考点32异面直线所成的角（解析版）

【2022版】典型高考数学试题解读与变式

考点32异面直线所成的角

【考纲要求】

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

【命题规律】

异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018

年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题.

【典型高考试题变式】

(一)空间直线与直线夹角的问题

例1.12017全国3卷(理)】a,》为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形A3C

的直角边AC

所在直线与〃都垂直，斜边A3以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线A6与。成60'角时，AB与方成30。角；

②当直线A3与a成6()'角时，与人成60'角；

③直线A3与〃所称角的最小值为45°；

④直线AB与a所称角的最小值为60°；

其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)

【答案】②③

【解析】由题意知，a,b,AC:.条直线两两相互垂直，画出图形如图.

不妨设图中所示正方体边长为1,故|AC|=1,=

边钻以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，3点的运动轨迹是以C为圆心，1为半

径的圆.以C为坐标原点，以国为了轴正方向，围为>轴正方向，

C4为z轴正方向建立空间直角坐标系.则。(1,0,0),40,0,1),

直线。的方向单位向量a=9,1,0)，H=l.3点起始坐标为(OJO)，

直线6的方向单位向量b=。，0,0)，同=1.设5点在运动过程中的坐标B'(cosasina0),

其中。为8'C与8的夹角，6>e[0,271).

那么A3,在运动过程中的向量而：=(-cosa-sinai),|画=3.

「无］|(-cos^-sin0,l).(O,l,O)|V2..&fn72

设正与“所成夹角为ae,则cosa=--------印时--------=—|sm0\e^0,—

ITjr

故。€75,所以③正确，④错误.

7T

设福与另所成夹角为£e[0,/],

_陷」_|(-cosdsin，,I).l,0,0)|

当正与。夹角为60。时，即。=方,

卜in，|=V2cosa=显吟=吟当

因为cos?6+sin?。=1,所以kos6|=1^.所以cos/=1^cosq=g.

因为尸e0,TT-.所以尸=三TT，此时市与》夹角为60°.所以②正确，①错误.故填②③.

【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角，可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直,

则化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证明.一般情形，可通

过平移后通过解斜三角形求两条异面宜线所成的角.

【变式11改编例题中条件，求两直线的夹角】如图，已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,

CD=1,AD=后,ZADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD',直线AC与BD'所

成角的余弦的最大值是.

【答案】国

6

【解析】试题分析：如图，连接BD，，设直线AC与所成的角为6.

。是4c的中点.由已知得AC=#，以05为x轴，为丁轴，过0与平面ABC垂

直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0,手,0）,8（孚,0,0），C（0,-哙,0）.作

OH_LAC于〃，连接DH翻折过程中，Z）H始终与AC垂直，则

CD21aV6lx石疝

Cn=-----==----♦贝」OH=--，Un=—7=—=---,囚上匕

CA瓜63V66

>/30>/6，vy/nrm，、

D(----cosa,----,----sma)(设NDHD=a),

636

则丽=(—画cosa—叵逅,画sina)，与名平行的单位向量为〃=(0,1,0),

6236

BD'n显

所以cos0=|cos<BD',n>|=3所以cosa=-l时，cos。取得

BD'\\n\

j9+5cosa

最大值，为如.

6

【变式二】【改编例题中结论，求解动态问题】在四棱柱A8CO-4ACA中，A4,1

平面A/CQI，底面A4GA是边长为。的正方形，侧棱A4,的长为〃，E为侧棱84上

的动点（包括端点），则（）

A.对任意的a,b,存在点E,使得用O_L£G

B.当且仅当时,存在点E,使得用£>_LEG

C.当且仅当时,存在点E,使得B|O_LEG

D.当且仅当匕时，存在点E,使得用。_LEG

【答案】C

【解析】试题分析：以。为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，则用(a,a,O),

0(0,0,))，C1(0,a,0),设£(a,a,f)(0〈t4匕)，

所以B^D—(—<2,—a,Z?),EC\—(—o,0,—f)»

所以瓦万•皮=。2一活，令“2—仍=0,r=土，由04幺得。4匕，

bb

所以当且仅当“W人时，存在点E,使得用OLEG，故选项C正确.

