线性代数与概率论（曹景龙第五版） 课件 第1-3章 行列式-线性方程组

预备知识-排列组合本节主要学习目标：[知识目标]

掌握加法原理、乘法原理及其区别。

熟练掌握排列与组合的计算。[能力目标]

能熟练解决排列及组合问题。一、基本原理例12从甲村到乙村共有两类方式:第1类方式是走旱路,有3条路线;第2类方式是走水路,有2条路线,如图预-1.问从甲村到乙村共有多少种走法?例13解:完成从甲村到乙村这件事情,走旱路与走水路这两类方式是并列的,沿着它们中的每一条路线都可以到达目的地这样的例子是很多的,概括起来,就得到加法原理因此从甲村到乙村共有3+2=5种走法加法原理4加法原理完成一件事情共有r类方式:第1类方式有m1种方法,第2类方式有m2种方法,…,第r类方式有mr种方法则完成这件事情共有m1+m2+…+mr种方法例25从甲村到丙村必须经过乙村,而从甲村到乙村有5条路线,从乙村到丙村有4条路线,如图0-2.问从甲村到丙村共有多少种走法?例26解:完成从甲村到丙村这件事情,必须依次经过两个步骤:第1个步骤是从甲村到乙村,有5条路线第2个步骤是从乙村到丙村,有4条路线只有这两个步骤都完成了,才能到达目的地,缺少哪一个步骤都不行例27由于从甲村到乙村的每一条路线都对应从甲村到丙村的4条路线这样的例子是很多的,概括起来,就得到乘法原理因此从甲村到丙村共有5×4=20种走法乘法原理8乘法原理完成一件事情必须依次经过l个步骤:第1个步骤有n1种方法第2个步骤有n2种方法…第l个步骤有nl种方法则完成这件事情共有n1n2…nl种方法加法原理与乘法原理的区别9在应用基本原理时,必须注意加法原理与乘法原理的根本区别.若完成一件事情有多类方式,其中每一类方式的任一种方法都可以完成这件事情,则用加法原理若完成一件事情必须依次经过多个步骤,缺少其中任一个步骤都不能完成这件事情,则用乘法原理例310某班共有26名同学,分成3个组,其中第一组有9名同学,第二组有8名同学,第三组有9名同学,现在全校举行歌咏比赛,每名同学都有资格参加.问:(1)若从全班选派1名同学参加全校歌咏比赛,共有多少种选法?(2)若从每组各选派1名同学参加全校歌咏比赛,共有多少种选法?例311解:(1)完成从全班选派1名同学参加全校歌咏比赛这件事情,共有三类方式:第1类方式是从第一组选派1名同学参加全校歌咏比赛,有9种选法第2类方式是从第二组选派1名同学参加全校歌咏比赛,有8种选法第3类方式是从第三组选派1名同学参加全校歌咏比赛,有9种选法例312这三类方式是并列的,其中每一类方式的任一种选法都可以完成这件事情根据加法原理,所以从全班选派1名同学参加全校歌咏比赛共有9+8+9=26种选法其实,从全班26名同学中选派1名同学参加全校歌咏比赛,当然有26种选法例313(2)完成从每组各选派1名同学参加全校歌咏比赛这件事情,必须依次经过三个步骤:第1个步骤是从第一组选派1名同学参加全校歌咏比赛,有9种选法第2个步骤是从第二组选派1名同学参加全校歌咏比赛,有8种选法第3个步骤是从第三组选派1名同学参加全校歌咏比赛,有9种选法例314这三个步骤是必须依次完成的,缺少其中任一个步骤都不能完成这件事情根据乘法原理,所以从每组各选派1名同学参加全校歌咏比赛共有9×8×9=648种选法二、元素不重复的排列例415用3个数字5,7,9可以组成多少个数字不重复的两位数?解:组成数字不重复的两位数,必须依次经过两个步骤:第1个步骤是确定十位数,这时数字5,7,9都可以放在十位上,有3种方法第2个步骤是确定个位数,由于要求个位数与十位数不能重复,这时只能从所给3个数字去掉放在十位上的数字后剩余2个数字中取出1个数字放在个位上,有2种方法例416只有这两个步骤都完成了,才能组成数字不重复的两位数,缺少哪一个步骤都不行根据乘法原理,所以组成数字不重复的两位数共有3×2=6种方法即可以组成6个数字不重复的两位数,它们是

57,59,75,79,95,97例417在例4中,数字5,7,9可以称为元素,组成数字不重复的两位数就是从这3个不同元素中每次取出2个不同元素排队,排在前面的是十位数,排在后面的是个位数由于这样的排列与数字不重复的两位数是一一对应的,因此求数字不重复两位数的个数等价于求这样排列的个数排列数18定义0.1

如何计算排列数19

从n个不同元素中取出m个不同元素排成一列,必须依次经过m个步骤:第1个步骤是确定排列第1位置上的元素,这时是从n个不同元素中取出1个元素放在这个位置上,有n种方法第2个步骤是确定排列第2位置上的元素,考虑到排列第1位置上已经占用了1个元素,这时是从剩余的n-1个不同元素中取出1个元素放在这个位置上,有n-1种方法如何计算排列数20…第m个步骤是确定排列第m位置上的元素,考虑到排列前m-1个位置上已经占用了m-1个元素,这时是从剩余的n-(m-1)=n-m+1个不同元素中取出1个元素放在这个位置上,有n-m+1种方法如何计算排列数21根据乘法原理,共有n(n-1)…(n-m+1)种方法由于一种方法对应一个排列,所以所有这样排列的个数即排列数

若m<n,则称排列为选排列

例522根据排列数的计算公式,有排列数

例623从10人中选举正副组长各1名,问共有多少种选举结果?解:从10人中选举正副组长各1名,意味着从10人中选出2人排队

值得注意的是:在甲、乙都当选的情况下,甲为正组长、乙为副组长与乙为正组长、甲为副组长是两种选举结果.例7246台不同品牌的洗衣机摆在展厅内排成一列,问:(1)共有多少种排法?(2)若要求其中某一台洗衣机摆在中间位置,有多少种排法?解:(1)6台不同品牌的洗衣机排成一列,相当于从6个不同元素中每次取出6个不同元素的元素不重复全排列

