1)

C.y=-14-log2x(x>0)D.y=log2(x4-l)(x>-1)

【答案】C

【解析】由y=2*=x+l=log2y=x=—l+log2V，又因原函数的值域是y>0，

其反函数是>'=-1+log,x(x>0)

30.(2009四川卷文)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数x都有

0Xx+l)=(l+x)/(x),则/(；)的值是

15

A.0B.-C.1D.-

22

【答案】A

1+X1

【解析】若xwo,则有/。+1)=--/(X),取元=一一，则有：

x2

・・・f(x)是偶函数，则

1+-1+-

〃|)=“+D=T〃|)=»(|)宁卧)吗=5g)=0

22

31.(2009全国卷I文)已知函数/(x)的反函数为g(x)=l+21gx(x>0),则/⑴+g⑴=

(A)0(B)1(C)2(D)4

【解析】本小题考查反函数，基础题。

解：由题令l+21gx=l得x=l,即/'(1)=1,又g(l)=l,所以/(l)+g(l)=2,

故选择C。

32.(2009湖北卷文)函数)，=1^(xeR,且的反函数是

A.y=1+2*(xeR,且x*—)B.y=-~—(xe/?,Jlx*--)

1-2x21+2x2

C.y=1+%(xGR,_iLxMl)D.y=-------(xGR,JLx声-1)

2(1-x)2(1+x)

【答案】D

【解析】可反解得」=1—,故/T(x)1—X且可得原函数中yGR、yW-1所以

2(1+j)2(1+x)

1-x

且XCR、el选D

2(1+x)

33.(2009福建卷文)定义在R上的偶函数/(x)的部分图像如右图所示，则在(-2,0)上,

卜列函数中与/(x)的单调性不同的是

A.y=x2+1

B.y=|x|+1

2x+l,x>0

c.y=(3

x+1,x<0

[ex,x>o

D.y=〈

e-*,x<0

解析解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在(-2,0)上单调递

减，注意到要与/(x)的单调性不同，故所求的函数在(-2,0)上应单调递增。而函数

y=x2+1在(-oo,l］上递减；函数y=|x|+l在(-oo,0］时单调递减；函数

y：在(-oo,0］上单调递减，理由如下y'=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显

x+l,x-<0

e"xN0

然符合题意；而函数y=4'—，有y，=-eT<0(x<0),故其在(一8,0］上单调递减，不

e-*,xY0

符合题意，综上选C。

34.(2009福建卷文)若函数“X)的零点与g(x)=4、+2x-2的零点之差的绝对值不超

过0.25,则/(x)可以是

A./(x)-4x-lB.f(x)-(x-1)2

C./(x)="—lD.=

解析〃力=48一1的零点为*=；,〃力=。—1)2的零点为*=1,/(x)="-l的零

点为x=0,=x-g)的零点为x=g.现在我们来估算g(x)=4V+2x-2的零点，

因为g(0)=-l，g(；)=L所以g(x)的零点X6(O,g)，又函数/(x)的零点与g(X)=4'+2x-2

的零点之差的绝对值不超过0.25,只有/(x)=4x-l的零点适合，故选A。

64.19.(2009重庆卷文)把函数/(x)=d—3x的图像G向右平移“个单位长度，再向下平

移丫个单位长度后得到图像若对任意的“〉0,曲线G与G至多只有一个交点，则n

的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

解析根据题意曲线C的解析式为y=(x-u)i-3(x-u)-v,则方程

(x—up—3(x—w)—v—9—3x,即3ux~—3w+v)<0»即uN—〃'+3w对任意

4

u>0恒,成立,于是丫N—1/3+3w的最大值，令g(〃)=—“3+3u(u>0),则

44

g(®=——〃2+3=一巳®—2)(〃+2)由此知函数g(〃)在(0,2)上为增函数,在

44

(2,+8)上为减函数，所以当“=2时，函数g(〃)取最大值，即为4,于是丫24。

二、填空题

1.(2009辽宁卷文)若函数/(x)=^^^在x=l处取极值，则。=___________

x+1

［解析］f'(x)=2Mx+D-(?+")

