压轴题01集合新定义、函数与导数13题型（教师版）

压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总命题预测本专题考查类型主要涉及点为集合、函数、导数的综合类型，尤其以新定义为主，同时包含了多个知识点的综合问题预计2024年后命题会再新定义以及知识点的综合方面进行考察。高频考法题型01函数导数与数列结合题型02构造法比较函数的大小题型03抽象函数问题题型04同构相关问题题型05函数性质综合问题题型06放缩与裂项相消法的运用题型07集合新定义问题题型08函数新定义问题题型09集合、函数与数列结合新定义问题题型10函数新考点问题题型11多个函数数形结合问题题型12函数最值与取值范围问题题型13三角函数与导数结合问题01函数导数与数列结合数列与导函数结合的题目，关键是找到两者间的递推关系或通项关系，理解数列的规律，即研究透通项，利用数列的求和方法求出对应数列的和即可。1.（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数fx满足fx=f1−x,f'x为fx【答案】2023【分析】由fx=f1−x，可得f【详解】由题意知fx=f1−x，所以f又因为gx=f所以a1a1将①②两式相加可得：a1故答案为：20233【点睛】关键点点睛：本题主要是对fx=f1−x求导后得f2.（2024·安徽芜湖·二模）在数列an中，Sn为其前n项和，首项a1=1，且函数A．26 B．63 C．57 D．25【答案】C【分析】计算f'x，分析f'【详解】因为fx所以f'x=3令gx=f则此零点只能为0，即g0=0，代入化简可得：又a1=1，所以a2=3，a3=7，故选：C3.（2024·浙江·二模）已知函数fx满足对任意的x,y∈1,+∞且x<y都有fx−y1−xy=f1A．f253385 B．f253380 C．【答案】D【分析】根据fx−y1−xy=f1x【详解】∵函数fx满足对任意的x,y∈1,+∞且∴令x=n+2,y=n+3，则x−y1−xy∴a∴a=f1故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为：a4.（2024·上海闵行·二模）已知定义在（0,+∞）上的函数y=f(x)的表达式为fx=sin(1)求函数y=fx在区间0,(2)求证：函数y=fx在区间nπ,(3)求证：π<【答案】(1)0,(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求得fx的导数，判断f（2）讨论n为奇数，或偶数时，fx（3）由（2）可知函数fx在nπ,n+1π【详解】（1）由f'当x∈0,π时，f'x>0且f0=0，所以fx在区间0,π上的值域为（2）当x∈n①当n是偶数时，f'函数y=fx在区间n②当n是奇数时，f'函数y=fx在区间n且fnπ=所以由零点存在定理可知，函数y=fx在区间n（3）由（2）可知函数fx在nπ,且满足fxn=sinxn−xn又因为fnπ+所以由零点存在性定理可知，函数y=fx在nπ,n于是xn+tan①因为xn+1−所以xn+1−x（或者tan⇒tanxn+1②因为tan由（1）可知，当x∈0,π故xn+1−x由①②可知π<【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助fx在nπ,n+1π5.（2024·四川成都·三模）已知函数fx=ln①任取ai=a（其中a>0），并令正整数②求函数fx图象在ai,fai③判断ai+1④令i=i+1，返回第②步；⑤结束算法，确定数列an的项依次为a根据以上信息回答下列问题：(1)求证：ai+1(2)是否存在实数a使得an为等差数列，若存在，求出数列an的项数n；若不存在，请说明理由．参考数据：【答案】(1)证明见解析(2)a=a1【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义表示出切线方程，令x=0，即可得证；（2）设其公差为d，依题意可得d=ai+1−ai=lnai−ai−11≤i≤n，令g【详解】（1）因为f'x=1x，所以函数y=f即y=xai+lnai−1，令所以a（2）若an为等差数列，设其公差为d，则d=ai+1令gx=ln所以当0<x<1时g'x>0，当x>1所以gx在0,1上单调递增，在1,+所以gx因此d=gx最多有两个不同的根，即最多3若a1、a2、a3由（1）可知a2=ln又a3令ℎx=e所以当x∈0,+∞时ℎ'x>0又ℎ1（其中2e2>又ℎ1所以存在x0∈1即存在a2∈1e2此时a=a1=ea【点睛】关键点点睛：本题第一问关键是理解题意，利用导数的几何意义表示出切线方程，第二问关键是推导出这样的等差数列最多三项，再转化为函数的零点问题.02构造法比较函数的大小构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.6.（2024·浙江台州·二模）已知x，y为正实数，则可成为“x<y”的充要条件的是（