(二)异面直线的夹角

例2.(2021高考全国乙卷文10理5)在正方体ABC。-AgGR中，P为片。的中点,

则直线与AA所成角为()

71717171

A.-B.-C.-D.一

2346

【答案】D

【分析】平移直线AR至BC「将直线依与AR所成的角转化为P3与BQ所成的角，解

三角形即可.

【解析】如图，连接5储,PG，P6,'：AD,//BC,,：.ZPBC,或其补角为直线尸B与AD,

所成的角，：B4d.平面A4GA，J.PG，又PC1工BQ1,BB]CBQ1=B],

/.PC]_L平面PBB,,：.PC,1PB,

设正方体棱长为2,则8&=2血,尸sinNP8G=q$=〈，

23C12

77

AZPBC］故选D.

【方法技巧归纳】求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到

（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.

（2）向量法：利用向量法求异面直线所成角的步骤

建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角1

坐标系：

定向量：确定异面直线上两个点的坐标，从而

确定异面直线的方向向量

计算：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余

弦值

下星论：两异面直线所应篇的叁弦值,于两方］

、向___向__量___夹__角__余___弦__值__的___绝__对___值____________________I,

3.注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.

【变式1】【改编题目条件和结论，利用向量法求解】已知正四棱锥P-ABC。中，

PA=AB=2,E,P分别是PB,PC的中点，则异面直线AE与8/所成角的余弦值为

【答案】C

【解析】建立如图所示空间直角坐标系,

可知A(J5,O,O)，4o,与用间0,0,0），+孚0,等

则荏J-五,交，立〕，丽=

【变式2】【改编题目条件和结论，利用普通方法求解】如图，在四棱锥P-A3QD中,

PO_L平面ABC。，E为线段AP的中点，底面ABC。为菱形，若3O=2a,PC=4a,

则异面直线。E与PC所成角的正弦值为（）

【答案】B

【解析】如图，•.•DB，AC,DB_LPO,.,.DB，平面尸AC从而。0，。石，又

EO=LpC=2a,DO=LDB=a所以。石，4/+/=6

22

故选B.

【数学思想】

1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包

括解题）都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体

现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上

三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数

法、构造法等都是转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.

2.转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化

等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结

果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带

来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.

非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常

用到，一定要特别重视！

3.转化与化归的原则

（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；

（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；

（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的

问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.

（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破

的途径；

（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.

4.转化与化归的基本类型

（1）正与反、一般与特殊的转化；

（2）常量与变量的转化；

（3）数与形的转化；

（4）数学各分支之间的转化；

（5）相等与不相等之间的转化；

（6）实际问题与数学模型的转化.

5.常见的转化方法

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；

（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题;

（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；

（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；

（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途

径；

（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；

（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题;

（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通

过一般化的途径进行转化；

（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；

（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A,而把包

含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集获得原问题的解决.

立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将

几何问题转化成代数问题加以解决.

【空间角的范围处理错误注意点】

解决此类问题，要注意各种空间角的给定范围，容易在范围上出现问题.

【典例试题演练】

一、单选题

1.（2022.广西南宁.模拟预测（理））如图是长方体的展开图，且ABFE为正方形,

其中P、。分别为AE＞、”/的中点，下列判断①AM//CG,②AF11DK,③BPUJQ,④

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

根据长方体的展开图，还原长方体，根据图形求解即可.

【解析】

将展开图还原成长方体，如图

H(N.E)

由图可知①AA///CG不正确，②AF//DK正确，③不正确，由">=2A8,ABFE

为正方形知/GQ/=90。，故④正确，

综上②④正确.故选C.

2.（2022.全国•高三月考）两条异面直线与同一平面所成的角不可能是（）

A.两个角均为60°

B.一个角为0。，一个角为90°

C.两个角均为0。

D.两个角均为90°

【答案】D

【分析】根据线面角的概念与线面的位置关系对每个选项分别进行判断，即可得出答案.

【解析】A：如果两条直线与同一个平面所成的角为60。，则这两条直线可能平行，可能相

交，也可能异面，，选项A有可能；

B：如果一条直线与平面平行，另一条直线与平面垂直，且两条直线不相交，此时两条直线

与平面所成的角一个角为0°，一个角为90。，...选项B有可能；

C：如果两条直线都与这个平面平行，且这两条直线不平行，也不相交，则两直线异面，此

时两条直线与平面所成的角均为0°,.•.选项C有可能；

D：若两直线与同一平面所成角都是90，则两直线都与该平面垂直，故它们平行，不可能

为异面直线，故选项D不可能.故选Z）.