(x+l)2

f'⑴二土工二。na=3

4

【答案】3

2.(不知道哪里的)若曲线/(x)=ax2+/〃x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围

是_____,

解析解析：由题意该函数的定义域x〉0,由/'(x)=2ax+：。因为存在垂直于y轴的

切线，故此时斜率为0,问题转化为x>0范围内导函数f(x)=2ax+：存在零点。

解法1(图像法)再将之转化为g(x)=-2ax与力")=’存在交点。当a=0不符合题意,

当〃>0时，如图1,数形结合可得显然没有交点，当a<0如图2,此时正好有一个交点，

故有a<0应填(—8,0)

或是｛a|a<0｝。

解法2(分离变量法)上述也可等价于方程2公+工=0在(0,+8)内有解，显然可得

a=-Je(-oo,0)

3.(2009上海卷文)函数f(x)=x、i的反函数p(x)=.

【答案】6万

【解析】由y=x'+l,得*=#,_],将y改成x,x改成y可得答案。

3\X<]

4.(2009北京文)已知函数/(x)=<"'若〃x)=2,贝ijx=

r.x>1,

【答案】log32

x<1X>1

由4=>x=log32,<无解，故应填log?2.

3V=2-x=2=>x=-2

5.(2009江苏卷文)函数/(x)=x3—15f—33x+6的单调减区间为.

f'(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(%+1),

由(九一1l)(x+1)<0得单调减区间为(-1,11)«亦可填写闭区间或半开半闭区间。

6.(2009江苏卷文)在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y=V-10x+3上，且在第

二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.

/=3X2-10=2=^X=±2,又点P在第二象限内，.•.x=-2点P的坐标为(-2,15)

V5-1

7.(2009江苏卷文)已知a=函数〃幻=优,若实数“、“满足/(〃?)>/(〃),

2

则机、n的大小关系为.

。=与匚6(0,1),函数/(x)=优在R上递减。由/(团)>/(〃)得：m<n

8.(2009江苏卷文)已知集合4=卜|1082工42｝,3=(-8,。)，若A=8则实数。的取值

范围是(C,+8),其中C=.

由log?1<2得0<九<4,A=(0,4］；由A=B知a>4,所以c=4。

9.(2009山东卷文)若函数f(x)=a'-x-a(a>0且aH1)有两个零点，则实数a的取值范围

是:

【解析】：设函数〉=优仅>0,且awl｝和函数y=x+a,则函数f(x尸a、x-a(a>0且aw1)

有两个零点，就是函数y^ax(a>0,且aH1｝与函数y=x+a有两个交点,由图象可知当

0<。<1时两函数只有一个交点,不符合，当时，因为函数y=a*(a>l)的图象过点

(0』),而直线>=X+<7所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数

a的取值范围是

答案：｛a\a>i｝

10.(2009四川卷文)设丫是已知平面M上所有向量的集合，对于映射

记。的象为f(a)o若映射f：V->V满足：对所有a、bEV及任意实数都有

f(几a+〃b)=2f(a)+〃f(b),则/称为平面〃上的线性变换。现有下列命题：

①设/是平面〃上的线性变换，a、b&V,则/(a+b)=/(“)+/(b)

②若e是平面M上的单位向量，对aeV,设7(a)=a+e,则/是平面M上的线性变换；

③对awV,即伍)=-。，则/是平面M上的线性变换；

④设/是平面”上的线性变换，aeV,则对任意实数人均有/(N)=4(幻。

其中的真命题是(写出所有真命题的编号)

