抛物线的标准方程与几何性质

抛物线的标准方程与几何性质TOC\o"13"\h\z\u题型1抛物线的定义及其简单应用 2◆类型1定义法 2◆类型2定义的简单应用 8题型2抛物线的标准方程及性质 10◆类型1抛物线的标准方程 10◆类型2准线方程 14◆类型3焦点坐标 17◆类型4与“p”相关的考点 18题型3焦点弦长问题 23◆类型1利用|AB|=x1+x2+P=2psin2α(α是直线的倾斜角)解决问题 ◆类型2利用1|AF|+1|BF|=2p为定值(F是抛物线的焦点)解决问题 26◆类型3焦点弦长 28题型4周长问题 29题型5面积问题 33题型6最值问题 37◆类型1定义转换法 37◆类型2平移直线法 43◆类型3函数法 45题型7直线与抛物线的位置关系 50◆类型1直线与抛物线的位置关系 51◆类型2弦长问题 56◆类型3求直线方程 61题型8中点弦问题 69题型9解答题 74题型10实际应用 85知识点一．抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．2.抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)．3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．知识点二.抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下题型1抛物线的定义及其简单应用◆类型1定义法【例题11】（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（）A．抛物线 B．直线C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确【答案】C【详解】根据题意，分定点不在定直线上和定点在定直线上，两种情况分类讨论，结合抛物线的定义，即可求解.【分析】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，可得该动点到定点和到定直线距离相等，当定点不在定直线上时，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是抛物线；当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线.故选C．【变式11】1.（2023秋·高二课时练习）若动点P到点3,0的距离和它到直线x=-3的距离相等，则动点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线【答案】B【分析】根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹作答.【详解】动点P到点3,0的距离和它到直线x=-3的距离相等，而点3,0不在直线x=-3，所以动点P的轨迹是以点3,0到直线x=-3的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.故选：B【变式11】2.（2022·全国·高二专题练习）已知点M(2,2)，直线l:x-y-1=0，若动点P到l的距离等于PM，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线【答案】C【分析】由抛物线的定义求解即可.【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点P的轨迹是抛物线.故选：C【变式11】3.（2023·全国·高二专题练习）动点Mx,y满足方程5A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.【详解】由5(x-1)2+等式左边表示点x,y和点1,2的距离，等式的右边表示点x,y到直线3x+4y+12=0的距离，整个等式表示的意义是点x,y到点1,2的距离和到直线3x+4y+12=0的距离相等，且点1,2不在直线3x+4y+12=0上，所以其轨迹为抛物线.故选：D.【变式11】4.（2023秋·高二课时练习）如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过点P作圆A的切线l，当rr≥12AB变化时，A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线【答案】D【分析】数形结合找出公共点M到点B与到直线m距离相等，符合抛物线定义，所以由定义可得到轨迹为抛物线.【详解】由题意画图如下：设切线l与圆B的一个公共点为M，过点A作直线AB的垂线m，过点M作MN⊥m，垂足为N，连接MB，则MB=r，MN=PA=r，所以MB=MN，即动点M到定点B的距离等于动点M到定直线m的距离，且定点B不在定直线m上，根据抛物线定义知，动点M的轨迹是以B为焦点，m为准线的抛物线．故选：D．【变式11】5.（2022·全国·高三专题练习）斜线段AB与平面α所成的角为15°，平面α内的动点P满足∠PAB=15°，则点P的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆C．抛物线 D．双曲线的一支【答案】C【分析】根据圆锥曲线的几何定义：轴截面顶角为30°的圆锥体，将一个平行于母线的平面截圆锥在锥体侧面所成轨迹即为P的轨迹，应用数形结合即可确定轨迹的形状．【详解】当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成15∘故选C．【变式11】6.（2021秋·黑龙江鸡西·高二鸡西市第一中学校校考期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为侧面ABBA．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线【答案】D【分析】根据正方体的性质得点M到平面ADD1A1的距离等于点【详解】解：正方体ABCD-A1B1C1D1中BC⊥平面AB∵平面ADD1A1⊥平面ABB1A1，∴∵点M到平面ADD1A1的距离与到直线BC的距离相等，∴MB等于点根据抛物线的定义，可知动点M的轨迹为抛物线.故选：D.【变式11】7.（2021秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线【答案】B【分析】作PQ⊥AD，QR⊥A1D1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2-PQ2=R【详解】解：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C则PQ⊥平面ADD1A1，过Q作QR⊥A则PR为点P到直线A1由题意得PR由已知得PR所以PQ=PM，即P到点M的距离等于P到AD的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B【点睛】此题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结的数学思想，属于中档题◆类型2定义的简单应用【例题12】（2022秋·山东淄博·高一校考期末）若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为9，则点P的纵坐标为（