例725(2)要求6台不同品牌洗衣机中某一台洗衣机摆在中间位置,必须依次经过两个步骤:第1个步骤是将这台洗衣机摆在中间位置中的一个位置,有2种方法

例726根据乘法原理,有

种方法,即有240种排法例827小赵、小钱、小孙、小李及小周五位青年坐成一排照相,问:(1)若小赵与小钱相邻,有多少种排法?(2)若小赵与小钱不相邻且他们之间只安排小李或小周,有多少种排法?(3)若小赵与小钱不相邻且他们之间只安排小李与小周,有多少种排法?(4)若小赵、小钱在小孙的同一侧,共有多少种排法?例828解:(1)完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱相邻这件事情,必须依次经过两个步骤:

第2个步骤是将相邻的小赵与小钱交换位置,有2种方法例829根据乘法原理,完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱相邻这件事情,有

种排法例830(2)完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李或小周这件事情,必须依次经过三个步骤

第2个步骤是将不相邻的小赵与小钱交换位置,有2种方法第3个步骤是将不相邻的小李与小周交换位置,有2种方法例831根据乘法原理,完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李或小周这件事情,有

种排法例832(3)完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李与小周这件事情,必须依次经过三个步骤:

第2个步骤是将不相邻的小赵与小钱交换位置,有2种方法第3个步骤是将相邻的小李与小周交换位置,有2种方法例833根据乘法原理,完成五位青年坐成一排照相且小赵与小钱不相邻但他们之间只安排小李与小周这件事情,有

种排法例834(4)完成五位青年坐成一排照相且小赵、小钱在小孙的同一侧这件事情,共有三类方式：

例835这三类方式是并列的,其中每一类方式的任一种排法都可以完成这件事情根据加法原理,所以完成五位青年坐成一排照相且小赵、小钱在小孙的同一侧这件事情,共有

种排法三、元素可重复的排列36元素可重复包括元素重复与元素不重复两种情况,元素可重复的排列是指在排列中允许出现相同元素.例9

北京市电话号码为八位,问电话局8461支局共有多少个电话号码?解:由于8461支局的电话号码前四位为8461,因此只需确定后四位的数字,就组成8461支局电话号码.显然,在电话号码中允许出现相同数字例937组成8461支局的电话号码,必须依次经过四个步骤:第1个步骤是确定电话号码第五位上的数字,这时是从0至9这10个数字中取出1个数字放在这个位置上,有10种方法第2个步骤是确定电话号码第六位上的数字,考虑到在电话号码中允许出现相同数字,这时也是从0至9这10个数字中取出1个数字放在这个位置上,有10种方法例938第3个步骤是确定电话号码第七位上的数字,也有10种方法;第4个步骤是确定电话号码第八位上的数字,也有10种方法第4个步骤是确定电话号码第八位上的数字,也有10种方法例939因此这个问题相当于从10个不同元素中每次取出4个元素的元素可重复排列根据乘法原理,共有10×10×10×10=10000种方法由于一种方法对应一个电话号码,所以8461支局共有10000个电话号码可重复排列数40定义0.2从n个不同元素中,每次可以重复地取出m个元素排成一列,所有这样排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的元素可重复排列数可重复排列数41如何计算从n个不同元素中取出m个元素的元素可重复排列数?从n个不同元素中取出m个元素排成一列,必须依次经过m个步骤:第1个步骤是确定排列第1位置上的元素,这时是从n个不同元素中取出1个元素放在这个位置上,有n种方法第2个步骤是确定排列第2位置上的元素,由于在排列中允许出现相同元素,因而这时还是从n个不同元素中取出1个元素放在这个位置上,也有n种方法可重复排列数42…第m个步骤是确定排列第m位置上的元素,由于在排列中允许出现相同元素,因而这时仍然是从n个不同元素中取出1个元素放在这个位置上,当然有n种方法

由于一种方法对应一个排列,所以所有这样排列的个数等于nm,即从n个不同元素中取出m个元素的元素可重复排列数等于nm.例1043邮政大厅有4个邮筒,现将三封信逐一投入邮筒,问共有多少种投法?解:将三封信逐一投入邮筒,必须依次经过三个步骤:第1个步骤是将第一封信投入4个邮筒中的1个邮筒,有4种方法第2个步骤是将第二封信投入4个邮筒中的1个邮筒,也有4种方法第3个步骤是将第三封信投入4个邮筒中的1个邮筒,也有4种方法例1044若以邮筒作为元素,则这个问题相当于从4个不同元素中每次取出3个元素的元素可重复排列根据乘法原理,共有

4×4×4=43=64种方法,即共有64种投法例1145用3个数字1,2,3组成三位数,问:(1)可以组成多少个数字可重复的三位数?(2)可以组成多少个数字一定重复的三位数?解:(1)用3个数字1,2,3组成数字可重复的三位数,相当于从3个不同元素中每次取出3个元素的元素可重复排列,这样的排列共有33个所以可以组成33=27个数字可重复的三位数例1146(2)注意到用3个数字1,2,3组成的数字可重复的三位数包括两部分:

另一部分则是数字一定重复的三位数说明所求数字一定重复的三位数的个数等于数字可重复的三位数的个数减去数字不重复的三位数的个数

四、组合例1247从10人中选举2名代表参加座谈会,问共有多少种选举结果?解:这个问题同例6中选举正副组长各1名是不一样的,尽管都是选出2人,但在选举正副组长各1名时,这2人须排队不妨规定排在前面的是正组长,排在后面的是副组长;而在选举2名代表时,这2人不需排队例1248

还可以依次经过下面两个步骤解决这个问题:第1个步骤是从10人中选出2人,相当于从10人中选举2名代表,已设有x种方法

例1249

得到

所以从10人中选举2名代表共有45种选举结果例1250这是容易理解的,如甲、乙当选,对于选举正副组长各1名,有两种选举结果而对于选举2名代表,却只是一种选举结果.说明选举正副组长各1名的每两种选举结果对应选举2名代表的一种选举结果由于选举正副组长各1名共有90种选举结果,所以选举2名代表当然共有45种选举结果组合数51定义0.3

如何计算组合数52

还可以依次经过下面两个步骤解决这个问题:

如何计算组合数53于是有关系式

所以得到组合数

如何计算组合数54

组合数性质55性质组合数满足关系式

组合数性质56

所以得到关系式

例1357根据组合数的计算公式,有组合数

例1358根据组合性质,有组合数

对于实际问题,必须正确判别是排列问题还是组合问题,关键在于要不要计较所取出元素的先后顺序，即要不要将所取出元素排队若要排队,则是排列问题;若不要排队,则是组合问题例14已知100件产品中有3件是次品,其余97件是合格品,问:若任意抽取3件产品中恰好有1件次品,有多少种取法?解:从100件产品中任意抽取3件产品,并不计较所取产品的次序,从而这个问题是组合问题,从100件产品抽取3件产品中恰好有1件次品,意味着抽取3件产品中有1件次品与2件合格品例1460根据乘法原理,所以任意抽取3件产品中恰好有1件次品,有

=3×4656=13968种取法完成这件事情必须依次经过两个步骤:

例15617支足球队进行比赛,问:(1)若采用主客场赛制,共有多少场比赛?(2)若采用单循环赛制,共有多少场比赛?例1562解:(1)采用主客场赛制意味着每两支球队之间进行两场比赛,比赛双方各有一个主场这时从7支球队中每次挑选2支球队进行比赛,要计较所挑选球队的顺序,即需要将它们排队,不妨规定排在前面的球队是在主场比赛

例1563(2)采用单循环赛制意味着每两支球队之间只进行一场比赛这时从7支球队中每次挑选2支球队进行比赛,不计较所挑选球队的顺序,即不需要将它们排队,因此这个问题是组合问题

例1664书桌上有11本不同的书,问:(1)从中任取3本书,共有多少种取法?(2)从中任取3本书分给甲、乙、丙三个人,每人一本,共有多少种分法?解:(1)由于从11本不同的书中任取3本书,并不计较所取出书的先后顺序,即不需要将它们排队,因此这个问题是组合问题

例1665(2)由于从11本不同的书中任取3本书分给甲、乙、丙三个人,每人一本,相当于从11本不同的书中任取3本不同的书排队,不妨规定排在前面、中间、后面位置的书分别分给甲、乙、丙,因此这个问题是排列问题

例1766口袋里装有5个黑球与4个白球,任取4个球,问:(1)共有多少种取法?(2)其中恰好有1个黑球,有多少种取法?(3)其中至少有3个黑球,有多少种取法?(4)其中至多有1个黑球,有多少种取法?例1767解:由于在取球时不计较所取出球的先后顺序,即不需要将它们排队,因此这个问题是组合问题.

例1768(2)任取4个球中恰好有1个黑球,意味着所取4个球中有1个黑球与3个白球,完成这件事情必须依次经过两个步骤:

例1769(3)任取4个球中至少有3个黑球,包括恰好有3个黑球与恰好有4个黑球两类情况,完成这件事情有两类方式:

例1770根据加法原理,有

=10×4+5×1=45种取法例1771(4)任取4个球中至多有1个黑球,包括恰好有1个黑球与没有黑球两类情况,完成这件事情有两类方式:

例1772根据加法原理,有

=5×4+1×1=21种取法例1873从3名男生、4名女生中任意挑选4名学生参加座谈会,问:(1)共有多少种选法?(2)其中至少有1名男生,有多少种选法?解:由于在挑选学生时不计较所挑选学生的先后顺序,即不需要将它们排队,因此这个问题是组合问题(1)从7名学生中任意挑选4名学生,共有

种选法例1874(2)任意挑选4名学生中至少有1名男生,包括恰好有1名男生、恰好有2名男生及恰好有3名男生三类情况,完成这件事情有三类方式:

例1875

例1876根据加法原理,有

种选法例1877此题尚有简便解法:注意到符合要求即任意挑选4名学生中至少有1名男生包括三类情况由于包括情况比较多,从而直接计算其选法比较麻烦,而不符合要求意味着挑选4名学生中没有男生,即所挑选4名学生中有0名男生与4名女生

例1878显然,符合要求的选法种数等于总选法种数减去不符合要求的选法种数,所以任意挑选4名学生中至少有1名男生,有

种选法例1879例18说明:若符合要求的情况比较多,从而直接计算符合要求的方法种数比较麻烦,这时不符合要求的情况一定比较少,计算不符合要求的方法种数当然比较简单于是应该首先计算总方法种数与不符合要求的方法种数,然后总方法种数减去不符合要求的方法种数,就得到所求符合要求的方法种数80本次课程结束线性代数与概率论（第五版）8182章节内容线性代数第一章行列式第二章矩阵第三章线性方程组概率论第四章随机事件及其概率第五章随机变量及其数字特征第六章几种重要的概率分布第一章

行列式第一节行列式的概念第二节行列式的性质第三节行列式的展开第四节克莱姆法则83知识思维导图84引导案例---谷物称重问题

《九章算术》是我国数学方面流传至今最早也是最重要的一部经典著作。以解应用题为主，其第八章为方程，就是线性方程组的应用问题。第一题即为谷物称重问题。问题如下：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？”85分析：上述谷物称重问题是三元一次方程组的求解问题.而行列式的出现是由线性方程组的求解问题引出来的，它是由解线性方程组产生的一种算式。所以本章将从行列式的概念、性质、计算出发，讲解行列式的一个重要应用—克莱姆法则求解线性方程组。第一节行列式的概念86本节主要学习目标：[知识目标]了解行列式的概念。熟练掌握二阶、三阶行列式的计算。

[能力目标]能熟练求出二阶、三阶、四阶行列式的值。二阶行列式第一节行列式的概念87考虑由两个线性方程式构成的二元线性方程组

二阶行列式第一节行列式的概念88

为了进一步揭示求解公式的规律,需要引进二阶行列式的概念.