3.（2022•湖南湘潭•一模）如图，在直四棱柱ABCQ-4BC2中，下列结论正确的是（）

A.AC与8A是两条相交直线

B.44,〃平面SBQ

C.B\C//BD\

D.A,C,Bl,R四点共面

【答案】B

【分析】根据异面直线的判定定理，直线与平面平行的判定定理，四点共面的判定，结合四

棱柱的性质逐一判定即可.

【解析】BQu面ABA，ACc面ABA=A,AWB。，；.AC与8。是异面直线，A错；

•/AA,//BBt,A4<Z面B&A，u面BBR,；.明〃面BBQ,B正确；

BD，u面BBR,BCD面BBQ=A，及任BQ,，与8R是异面直线，C错；

如图所示，A,C,，三点在面AC。上，8a与面ACR相交，.•.A,C,q，，四点不

共面，D错.

故选B.

4.（2022・四川・树德中学高三月考（理））已知四面体A8C。的所有棱长均为应，M,N分

别为棱A。，BC的中点，F为棱AB上异于4,8的动点.有下列结论：

①线段MN的长度为1；

②若点G为线段MN上的动点，则无论点尸与G如何运动，直线FG与直线C。都是异面

直线；

③NMFN的余弦值的取值范围为［0,中）；

④△尸MN周长的最小值为夜+1.

其中正确结论的为（）

A.①@B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【分析】将正四面体48。放置于正方体中，由M,N所处位置即可判断①；取48,MN,

CQ中点F,G,E,探讨它们的关系可判断②；

计算8SZJWBN可判断③；把正△ACBH正△4)8展开在同一平面内，计算即可判断④并作

答.

【解析】如图，在棱长为1的正方体上取顶点A,B,C,D,并顺次连接即可得四面体4BCC,

其棱长均为应，

因M,N分别为棱A£>,BC的中点，则M,N恰为正方体相对面的中心，即MN=1,①正确;

取48的中点凡MN的中点G,8的中点E,由正方体的结构特征知'G,E共线，即

直线FG与直线CD交于E,②不正确；

△MBN中,BM=y/BD2-DM2=j(V2)2-(―)2=—，BN^—,MN=\,由余弦定理得:

V222

cosNMBN=BN2上..BM?二MN[=旦>旦，当点尸无限接近于点B时，cosNMFN无限接

2BNBM35

近于立，③不正确；

3

把四面体A3CC中的正△4CB与正△相«展开在同一平面内，连接MN,必过48的中

点，在A8上任取点广，连MF；NF',如图，

此时，MP+NF*MN=应,当且仅当点尸与线段中点重合时取“="，则对AB上任意

点、F,MF+NP有最小值0,于是得在四面体A8CO中，AFMV周长用尸+NF+MN有最

小值夜+1，④正确，，①④为正确的结论.故选D.

5.(2022•浙江•高三专题练习)如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：

①AFHCN；

②8M与AN是异面直线；

③A尸与所成角为60;

®BN±DE.

以上四个结论中，正确结论的序号是（）

A.②④B.③④C.①②③D.②③④

【答案】B

【分析】

作出图形，利用图形可判断①的正误；证明出四边形为平行四边形，可判断②的正

误：利用异面直线的定义可判断③的正误；证明出平面A6MN,利用线面垂直的性质

可判断④的正误.

【解析】

对于①，由图可知，AF、CN异面，①错：

对于②，在正方体中，AB//MN5.AB=MN,

四边形A6AW为平行四边形，故BMHAN,②错：

对于③，例〃4V,故异面直线A尸与8M所成角为NEAN或其补角，

易知AN=AF=FN,故AAFN为等边三角形，则/E4N=60\③对；

对于④，•.,四边形为正方形，则OEL4V,

AB_L平面DEu平面AEWE,.•.£>£：_LAB,「A3nA7V=A,DEJ_平面ABMN,

。;BNu平面ABMN,:.DE上BN,④对.故选B.