）A．±43 B．±6 C．6【答案】D【分析】设出P的纵坐标，利用抛物线的定义列出方程，求出答案.【详解】由题意得：抛物线准线方程为y=-2，P点到抛物线的焦点的距离等于到准线的距离，设P点纵坐标为y0，则y0+2=9故选：D【变式12】1.（2021春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学校考阶段练习）过抛物线y2=x焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若AB=4，则弦ABA．74 B．94【答案】B【详解】如图所示，过弦中点M作准线的垂线MM'，做直线x+12=0过点A,B作准线的垂线AA',BB'，由梯形中位线的性质结合抛物线的定义可得：MM'=AA'+BB'则弦AB的中点到直线x+12=0本题选择B选项.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题【变式12】2.（2023春·四川泸州·高二校考期中）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，Ax0,【答案】2【分析】由抛物线方程求得其准线方程，根据抛物线的定义列出关于x0【详解】由抛物线C：y2=2x可得p＝1，p2因为Ax0,y0是C上一点，AF=54故答案为：2.【变式12】3.（2023·全国·高二课堂例题）若抛物线y2【答案】2【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上点A，B到焦点的距离转化为到准线的距离，再转化为与x轴的距离即可求.【详解】由抛物线方程y2=2x可知，设点Ax1,由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即AF=同理BF=故AF+BF=x1故线段AB的中点的横坐标是2．故答案为：2.题型2抛物线的标准方程及性质【方法总结】1.求抛物线标准方程的方法①先定位：根据焦点或准线的位置；②再定形：即根据条件求p.2.抛物线性质的应用技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．◆类型1抛物线的标准方程【例题21】（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为y=4；(2)顶点在原点，且过点-3,2；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点A3,m【答案】(1)x(2)x2=(3)y(4)y【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案.【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为y=4，可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且p2故抛物线标准方程为x2（2）由题意顶点在原点，且过点-3,2，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线标准方程为x2=2py(p>0)或分别将-3,2代入，求得p=9故抛物线标准方程为x2=9（3）由于直线3x-4y-12=0与x轴的交点为(4,0)，由题意可知抛物线焦点为(4,0)，则p2故抛物线标准方程为y2（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点A3,m则设抛物线方程为y2=2px(p>0)，焦点为(p故3-(-p故抛物线标准方程为y2【变式21】1.（2023秋·高二课时练习）已知抛物线y2A．y2=x B．y2=2x【答案】C【分析】根据抛物线的定义求解．【详解】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=-1的距离相，因此-p2=-1故选：C．【变式21】2.（多选）（2023秋·高二课时练习）（多选）点M(5,3)到抛物线y=axA．x2=1C．x2=-【答案】BD【分析】分类讨论求出抛物线准线方程，利用点到准线距离求出a得解.【详解】抛物线y=ax2的标准方程为当a>0时，开口向上，准线方程为y=-1则点M到准线的距离为3+14a=6因此，抛物线方程为y=112x当a<0时，开口向下，准线方程为y=-1则点M到准线的距离为3+1解得a=-1因此，抛物线方程为y=-136x故选：BD【变式21】3.（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）双曲线x210-【答案】y【分析】由双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，由抛物线的方程可得准线方程，再由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．【详解】由双曲线x210-y2所以双曲线的焦点坐标为±4，抛物线的准线方程为x=-p由题意可得-p2=-4所以抛物线的方程为：y2故答案为：y2【变式21】4.（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P1,y0在C上，过P作l的垂线，垂足为Q【答案】6【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出MF,【详解】如图，不妨令P在x轴上方，准线l与x轴交点为M，因为点P1,y0在C上，根据抛物线定义可得且∠FPQ=120°，则∠PQF=∠PFQ=30°，所以△PFQ为等腰三角形，且PQQF在Rt△QMF中，∠MQF=60°，即解得p=6，即F到l的距离为6.故答案为：6【变式21】5.（2023秋·高二课时练习）若抛物线y2=mx(m>0)的准线与圆【答案】x=-【分析】先根据圆的方程求得圆心为2,0，半径为3，再根据抛物线的方程可得准线方程为x=-m【详解】由x2+y2-4x-5=0y2=mx(m>0)的准线方程为由题意可得2+m4=3所以抛物线的准线方程为x=-◆类型2准线方程【例题22】（2023·全国·高二专题练习）过抛物线C:x2=2pyp>0的焦点F的直线l交C于A,B两点，若直线l过点P1,0A．y=-3 B．y=【答案】D【分析】设出直线l的方程，联立抛物线方程，设出A,B坐标，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出答案.【详解】因为直线l过点F0,p2,P1,0由y=-p2x-1设Ax1,因为AB=p整理得p3+4p-16=p-2所以抛物线C的准线方程是y=-p故选：D.【变式22】1.（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知抛物线y2=2pxp>0的准线为l，且点AA．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】点代入抛物线方程求得p的值，运用点到线的距离公式即可求得结果.【详解】由题意知，16=8p，所以p=2，所以抛物线方程为y2=4x，则抛物线的准线l为所以点A到抛物线准线的距离为4-(-1)=5.故选：A.【变式22】2.（2023春·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，准线为l，点Px0,1在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若POA．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】由抛物线的定义结合PO=PQ可求得p的值，由此可得出F到【详解】易知抛物线C的焦点为F0,p2所以，x02+1=x02+1-故选：C.【变式22】3.（2003·江苏·高考真题）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则A．18 B．-18 C．【答案】B【分析】将抛物线方程标准化后写出抛物线准线方程即可求得结果.【详解】抛物线y=ax2化为标准方程所以准线方程是y=-1所以-1解得a=-1故选：B.【变式22】4.（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点F2,0是抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，点M在抛物线C上，点A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】由焦点坐标可求出抛物线的方程，由∠MPF=90°，所以PM⋅PF=0，设【详解】因为点F2,0是抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，所以又因为∠MPF=90°，所以PM⋅设My028,所以x0故选：B◆类型3焦点坐标【例题23】（2022秋·广西河池·高二校联考阶段练习）抛物线y2A．-a4,0 B．a4,0 C．【答案】B【分析】分a>0，a<0，由2p=a求解.【详解】解：当a>0时，抛物线焦点在x轴上，开口向右，由2p=a得，p2∴焦点坐标为Fa同理可得当a<0时，焦点Fa故选：B.【变式23】1.