）A．1x<1C．sinx<siny【答案】D【分析】作差法可判断A；构造函数F(x)=x−lnx、【详解】对于A，已知x，y为正实数，若x<y，1x则1x对于B，由x+lny<y+ln令FxF'x=1−1x则Fx在0,1若x<y∈0,1，则F对于C，已知x，y为正实数，若x<y，取x=π则sinx=对于D，由x−cosy<y−cos令f(x)=x+cosx，则即f(x)在定义域上递增，故x<y，反之x<y也有x−cos故选：D.7.（2024·吉林延边·一模）已知α，β均为锐角，且lnα−A．sinα<sinβC．cosα<sinβ【答案】C【分析】根据题意可得lnα−cosα>lnπ【详解】因为lnα−则lnα−且lnπ可得lnα−构建fx=因为y=lnx,y=−cos可知fx在0,π2且y=sinx在0,π2内单调递增，可得sinα>sinπ由于无法确定α,β的大小，故AB错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得lnα−cosα>8.（多选）（23-24高三上·江西赣州·期末）若正数a，b满足a+b=1，则（

）A．log2a+logC．a+lnb<0 【答案】BCD【分析】对A：利用基本不等式求得ab的最大值，即可求得目标式的范围，从而判断；对B：直接使用基本不等式，结合指数运算，即可判断；对C：构造函数fx=lnx−x+1，利用导数研究其单调性和值域，将a+【详解】因为a+b=1，故可得ab≤14a+b对A：log2a+log对B：2a+2b对C：令fx=lnx−x+1,x∈(故f(x)在(0,1)单调递增，fx<f1a+lnb=1−b+lnb，又a>0，即1−b>0故lnb−b+1<0，也即对D：令gxg'(x)故当x∈(0,12)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(12故g(x)的最大值为g1由C可知，b∈(0,1)，则故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题CD选项的判断，解决的关键在于构造fx=ln9.（2024·陕西商洛·模拟预测）设a=sinA．a>c>b B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b【答案】D【分析】构造fx=sinx−x−x2,x∈0,0.2【详解】设fx设gx=f所以函数fx在0,0.2所以f0.2=sin根据已知得c=1可设ℎx则ℎ'所以函数ℎx在0,0.2所以ℎ0.2>ℎ0综上，c>a>b.故选：D.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.10.（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数fx=(1+x)(1)讨论fx(2)若0<b≤a<1，证明：aa【答案】(1)fx在区间(−1,0)上单调递减，fx在区间(2)证明见解析【分析】（1）求函数f(x)的导函数，设定导函数再求导，通过分析该函数的性质进而得到原函数的性质；（2）采用分析法，要证明aa+bb≥【详解】（1）因为函数fx则f'令gx其中x>−1,α>1，则g'x<0，函数f'x又g(0)=f所以当−1<x<0时，f'x<0，f当x>0时，f'x>0，f综上，fx在区间(−1,0)上单调递减，fx在区间（2）由已知0<b≤a<1，要证明aa+b只要证明b≤x<1时，ℎx=xℎ'由ba−xa−b=0结合幂函数y=x当x≥ba1a−b时，即x=ba1从而只需证明b≥ba1a−b，变换得：当0<a=b<1时，即11−a+b=1，a1当0<b<a<1，则−1<a−1<0，1−a+b=1+(b−a)∈(0,1)，1由第（1）问知，当−1<x<0,α>1时，fx在区间(−1,0)fx=(1+x)从而a1其中1+a−1由于0<b<a<1，且1−a+b>0，a−b>0，所以1+a−11−a+b−b>0从而b<a综上，若0<b≤a<1，不等式aa03抽象函数问题对于含有x,y的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有x,y双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.11.（多选）（2024·浙江台州·二模）已知fx是定义域为xx≠0的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有A．f1=2 B．fC．fx=f1x【答案】AC【分析】对于A：利用赋值法，令y=1代入运算即可；对于C：令x=1，代入运算即可；对于BD：举反例说明即可.【详解】对于A，令y=1，则f1fx且fx不恒为0，所以f对于B，例如fx=x+1x，可知且fx可知fx=x+1对于C，令x=1，则fyf1即fx对于D，例如fx=x+1x且fx注意到xy,1可得fx可知fx但f−x=−x+故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于选项BD：举反例，通过函数fx=x+112.（2024·四川泸州·二模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fx−yA．g0=−1 B．若fC．