6.（2022•浙江•高三专题练习）甲、乙、丙做同一道题：已知a,。是两个不同的平面，m,

〃，/是三条不同的直线，且满足机ua,nu0,a[}/3=l甲说：乙说：

-mln?',丙说：“〃〃/”，如果三人说的均是正确的，以下判断正确的是（）

A.mH/]B.n±a

C.直线机，/不一定垂直D.直线m，”为异面直线

【答案】D

【分析】将甲、乙、丙三人的说法作为已知条件推理即可得答案.

【解析】结合甲、乙、丙三人的说法可知，当夕，mln,“〃/正确时，可得到机，/,

故C选项错误；

又•：mua,nu0,a[\P=l,故A选项错误；

由于〃〃/,机ua,=m,n,/是三条不同的直线，.•.〃//2,故B选项错误；

当。，夕，mln,〃〃/正确时，直线也，〃只能为异面直线，故D选项正确.故选D.

7.（2022・上海•华师大二附中高二期中）几何体「的表面上有三条线段A3、CD、EF,有

AB.CD、EF所在直线两两异面，则在①棱柱：②棱锥；③圆柱：④圆锥；⑤球中，「有

可能是（）

A.够③B.①②④C.①③④D.③④⑤

【答案】A

【分析】根据异面直线的定义以及几何体的结构特征即可求解.

【解析】由图可知，「有可能是棱柱，

由图可知，「有可能是圆柱,

由于圆锥侧面上的直线都相交于一点，

不可能存在三条两两异面的直线，故r不可能为圆锥；球的表面不存在直线，故故「不可

能为球.故选A.

二、多选题

8.（2022.福建•福州三中高三月考）如图，已知圆锥的轴截面以B为等腰直角三角形，底面

圆O的直径为2.C是圆O上异于A,8的一点，。为弦的中点，E为线段P8上异于P,

8的点，以下正确的结论有（）

A.直线ACJ.平面PDOB.CE与PD一定为异面直线

C.直线CE可能平行于平面尸£>。D.若BC=0，则C£+A£的最小值为6+1

【答案】ABD

【分析】

利用线面垂直定理可判断A,由异面直线判定可判断B,利用反证法可判断C,利用平面几

何知识可判断D.

【解析】

对于A项：在△AOC中，OA^OC,。为4c中点，

AAC1OD,又尸。垂直于圆O所在的平面，

/.PO1AC,：POnO£>=O,AC,平面P。。，故A正确.

对于B项：由于P,C,E共面，且。在平面PCE外，与异面，故B正确.

对于C项：：）〃。。可得龙〃平面POO,若直线CE//平面P。。，则有平面PBC〃平面

PDO,这与两平面有公共点P矛盾，故C错.

对于D项：在三棱锥P-ABC中，将侧面尸BC绕P8旋转至平面PBC',使之与平面a8共

面，如图所示，

则当A,E,C'共线时，CE+AE取得最小值，

VAB=2,BC'=叵=PB=PC',ZA8C'=105°,

由余弦定理可得AC'=K+1,即CE+AE的最小值为8+1,故D对.

故选ABD.

9.(2022•广东・深圳市龙岗区平冈中学高三月考)已知正方体ABCD-AEGA中，点E为棱

的中点，点尸是线段G。上的动点，AA=2,则下列选项正确的是()

A.直线AP与瓦E是异面直线

B.点尸到平面AEB,的距离是一个常数

C.过点C作平面AE瓦的垂线，与平面ABC。交于点Q,若印=3印，则。“尸

D.若面CDRG内有一点。，它到C。距离与到C4的距离相等，则。轨迹为一条直线

【答案】ABC

【分析】

利用异面直线的定义判断选项A；

证明CQ〃平面AEB」即可说明点P到平面AEB,的距离是一个常数；

建立空间直角坐标系，利用向量法判断选项C；

判断出QG为点。到G片的距离，根据抛物线的定义可知，。的轨迹为抛物线的一部分，故

可判断选项D.