（2023·江苏·高二假期作业）如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2【答案】2,0【分析】首先根据准线方程求p，再求焦点坐标.【详解】因为准线方程为x=-2=-p2，即p=4，所以焦点为故答案为：2,0【变式23】2.（2020秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线为l，圆M:(x-1)2【答案】0,1【分析】由题设抛物线准线为y=-p2，结合与已知圆的相切关系求得【详解】由题意，抛物线准线为y=-p2，且与圆M与圆心M(1,2)且半径为3，所以y=5或y=-1都是圆M的切线，又p>0，则y=-p2=-1，可得p=2，故抛物线C(0,故答案为：0,1【变式23】3.（2022·全国·高二专题练习）若抛物线y=x28【答案】4【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可.【详解】抛物线方程y=x28由抛物线的定义可知，点P到准线y=-2的距离为6，所以点P到x轴的距离为4．故答案为：4◆类型4与“p”相关的考点【例题24】（2023春·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C5p2,0，且△ACF为等边三角形，△ABCA．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】根据题意，由抛物线的性质，分别表示出AB,AD的长，然后结合△ABC的面积为3列出方程，即可得到结果.【详解】

过点A，做AD⊥x轴于点D，因为C5p2,0，F则CF=2p，FD=CD=12CF=p，则AB=2pS△ABC=1故选：A【变式24】1.（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，点M在抛物线上，且|MF|=3，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则A．2 B．22 C．4【答案】C【分析】作出辅助线，设出Mn22p【详解】过点M作MA⊥y轴于点A，交抛物线的准线于点B，由题意得Fp2,0由抛物线定义可知，MF=因为若M为线段FN的中点，所以AM=所以n2将其代入n22p+故选：C【变式24】2.（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线C：y2=2pxp>0的顶点为O，经过点AA．12 B．1 C．2【答案】C【分析】根据抛物线的定义结合AF=3OF可求得x0=p，然后将点【详解】因为点Ax0,2所以x0+p所以Ap,2，所以4=2p2故选：C【变式24】3.（2023·全国·高二专题练习）已知点P为抛物线y2=2px（p>0）上一动点，点Q为圆C:A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当C,Q,P,F共线，且P,Q在线段CF上时，PQ+PF最短，此时【详解】圆C:(x+2)2+(y-4)2抛物线y2=2px（p>0）则由抛的线的定义可知点P到y轴的距离为d=PF所以PQ+d=由图可知，当C,Q,P,F共线，且P,Q在线段CF上时，PQ+而CF=因为PQ+所以p2+22故选：B【变式24】4.（2023·全国·高二假期作业）已知抛物线C:y2=2pxp>0的C的准线与x轴交于T点，P0,1，F是C的焦点，Q是C【答案】5【分析】设Qx0,【详解】抛物线C:y2=2px由题意T-p2设Qx0,y0因为FQ=54所以x0=9代入y02=2px0所以p=5故答案为：5【变式24】5.（2023春·河南濮阳·高二濮阳一高校考期中）已知抛物线E：x2=2pyp>0的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A,B两点，与准线交于C点，F为AC的中点，且AF【答案】3【分析】利用抛物线的定义结合三角形中位线定理求解即可.【详解】设y轴交准线于N，过A作准线的垂线，垂足为Q，因为F为AC的中点，且AF=3则由抛物线的定义可得AQ=3，在Rt△ACQ中，FN=12故答案为：3【变式24】6.（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，直线y=4与抛物线交于点M，且MF【答案】4【分析】求出点M的坐标，利用抛物线的焦半径公式可得关于p的方程，即可求得答案.【详解】把y=4代入抛物线方程y2=2px（p>0），得得M8p,4，根据抛物线的定义有MF故答案为：4题型3焦点弦长问题【方法总结】活用抛物线焦点弦的四个结论抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化与化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上：设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)◆类型1利用|AB|=x1+x【例题31】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4B．eq\f(9,2)C．5D．6【解析】B法一(通性通法)易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1， ①因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1， ②由①②解得xA＝2，xB＝eq\f(1,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq\f(9,2).法二：(巧用结论)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,3)，所以tanθ＝2eq\r(2).则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝eq\f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(9,2).法三：(巧用结论)因为|AF|＝2|BF|，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,2|BF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(3,2|BF|)＝eq\f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq\f(3,2)，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(9,2).][评析]本例给出了三种解法，既有通性通法又有秒杀绝技，学习中要多总结，提升自己灵活解题的素养．【变式31】1.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5B．6C．eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)【解析】C[法一：(通性通法)如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq\r(3)，所以A(3,2eq\r(3))，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝eq\f(2\r(3),3－1)＝eq\r(3)，所以直线AF的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq\f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(16,3).故选C.法二：(巧用结论)如上解得p＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1＝4，p＝2，所以x1＝3，又x1x2＝eq\f(p2,4)＝1，所以x2＝eq\f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq\f(1,3)＋2＝eq\f(16,3).法三：(巧用结论)因为eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，|AF|＝4，p＝2，所以|BF|＝eq\f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,3).]