函数f2x−1的图像关于直线x=12对称【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取fx=sin2π3x,gx=cos2π3x可判断C，对于B，通过观察选项可以推断【详解】对于A，令x=y=0，可得f0=f0令y=0，x=1，代入已知等式得f1可得f11−g0=−g1所以g0对于D，因为g0=1，令x=0，代入已知等式得将f0=0，g0=1代入上式，得令x=1，y=−1，代入已知等式，得f2因为f−1=−f1又因为f2=−f−2因为f1≠0，所以对于B，分别令y=−1和y=1，代入已知等式，得以下两个等式：fx+1=fx两式相加易得fx+1+fx−1即fx有−fx即fx−1=fx+2，所以f因为f1=2024，所以f−2=2024，所以所以f1所以n=1=f2023对于C，取fx=sin2π3x所以f2x−1=sin所以函数f2x−1的图像不关于直线x=故选：D.【点睛】思路点睛：对于含有x,y的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有x,y双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.13.（2024·四川泸州·二模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fx−yA．g0=0 B．若fC．函数f2x−1的图象关于直线x=12对称【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取fx=sin2π3x,gx=cos2π3x可判断C，对于B，通过观察选项可以推断【详解】对于A，令x=y=0，可得f0=f0令y=0，x=1，代入已知等式得f1可得f11−g0=−g1所以g0对于D，因为g0=1，令x=0，代入已知等式得将f0=0，g0=1代入上式，得令x=1，y=−1，代入已知等式，得f2因为f−1=−f1又因为f2=−f−2因为f1≠0，所以对于B，分别令y=−1和y=1，代入已知等式，得以下两个等式：fx+1=fx两式相加易得fx+1+fx−1即fx有−fx即fx−1=fx+2，所以f因为f1=2024，所以f−2=2024，所以所以f1所以n=1=f2023对于C，取fx=sin2π3x所以f2x−1=sin所以函数f2x−1的图像不关于直线x=故选：D.【点睛】思路点睛：对于含有x,y的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有x,y双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.14.（2024·安徽·二模）已知函数y=fxx≠0满足fxy=fxA．fx为奇函数 B．若f2x+1C．若f2=12，则f1024【答案】C【分析】根据赋值法可得f1=1，f−1=1，进而可得f−x【详解】令x=1，y=−1，f−1=f1令x=−1，y=−1，f令y=−1，得f−x=fx任取x1，x2∈0,+∞则fx2=fx1由已知f2x+1>1，可得f2x+1>f1，故2x+1若f2=1若f12=2，则ff125故选：C．15.（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数fx及其导函数f'x的定义域均为R，若fx是奇函数，f2A．f'1=C．k=120fk【答案】BD【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令x=y=1，得f2=2f1所以f'令y=1，得fx+1=fx因为fx是奇函数，所以f所以f1−x得fx+1即fx+2所以fx+3所以fx，f'xk=120所以B正确，C错误；因为f'在①中令x=0得f1所以f'k=120故选：BD．【点睛】对于可导函数fx奇函数的导数为偶函数偶函数的导数为奇函数若定义在R上的函数fx是可导函数，且周期为T，则其导函数f04同构相关问题同构几技巧：与ex和ln①aea≤blnb⇔②eaa<bln③ea±a>b±lnb⇔e16.（2024·浙江台州·二模）已知关于x的不等式lnx+1≤axe【答案】1,+【分析】原不等式变形转化为x2lnx+1≤axeax−12，构造函数【详解】原不等式⇔ln构造函数f(x)=x2lnx+1则f'(x)=2lnx+3，令故当0<x<e−32时，f'所以f(x)在0,e−32上单调递减，在若a<0，则当x>1时，lnx+1>0,axe故a≥0，所以eax−1所以fx≤fe即a≥lnx+1x恒成立，令ℎ(x)=当x>1时，ℎ'(x)<0，当0<x<1时，所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞故ℎ(x)max=ℎ(1)=1故答案为：1,+【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不等式结构的观察，同构出函数f(x)=x2lnx+1，转化为研究函数大致变化情况，再由对a的分类讨论确定a≥0，且能得出eax−1217.（2024·全国·模拟预测）若关于x的不等式e−1lnx+ax≥xeA．