二阶行列式第一节行列式的概念89

行标列标(1,2)元素主对角线副对角线二阶行列式第一节行列式的概念90如何计算二阶行列式？

二阶行列式等于主对角线上两个元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积。例1计算第一节行列式的概念91

1×4-2×3=-2三阶行列式第一节行列式的概念92类似地,考虑由三个线性方程式构成的三元线性方程组

引进三阶行列式的概念三阶行列式第一节行列式的概念93如何计算三阶行列式？例4第一节行列式的概念94

=15+(-12)+(-16)-24-(-10)-(-12)=-151×3×5+(-1)×(-3)×(-4)+(-2)×2×4-(-2)×3×(-4)-(-1)×2×5-1×(-3)×4逆序数第一节行列式的概念95

考虑由前n个正整数组成的数字不重复的排列j1j2…jn中,若有较大的数排在较小的数的前面,则称它们构成一个逆序,并称逆序的总数为排列j1j2…jn的逆序数,记作N(j1j2…jn).由1,2这两个数字组成排列的逆序数为

N(12)=0

N(21)=1由1,2,3这三个数字组成排列的逆序数为

N(123)=0 N(231)=2 N(312)=2 N(321)=3 N(213)=1 N(132)=1逆序数第一节行列式的概念96二阶行列式,它是2!=2项的代数和,每项为来自不同行、不同列的2个元素乘积取正号与取负号的项各占一半,即各为1项若相应列标排列逆序数为零,则这项前面取正号；若相应列标排列逆序数为奇数,则这项前面取负号。

若相应列标排列逆序数为零或偶数,则这项前面取正号；若相应列标排列逆序数为奇数,则这项前面取负号对应三阶行列式二阶行列式计算规律n阶行列式第一节行列式的概念97定义1.1

n阶行列式第一节行列式的概念98n阶行列式共有n2个元素,它们排成n行n列,从左上角到右下角的对角线称为主对角线,从右上角到左下角的对角线称为次对角线.同一行的元素不可能乘在一起,同一列的元素也不可能乘在一起

总结：n阶行列式规律例3第一节行列式的概念99

解:在乘积a34a21a42a23中,元素a21与a23的行标同为2,说明这两个元素皆来自第2行,所以乘积a34a21a42a23不是四阶行列式D中的项例4第一节行列式的概念100

解：适当交换所给项中元素的次序,使得它们的行标按顺序排列,得到

a31a24a43a12=a12a24a31a43这时相应列标排列逆序数

N(2413)=3是奇数,因而项a31a24a43a12前面应取负号负号转置行列式第一节行列式的概念101定义1.2

转置行列式第一节行列式的概念102行列式D与它的转置行列式DT之间有什么关系?

容易看出:DT=D可以证明这个结论对于n阶行列式也是成立的.转置行列式第一节行列式的概念103定理1.1转置行列式DT的值等于行列式D的值,即

DT=D定理1.1说明:在行列式中,行与列的地位是对等的即:凡有关行的性质,对于列必然成立;凡有关列的性质,对于行也必然成立.三角形行列式第一节行列式的概念104定义1.3若行列式D主对角线以上或以下的元素全为零,则称行列式D为三角形行列式.如何计算三角形行列式？三角形行列式第一节行列式的概念105

它当然等于n!项代数和,其中含有零因子的项一定等于零,可以不必考虑,所以只需考虑可能不为零的项在这样的项中,必然有一个因子来自第1行,只能是元素a11;必然有一个因子来自第2行,有元素a21,a22可供选择,但元素a21与元素a11同在第1列,不能乘在一起,从而只能是元素a22;…;必然有一个因子来自第n行,有元素an1,an2,…,ann可供选择,但元素an1与元素a11同在第1列,不能乘在一起,元素an2与元素a22同在第2列,不能乘在一起,…,从而只能是元素ann.这说明可能不为零的项只有一项a11a22…ann三角形行列式第一节行列式的概念106由于列标排列逆序数

N(12…n)=0所以项a11a22…ann前面应取正号.那么,三角形行列式

三角形行列式第一节行列式的概念107同理,另一种三角形行列式

由此可知:三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.例5计算第一节行列式的概念108

=1×2×3×4=24三角形行列式第一节行列式的概念109

若行列式D主对角线以外的元素全为零,则称行列式D为对角形行列式,它是三角形行列式的特殊情况,它的值当然等于主对角线上元素的乘积,即

第一节行列式的概念110本次课程结束第二节行列式的性质111本节主要学习目标：[知识目标]

熟练掌握行列式的性质及推论。[能力目标]

能熟练利用性质及推论计算三阶、四阶行列式的值。行列式的性质第二节行列式的性质112考虑三阶行列式D=交换行第二节行列式的性质113D1==-D若将第1行与第2行交换,得到行列式行乘系数第二节行列式的性质114D1=若将第1行乘以数k,得到行列式=kD行加倍数第二节行列式的性质115D1=若将第1行的k倍加到第2行上去,得到行列式=D行列式性质总结第二节行列式的性质116

从上面观察得到的结论,可以证明对于n阶行列式在一般情况下也是成立的,行列式具有下列性质:性质1交换行列式的任意两行(列)，行列式变号性质2

行列式的任意一行(列)的公因子可以提到行

列式外面性质3

行列式的任意一行(列)的k倍加到另外一行

(列)上去,行列式的值不变行列式性质推论第二节行列式的性质117推论1如果行列式有一行(列)的元素全为零,则

行列式的值一定等于零推论2

如果行列式有两行(列)的对应元素相同,

则行列式的值一定等于零推论3

如果行列式有两行(列)的对应元素成比例，

则行列式的值一定等于零例1第二节行列式的性质118

例1第二节行列式的性质119解：（1）交换第1行与第2行

（2）交换第2行与第3行

=(-1)2×10=10例2第二节行列式的性质120

例2第二节行列式的性质121解：（1）各行的公因子2提到行列式外

=23×3=24例3第二节行列式的性质122

例3第二节行列式的性质123解：（1）第3列的-1倍加到第2列上去

（2）第2列的-k倍加到第1列上去

=M例4第二节行列式的性质124

例4第二节行列式的性质125解：（1）交换第2行与第3行

例4第二节行列式的性质126解：（2）第1行的公因子4提到行列式外面

（3）第3行的3倍加到第2行上去

例4第二节行列式的性质127解：（4）第2行的公因子2提到行列式外面

=-4×2×1=-8例5第二节行列式的性质128

解：由于所给四阶行列式中第4列与第1列的对应元素成比例，所以上述四阶行列式值为0推论三：如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值一定等于零0例6第二节行列式的性质129

解：交换第1行与第3行

=-1-1例7第二节行列式的性质130

元素a=（）

例7第二节行列式的性质131解：交换第1行与第4行,交换第2行与第3行

=8a已知8a=1

(d)例8第二节行列式的性质132

解：第1行分别加到第2行至第4行上去

=24例9第二节行列式的性质133

解：（1）第1行的-2倍加到第2行上去,第1行的-3倍加到第3行上去,第1行的-4倍加到第4行上

例9第二节行列式的性质134解：（2）第2行的-2倍加到第3行上去,第2行的-7倍加到第4行上去

=160（3）第3行加到第4行上去例10第二节行列式的性质135

解：

例10第二节行列式的性质136解：（1）第2行至第4行皆加到第1行上去

例10第二节行列式的性质137解：

第二节行列式的概念138本次课程结束第三节行列式的展开139本节主要学习目标：[知识目标]