【变式31】2.(2022·哈尔滨六中期末)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝()x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.【变式31】3.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|＝()A．6B．8C．12D．16【解析】选D设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|AB|＝2，不成立，所以eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4)－1)⇒y1y2△AOB的面积为4，得eq\f(1,2)|y1－y2|×1＝4，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),4)＋2＝16.◆类型2利用1|AF|+1【例题32】(2022·山东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝________．【解析】由题意知eq\f(p,2)＝1，从而p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，从而eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2k2＋4,k2)，,x1x2＝1，))从而eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋1)＋eq\f(1,x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋x1x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋2)＝1.综上，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝1.答案：21【变式32】（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=5交于A、B两点，且AB=4，直线l过A．p=2B．1C．存在某条直线l，使得MFD．若点G2,2，则△GFM周长的最小值为【答案】ABD【分析】由AB=4则A、B两点坐标(1,2),(1,-2)且在抛物线C:y2=2px上，代入方程进而判断选项A；直线方程为x=my+1与抛物线联立，再根据韦达定理代入1MF+1NF可求其值则可判断选项B；利用选项B中1MF+1NF=1代入MF+2NF利用不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点M作准线的垂线，垂足为M【详解】由对称性得点(1,2)在抛物线C:y所以22=2p，解得设直线l和双曲线交于M(x设直线方程为x=my+1，代入抛物线方程可得：y2-4my-4=0，所以y1所以：1MF则MF+2当且仅当MF=1+如图，过点M作准线的垂线，垂足为M'，交y轴于M1，取MF的中点为D，过点D作y过G作GH垂直于准线，垂足为H，所以△GFM的周长为MG+当且仅当点M的坐标为(1,2)时取等号，故D选项正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；（1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；（2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；（3）抛物线定义结合焦点弦公式.◆类型3焦点弦长【例题33】（2023·江苏·高二假期作业）过抛物线y2=2pxp>0A．小于90° B．等于90°C．大于90° D．不能确定【答案】C【分析】求出A、B点坐标，直角三角形AOF中，由大边对大角可知∠AOF>45【详解】设抛物线y2=2px的焦点为F，则其坐标为将x=p2代入抛物线的方程，解得Ap在直角三角形AOF中，OF<AF，故由抛物线的对称性可知，∠AOB=∠AOF+∠BOF>45故选：C【变式33】1.在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.【解析】4法一：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°.又tan60°＝eq\f(yA,1－－1)，所以yA＝2eq\r(3).因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2eq\r(3).将其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.法二：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝eq\f(1－－1,cos∠AFO)＝4.]【变式33】2.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.【解析】依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2eq\r(2)，所以N(0,4eq\r(2))，|FN|＝eq\r(4＋32)＝6.题型4周长问题【例题4】（2023·河南周口·统考模拟预测）已知抛物线E:y2=8x的准线为l，圆x2+y2=20与抛物线E交于A,B两点，与A．20 B．24 C．28 D．32【答案】B【分析】求出抛物线与圆的交点坐标以及准线与圆的交点坐标，得出由A,B,C,D四点所围成的四边形的形状，再求其周长.【详解】抛物线E:y2=8x的准线为l由y2=8xx2+由x=-2x2+y2则由A,B,C,D四点所围成的四边形为矩形，AC=4，AB此四边形的周长为24+8故选：B.【变式41】1.（2023·天津和平·统考一模）抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y24-x22=1A．2 B．22 C．8【答案】A【分析】利用双曲线的渐近线、抛物线的焦点和准线以及两点的距离公式进行计算求解.【详解】由题知，双曲线y24-抛物线x2=2py(p>0)的焦点F0,由y=-p2y=±2x得A所以AF=BF=p2所以2×3p22故选：A.【变式41】2.（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，其准线与双曲线x28-yA．2 B．22 C．8【答案】A【分析】设A在x轴上方，根据双曲线和抛物线的定义表示出AB，FA、【详解】双曲线x28-抛物线y2=2pxp>0设A在x轴上方，则A-p2∴AB=22又∵△ABF的周长为42∴FA+∴p=2．故选：A.【变式41】3.（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线E：y2=4x，圆F：x-12+yA．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得AF=AD，又FB=2，可得△FAB的周长为FA+AB+FB=DB+2，又知2<DB<4，即可求解.【详解】由题意知：抛物线焦点1,0恰为圆心F，抛物线准线l:x=-1，圆半径为2，可得圆F与l相切，设直线l：y=t与准线l交于D，由抛物线定义知：AF=AD，又FB=2，故△FAB的周长为FA+AB+FB=AD+AB+2=DB+2，由图知2<DB<4，故DB+2∈4,6，结合选项知：△故选：B.【变式41】4.（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知P为抛物线C：x2=-16y上一点，F为焦点，过P作C的准线的垂线，垂足为H，若△PFH的周长不小于48，则点【答案】(-【分析】点P的坐标为m,n，根据抛物线的定义及几何性质确定△PFH的周长表达式，转换为含n的式子，利用函数单调性与取值求解不等式即可得所求.