经济数学1.8-函数的连续性与间断点

19五月20241第八节函数的连续性与间断点

第一章（ContinuityandDiscontinuityofFunction）三、函数的间断点二、函数的连续性一、问题的提出四、小结与思考题19五月20242一、问题的提出（Introduction）0T(时间)温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性19五月20243二、函数的连续性（ContinuityofFunction）1.函数的增量19五月202442.连续的定义（DefinitionofContinuity）19五月20245在的某邻域内有定义,则称函数设函数且定义219五月202463.单侧连续(One-sidedContinuity)左连续(LeftContinuity)

:当时,有右连续(RightContinuity):当时,有定理与单侧极限相类似！19五月202474.连续函数(ContinuousFunction)若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数

.如果此区间包含端点，那么（1）函数在左端点连续是指在左端点右连续，（2）函数在右端点连续是指在右端点左连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．在闭区间上的连续函数的集合记作19五月20248在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.只要都有例如,19五月20249在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.例1证明函数19五月202410例2

讨论函数在处的连续性．解由于即左右极限不相等，所以该函数在但是，因为点不连续．，所以函数在处右连续．19五月202411三、函数的间断点（DiscontinuityofFunction）定义3在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但

不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则这样的点下列情形之一函数f(x)在点虽有定义

,但虽有定义

,且称为间断点

.在无定义

;19五月202412第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点

.为跳跃间断点

.为无穷间断点

.为振荡间断点.间断点分类:19五月202413为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:19五月202414显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.19五月202415例3

当取何值时，函数解因为要使，则需要．故当且仅当时，函数在点连续．在处连续．19五月202416内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式19五月202417课前预习1、函数连续与函数极限的运算法则的区别与联系；2、初等函数在哪些点一定连续？19五月202418思考与练习1.

讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,19五月2024192.

讨论函数在处的连续性。解：右连续但不左连续,故函数在点不连续。19五月2024203.

讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别．习题