熟练掌握余子式与代数余子式概念及计算。

熟练掌握行列式展开定理[能力目标]

能运用行列式展开定理进行行列式计算。余子式与代数余子式定义第三节行列式的展开140定义1.4

则称剩余元素构成的n-1阶行列式为元素aij的余子式，记作Mij;

Aij=(-1)i+jMij注：n阶行列式共有n2个元素,每一个元素都有其

代数余子式,因此共有n2个代数余子式.例1第三节行列式的展开141

例1第三节行列式的展开142解：

=28+15+0-0-8-0=35

A23=(-1)2+3M23

代数余子式第三节行列式的展开143

容易求得第1行各元素的代数余子式代数余子式第三节行列式的展开144元素a11的代数余子式

元素a12的代数余子式

元素a13的代数余子式

代数余子式第三节行列式的展开145三阶行列式D的值与这些代数余子式之间有什么关系?

代数余子式第三节行列式的展开146这说明三阶行列式D的值等于第1行各元素与其代数余子式乘积之和,称为三阶行列式D按第1行展开。同理,经过类似推导,三阶行列式D可以按第2行或第3行展开,也可以按第1列或第2列或第3列展开总之,三阶行列式D等于任意一行(列)各元素与其代

数余子式乘积之和.代数余子式定理1.2n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其代数余子式乘积之和,即

=…代数余子式第三节行列式的展开148第三节行列式的展开148定理1.2（续）注：在计算n阶行列式时,只需选择应用定理1.2中

一个关系式就可以得到所求n阶行列式的值=…例2第三节行列式的展开149已知四阶行列式D中第2行的元素自左向右依次为4,3,2,1,它们的余子式分别为5,6,7,8,求四阶行列式D的值.解：根据行列式中元素aij的代数余子式Aij与余子式Mij之间的关系Aij=(-1)i+jMij容易得到四阶行列式D中第2行各元素的代数余子式.例2第三节行列式的展开150解：

A22=(-1)2+2M22=(-1)2+2×6=6

A21=(-1)2+1M21=(-1)2+1×5=-5

A23=(-1)2+3M23=(-1)2+3×7=-7

A24=(-1)2+4M24=(-1)2+4×8=8例2第三节行列式的展开151解：所以四阶行列式D按第2行展开,它的值为

=4×(-5)+3×6+2×(-7)+1×8=-8在具体计算行列式时,注意到零元素与其代数余子式乘积等于零,这一项可以不必考虑,于是应该按零元素比较多的一行(列)展开,以减少计算量.例3第三节行列式的展开152

解：（1）按第2列展开=0×A12+0×A22+(-1)×A32+0×A42=(-1)×A32=(-1)×(-1)3+2M32

例3第三节行列式的展开153解：（2）继续按第3列展开=0×A13+2×A23+0×A33=2×A23=2×(-1)2+3M23

=2×(-3)=-6例4第三节行列式的展开154

解：按第1行展开=1×A11+2×A12+0×A13+0×A14=1×A11+2×A12=1×(-1)1+1M11+2×(-1)1+2M12

例4第三节行列式的展开155解：注意到余子式M11为三角形行列式,其值等于主对角线上元素的乘积余子式M12中第2行与第1行的对应元素成比例,其值等于零因此行列式=40+0=40一般地,若行列式中零元素较少时,可以先应用§1.2行列式的性质将行列式中某一行(列)的元素尽可能多的化为零,然后按这一行(列)展开,化为计算低一阶的行列式,如此继续下去,直至化为三角形行列式或二阶行列式,求得结果例5第三节行列式的展开156

解：（1）第1行的-2倍加到第3行上去

例5第三节行列式的展开157解：（2）按第1列展开

（4）按第3列展开

（3）第3行的-2倍加到第1行上去

例6第三节行列式的展开158

解：（1）第2行的-1倍加到第1行上去

例6第三节行列式的展开159解：（2）第1列的-1倍加到第2列上去

（3）按第1行展开例6第三节行列式的展开160解：（4）按第1列展开

=(-x2)(-y2)=x2y2第三节行列式的展开161根据行列式性质的推论容易得到重要结论:n阶行列式中任一行(列)元素与其他行(列)对应元素的代数余子式乘积之和一定等于零.第三节行列式的展开162本次课程结束第四节克莱姆法则163本节主要学习目标：[知识目标]

熟练掌握克莱姆法则的内容。[能力目标]

能运用克莱姆法则进行方程组的解的判断及计算。克莱姆法则第四节克莱姆法则164对于由两个线性方程式构成的二元线性方程组

用消元法求解,得到结论:当a11a22-a12a21≠0时,此线性方程组有唯一解

克莱姆法则第四节克莱姆法则165这个求解公式可以用行列式表示,以进一步揭示它的规律.引进记号

克莱姆法则第四节克莱姆法则166行列式D是由线性方程组中未知量系数构成的行列式,称为系数行列式行列式D1是系数行列式D中第1列元素由线性方程组常数项对应替换后所得到的行列式行列式D2是系数行列式D中第2列元素由线性方程组常数项对应替换后所得到的行列式克莱姆法则第四节克莱姆法则167于是上面的结论可以表达为:当系数行列式D≠0时,此线性方程组有唯一解

一般地,对于由n个线性方程式构成的n元线性方程组,有克莱姆(Cramer)法则.克莱姆法则第四节克莱姆法则168克莱姆法则已知由n个线性方程式构成的n元线性方程组

由未知量系数构成的行列式称为系数行列式,记作D,即

克莱姆法则第四节克莱姆法则169克莱姆法则（续）在系数行列式D中第1列元素,第2列元素,…,第n列元素分别用线性方程组常数项对应替换后所得到的行列式,分别记作D1,D2,…,Dn,即