【详解】解：抛物线C：x2=-16y，则焦准距p=8如图，设点P的坐标为m,n，则m2=-16n准线y=4与y轴的交点为则由抛物线定义可得PF又FH=所以△PFH的周长为FH+设函数f(n)=44-n+24-nn≤0，则f(n)因为f(-12)=48，所以f(n)≥48的解为n≤-12，则点P的纵坐标的取值范围是(-∞故答案为：(-∞【变式41】5.（2022·全国·高三专题练习）抛物线y2=6x的准线恰好平分圆C:x【答案】-3【分析】根据抛物线的准线经过圆的圆心求得a.【详解】抛物线y2=6x的准线为圆C:x2+所以-32=故答案为：-3题型5面积问题【例题5】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）抛物线C:x2=8y的焦点为F，过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在A．162 B．122 C．8【答案】A【分析】求出直线方程后，联立抛物线方程，求出弦长，再由点到直线距离得出三角形高，利用二次函数求最值即可.【详解】由C:x2=8y知F(0,2)，则直线l设D(x,x28)，则D到直线又点D在l的右下方，所以d=|x-联立方程x2=8yy=x+2设A(x1,y1所以|AB|=1+所以S故当x=4时，S△DAB有最大值16故选：A【变式51】1.（2023·全国·高二假期作业）已知抛物线C:yA．π B．π2 C．π3【答案】B【分析】根据题意作图，设出动点的坐标，利用中点坐标公式，表示中点，进而写出直线方程，结合圆与直线相切的性质，利用点到直线距离公式，根据基本不等式，可得答案.【详解】由题意，作图如下：设Pt2,2t（不妨令t>0），由已知可得F1,0，则设k=2tt2+1，则k=2即圆F的半径最大值为22，面积最大值为π故选：B.【变式51】2.（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知O为坐标原点，直线l过抛物线D:y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线D及其准线依次交于A,B,C三点（其中点B在A,C之间），若AF【答案】433【分析】依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得∠MCB=30°与p=2，从而求得直线AB的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得AB与d，从而得解.【详解】过点B作BM垂直于准线，垂足为M，过点A作AN垂直于准线，垂足为N，设准线与x轴相交于点P，如图，则BM=在△MBC中，BC=2BF，所以BC=2故在△ANC中，AC=2AN=8，所以AC又CN⊥x轴，∠MCB=30°，所以PF=又抛物线D:y2=2px，则P所以抛物线D:y2=4x因为∠MCB=30°，所以直线AB的斜率k=-3，则直线AB:y=-与抛物线方程联立y=-3x-1y2=4x易得Δ>0，设点Ax1则AB=又直线AB:y=-3x-1，可化为则点O到直线AB的距离d=-所以S△OAB故选：B.【变式51】3.（2023秋·高二课时练习）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120∘（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为【答案】4【分析】设A(x0,y0)，过A作AH⊥x轴于H，根据题意得到点A的坐标为【详解】由抛物线方程可知F(1,0)，准线l的方程为x=-1，如图所示，设A(x0,y0)，其中x0在直角△AFH中，FH=由∠AFO=120∘，可得∠AFH=60所以点A的坐标为(x将此代入抛物线方程可得3x02-10x所以点A的坐标为(3,23)，所以故答案为：43【变式51】4.（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，PH⊥l于H，若HF=PF【答案】12【分析】根据给定的条件，求出直线PQ的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答.【详解】依题意，由PH⊥l于H，得|PH|=PF=HF，即△PFH而F(2,0)，则直线PQ的方程为y=3由y=3(x-2)y令P(x1,y1因此|PF|=x所以△PFH与△OFQ的面积之比S△PFH故答案为：12.题型6最值问题◆类型1定义转换法【方法总结】与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．【例题61】（2023·全国·高二专题练习）已知P为抛物线y2=4x上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为3,2，则A．4 B．3 C．22 D．【答案】A【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点P'，过点A作AH⊥l于点H，结合抛物线的定义可得PA【详解】由拋物线y2=4x知p=2，则F1,0如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点P'，过点A作AH⊥l由抛物线的定义得PF=所以PA+故PA+PF的最小值为故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线定义的应用，解题的关键是将PF转化为点P到准线的距离，再利用用平面几何的性质确定最小值点，考查数形结合的思想，属于中档题.【变式61】1.（2023·全国·高二专题练习）已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-2，抛物线y2=4x上一动点A．355+1 B．2【答案】D【分析】根据抛物线的定义可得动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线【详解】由题可知x=-1是抛物线y2=4x的准线，设抛物线的焦点为F所以动点P到l2的距离等于P到x=-1的距离加1，即动点P到l2所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线即其最小值是4-0+65故选：D【变式61】2.（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点，若AA．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由抛物线的焦点坐标求得p，设M,A在准线l上的射影为M1【详解】由焦点F到其准线的距离为4,得p=4；设M,A在准线l:x=-2上的射影为M1则MA+MF当且仅当A1故选：D．【变式61】3.（2021秋·陕西延安·高二校考期末）已知点M为抛物线y=x24上任意一点，点N为圆x2+【答案】5【分析】根据圆外一点到圆上点的最短距离以及抛物线定义得出结果.【详解】抛物线y=x24，即x2=4y圆x2+y则圆心为抛物线y=x24的焦点F点M为抛物线y=x24上任意一点，当M,N,F三点共线，MN如图，过点M作ME⊥l于点E，由抛物线定义可知MF=所以MP+MN取最小值时，即MP+当P,M,E三点共线，当PE=3MP+则MP+MN的最小值为故答案为：52【变式61】4.（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）设P是抛物线y2=8x上的一个动点，F为抛物线的焦点，点B3,1【答案】5【分析】过B作准线x=-2的垂线垂足为B'，交抛物线于P'，根据抛物线的定义可得，当P、B【详解】抛物线y2=8x，所以焦点为F2,0当x=3时y2=8×3=24，所以y=±26，因为±2如图，过B作准线x=-2的垂线垂足为B由抛物线的定义，可知|P故|PB|+|PF|≥|P即当P、B'、B三点共线时，距离之和最小值为5故答案为：5【变式61】5.（2023·全国·高二假期作业）已知P为抛物线y2=4x上的动点，F为抛物线的焦点，点Q(3,5【答案】7【分析】设抛物线的准线为l，过P作PM⊥l于M，过Q作QN⊥l于N，由抛物线的性质可将△PQF的周长转化为FQ+PQ+【详解】当x=3时，y2=12>5，所以点由y2=4x，得焦点为F(1,0)，准线l为过P作PM⊥l于M，过Q作QN⊥l于N，则PF=所以△PQF的周长为FQ+由图可知当Q,P,M三点共线时，FQ+此时PM+PQ的最小值为因为FQ=所以FQ+PM+故答案为：7【变式61】6.