湖北省荆荆襄宜四地七校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（含解析）

2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则()A. B.5 C.4 D.32.若随机事件，满足，，，则()A. B.C. D.3.已知直线为曲线在点处的切线，则点到直线的距离为()A. B. C. D.104.已知随机变量的分布列如表，则的均值等于()0123A. B. C.1 D.25.某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为()A. B. C. D.6.设(是自然对数的底数)，，，则的大小关系为()A. B. C. D.7.已知数列为等差数列，其首项为，公差为，数列为等比数列，其首项为，公比为，设，为数列的前项和，则当时，的取值可以是下面选项中的()A. B. C. D.8.若存在正实数，使得不等式成立(是自然对数的底数)，则的最大值为()A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有()A.四面体是鳖臑B.阳马的体积为C.若，则D.到平面的距离为10.在平面直角坐标系中，已知定点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是()A.曲线的方程为 B.直线与曲线的位置关系无法确定C.若直线与曲线相交，其弦长为4，则 D.的最大值为311.关于函数，下列说法正确的是()A.上单调递增B函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得恒成立D.对任意两个正实数，且，若，则12.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有()A.点在抛物线的准线上 B.C. D.若，则的值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列中，，则______________.14.展开式中项的系数为__________．15.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为______.16.黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题：(1)_____；(其中表示不超过的最大整数，如)(2)已知正项数列的前项和为，且满足，则_________.(参考数据：)四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数(，是自然对数的底数).(1)若，求的极值；(2)若在上单调递增，求的取值范围.18.手机碎屏险，即手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机的普及，应运而生的保险.为方便手机用户，某品牌手机厂商针对两款手机推出碎屏险服务，保修期为1年，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务，两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：碎屏险费/元50屏幕意外损坏概率005008(1)某人分别为款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为0.05，0.08，手机屏幕意外损坏相互独立.记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为，求的分布列和数学期望；(2)已知在该手机厂商在售出两款手机中，分别有24000部和10000部上了碎屏险，两款手机更换屏幕的成本分别为400元和600元.若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于50万元，求款手机的碎屏险费最低应定为多少？(业务收入=碎屏险收入—屏幕更换成本)19.如图，已知三棱柱中，，四边形是菱形.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的正弦值.20.已知数列的前项和为，.(1)求的值，并求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，证明：.21.已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆上异于椭圆右顶点的四个不同的点，直线、直线均不与坐标轴垂直，直线过点且与直线垂直，，证明：直线和直线的交点在一个定圆上.22.已知函数(是常数，是自然对数的底数).(1)当时，求函数的最大值；(2)当时，①证明：函数存在唯一的极值点；②若，且，证明：.2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则()A. B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】先求得，进而求得的值.【详解】故选：D2.若随机事件，满足，，，则()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，计算得到，然后根据条件概率的计算公式计算即可.【详解】由题可知：所以所以故选：D3.已知直线为曲线在点处的切线，则点到直线的距离为()A. B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】利用导数求曲线在切点处切线的斜率，得切线方程，再求点到直线距离.【详解】由，有，则曲线在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即，则点到直线的距离为.故选：B.4.已知随机变量的分布列如表，则的均值等于()0123A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用分布列中各取值的概率之和为1，得到m的值，运用均值公式计算均值.