苏教版高中数学选修3-3-3.4.3-球面直角三角形-课件

球面直角三角形定义

球面上至少有一个角是直角的三角形叫做球面直角三角形（sphercalrighttriangle)。球面三角形可以有两个甚至三个直角。另一方面，球面直角三角形的直角也不一定是最大角。定理4

设ΔABC中，则（1）（2）（3）

球面直角三角形的勾股定理证

这些公式中，cosc=cosacosb给出了球面直角三角形的三边长的关系，称为球面直角三角形的勾股定理。及类似公式由这证明了（1）中后一式。可以直接从定理1得到，即球面余弦定理

如果直角三角形的斜边c>，则cosc=cosacosb<0，因此直角边中有一条大于，另一边小于，如果斜边c=，则直角边中至少有一条也等于。球面上，一点到一个大圆的距离是连结此点与大圆上点的曲线长的最小值。如果P是取定大圆的一个极点，则连结P与此大圆上点的劣弧长都是，它们所在的大圆与给定的大圆都垂直，因此P到此大圆的距离是。定理5设点A不是大圆的极点，如果连结A与大圆上点C的劣弧垂直于大圆，则点A到大圆的距离是的长。ACAC证

我们已证明连结球面上两点的曲线以大圆弧最短。如图，设A是大圆Γ外一点，A不是大圆的极点。设过A与Γ垂直的大圆的两交点中靠近A的是C。设B是大圆Γ上另一点，A，B，C构成一个球面直角三角形，则公式sinb=sinBsinc,0<sinB≤1说明c≥b,如果b=c，则sinB=1,B=这与过A垂直于给定的大圆Γ只有一条垂线矛盾，因此，c>b。定理5也可以表示为：球面上，一点到直线（大圆）上点的距离以垂线最短。AC球面三角公式的应用球面上到定点距离是定长r的点的轨迹是球面上的圆，当r=时，轨迹是大圆，即球面上直线；当r<时，轨迹是小圆。例题例1

设在单位球面ΔABC中，C=S是ΔABC的面积，则证单位球面上ΔABC的面积是S=A+B-,从定理4可得到如图，设ΔABC是平面上圆的内接三角形，圆心是P，由于ΔPBC，ΔPAB，ΔPAC都是等腰三角形，它们的底角分别相等，记为θ1，θ2，θ3。于是π-2A=B+C-A=2θ1，A=-θ1，

如果B，C取定，这证明了平面圆上弧上的圆周角相等，设ΔABC是一个球面三角形，如果它的三个顶点在球面的一个小圆上，我们称它是这个小圆的内接三角形。将上面的方法用到球面上，得：设ΔABC是球面上一个小圆的内接三角形，如果两顶点B，C取定，顶点A可以在边一侧的小圆上变动，则B+C-A是定值。BCBC

能否看成是平面上圆的同弧上的圆周角相等的推广？思考如果三角形的角A在顶点A时变动为定角，即如果球面上也有同一圆弧上的圆周角相等这一性质，则由B+C-A为定值可得B+C也是定值，从而ΔABC的面积A+B+C-π也是定值，显然这不可能，这说明球面上小圆的同弧上的圆周角不一定相等。1、球面直角三角形；2、球面直角三角形的勾股定理；3、定理5;4、应用。课堂小结谢谢聆听！19、你哭了，眼泪是你自己的。你痛了，没有人能体会到。8、青春不止，创业不息、相信自己，永不放弃。17、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。18、创富靠坚持，坚持为梦想，用勤劳的双手和先进的思想来实现心中的梦想。1、只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹出世间的绝唱。10、创富靠坚韧不拔的精神，坚持为群众增收致富贡献一份力量。1、你接受比抱怨还要好，对于不可改变的事实，你除了接受以外，没有更好的办法了。17、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。12、决定命运的并不是天上掉下来的一个大大的机会，而是每一分钟里你做的一个微小的选择。所有的差别就只在那一分钟里。20、与其回味昨日的温暖，不如好好把握今日的花香。9、被全世界抛弃又怎样，我还有我自己，我爱我自己。6、做你自己，总有一件事你能比别人做得更好。6、当你休息的时候记得回头看看，别人都在奔跑。1、受挫一次，对工作和生活的理解加深一层。20、你不可能要求每个人都读懂你，理解你，那样会显得你是一件廉价品。4、淡淡的日子，淡淡的心情，淡淡的阳光，淡淡的风，凡事淡淡的，就好。10、有什么别有病，没什么别没钱，缺什