（2023春·广东广州·高二仲元中学校考阶段练习）已知点M为拋物线y2=2x上的动点，点N为圆x2+(y-4)2=5上的动点，则点M【答案】65【分析】利用抛物线的定义可得点M到y轴的距离即为点M到焦点F的距离减去12【详解】由题可知，抛物线y2=2x的准线方程为x=过点M作MH⊥y轴交y轴于点H，由抛物线的定义可知点M到y轴的距离即为MH=圆x2+(y-4)2=5故点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和MH+根据圆的性质可知点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为EF-R-当且仅当E、N、M、F四点共线（N、M在EF之间）时取等号.故答案为：65-2◆类型2平移直线法【方法总结】若抛物线上的点P到直线l的距离最小，则过点P与l平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．【例题62】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．【解析】方法一：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋b＝0，))消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－eq\f(4,3)，所以切线方程为4x＋3y－eq\f(4,3)＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(8－\f(4,3))),5)＝eq\f(4,3).方法二：由y＝－x2，得y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－eq\f(4,3)，所以m＝eq\f(2,3)，即切点Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(4,9)))，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(4,3)－8)),\r(16＋9))＝eq\f(4,3)，所以抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)【变式62】1.（2021秋·陕西宝鸡·高二统考期中）抛物线y=-x2上的点到直线A．3 B．7C．85 D．【答案】D【详解】试题分析：先对y=-x2求导得y'=-2x，令y=-2x=-43，得切点的横坐标为x0=.故选D．考点：点到直线的距离．【变式62】2.（2021春·福建泉州·高二开学考试）抛物线y=x2上的点到直线2x-y-11=0A．1033 B．43 C．【答案】D【详解】试题分析：y=x2∴y'=2x=2∴x=1，代入y=x2考点：点到直线的距离◆类型3函数法【方法总结】解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．【例题63】（2023·全国·高二专题练习）过抛物线C:y2=12x的焦点F的直线l与C相交于M，NA．15 B．18 C．21 D．27【答案】D【分析】设直线l的方程为x=ty+3，Mx1,y1【详解】由题可知F3,0，设直线l的方程为x=ty+3，M联立方程组x=ty+3y2=12x整理得y则y1+y所以MF=x1所以4MF+NF故选：D【变式63】1.（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线E:x2=4y，圆C:x2+y-32=1，PA．5 B．22-1 C．2【答案】B【分析】先利用配方法求得P到圆心C的最小距离，从而求得P到Q的最小距离.【详解】由题意知C(0,3)，r=1，设Px0,所以PC=故当y0=1时，所以PQmin故选：B.【变式63】2.（2023春·内蒙古通辽·高二校联考开学考试）抛物线C:y2=2pxp>0的焦点到直线x-y+1=0的距离为528，点M是C上任意一点，点【答案】11【分析】根据焦点到直线的距离可构造方程求得p，得到抛物线方程；由圆的方程可得圆心和半径；设Mt2,t，利用两点间距离公式可表示出DM，根据二次函数性质求得DM【详解】由抛物线方程得：焦点为p2,0，∴p∴抛物线C:y2=x由圆的方程可知：圆心D3,0，半径r=1∴DM则当t2=52时，故答案为：112【变式63】3.（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过A-1,0作抛物线C的切线，切点为B，BF=3，则抛物线C上的动点P【答案】3【分析】不妨设B(x0,y0)(y【详解】根据抛物线的对称性，不妨设B(x0,y0)(y0>0)，由抛物线定义知，BF=x0+当y>0时，y=2px，∴y'=2p2解得p=4或p=203（舍去），∴抛物线C的方程为y2=8x，焦点焦点F2,0到直线l:x-y+4=0的距离d=抛物线C上的动点P到直线l:x-y+4=0的距离与到y轴的距离之和的最小值为32故答案为：3【变式63】4.(2020·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为________．【解析】由题意知x2＝eq\f(1,2)y，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，设P(x0，2xeq\o\al(2,0))，则|PF|＝eq\r(xeq\o\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xeq\o\al(2,0)－\f(1,8)))\s\up12(2))＝eq\r(4xeq\o\al(4,0)＋\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋\f(1,64))＝2xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,8)，所以当xeq\o\al(2,0)＝0时，|PF|min＝eq\f(1,8).【答案】eq\f(1,8)【变式63】5.F是抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，满足∠PFQ=2π3，线段PQA．3 B．33 C．3 D．【答案】C【分析】设出线段FP,FQ的长度，用余弦定理求得PQ的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，将PQ【详解】设PF=m，QF=n，过点P，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为则PP'=m，QQ'点A到抛物线C的准线的距离为d=PP'+由余弦定理得PQ2=m2+n2-2mn所以d2PQ2≤14×故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用，属综合中档题.【变式63】6.（2023·全国·高二专题练习）已知点M0,4，点P在抛物线x2=8y上运动，点Q在圆x【答案】4【分析】由已知可得|PM|2|PQ|【详解】设圆心为F，则F为抛物线x2=8y的焦点．设P(x,y),y≥0，则要使|PM|2|PQ|最小，则需|PQ|最大，|PQ∴|PM|当且仅当y+3=25y+3，即∴|PM|故答案为：4．【变式63】7.（2023春·广东广州·高二校联考期末）已知抛物线x2=2py(p>0)，焦点为F，过定点0,1且斜率大于0的直线交抛物线于A,B两点，OA⊥OB，线段AB的中点为M，则直线【答案】6【分析】根据已知条件做出图形，利用直线的斜截式方程和韦达定理，结合中点坐标公式和点在直线上，再利用斜率的坐标公式和基本不等式即可求解.【详解】依题意，作出图形如图所示设直线AB的方程为y=kx+1k>0，A由y=kx+1x2=2py，消去y∴x∴∵OA⊥OB,∴OA⊥OB，即OA∴-2p+1=0，解得p=1∴x∵线段AB的中点为M，设Mx∴x∴M1由p=12，可得抛物线的焦点为∴k当且仅当k=32k，即故直线MF的斜率的最小值为6.故答案为：6.题型7直线与抛物线的位置关系【方法总结】解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．