…

…

克莱姆法则第四节克莱姆法则170克莱姆法则（续）那么:(1)如果系数行列式D≠0,则此线性方程组有唯一解

(2)如果系数行列式D=0,则此线性方程组无唯一解即有无穷多解或无解例1第四节克莱姆法则171

(1)判别有无唯一解;(2)若有唯一解,则求唯一解.解：(1)计算系数行列式

所以此线性方程组有唯一解例1第四节克莱姆法则172(2)再计算行列式解：

所以此线性方程组的唯一解为

例2第四节克莱姆法则173

判别有无唯一解计算系数行列式解：

=1+(-4)+3-1-6-(-2)=-5≠0所以此线性方程组有唯一解齐次线性方程组第四节克莱姆法则174常数项为零的线性方程式称为齐次线性方程式对于齐次线性方程组,显然所有未知量取值皆为零是它的一组解,这组解称为零解此外,若未知量的一组不全为零取值也是它的解,则称这样的解为非零解齐次线性方程组一定有零解,也可能有非零解对于由n个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组,根据克莱姆法则,如果系数行列式D≠0,则有唯一解,意味着仅有零解,说明无非零解在什么条件下,它一定有非零解？齐次线性方程组第四节克莱姆法则175定理1.3已知由n个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组

那么:(1)如果系数行列式D=0,则此齐次线性方程组有非零解;(2)如果此齐次线性方程组有非零解,则系数行列式D=0.例3第四节克莱姆法则176

判别有无非零解.例3第四节克莱姆法则177解：计算系数行列式

第1行加到第4行上去

注意到第4行与第3行的对应元素相同=0所以此齐次线性方程组有非零解.

第2行加到第3行上去例4第四节克莱姆法则178

有非零解,求系数k的值.例4第四节克莱姆法则179解：计算系数行列式

第1行的公因子k+2提到行列式外面

第2行与第3行皆加到第1行上第1行的-1倍分别加到第2行与第3行上去例4第四节克莱姆法则180解：

=(k+2)(k-1)2由于此齐次线性方程组有非零解,因而系数行列式D=0即(k+2)(k-1)2=0,所以系数k=-2或k=1第四节克莱姆法则181本次课程结束第二章矩阵与向量第一节矩阵的概念与基本运算第二节矩阵的秩第三节方阵的幂与伴随矩阵第四节方阵的逆矩阵182本章思维导图183引导案例---生产成本计算问题184

分析：总的成本的计算涉及向量的数乘运算、加法运算等。本章将从矩阵的概念、向量的概念与基本运算出发，讲解矩阵的相关知识和应用。第一节矩阵的概念与基本运算185本节主要学习目标：[知识目标]

理解矩阵的概念。

熟练掌握矩阵的加减、数乘、矩阵相乘的运算。[能力目标]

能进行矩阵的加、减、数乘及矩阵的乘法运算。矩阵的概念186第一节矩阵的概念与基本运算考虑由两个线性方程式构成的二元线性方程组

其解的情况取决于未知量系数与常数项,因此将它们按照顺序组成一个矩形表进行研究

矩阵的概念187第一节矩阵的概念与基本运算定义2.1

行数列数第m行第1列元素矩阵的概念188第一节矩阵的概念与基本运算

只有一列的矩阵称为列矩阵,也称为列向量只有一行的矩阵称为行矩阵,也称为行向量列向量与行向量统称为向量,通常用小写黑体希腊字母表示向量.所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵,记作O或Om×n;至少有一个元素不为零的矩阵称为非零矩阵,非零矩阵A记作A≠O.矩阵的概念189第一节矩阵的概念与基本运算定义2.2已知矩阵A,B,它们的行数相同且列数也相同,若对应元素皆相等,则称矩阵A等于矩阵B,记作A=B

则称它为n阶方阵或n阶矩阵主对角线次对角线矩阵的概念190第一节矩阵的概念与基本运算注意:n阶方阵与n阶行列式是两个不同的概念n阶方阵是由n2个元素组成的n行n列的正方形表n阶行列式是代表由n2个元素根据行列式运算法则计算得到的一个数值举例：三阶方阵三阶方阵的9个元素按照原来的顺序作一个三阶行列式则为

矩阵的概念191第一节矩阵的概念与基本运算单位矩阵在n阶方阵中,若主对角线上元素皆为1,其余元素皆为零

矩阵的基本运算包括下列四种运算1.矩阵与矩阵的加、减法192第一节矩阵的概念与基本运算定义2.3

值得注意的是:只有行数相同且列数也相同的两个矩阵才能相加、减矩阵与矩阵的加、减法同数与数的加、减法在运算规律上是完全一致的例1193第一节矩阵的概念与基本运算

解：A+B

2.数与矩阵的乘法194第一节矩阵的概念与基本运算定义2.4

容易知道,数与矩阵的乘法同数与数的乘法在运算规律上是完全一致的例2195第一节矩阵的概念与基本运算

解:2A

注意：

对于行列式则有

例3196第一节矩阵的概念与基本运算

若矩阵X满足关系式2X-A=4B，求矩阵X解:从关系式2X-A=4B得到矩阵

3.矩阵与矩阵乘法197第一节矩阵的概念与基本运算定义2.5

3.矩阵与矩阵乘法198第一节矩阵的概念与基本运算注意：只有矩阵A的列数等于矩阵B的行数,积AB才有意义积AB第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和积AB的行数等于矩阵A的行数,积AB的列数等于矩阵B的列数，即

Am×lBl×n=(AB)m×n例4199第一节矩阵的概念与基本运算

(1)积AB有无意义?(2)若有意义,积C=AB为几行几列矩阵?积C=AB第1行第2列的元素c12等于多少?例4200第一节矩阵的概念与基本运算解:容易看出,矩阵A为2行3列矩阵,矩阵B为3行4列矩阵由于矩阵A的列数等于矩阵B的行数,所以积AB有意义.(1)(2)根据积AB的行数等于矩阵A的行数,积AB的列数等于矩阵B的列数于是积C=AB为2行4列矩阵.例4201第一节矩阵的概念与基本运算解:积C=AB第1行第2列的元素c12等于矩阵A的第1行元素与矩阵B的第2列对应元素乘积之和,即c12=1×2+2×3+0×4=8应该注意的是:由于矩阵B的列数不等于矩阵A的行数,因而积BA无意义例5202第一节矩阵的概念与基本运算

解:AB

BA

例6203第一节矩阵的概念与基本运算

解:AB

BA

从例4至例6可以看出:尽管积AB有意义,但积BA不一定有意义;即使积AB,BA都有意义,积AB与BA也不一定相等.这说明在一般情况下,矩阵与矩阵的乘法运算不满足交换律.例7204第一节矩阵的概念与基本运算