【解析】

对于选项A,如图，APu平面A&CQ,4Ec平面A8CQ=81,

故直线"与AE不平行，且用

故直线"与BE不相交，.•.直线”与B卢是异面直线，故选项A正确；

对于选项B,在正方体中，GQ//A6，=Aqu平面AEB一6。0平面4后81,

.•.6。〃平面4£片，又PeCQ,故点尸到平面AE4的距离是一个常数，故选项B正确；

对于选项C,以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0),5,(2,2,2),£(0,0,1),C(0,2,0),

.•.砾=(0,2,2),/=(-2,0,1),

•.,空=3印，则尸(0,言，.•.福=(-2芸，

设存在QeAP,设而“丽=(-22孕孕)，则Q(-22+2,*2),

—•44

^Cg=(-22+2,-2-2,-2),

・・・C0_L平面A%

44

(-2-2)x2+-2x2=0

①•码=0333

即《'解得人“

CQAJE=04

(-22+2)x(-2)+-2=0

则Q（31）,满足条件，故选项C正确；

对于选项D,平面C£»AG，又QGu平面C£»AG，

CB、±QG，即QG为点Q到C#的距离,

根据抛物线的定义可知，Q的轨迹为抛物线的一部分，故选项D错误.

10.（2022•江苏•高三开学考试）如图，已知圆锥的轴截面A4B为等腰直角三角形，底面圆。

的直径为2,C是圆。上异于A,B的一点，。为弦AC的中点，E为线段依上异于P,B

的点，以下正确的结论有（）

A.直线AC_L平面尸£）0

B.CE与尸。一定为异面直线

C.直线CE可能平行于平面叨O

D.若BC=0，则CE+OE的最小值为6+瓜

2

【答案】ABD

【分析】

证明AC_LDO,PO_LAC利用线面垂宜的判定定理可判断A；由异面直线的定义可判断B；

假设CE〃平面P。。，可证得平面PDO//平面PBC与已知矛盾可判断C；在三棱锥P-ABC

中，将侧面3cp绕形旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面，当。，E，C'共线时，

CE+OE取得最小值可判断D,进而可得正确选项.

【解析】

对于A：在△AOC中，VOA=OC,。为AC的中点，AAC±DO,

又尸。垂宜于圆0所在的平面，，PO,4C,；OOnPO=O，

AC_L平面PDO>A正确.

对TB：•；CEu面PBC,P。二面PBC,PDc而PBC=P,P史CE,

根据异面直线判定定理知CE与PD一定为异面直线，；.B正确.

对于C：若直线CE平行于平面PD。，,?CB//OD.CB<z平面POO,0£>u平面POO,则

⑦〃平面PDO,C£cCB=C,；.平面P。。〃平面PBC与平面POO和平面PBC相交矛盾,

.'.C不正确.

对于D：在AP08中，PO=OB=l,NPO8=90。，:•PB=R7^=近，

同理PC=0，APB=PC=BC.

在三棱锥P-ABC中，将侧面8cp绕P8旋转至平面BCP,

使之与平面共面，如图所示，

当。，E,C'共线时，CE+OE取得最小值.

XVOP=OB.C'P=CB,

：.OC垂直平分PB,即E为您的中点，

AKifoOC'=OE+EC'=—+—=二十",

222

亦即CE+OE的最小值为应+”,，D正确.

2

故选ABD.

11.（2022.广东・广州市培英中学高二月考）正方体"CD-AAGR的棱长为2.点P在正

方体的体对角线。由上（包含端点），点。在正方体的棱CC,上（包含端点），则（）

A.直线。再与CG的距离为2

B.点P在上运动，点。在CG上运动时，|PQ|的最小值为应

C.当点P、。分别为R8、CG的中点时，尸。到面A3CD的距离为1

D.当点。为棱CC的中点，点P在。/上运动时，存在点尸，使得PQJ•面8。。蜴

【答案】BCD

【分析】

作出直线由VCG的中垂线，进而判断A,B,通过线面垂直的证明可以判断C和D.

【解析】

如图：

当P,。分别为,CG的中点时，取BD中点M,连接PM，MC,则PM//DQ,PM=g»D,

易知QC"D、D,QC=；D、D,：.PM"QC,PM=QC,则四边形PMCQ为平行四边形，，

PQ//MC,PQ=MC.易知MCLBD,而〃。，平面ABCD,MCu平面ABCD，则

DQ1.MC,又D、DcBD=D,MCL平面88aO,则MCJLBR,又PQ/IMC,：.

PQ1BDt.又•.•CGJ_MC,.♦.CGJ.PQ.于是P。是8。与CC,的垂线段，且

PQ=MC=42.故A错误，•.•连接两条异面直线上两点的线段中，垂线段的距离最大，故

B正确；

而此时PQ到面ABCD的距离d=PM=l,故C正确；

由前面的证明可知，此时MCI.平面BBQQ,PQ//MC,PQL平面B8QD,故D正确.故

选BCD.