◆类型1直线与抛物线的位置关系【例题71】（2021·江苏·高二专题练习）过点2,-1引直线与抛物线y=xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】过点(2，-1)的直线l与抛物线【详解】（1）当过点(2，-1)的直线斜率不存在时，显然x=2与抛物线（2）当直线过点(2，-1)且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为y+1=kx-2消y得：x2则Δ=k2-42k+1=0综上可得：过点(2，-1)与抛物线故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了直线的斜率是否存在及直线与抛物线的对称轴是否平行，属易错题.【变式71】1.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）已知抛物线C：y2=4x，坐标原点为O，焦点为F，直线l：(1)若l与C只有一个公共点，求k的值；(2)过点F作斜率为2的直线交抛物线C于A,B两点，求△OAB的面积．【答案】(1)1或0(2)5【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由k=0或Δ=0（2）由抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理及S△OAB【详解】（1）依题意，联立y=kx+1y2=4x，消去x，得y=①当k=0时，显然方程-4y+4=0只有一个解，满足条件；②当k≠0时，Δ=(-4)2综上：当k=1或k=0时直线与抛物线只有一个交点.（2）因为抛物线C：y2=4x，所以焦点所以直线方程为y=2x-1=2x-2，设A(x联立y=2x-2y2=4x，消去x得y2-2y-4=0所以|y所以S△OAB【变式71】2.（2023·全国·高三专题练习）已知动点M到点F1,0的距离等于它到直线x(1)求动点M的轨迹方程C；(2)已知A-2,0，过点B0,1的直线l斜率存在且不为0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求【答案】(1)C:(2)1【分析】（1）由抛物线定义可得轨迹方程；（2）设过点B0,1的直线l为y=kx+1，将其与抛物线方程联立，利用Δ=0可得k值与点P坐标，再得直线AP与y轴交点，后可得【详解】（1）根据抛物线定义得动点M的轨迹为曲线C:y（2）设过点B0,1的直线l为y=kx+1得y=kx+1y2=4x，消去y因l与C有且只有一个公共点，则Δ=将k=1代入①得x2-2x+1=0，解得x=1，代入直线l可得则直线AP方程为：y=2-01--2S【变式71】3.（2023·全国·高一随堂练习）已知过抛物线y2=2pxp>0的焦点F的直线交抛物线于A(1)y1y=-p(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设出过抛物线y2（2）求出弦AB的中点M的坐标，求得弦长|AB|，证明M到准线的距离等于|AB|的一半，即可证明结论.【详解】（1）由抛物线y2=2pxp>0可知焦点F(又过抛物线y2=2pxp>0的焦点F的直线交抛物线于A故该直线斜率不为0，可设其方程为x=ty+p联立y2=2pxx=ty+p2故y1所以x1（2）设AB的中点为Mx0,|AB|=x所以以AB为直径的圆的半径为r=|AB|点M到准线x=-p2的距离为即圆心到准线的距离等于圆的半径，即以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【变式71】4.（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，Qm,2位于抛物线C：y(1)求抛物线C的方程；(2)已知点A-2,4，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求AM【答案】(1)y(2)13；x-y-1=0．【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可；（2）根据韦达定理及二次函数最值计算即可.【详解】（1）根据题意可得m+p又22=2pm，解方程组得m=1，故所求抛物线C方程y2（2）

设点Mx1,y1，N当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：x=ty+1；联立抛物线方程可得y2=4xx=ty+1Δ=16t2由韦达定理得y1+y易知AM=故AM⋅AN=y1=1+1所以当t=1时，AM⋅此时直线l的方程为x-y-1=0．◆类型2弦长问题【例题72】（2023·全国·高二专题练习）过抛物线x2=4y的焦点且倾斜角为【答案】8【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线x2=4y的焦点为F0,1，准线方程为y=-1，直线l设直线l与抛物线交于M,N两点，则直线l的方程为y=-x+1，代入x2=4y得则M(x1，y1)，N(x则MN=故答案为：8【变式72】1.（2023·甘肃·统考二模）过抛物线y2=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点若以AB为直径的圆经过点N-1,2A．8 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线l1的方程，取AB的中点M，过A作AA1⊥l1，垂足为A1，过B作BB1⊥l1，垂足为B1，由抛物线的定义知AB【详解】抛物线y2=4x的焦点为F1,0，设抛物线的准线为l因为以AB为直径的圆过点N，所以NA⊥NB，取AB的中点M，则NM=12AB，过A作AA1⊥l1，垂足为A所以NM=12AA1+设Ax1,y1，Bx2又A，B两点在抛物线上，所以y12=4①②得：y1-y所以lAB:x-y-1=0，由yM=2可得xM故选：A．【变式72】2.（2023·全国·高三专题练习）抛物线C：y2=4x的准线截圆【答案】2【分析】先求出圆心到准线的距离，再根据圆的弦长公式求解即可.【详解】抛物线C：y2=4x的准线为圆x2+y2=4圆心0,0到准线x=-1的距离d=1，所以所求弦长为2r故答案为：23【变式72】3.（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为(1)求p的值；(2)直线y=x-2交抛物线于A、B两点，求弦长AB.【答案】(1)2；(2)46【分析】（1）根据给定抛物线方程，求出其准线方程即可计算作答；（2）联立直线y=x-2与抛物线方程，结合韦达定理求出弦长作答.【详解】（1）抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2，依题意，所以p的值为2.（2）由（1）知，抛物线y2=4x，设点Ax由y=x-2y2=4x消去y得：x2-8x+4=0，Δ所以AB====46【变式72】4.（2023秋·甘肃天水·高二校考期末）已知点M1,0，直线l：x=-2，平面内存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l(1)求点P的轨迹方程C.(2)已知直线l2：y=12【答案】(1)y(2)4【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解.（2）将直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解.【详解】（1）因为点M1,0，直线l：x=-2，平面内存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，也即点P到点M的距离等于到直线x=-1由抛物线的定义可知：点P的轨迹是以M(1,0)为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，所以点P的轨迹方程为：y2（2）由（1）可知：曲线C的方程为：y2=4x，设直线l2与曲线C交于A(x1,y所以y1+y2=8所以l2被曲线C截得的弦长为4【变式72】5.