0,2+2ln2 B．1e,e 【答案】A【分析】将由不等式转化为e−1lnxeax≥xeax−1，令t=xeax，得到e−1lnt≥t−1，令函数【详解】由不等式e−1lnx+ax令t=xeax，即有又由a>0，所以函数t=xeax在因为x∈12,1令ft=e−1ln因为f't=e−1−tt，令f'所以ft在0,e−1又因为f1=0,fe=e若存在t∈12ea2,e解得0≤a≤2+2ln2，因为a>0，所以故选：A.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与ex和ln①aea≤blnb⇔②eaa<bln③ea±a>b±lnb⇔e18.（2024·全国·模拟预测）若关于x的不等式a(lnx+lna)≤2eA．(0,e] C．(0,e] 【答案】D【分析】根据指对混合型不等式，利用指对运算将不等式a(lnx+lna)≤2e2x转化成axlnax≤2x【详解】依题意得，axlnax≤2x令fx=xex,x∈R，则f所以x∈−∞,−1时，f'x<0，则fx在−∞,−1且当x<0时，fx<0，当x>0时，则由flnax≤f2x令gx=e故当x∈0,12时，g'x<0，故gxmin=g12=2e故选：D．19.（23-24高三上·浙江宁波·期末）对任意x∈(1,+∞)，函数f(x)=a【答案】e【分析】变形为ax−1lnax−1≥x−1lnx−1，构造Ft=tlnt,t>0，求导得到单调性进而【详解】由题意得ax−1因为x∈(1,+∞)，所以即ax−1令Ft=tln因为F'令F't>0得，t>令F't<0得，0<t<且当0<t≤1时，Ft≤0恒成立，当t>1时，因为a>1,x>1，所以ax−1>1恒成立，故当x−1∈0,1时，Fx−1≤0当x−1>1，即x>2时，由于Ft=tln由Fax−1≥F令u=x−1>1，gu则g'u=1−lnuu当u∈e,+∞时，g'故gu=lnuu故lna≥1e，即a≥故答案为：e【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是ax−1lna≥ln(x−1)两边同时乘以x−120.（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数a,b满足lnb+1b4≤【答案】3【分析】构造函数fx=lnx−x4【详解】lnb+1b令fx=lnx−故当x∈(0,22)，f'(x)当x∈(22,+∞)，f'(x)又f22=ln故fa+1由题可知，fa+f1则fa=f1b=−12故答案为：32【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数fx=ln05函数性质综合问题21.（2024·浙江杭州·二模）设集合M={−1,1}，N={x|x>0且x≠1}，函数fx=ax+λA．∀λ∈M,∃a∈N,fx为增函数 B．∃λ∈M,∀a∈N,fC．∀λ∈M,∃a∈N,fx为奇函数 D．∃λ∈M,∀a∈N,f【答案】D【分析】结合指数函数的单调性与奇偶性检验各选项即可.【详解】当λ=1时，fx=ax+a−x当λ=−1时，fx=ax−a−x当λ=1时，fx=ax+当λ=1时，fx=ax+故选：D.22.（多选）（2024·河南信阳·模拟预测）已知f(x)=esin2x+2A．fx是周期为πB．fx在(−C．fx在(−2D．设gx=fx−x，则【答案】BCD【分析】选项A，根据条件得到f(x+π)≠f(x)，即可判断出选项A错误；选项B，对f(x)求导，得到f'(x)=−2(2sinx−1)(sinx+1)esin2x+2cosx，从而得到x∈(−π,0)【详解】对于选项A，因为f(x)=e所以f(x+π对于选项B，因为f=−2(2sin当x∈(−π,0)时，2sinx−1<0，所以当x∈(−π,0)时，f'(x)≥0，当且仅当x=−π对于选项C，因为f'令f'(x)=0，得到又因为sinx+1≥0，当且仅当x=−π2所以x=−π2，x=3π2不是变号零点，即−π由2sinx−1=0，即又x∈(−2π,2π)，解得x=π6或由y=sinx图象知，每一个解都是变号零点，所以fx对于选项D，因为f(x+2π所以f(x)的周期为2π又因为f'当x∈0,2π时，由f'(x)=0得到x=π列表如下，x0,ππ5π5π3π3πf+0−0+0+y=f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增单调递增又f(0)=e2，f(π则f(x)在0,2π当x<0时，因为f(x)=esin2x+2由3≈1.732，则332≈2.6，又又由4π≈4×3.14=12.56<13.4故只需再画出f(x)在2π当x≥29π6时，e3作出y=x的图象，注意到25π6所以x=25π6时，y=x的图象在由图可知y=x与f(x)=esin2x+2所以g(x)在−∞