【详解】由，得，则.故选：C5.某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：根据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案；方法二：计算抽调3人全部为女医生的概率，利用对立事件的概率公式，求出至少有1名男医生参加的概率.【详解】方法一：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有(种)，至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有(种)，所以至少有1名男医生参加的概率为.方法二：抽调3人全部为女医生的概率为，则至少有1名男医生参加的概率为.故选：C．6.设(是自然对数的底数)，，，则的大小关系为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质和对数式的运算比较数的大小.【详解】由，有，得，由，得，，即，所以.故选：A7.已知数列为等差数列，其首项为，公差为，数列为等比数列，其首项为，公比为，设，为数列的前项和，则当时，的取值可以是下面选项中的()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出数列、的通项公式，可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得，分析数列的单调性，可得出，即可得出结果.【详解】因为数列为等差数列，其首项为，公差为，所以.因为数列为等比数列，其首项为，公比为，所以，所以，则，因为对任意的，，所以数列单调递增，因为，，所以，当时，.故选：A.8.若存在正实数，使得不等式成立(是自然对数的底数)，则的最大值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同构法将题给不等式转化为，再构造函数，并利用导数求得其最大值，进而求得的最大值.【详解】设，则，则在上单增，则设，则，当时，，当时，得在上单增，在上单减，则当时取得最大值，故.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，，，，则下列结论正确的有()A.四面体是鳖臑B.阳马的体积为C.若，则D.到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】由△不是直角三角形否定选项A；求得阳马的体积判断选项B；以为基底表示向量进而判断选项C；求得到平面的距离判断选项D.【详解】A错，连接AC，则△中，，则△不是直角三角形，则四面体不是鳖臑；B对，.C对，D对，设到平面的距离为d，又，由，得，则到平面的距离为故选：BCD10.在平面直角坐标系中，已知定点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是()A.曲线的方程为 B.直线与曲线的位置关系无法确定C.若直线与曲线相交，其弦长为4，则 D.的最大值为3【答案】AD【解析】【分析】设，代入，得曲线的方程判断选项A；由直线过的定点，判断直线与曲线的位置关系，验证选项B；由弦长与直径相等得直线过圆心，圆心代入直线方程求解k，验证选项C；的最大值为B点到圆心距离加上半径，计算验证选项D.【详解】设动点，由，则，化简得，A选项正确；直线过定点，点在圆内，直线与曲线相交，B选项错误；弦长为4，等于圆的直径，圆心在上，代入直线方程得，C选项错误；由，圆心，半径为2，，D选项正确.故选：AD11.关于函数，下列说法正确的是()A.在上单调递增B.函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得恒成立D.对任意两个正实数，且，若，则【答案】ABD【解析】【分析】求得在上单调性判断选项A；求得函数零点个数判断选项B；利用导数判断是否存在正实数使得恒成立判断选项C；利用导数证明若，则判断选项D.【详解】A对，，则当时，，单调递增.B对，设，，则在上单减，又，则在上有且只有一个零点.C错，，设，则，令，则则当时，，单调递增；当时，，单调递减.则当，取得最大值，则恒成立，则恒成立，在上单减.当时，，则无最小值，故不存在正实数恒成立.D对，设，由得，即，即设，则则在上单减，，故成立.故选：ABD12.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有()A.点在抛物线的准线上 B.C. D.若，则的值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，设，，表示出切线，，算出点P坐标即可；对于BC，根据两直线斜率的乘积即可判断；对于D，用焦半径公式，算出两个长度即可.【详解】由题意知，故l：，与抛物线联立，可得，则，设，，则．对于A，由抛物线可得，所以直线的斜率，则直线的方程为，同理可得直线的方程为，联立解得．又，故点P在抛物线的准线上，故A正确；对于B，，故，故B错误；对于C，直线l的方程为，则，直线方程为，可得所以，故则FQ⊥BQ，故C正确；对于D，由，直线l的方程为，与抛物线联立可得，解得，则，则，得，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列中，，则______________.【答案】3【解析】【分析】利用等比数列通项公式求出，由此能求出．【详解】在等比数列中，，，，解得，，解得．故答案为：3.14.展开式中项的系数为__________．【答案】【解析】【分析】根据二项式定理将每个幂次展开，在展开式中找出项的系数求和即可.【详解】因为展开式的第一项没有的项，所以展开式中的系数为.故答案为：．15.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为______.【答案】0.07##【解析】【分析】利用条件概率即可求得从这20块芯片中任取1块芯片取得的芯片是次品的概率.【详解】记“20块芯片中任取1块芯片，取得的芯片是次品”为事件B，分别记从这20块芯片中任取1块芯片，则该芯片为甲、乙、丙生产为事件则，则故答案：0.0716.黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题：(1)_____；(其中表示不超过的最大整数，如)(2)已知正项数列的前项和为，且满足，则_________.(参考数据：)【答案】①.1②.88【解析】【分析】利用放缩法和裂项相消，求的范围，可得的值；由求出，利用利用放缩法和裂项相消，结合条件中的参考数据，求的范围，可得的值.【详解】(1)，，所以，所以；(2)当时，，解得，因为，所以，当时，，所以，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，因为，所以，所以，当时，，即，所以，令，则，因为，，，所以，，因为，，，所以，所以，即故答案为：1,88.【点睛】方法点睛：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和，一般要先将通项放缩后再求和，放缩为可以求和且“不大不小”，大多是等比模型或裂项相消模型.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数(，是自然对数的底数).(1)若，求的极值；(2)若在上单调递增，求的取值范围.【答案】(1)极大值，无极小值(2)【解析】【分析】(1)利用极值定义即可求得极值；(2)利用导数构造关于的不等式，解之即可求得的取值范围.【小问1详解】，当时，，由，得，当时，，在上单增，当时，，在上单减，故当时，有极大值，无极小值.【小问2详解】在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，则又，则.18.手机碎屏险，即手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机的普及，应运而生的保险.为方便手机用户，某品牌手机厂商针对两款手机推出碎屏险服务，保修期为1年，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务，两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：碎屏险费/元50屏幕意外损坏概率0.050.08(1)某人分别为款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为0.05，0.08，手机屏幕意外损坏相互独立.记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为，求的分布列和数学期望；(2)已知在该手机厂商在售出的两款手机中，分别有24000部和10000部上了碎屏险，两款手机更换屏幕的成本分别为400元和600元.若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于50万元，求款手机的碎屏险费最低应定为多少？(业务收入=碎屏险收入—屏幕更换成本)【答案】(1)分布列见解析，0.13(2)40元【解析】【分析】(1)由题意可列出的分布列，并求出各个值时的概率，从而可求得数学期望；(2)理解题意可分别求出屏幕更换总成本，碎屏险总收入和业务收入，从而可构造关于的表达式，从而可得出结论.【小问1详解】的可能取值为、、的分布列为0120.8740.1220.04故次数的数学期望为0.13.【小问2详解】依题意，可知、款手机发生屏幕意外损坏分别有24000×0.05＝1200部，10000×0.08＝800部屏幕更换总成本为1200×400+800×600＝960000元碎屏险总收入为24000+10000×50业务收入为24000+10000×50－960000＝24000－460000则24000+10000×50－960000≥500000，得，故款手机的碎屏险费最低应定为40元.19.如图，已知三棱柱中，，四边形是菱形.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用线面垂直判定定理即可证得平面；(2)建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得二面角的正弦值.【小问1详解】由四边形是平行四边形，，得四边形是矩形，则由，，，、面，得面，又面，则由四边形是菱形，得由，，，、面，得面【小问2详解】由(1)可知，面，又面，得面面由四边形是菱形，，得是正三角形.取、的中点分别为、，连，，则，.由面面，面面，面，得面以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示则，，面的一个法向量为设面的一个法向量为由，令，得设二面角的大小为，则又，则故二面角的正弦值为.20.已知数列的前项和为，.(1)求的值，并求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，证明：.【答案】(1)2，(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据数列的递推式可得时，，采用作差的方法可得，结合累乘法即可求得答案；(2)由(1)可得的通项公式，利用裂项求和的方法，即可求得，从而证明结论..【小问1详解】因为，所以当时，，两式作差可得，整理得．，令，则，所以，所以，则，当时，也符合上式，综上，．【小问2详解】由(1)可知，，则，因为，所以，所以．21.已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆上异于椭圆右顶点的四个不同的点，直线、直线均不与坐标轴垂直，直线过点且与直线垂直，，证明：直线和直线的交点在一个定圆上.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意列出关于的方程组，解出即可；(2)设直线，点，，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，将其代入斜率为2的等式中，化简得到关系，则得到直线所过定点，最后即可证明(2)中结论.【小问1详解】