【答案】①③④

【解析】①：令几=〃=1,则/(a+b)=/(a)+/3)故①是真命题

同理，④：令4=k〃=0,则/(匿0=故④是真命题

③：Vf(a)=-a,则有/0)=—8

f(Aa+或)=-(Aa+址>)=2-(-a)+〃-(-b)=­)+川(。)是线性变

换，故③是真命题

②：由/(a)=a+e,则有/(/?)=b+e

f(Aa+曲)-(Aa+/jb)+e=4•(a+e)+〃•(/?+e)-e=歹(a)+-e

•；e是单位向量，eWO,故②是假命题

11.(2009宁夏海南卷文)曲线y=xe'+2x+l在点(0,1)处的切线方程为。

【答案】y=3x+l

【解析】y'=ex+xex+2,斜率k=e°+0+2=3,所以，y—l=3x,即y=3x+l

12.(2009重庆卷文)记/(公=1083。+1)的反函数为〉=/7(外，则方程/T(X)=8的解

X=•

【答案】2

解法1由y=/(x)=log3(x+l),得X=3>T,即/T(X)=3X—1,于是由3x—1=8,解

得x=2

解法2因为/-l(x)=8,所以x=y(8)=log3(8+l)=2

三、解答题

1.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取得最

小值01—1(111/0).设函数/(》)=纲

X

(1)若曲线y=/(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为J5,求m的值

(2)MkeR)如何取值时，函数y=/(x)-丘存在零点，并求出零点.

【解析】(1)设g(x)=ax2+6x+c,则，(x)=2ax+b：

又g'(x)的图像与直线y=2x平行.1.2a=2a=1

b

又g(x)在％=-1取极小值，一万二一1，b=2

g(-l)=a-h+c=\-2-^c=tn-lfc=机；

/(X)=21_H=X+%+2'设P(X0,J

XX

(、22____

贝"PQ『=x；+(yo-2)2=x；+x0+—=2片+与+2227^7+2

kX0J10

・，.2J2m2+2=4m=±—；

2

»2?

(2)山y=/(x)-履二(1-Z)x+—+2=0,

得(1一%)尤?+2x+小=0(*)

7/77??

当k=l时，方程(*)有一解x=—函数y=/(x)—乙有一零点x=—三；

当上*1时，方程(*)有二解04=4一4机(1一攵)>0,若机>0,k>l-—,

m

函数y=/(x)-质有两个零点x=-2±yt；4：(I)=l±若“<0,

k<一,函数y=〃x)—履有两个零点X=-2±--4加(1-《)=”正”(14)；

m2(i)k-\

当人*1时1方程(*)有一解=A=4—4〃z(l—k)=0,々=1—1•，函数

m

y=/(x)一点有一零点x=鼠彳

2.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数/(x)=x3+(]-4)/-a(a+2)x+/?

(a,beR).

(I)若函数/(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求。力的值;

(II)若函数”X)在区间(—1,1)上不单摒求a的取值范围.

解析:(I)由题意得/(%)=31+2(1-a)x-a(a+2)

乂!f(0)=b=0

解得b=0，a=—3或a=l

[尸(0)=-a(a+2)=-3

(H)函数/(x)在区间(-1,1)不单调，等价于

导函数/'(x)在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

即函数/'(X)在(-1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有

/(一1)/'(1)<0,即：[3+2(1-a)-a(a+2)][3-2(1-a)-a(a+2)]<0

整理得：(a+5)(a+l)(a—<0,解得一5<“<—1

3.(2009北京文)(本小题共14分)

设函数/(x)=%3—3ax+b(aw0).

(I)若曲线y=/(x)在点(2J(x))处与直线y=8相切，求a,b的值；

(II)求函数/(x)的单调区间与极值点.

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查

综合分析和解决问题的能力.

(I)/'(x)=3x2-3a,

•••曲线y=f(x)在点(2,/(x))处与直线y=8相切，

/⑵=03(4-a)=0[a=4,

〈=><=>>

"2)=8〔8—6a+8=8m=24.