故选：BCD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，根据条件得出f(x)是周期为2π的周期函数，再利用导数与函数单调性间的关系，作出f(x)在0,29π6上图象，且有f(x)最大值和最小值分别为e3323.（2024·安徽芜湖·二模）已知函数fx的定义域为R，且fx+2−2为奇函数，f3x+1为偶函数，A．4036 B．4040 C．4044 D．4048【答案】D【分析】根据题中fx+2−2为奇函数，f3x+1【详解】由题意得fx+2−2为奇函数，所以fx+2−2+f−x+2−2=0，即由f3x+1为偶函数，所以可得fx+1为偶函数，则fx+1=f−x+1所以fx+2=f−x=−f−x+2因为f1=0，所以f1因为fx关于直线x=1对称，所以f又因为fx关于点2,2对称，所以f又因为f4=f−2=f0所以k=12024故选：D.24.（2023·江西南昌·三模）若实数m,n满足m3+6mA．-4 B．-3 C．-2 D．-1【答案】A【分析】根据给定等式构造函数f(x)=x3+6【详解】令函数f(x)=x3+6则函数f(x)在R上单调递增，又f(−2+x)+f(−2−x)=+(−2−x)3+6(−2−x)2由m3+6m2+13m=10所以m+n=−4.故选：A25．（2024·陕西西安·一模）已知函数fx=2sin2πA．x32+x42<8 B．【答案】A【分析】画出fx的图象，根据图象可得m的取值范围，再根据图象的局部对称性可得x1+【详解】fx故fx考虑直线y=m与y=fx则x1+x2=−2×由−log2x3−1整理得到x3又x3由x3x4=x3+故x3故选：A.【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等.06放缩与裂项相消法的运用导函数证明与整数n相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.26.（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数fx=cosx+λln(1)求fx(2)若fx≤ax+1恒成立，求(3)求证：k=n+12n【答案】(1)f(2)a=1(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）设ℎx=fx−ax−1(x>−1)，则ℎ0=0，根据极值点的定义可求得a=1；进而利用导数证明当（3）由（2）可得fsin1k−1≤sin1k，进而【详解】（1）f'x=−∴fx（2）设ℎx由条件知ℎx因为ℎ0=0，又所以x=0是ℎx的一个极大值点，则ℎ又ℎ'x=−sinx+下证当a=1时，ℎx≤0对任意令φx=ln由φ'知函数φx在−1,0单调递增，在0,+∴φx≤φ0=0，即所以当x∈0,+∞时，综上，若fx≤ax+1恒成立，则（3）由（2）可知fx∴k=n+12nf先证sinx<x,x∈令tx则tx在0,π2上单调递减，所以sin再证1n+1<ln令u(x)=lnx−x+1(0<x<1)，则当0<x<1时，u'(x)>0，函数u(x)单调递增，且u(1)=0，则即lnx<x−1,0<x<1，令x=nn+1又lnn+1n所以1n+1综上，k=n+12n【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略:形如fx1、构造函数法：令Fx=fx−gx2、参数分离法：转化为a≥φx或a≤φx恒成立，即a≥φxmax或3，数形结合法：结合函数y=fx的图象在y=g27.（2024·广西·模拟预测）函数fx(1)求函数fx(2)当a=1时，若fx1+f(3)求证：对于任意n∈N∗都有【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求定义域，求导，分0<a<1，a=1和a>1三种情况，得到函数递增区间；（2）由（1）得到fx的单调性，求出gx=fx+f2−x=ln1−x−12+x−12，构造Fx=lnx−x+1x>0（3）由（2）知，x>1时，fx=lnx+1【详解】（1）函数fx的定义域是0,+由已知得，f'①当0<a<1时，由fx>0得，0<x<a或∴fx的单调增区间为0,a，1,+②当a=1时，当x>0时，f'x≥0，所以f③当a>1时，由f'x>0得：0<x<1∴fx的单调增区间为0,1，综上，①当0<a<1时，函数fx单调递增区间为0,a，1,+②当a=1时，函数fx单调递增区间为0,+③当a>1时，函数fx单调递增区间为0,1，a,+（2）当a=1时，fx由（1）知，函数fx在0,+∞上单调递增且令g=lnx2−x令Fx=令F'x>0，解得0<x<1；令F所以Fx在0,1上单调递增，在1,+所以Fx≤F1令x−12=t∈0,1，则1−t∈故ln1−t所以gx不妨设0<x1<1<所以−fx1≥f因为2−x1>1，x2>1所以x2≥2−x（3）由（2）知，x>1时，fx即2ln故2lnx+(x−2)所以2ln2ln2ln……，2ln相加得2ln【点睛】导函数证明与整数n相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.28.