余角和补角课件数学浙教版七年级上册

6.8

余角和补角数学浙教版七年级上台球比赛中，一次被击打母球的线路如图．若角∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？

导入新课观察，∠1+∠2与Rt∠AOB相等吗？你是怎样判断的？12AOB观察

，∠α+∠β与∠AOB相等吗？你是怎样判断的？αβ新课讲解如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．互余的数学表达式：∠α

＋∠β

＝90°．如图∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．数学表达式：∠1＋∠2＝90°．新课讲解如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．互补的数学表达式为:∠α＋∠β

＝180°．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角．∠AOC＋∠BOC＝180°新课讲解3、

1与2互补，除用符号语言表示为

1＋2＝180°外，还可以用其它形式等式表示为

1＝180°－2，或

2＝180°－

1．1、定义中的“互为”一词如何理解？2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？如果

1与2互余，那么

1的余角是2，2的余角是

1．互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边．新课讲解1、如图，已知∠1=42°，∠2=138°，∠3=48°．图中有没在互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由．解：∠1与∠3互余，∵∠1+∠3=90°，∴∠1与∠3互余．∠1与∠2互补，∵∠1+∠2=180°，∴∠1与∠2互补．

学以致用2、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由．3、填空：（1）∠α的余角=90°-_______．（2）∠β的余角=_______-∠β．∠α90°互补的角：∠AOC和∠BOC，∠AOD和∠BOD．互余的角：∠BOD和∠COD．

学以致用如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠AOC内的一条射线．OE是

BOC内的一条射线．回答下列问题：（1）图中

DOC的余角有______________．（2）图中

AOD的余角有______________．（3）

通过上述两小题你能得到什么结论？

AOD与

COE

DOC与

BOE

同角(等角)的余角相等∵

AOD+

COD=90°，

COE+

COD=90°，∴

AOD=

COE．（4）

AOD和

COE的补角分别是_______________．（5）通过此题，你又能得到什么结论？

BOD与

BOD同角（等角）的补角相等

新课讲解同角或等角的余角相等．若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ．同角或等角的补角相等．若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ．新课讲解例1如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠．指出图中还有哪些角相等，并说明理由．解：∠AOB=∠COD．理由：∵∠AOC=∠BOD=Rt∠，∴∠AOB+∠BOC=Rt∠，∠COD+∠BOC=Rt∠．即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等）．

新课讲解如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；（2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数；（3）∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？解：（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE；（2）∵OD平分∠BOC，∠BOC=68°，∴∠COD=

∠BOC=

×68°=34°，∵∠BOC=68°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-68°=112°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=

∠AOC=

×112°=56°；学以致用（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COD=∠BOC，∠EOC=∠AOC，∴∠COD+∠EOC=（∠BOC+∠AOC）=×180°=90°，∴∠COD与∠EOC互余．学以致用例2已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．解:设这个角为x度，则这个角的余角是(90－x)度，补角是(180－x)度，由题意得,180－x=4(90－x)，解得x=60，答：这个角的度数为60°．一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，求这个角的度数．解：设这个角的余角为∠A，则这个角的为90°-∠A，这个角的补角为180°-（90°-∠A）=90°+∠A，则180°-∠A=（90°+∠A）+90°，解得∠A=30°．所以90°-∠A=60°，答：这个角为60°．什么是方位角？怎样表示方位角？在航海、探险、飞行等领域，为了表示某一地区的地理位置，常用方位角这一概念．具体做法：先在某地确定一点把它固定，然后以这点为基点，确定出东南西北四个方向，最后再根据要求画出所要的方位角．例如：以平面内O点为基点，画出北偏东60°角和南偏西25°角．1、若一个角为75°，则它的余角的度数为（）A．285°B．105°C．75°D．15°2、已知∠A=70°，则∠A的补角为（）A．110°B．70°C．30°D．20°3、如图，已知∠AOC=90°，下列说法正确的有（）①∠COE=90°；②∠AOB+∠BOC=∠COE；③∠AOE=2∠COE；④∠DOE是锐角．A．1个

B．2个

C．3个

D．4个DDA学以致用4、若一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．解：设这个角是x度，则这个角的补角为（180-x）度，余角为（90-x）度，所以3（90-x）=180-x，整理，可得2x=90，解得：x=45，即这个角的度数为45°．学以致用5、如图，点A，O，B在同一直线上，OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．（1）求∠COD的度数；（2）写出所有互余的角；（3）写出所有互补的角．

巩固提升解：（1）∵点A，O，B在同一直线上，∴∠AOE+∠BOE=180°，又∵OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，∴∠COD=∠AOE+∠BOE=（∠AOE+∠BOE）=90°；（2）4对，∠AOC与∠EOD，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠EOD，∠COE与∠BOD；（3）5对，∠AOC与∠COB，∠COE与∠BOC，∠EOD与∠AOD，∠BOD与∠AOD，∠AOE与∠BOE．

巩固提升如图1，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．①填空：∠ACE_______∠BCD（选填“＜”或“＞”或“=”）；②若∠DCE=25°，求∠ACB的度数；③猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．=

拓展提升②若∠DCE=30°，∠ACD=90°，∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-30°=60°，∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB=90°+60°=150°；③猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，∴∠ECD+∠ACB=360°-（∠ACD+∠ECB）=360°-180°=180°．

拓展提升如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．（1）若∠EON=110°，求∠MOF的度数；（2）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；（3）求∠EON+∠MOF的度数．解：（1）∵∠EOF=90°，∠EON=110°，∴∠FON=20°，∵∠MON=90°，∴∠MOF=70°；（2）∠EOM=∠FON，∵∠EOM+∠MOF=∠FON+∠MOF=90°，∴∠EOM=∠FON；（3）∵∠EON+∠MOF=∠EOM+∠MOF+∠FON+∠MOF，∴∠EON+∠