三、填空题

12.（2022•陕西•西安中学高三月考（理））已知四面体A8CD的所有梭长均为正,M、N

分别为棱A。、BC的中点，F为棱A8上异于A、B的动点.则下列结论中正确的结论的

序号为.

①线段MN的长度为1；

②若点G为线段上的动点，则无论点F与G如何运动，直线尸G与直线8都是异面直

线；

③NA//W的余弦值的取值范围是［o,乎）；

④AFMN周长的最小值为忘+1.

【答案】①④

【分析】将正四面体放在正方体中观察.

对于①，可根据“、N分别为正方体前后两个面的中心可得出结论；

对于②，尸取为AB的中点，G取为MN的中点，此时FG与CZ）相交；

对于③，计算可得cosNMBN=®>好,由逼近思想可作出判断：

35

对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形ABC与4冷放在同一平面上，可计算出

MF+FN>42.

【解析】在棱长为1的正方体上取如下图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为&四

面体ABC。，

显然，M、N分别为正方体前后两个面的中心，故线段MN的长度为正方体棱长1,故①

对；

对于②，如图，尸取为的中点，G取为MN的中点，/取为8的中点，则由正方体的

性质易知，F、G、/三点在一条直线上，故此时FG与CD相交于1,故②错；

131

故cosNMBN=

又有MN=135

2.叵.星一

故尸点无限接近6点时，COS/MRV会无限接近且，故NMFN的余弦值的取值范围不为

3

对于④，如图将等边三角形ABC与曲铺平，放在同一平面上，

故有N'F+FM'2MM=夜，当且仅当尸为A8中点时加尸+机取最小值,

故在正方体中加尸+尸NW0，故AAWN周长的最小值为a+1，故④对.

故答案为：①④.

13.（2019•全国全国•高三专题练习）已知四棱锥P-AfiCD的底面ABC。是矩形，24_1_底

面A8CO,点E、尸分另IJ是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直：②平面P8C

与平面ABCD垂直；③APCD的面积大于△P4B的面积；④直线AE与直线BF是异面直

线.以上结论正确的个数为个

【答案】2

【分析】由线面垂直可判断①；由面面垂直的定义可判断②；由AB=C。，可判断

③；由EF/MB可判断④.

【解析】对于①：由PA_L底面A8C。得R4J_A3,由A8CO是矩形得AB_LA。，又

P4cAZ）=A,则AB_L平面PAD,AABJ,PD.故①正确；

对于②：仿①可证得CBJ■平面E4B,则CB_LPB,CB_LAB,，NP8A是平面P5C与平面

ABCO所成二面角的平面角，显然ZPA"90..平面P5C与平面ABCD不垂直，故②错

误；

对于③：APCD的面积E=gxCQxP。，△R4B的面积S2=gxA8xAP,VAB=CD,

PD>AP，：.S\>S”故③正确;

对于④：：点E,尸分别是棱PC,的中点，则历〃8,>LAB//CD,C.EFHAB,因此

AB,瓦尸四点共面，故④错误.故答案为：2.

14.（2022•上海市延安中学高二期中）如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①与是异面直线；②CN与BE平行；③CN与8M成60。角：④DW与8N垂直.请

写出所有正确结论的序号.

【答案】①②③④

【分析】由已知中的正方体平面展开图，画出正方体的直观图，结合正方体的几何特征，判

断题目中的命题即可.

【解析】由已知正方体的平面展开图，得到正方体的直观图，如图所示：

由正方体的几何特征得：

①与是相对两个平行平面的两条异面的对角线，二①正确；

②CN与m是相对两个平行平面的两条平行的对角线，，②正确；

③连接AN,〃⑷V,二N4NC为异面直线。V与所成的角，为等边三角

形，...N/WC=60。，...异面直线CN与8M所成的角为60。，，③正确；

@VDMINC,8cl平面DMu平面DOWN,:.BC工DM,BCANC=C,

BC,NCu平面BCN,；.平面8CN,又8Nu平面BCN,Z.DMVBN,...④正确；

综上，正确的命题是①②③④；

故答案为：①②③④.

E

AB

15.（2022•上海市徐汇中学高二期中）如图，质点M从正方体ABCC-A£G。的顶点A出

发，沿