(IDV/'(x)=3(x2-a)(G^0),

当a<0时，/(x)>0,函数/(x)在(一8,+8)上单调递增,

此时函数/(x)没有极值点.

当a〉0时，由/,(x)=0=>x=+4a，

当时，/1(x)>0,函数/(x)单调递增，

当x4时，/1(x)<0,函数/(x)单调递减，

当xe(6,+8)时，/'(x)>0,函数/(x)单调递增，

.,.此时》=-是/a)的极大值点，x=&是/(X)的极小值点.

4.(2009江苏卷文科)(本小题满分16分)

设。为实数，函数/(%)=2一+(九一

⑴若/(0)21,求a的取值范围；

⑵求/(%)的最小值;

⑶设函数/?(x)=/a),%G(a,+x)),宜谈号中(不需给出演算步骤)不等式〃(％)>1的解集.

【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵

活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

。<0

(1)若/(O)21,则一〃⑷21=><.=>a<-l

a2>i

/(«),«>02a2,a>0

(2)当时，/(%)=3x2-lax+a1„f(\=

J3x»min2a2

呜),”0---,a<0

.3

—2〃~,a20

2/(-«),«>o

当时,f(x)=x+2ax-a\/(x)min=

f(a),a<02a2,a<0

-2a2,a>0

综上〃X)min=2a2

---,a<0

3

(3)X£(a,+oo)时，h(x)>1^3x2-2ax+a2-1>0,A=4a2-12(a2-l)=12-8tz2

当〃〈——^―或〃N—^―时，△<0,X£(〃,+8);

V6y/6,ci-J3-2〃~a4-43-2a~.

当----<tz<时i△>(),得：J(zx-)(x~)-A0

2233

x>a

讨论得：当a£(=,：-)时，解集为(a,+8)；

业V6■'/^、H住斗，，a—yl3—2a~/+,3-2。~、

当aw(---,---)时,解集为(a,-----------]u[-----------,+8);

也rV2-,A,J/fawr+^3—la'

当ae[---]Ht,解集为[-----------,-H»).

5.(2009山东卷文)(本小题满分12分)

1,,

已知函数f(x)=-ax+bx~+x+3,其中a*0

(1)当a,6满足什么条件时,/(x)取得极值?

(2)已知。〉0,且〃x)在区间(0,1］上单调递增，试用。表示出。的取值范围.

解：⑴由已知得了'(X)=ax2+2bx+\，令/'(%)=0，得ax2+2bx+\=0,

/(x)要取得极值，方程ax2+2"+1=0必须有解,

所以△=4/—4a〉0,即6>a,此时方程ax?+2bx+l=0的根为

-2b-d4b2-4a-b-\lb2-a-2b+N4b2-4〃-b+yjb2-a

须,X]~~

2aa2aa

所以/'(x)=a(x-xJ(x-X2)

当a>0时，

X(Xl,x)

(-°°,X|)X12X2(x2,+°°)

f'(x)+0—0+

f(x)增函数极大值减函数极小值增函数

所以/(x)在X1,X2处分别取得极大值和极小值.

当a<0时，

X(-8的)X2(X2,X1)X1(Xl,+8)

f'(x)—0+0一

f(x)减函数极小值增函数极大值减函数

所以/(X)在XI,X2处分别取得极大值和极小值.

综上，当a,b满足〃>a时:/(x)取得极值.

(2)要使/(x)在区间(0,1］上单调递增，需使尸(x)=a?+2bx+120在(0,1］上恒成立.

即bN—?—J,xe(0J恒成立，所以

22x22x

iiQ12---)

、八/、ax1,/xa1a

设g(x)=-万-三，g叱―5+彳=-^-'

令g，(x)=0得x=或x=--(舍去),

yjayja

当a>1时,0<工<1,当xe(0,时g\x)>0,g(x)=—竺单调增函数;

ayja22x

当xe(3，l］时8口)<0遥(幻=-竺--1-单调减函数,

da22x

1