解:AB

BA

例8205第一节矩阵的概念与基本运算

解:AB

AC

发现从例7可以看出:尽管矩阵A,B都不是零矩阵,但积BA却可以是零矩阵.从例8可以看出:尽管矩阵A不是零矩阵,矩阵B与C不相等,但积AB与AC却可以相等这说明在一般情况下,矩阵与矩阵的乘法运算不满足消去律.第一节矩阵的概念与基本运算矩阵之间乘法运算性质207第一节矩阵的概念与基本运算性质1满足结合律,即(AB)C=A(BC)性质2满足分配律,即(A+B)C=AC+BCA(B+C)=AB+AC矩阵之间乘法运算性质208第一节矩阵的概念与基本运算矩阵与矩阵的乘法运算不满足一些数与数的乘法运算规律,主要体现在哪里？不满足交换律，即在一般情况下,积AB不一定等于积BA不满足消去律,即在一般情况下,仅从AB=O,不能得到A=O或B=O;仅从A≠O,AB=AC,不能得到B=C209第一节矩阵的概念与基本运算一般地,对于单位矩阵有ImAm×n=Am×nAm×nIn=Am×n说明单位矩阵在矩阵与矩阵乘法中的作用相当于数1在数与数乘法中的作用由于矩阵与矩阵的乘法运算不满足交换律,因而矩阵与矩阵相乘时必须注意顺序积AB称为用矩阵A左乘矩阵B,或称为用矩阵B右乘矩阵A例9210第一节矩阵的概念与基本运算

(1)差2B-3C;(2)积A(2B-3C).例9211第一节矩阵的概念与基本运算解:(1)差2B-3C

例9212第一节矩阵的概念与基本运算解:(2)积A(2B-3C)

例10213第一节矩阵的概念与基本运算解:

(a)-2 (b)2(c)-1 (d)1计算积

根据已知关系式,有(6

2+x)=(6

1)从而得到关系式2+x=1,因此元素x=-1c4.矩阵的转置214第一节矩阵的概念与基本运算定义2.6已知m行n列矩阵

将行列依次互换,所得到的n行m列矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记作

例11215第一节矩阵的概念与基本运算解:

ABT+4C

矩阵的转置运算性质216第一节矩阵的概念与基本运算性质1性质2性质3(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT

(k为数)217本次课程结束第一节矩阵的概念与基本运算第二节矩阵的秩218本节主要学习目标：[知识目标]

理解阶梯形矩阵及简化阶梯形矩阵的概念。

熟练掌握矩阵的三种初等行变换。

理解矩阵的秩的概念及性质[能力目标]

能熟练计算矩阵的秩的运算。阶梯型矩阵219第二节矩阵的秩在矩阵中,若一行的元素皆为零,则称这行为零行若一行的元素不全为零,则称这行为非零行在非零行中,从左往右数,第一个不为零的元素称为首非零元素阶梯型矩阵220第二节矩阵的秩定义2.7已知矩阵A,若它同时满足:(1)各非零行首非零元素分布在不同列;(2)当有零行时,零行在矩阵的最下端.则称矩阵A为阶梯形矩阵.例1221第二节矩阵的秩

阶梯型矩阵222第二节矩阵的秩定义2.8已知阶梯形矩阵A,若它同时还满足:(1)各非零行首非零元素皆为1(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全为零则进而称阶梯形矩阵A为简化阶梯形矩阵.例2223第二节矩阵的秩

矩阵的初等行变换224第二节矩阵的秩定义2.9对矩阵施以下列三种变换:(1)交换矩阵的任意两行(2)矩阵的任意一行乘以非零数k(3)矩阵任意一行的数k倍加到另外一行上去称为矩阵的初等行变换.矩阵的初等行变换225第二节矩阵的秩考虑矩阵

若将第1行与第3行交换,有

→

矩阵的初等行变换226第二节矩阵的秩

→

容易看出,积B1A

=A1这说明:交换矩阵A的第1行与第3行相当于用矩阵B1左乘矩阵A矩阵的初等行变换227第二节矩阵的秩若将第2行乘以非零数k,有

→

→矩阵的初等行变换228第二节矩阵的秩容易看出,积B2A

=A2这说明:用非零数k乘矩阵A的第2行相当于用矩阵B2左乘矩阵A.矩阵的初等行变换229第二节矩阵的秩若将第1行的k倍加到第2行上去,有

→

矩阵的初等行变换230第二节矩阵的秩

→

容易看出,积B3A

=A3这说明:矩阵A第1行的k倍加到第2行上去相当于用矩阵B3左乘矩阵A.矩阵的初等行变换231第二节矩阵的秩定理2.1对任何矩阵A作若干次初等行变换得到矩阵C,相当于用单位矩阵I作同样若干次初等行变换所得到的矩阵B左乘矩阵A,即BA=C矩阵的初等行变换232第二节矩阵的秩

首先观察第1列元素中有多少个非零行首非零元素,若不超过一个,则已符合要求;

矩阵的初等行变换233第二节矩阵的秩然后再用同样方法依次观察和处理其他各列,直至使得非零行首非零元素在不同列为止在对矩阵作初等行变换的过程中,若有零行出现,则适时将零行移至矩阵的最下端.矩阵的秩234第二节矩阵的秩定义2.10已知矩阵A,当矩阵A为阶梯形矩阵,或矩阵A虽非阶梯形矩阵但可经过若干次初等行变换化为阶梯形矩阵.若阶梯形矩阵非零行为r行,则称矩阵A的秩为r,记作r(A)=r例3235第二节矩阵的秩已知矩阵

，则秩r(A)=

.