（2023秋·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点与抛物线C2：y2=2px，(1)求椭圆C1和抛物线C(2)过点M（3，0）的直线l与椭圆C1【答案】(1)椭圆C1和抛物线C2的方程分别为：x2(2)4【分析】（1）由题意可得c=p2，由于椭圆的离心率可得a，c的关系，进而可得p，c的关系，再由过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C（2）设直线AB的方程，及A，B的坐标由题意可得E的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线AE的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点.【详解】（1）由C1的离心率为12，可得ca因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以c=p2，过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为4，令可得y2=2p⋅c，所以即4=2⋅2c，解得c=1，所以a=2，p=2c=2，由b2=a所以椭圆C1和抛物线C2的方程分别为：x2（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x=my+3，设Ax1,y1直线与椭圆联立：x=my+33整理可得：4+3m2y可得m2>53，直线AE的方程为：y-y整理可得：y===所以当x=43时，y=0，即过定点所以可证直线AE过定点43【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.◆类型3求直线方程【例题73】（2023·福建龙岩·统考二模）已知抛物线C:y2=4x，直线l过点G0,43且与C相交于A，B两点，若【答案】1【分析】分别设出直线l、直线OA和直线OB的方程，以及A(x1,y1)，B(x2,y2【详解】设直线l的方程为y=kx+43k≠0设直线OA，OB的方程分别为y=k1xk1≠0，设A(x1,∵∠AOB的平分线过点E(1,1)，∴k整理得：k12+1∴k1k2=1由y=kx+43y∴Δ=144-64×3k>0y又∵x1x2=116故答案为：13【变式73】1.（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，点P-2,2，过点F的直线l与C交于A，B两点，M是线段AB的中点．若AB=2PM【答案】2【分析】方法一：设直线l：x=my+2，设Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线l与抛物线的方程求出y1+y2,y1⋅y2，由AB=2PM可得PA⋅PB=0，将韦达定理代入化简即可得出答案；方法二：设A【详解】方法一：由题意F2,0，k≠0，设直线l：x=my+2，其中m=联立x=my+2,y2=8x,消去x得y设Ax1,y1，B又AB=2PM，则PA⊥PB，即而PA=x1则x1即my即m2所以-16m2+1以k=1方法二：如下图，由题意，F2,0，点P在准线x=-2设A，B，M在准线上的射影分别是A1，B1，则AB=所以PM//x轴，设Ax1,y1，B联立x=my+2,y2=8x,消去x所以y1+y故答案为：2．【变式73】2.（2023·江苏·高二专题练习）过椭圆3x2+4【答案】3x+2y+23【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后求出a,b,c，从而可求出左焦点的坐标，设直线AB为x=my-2，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式列方程可求出m，从而可求出直线方程.【详解】椭圆3x2+4y2=48，即x216+设直线AB为x=my-2，A(x由3x2+4整理得(3m因为Δ=144所以y1所以AB=24(1+m2)所以直线AB为x=±2即3x+2y+23=0故答案为：3x+2y+23【变式73】3.（2022·全国·高二期中）已知抛物线C：y2=4x，直线l过点(1)若l与C有且只有一个公共点，求直线l的方程；(2)若l与C交于A，B两点，点Q在线段AB上，且APPB=AQ【答案】(1)x=0或y=1或x-y+1=0(2)y=2x，（0<x<1且x≠1【分析】（1）当直线l斜率不存在时，符合题意，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，联立直线和抛物线方程得到一个关于x的一元二次方程，讨论二次项次数和Δ即可求出答案.（2）解法一：设Qx,y，Ax1,y1，Bx2,y2，不妨令x解法二：设Qx,y，Ax1,y1，Bx2,y2【详解】（1）当直线l斜率不存在时，其方程为x=0，符合题意；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1，由y=kx+1y2=4x当k=0时，直线y=1符合题意；当k≠0时，令Δ=(2k-4)2∴直线l的方程为y=x+1，即x-y+1=0.综上，直线l的方程为x=0，或y=1，或x-y+1=0.（2）解法一：设Qx,y，Ax1,y∵直线l与抛物线C有两个交点，∴k≠0Δ∴k<1，且k≠0，x1+x由APPB=AQQB，得∴y=k2-k+1=∵k<1，且k≠0，∴0<x<1，且x≠1∴点Q的轨迹方程为y=2x（0<x<1，且x≠1解法二：设Qx,y，Ax1,y∵直线l与抛物线C有两个交点，∴k≠0Δ∴k<1，且k≠0，x1+x∵点Q在线段AB上，设APPB=AQQB=λ∴x1=λx2x-x1∵k<1，且k≠0，∴0<x<1，且x≠1∴点Q的轨迹方程为y=2x（0<x<1，且x≠1【变式73】4.（2022秋·浙江绍兴·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2px    (p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点P(0,1)(1)求抛物线C的方程；(2)求直线l的方程.【答案】(1)y2(2)x=0或y=1或y=x+1.【分析】(1)根据给定条件结合p的几何意义，直接求出p写出方程作答.(2)直线l的斜率存在设出其方程，再与抛物线C的方程联立，再讨论计算，l斜率不存在时验证作答.【详解】（1）因抛物线C:y2=2px   (p>0)的焦点F所以抛物线C的方程为y2（2）当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+1，由y2=4xy=kx+1当k=0时，x=14，点(14,1)是直线l与抛物线C唯一公共点，因此，k=0当k≠0时，Δ=(2k-4)2-4k2=0⇒k=1，此时直线l当直线l的斜率不存在时，y轴与抛物线C有唯一公共点，直线l方程为x=0，所以直线l方程为为x=0或y=1或y=x+1.【变式73】5.（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为(1)求p；(2)过抛物线焦点的直线与抛物线交于A,B两点，若AB=16【答案】(1)4(2)x+y-2=0或x-y-2=0【分析】（1）根据抛物线的几何性质，得出方程p2（2）根据题意，设所求直线方程为x=ty+2，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，列出方程求得t=±1，即可求解.【详解】（1）解：根据题意，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F2,0，可得p（2）解：由（1）知，抛物线方程为y2因为直线与抛物线交于两点，所以直线斜率不为0，又由焦点为F2,0，可设所求直线方程为x=ty+2联立方程组y2=8xx=ty+2则Δ=(-8t)2+4×16>0，设则AB又因为AB=16，即1+t2641+所以所求直线方程为x+y-2=0或x-y-2=0.【变式73】6.（2023秋·全国·高二期中）椭圆E的方程为x24+y2(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长；(2)若直线l过点-1,0，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22(2)点M在定直线x=-4上，理由见解析.【分析】（1）设Px0,y0,D0,yD（2）依题可设直线l的方程为x=my-1，Px1,y1，Qx2,y2，Mx【详解】（1）设Px则x024由①②可得y0∵