控制工程基础-第三章

第三章控制系统的时间响应分析§1.时间响应及其典型输入信号一时间响应的概念瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应：时间

t

趋于无穷大时,系统的输出。二典型实验输入信号1

选取实验信号的原则

具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。形式应尽可能简单，便于分析处理。能使系统在最不利的情况下工作。

2典型实验信号

单位阶跃信号单位斜坡信号

单位加速度信号

单位脉冲信号

正弦信号

三瞬态响应指标系统的动态性能，用系统在单位阶跃输入信号作用下的瞬态响应指标衡量。

延迟时间(DelayTime)td上升时间(RiseTime)tr峰值时间(PeakTime)tp最大超调量(PeakOvershoot)

Mp调整时间(SettlingTime)

ts1延迟时间td：系统输出第一次达到稳定态的一半所需的时间。2上升时间tr

：系统输出第一次达到稳定态所需的时间（输出产生振荡时）或从稳定态的10%上升到稳态值的90%所需的时间（无振荡时）。3峰值时间tp

：系统输出达到超调量的第一个峰值所需的时间。4最大超调量

Mp：系统输出超出稳态值（一般为1）的最大偏离量Mp；

或采用百分比σ%表示：

5调整时间ts

：系统输出第一次达到并保持在允许误差范围（一般为稳态值的Δ=5%或Δ=2%）内所需的时间。§2.一阶系统的时间响应一一阶系统的数学模型二一阶系统的单位阶跃响应三一阶系统的单位斜坡响应四一阶系统的单位脉冲响应五线性定常系统的重要特征

一一阶系统的数学模型二对上式两边作拉氏变换，当K=1时，二

一阶系统的单位阶跃响应

单位阶跃输入信号对一阶系统

草稿：

c(t)为指数上升。T时间常数，具有时间量纲，T越小，系统的响应越快

t=0时斜率为

t=T时，c(T)=0.632，故Ｔ为系统时间响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。允许误差范围为±5%时，ts=3·T。允许误差范围为±2%时，ts=4·T。

三一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入信号草稿：一阶系统的单位斜坡响应的误差：一阶系统的单位斜坡响应稳态误差：一阶系统的单位脉冲响应

单位脉冲输入信号五线性定常系统的重要特征

对线性定常系统来说，对输入信号积分（或导数）的响应，就等于系统对输入信号响应的积分（或导数），积分常数由零输出初始条件确定。

输入信号输入信号的导数输出信号输出信号的导数单位斜坡t1(t)单位阶跃1(t)δ(t)单位脉冲δ(t)§3.二阶系统的时间响应一二阶系统的数学模型

二二阶系统的单位阶跃响应一二阶系统的数学模型`两边作拉氏变换，无阻尼固有频率阻尼比

草稿：1二阶系统的单位阶跃响应

单位阶跃输入信号：二阶系统的传递函数二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换

二阶系统传递函数G(s)

的分母多项式的根为

当阻尼比ζ取不同的值时，上述多项式的根有三种情况：，有两个重根s1,2=-ωn

；，有两个不等的负实根

，有一对共轭复根

ζ=1，临界阻尼情况：A(s)有两个重根无超调，无振荡。

草稿：

ζ>1，过阻尼情况:有两个不等的负实根

草稿：

无超调，无振荡，过渡过程比临界阻尼情况的长。

草稿：

0<ζ<1时，欠阻尼情况：有一对共轭复根

阻尼自然频率

无阻尼自然频率ωn

草稿：草稿：

衰减振荡:0<ζ<1

振荡频率为阻尼自然频率ωd

；振幅为指数衰减，由系统参数ωn、ζ决定。随着ζ的减小，调整时间ts

变短，但振荡变严重。一般阻尼比ζ=0.4～0.8。

ζ=0，无阻尼情况

单位阶跃输入信号

二阶系统的传递函数

二阶系统(ζ＝0)的单位阶跃响应的拉氏变换

§4.二阶系统的瞬态响应指标一

二阶系统的瞬态响应指标：

上升时间峰值时间最大超调量调整时间二结论三例一欠阻尼状态时的瞬态响应指标1上升时间tr

：第一次达到稳定态所需的时间。2峰值时间tp

：达到超调量的第一个峰值所需的时间。

第一个峰值,k=1

阻尼振荡周期所以tp

是Td

的一半，它的变化趋势与上升时间tr

相同。3最大超调量Mp：超出稳态值（一般为1）的最大偏离量。

Mp

是ζ的函数，与ωn

无关：ζ↓，Mp↑；ζ=1时，Mp=0；ζ=0时，Mp=1。4调整时间ts

当允许误差范围为2%时,

当允许误差范围为5%时,

包络线时间常数:

包络线

ωn↑，ts↓

ζ↑，ts↓

二结论

二阶系统的瞬态响应指标由ζ和ωn共同决定。增大无阻尼自然频率ωn，可提高系统的快速响应性能，而不会改变超调量。增大阻尼比，可减小最大超调量，减弱系统的振荡性能，使系统的相对稳定性增加，但会使系统的快速性变差。当允许误差范围为0.02～0.05时，调整时间ts

在ζ=0.7左右时最小，故称为最佳阻尼比。

一般，综合考虑系统的稳定性和快速性能，选择在ζ=0.4～0.8的范围内。

三

解题思路

物理系统数学模型两阶标准型系统特征参数性能指标三例题例1：右下图为一伺服系统的方块图。现要使系统的最大超调量Mp=0.2，峰值时间tp=0.8秒，试确定增益Kv

和Kh

的数值，并确定此时系统的上升时间tr

和调整时间ts

。解：(1)求系统的闭环传递函数回路Ⅰ：回路Ⅱ：开环传递函数

闭环传递函数该系统为二阶系统。(2)确定系统的参数ζ、ωn

由Mp=0.2确定阻尼比ζ上式两边取自然对数

由tp=0.8

秒，求ωn

(2)确定增益Kv

、Kh

将Φ(s)与二阶系统传递函数的标准形式对比可得

(3)计算上升时间tr、调整时间ts

a.上升时间tr

b.调整时间ts

设允许误差范围为2%

例2：右上图为一个机械振动系统。当有F=3N的力（阶跃输入）作用于系统时，系统中质量m作如左下图所示的运动。根据左下图中的响应曲线，确定原质量m、粘性阻尼系数f和弹簧刚度系数k的值。

1数学模型2由响应曲线的稳态值为1cm可求出k

∴k=3(N/cm)=300(N/m)

3

c(tp)求最大超调量Mp4由最大超调量Mp和峰值时间tp

，求ζ、ωn

5

通过二阶系统的标准形式由ζ、ωn

，求得m和f

三课程结构重点：时间响应的概念；一阶系统、二阶系统的数学模型一阶系统、二阶系统典型时间响应的特点