解:容易看出,所给矩阵A中4行都是非零行,第1行首非零元素1在第3列,第2行首非零元素1在第1列,第3行首非零元素1在第2列,第4行首非零元素1在第4列,它们在不同列,因而矩阵A为阶梯形矩阵.又由于其非零行为4行,说明秩r(A)=44例4236第二节矩阵的秩

解:容易看出,所给矩阵A中3行都是非零行,其中第2行与第3行的首非零元素同在第2列,因而矩阵A不为阶梯形矩阵,对矩阵A作初等行变换,化为阶梯形矩阵,有例4237第二节矩阵的秩

第2行乘以3,第3行乘以2

第2行的-1倍加到第3行上去

由于阶梯形矩阵非零行为3行,于是秩r(A)=3例5238第二节矩阵的秩

容易看出,所给矩阵A中4行都是非零行,它们的首非零元素同在第1列,因而矩阵A不为阶梯形矩阵,对矩阵A作初等行变换,化为阶梯形矩阵.有解:例5239第二节矩阵的秩

第1行的-2倍加到第2行上去第1行的-3倍加到第3行上去第1行的-1倍加到第4行上去

第2行的-1倍分别加到第3行与第4行上去例5240第二节矩阵的秩

由于阶梯形矩阵非零行为2行,于是秩r(A)=2.例6241第二节矩阵的秩

对矩阵A作初等行变换,化为阶梯形矩阵.有解:

例6242第二节矩阵的秩第1行的-3倍加到第3行上去第1行的-5倍加到第4行上去

第2行分别加到第3行与第4行上去

注意到第1行与第2行都是非零行,第4行是零行,欲使得秩r(A)=2,第3行必须是零行.所以元素x=0,使得秩r(A)=2.矩阵的秩的性质243第二节矩阵的秩矩阵的秩具有下列性质:性质1

r(A)≤min{m,n}矩阵的秩的性质244第二节矩阵的秩性质2对于m行矩阵A,如果存在m列元素构成m阶行列式不为零,则秩r(A)=m矩阵的秩的性质245第二节矩阵的秩性质3转置矩阵AT的秩等于矩阵A的秩,即秩r(AT)=r(A)例7246第二节矩阵的秩

容易看出,矩阵A为阶梯形矩阵,由于其非零行为3行,于是秩r(A)=3.又因为r(AT)=r(A),所以秩r(AT)=3.解:247本次课程结束第二节矩阵的秩第三节方阵的幂与逆矩阵248本节主要学习目标：[知识目标]

了解方阵的幂的概念。

熟练掌握方阵的行列式的性质。

理解方阵的伴随矩阵的概念及计算方法[能力目标]

能熟练计算方阵的伴随矩阵。方阵的幂249第三节方阵的幂与逆矩阵说明：下面讨论只针对方阵的有关运算定义2.11已知n阶方阵A,将k个n阶方阵A连乘,所得到的积仍是n阶方阵,称为n阶方阵A的k次幂,记作

例1250第三节方阵的幂与逆矩阵

解:代数和A2-5A+3I=AA-5A+3I

=O例2251第三节方阵的幂与逆矩阵

解:和A2+AAT=AA+AAT

例2252第三节方阵的幂与逆矩阵

方阵的幂253第三节方阵的幂与逆矩阵考虑n阶方阵A,B,由于矩阵与矩阵的乘法运算满足结合律与分配律,于是得到(AB)2=(AB)(AB)=ABAB(A+B)2=(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B)=A2+AB+BA+B2(A+B)(A-B)=A(A-B)+B(A-B)=A2-AB+BA-B2方阵的幂254第三节方阵的幂与逆矩阵由于矩阵与矩阵的乘法运算不满足交换律,即在一般情况下,积BA不一定等于积AB,所以有下列结论:(1)幂(AB)2不一定等于积A2B2(2)幂(A+B)2不一定等于和A2+2AB+B2(3)积(A+B)(A-B)不一定等于差A2-B2上述讨论说明:对于数运算成立的积的平方公式、两项和的平方公式及平方差公式对于方阵运算是不适用的方阵的行列式255第三节方阵的幂与逆矩阵定义2.12

将构成n阶方阵A的n2个元素按照原来的顺序作一个n阶行列式,这个n阶行列式称为n阶方阵A的行列式,记作

方阵的行列式性质256第三节方阵的幂与逆矩阵可以证明,方阵的行列式具有下列性质:性质1已知方阵A,则行列式|AT|=|A|性质2如果方阵A为n阶方阵,k为数,则行列式|kA|=kn|A|性质3如果方阵A,B为同阶方阵,则行列式|AB|=|A||B|例3257第三节方阵的幂与逆矩阵已知方阵A为3阶方阵,且行列式|A|=3,求下列行列式的值:(1)|3AT|

(2)|-A|解:(1)根据方阵的行列式性质2与性质1,得到行列式|3AT|=33|AT|=33|A|=33×3=81(2)根据方阵的行列式性质2,得到行列式|-A|=(-1)3|A|=(-1)3×3=-3伴随矩阵258第三节方阵的幂与逆矩阵定义2.13

它的行列式为

伴随矩阵259第三节方阵的幂与逆矩阵将行列式|A|中元素aij的代数余子式Aij放在第i行第j列位置上(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),组成n阶方阵后再转置所得到的这个n阶方阵称为n阶方阵A的伴随矩阵,记作

伴随矩阵260第三节方阵的幂与逆矩阵

计算每个元素的代数余子式A11=(-1)1+1d=dA12=(-1)1+2c=-cA21=(-1)2+1b=-bA22=(-1)2+2a=a伴随矩阵261第三节方阵的幂与逆矩阵于是得到二阶方阵A的伴随矩阵

根据上述结论,容易得到求二阶方阵A的伴随矩阵A*的规律:将二阶方阵A中主对角线上两元素交换,次对角线上两元素变号,所得到的二阶方阵就是二阶方阵A的伴随矩阵A*例4262第三节方阵的幂与逆矩阵

解:根据上面的规律,因而伴随矩阵

例5263第三节方阵的幂与逆矩阵

解:三阶方阵A的行列式

例5264第三节方阵的幂与逆矩阵计算行列式|A|中9个元素的代数余子式

例5265第三节方阵的幂与逆矩阵

例5266第三节方阵的幂与逆矩阵

例5267第三节方阵的幂与逆矩阵于是三阶方阵A的伴随矩阵

268本次课程结束第三节方阵的幂与逆矩阵第四节方阵的逆矩阵269本节主要学习目标：[知识目标]

理解方阵的逆矩阵的概念。

理解伴随矩阵法计算矩阵的逆矩阵。

熟练掌握初等行变换方法计算矩阵的逆矩阵。[能力目标]

能熟练计算矩阵的逆矩阵。逆矩阵270第四节方阵的逆矩阵定义2.14已知n阶方阵A,若存在n阶方阵B,使得AB=BA=I则称n阶方阵A可逆,并称n阶方阵B为n阶方阵A的逆矩阵,记作A-1=B逆矩阵271如果n阶方阵A可逆,它的逆矩阵是否唯一?设n阶方阵B1与B2都是n阶方阵A的逆矩阵,则有AB1=B1A=IAB2=B2A=I于是得到n阶方阵B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2这说明n阶方阵A的逆矩阵是唯一的那么