（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数f(x)=ln(1)判断函数f(x)的单调性(2)证明：①当a≥0时，f(x)≤0；②sin1【答案】(1)答案见解析；(2)①证明见解析；②证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论，即讨论a的取值范围，确定导数正负，从而判断函数的单调性；（2）①利用（1）的结论，即可证明结论；②由（1）可得lnx≤x−1，利用变量代换推出1t<lnt−【详解】（1）由于f(x)=ln(x+1)−ax则f'①当a=0时，f'x=−xx+1，令f'x所以fx在−1,0上单调递增，在0,+②当a>0时，x∈−1,0时，f'x>0；当所以fx在−1,0上单调递增，在0,+③当a<−12时，x∈−1,−2a+12a∪0,+所以fx在−1,−2a+12a④当a=−12时，f'x≥0⑤当−12<a<0时，x∈x∈0,−2a+12a所以fx在−1,0,−综上，当a≥0时，fx在−1,0上单调递增，在0,+当−12<a<0时，fx在当a=−12时，fx当a<−12时，fx在−1,−（2）证明：①由（1）知，当a≥0时，fx在−1,0上单调递增，在0,+所以f(x)max=f②由（1）可得，当a=0时，f(x)=ln(x+1)−x≤f(0)=0，即lnx+1仅当x=1时等号成立，所以ln1x≤1x令1t=1−1x，则x=t令gx=x−sinxx>0所以gx在0,+∞上单调递增，所以gx所以sin1所以sin=ln【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式，难点在于不等式的证明，证明时要结合函数的性质推出1t<lnt−ln29.（2024·贵州黔西·一模）已知函数f(x)=9(1)判断fx(2)证明:91【答案】(1)fx在0,+(2)证明见解析；【分析】（1）对函数求导，并构造函数g(x)=9x−lnx−3得出其单调性即可求出fx（2）根据（1）中结论，利用9x>ln【详解】（1）易知函数f(x)=92x可得f'令g(x)=9x−lnx−3，则当x∈0,19时，g'(x)<0当x∈19,+∞时，g'所以f'即f'(x)>0在因此fx在0,+（2）由（1）可知f'(x)=9x−ln可得9×2n−1所以i=1n即可得9=ln即9130.（23-24高二下·山东·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+amx（注：f″(x)=f'(x)'，f'''已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似为(1)求实数a，b的值；(2)当x>0，f(x)>kR(x)恒成立，求实数k的取值范围；(3)证明：∀n∈N∗，【答案】(1)a=1(2)实数k的取值范围为（(3)证明见解答【分析】（1）由f'(0)=R（2）令g(x)=f(x)−R(x)，利用导数研究单调性，又g(0)=f(0)−R(0)，进而可得f(x)与R(x)的大小，可求k的范围；（3）由（2）可得ln(x+1)>xx+1，进而可得ln【详解】（1）由f(x)=ln(x+1)，R(x)=ax可知f'(x)=1x+1，f″则f'(0)=R'(0)，f（2）由（1）知，R(x)=x1+12x所以g(x)在（0，+∞所以当x≥0时，g(x)=f(x)−R(x)≥g(0)，所以f(x)≥R(x)，又当x>0时，R(x)>0，所以f(x)R(x)>1，由f(x)>kR(x)对所以k≤1时，故实数k的取值范围为（−∞,1]（3）当x>0时，由（2）可得ln(x+1)>所以ln(令x=n,n+1,n+2,⋯,2n−1，可得ln(1n+1)>1n+1，这n−1个等式左右两边相加可得：ln(进而可得1n+1【点睛】本题考查导数的综合运用，考查构造函数求参数的取值范围，考查利用放缩法证不等式，考查运算求解能力，综合性强，难度较大.07集合新定义问题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质.31.（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称f：A→B为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作A=B.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作例如：对于集合A=N∗，B=2nn∈N(1)已知集合C=x,yx2+y(2)证明：①0,1=②N∗【答案】(1)成立，理由见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据新定义判断即可；（2）①取特殊函数满足定义域为0,1，值域为R即可利用其证明②设A=N∗，B=x【详解】（1）设Px0,y则C与D存在一一对应，所以集合C=（2）①取函数y=tanπx−12，其中x∈备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为0,1，值域为R即可，如：y=1x−2,0<x≤②设A=N∗，假设A=B，即存在对应关系f：对于集合B中的元素1，2，1,2，至少存在一个x∈A（x≠1，且x≠2）与这三个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在x∉fx记D=x∈Ax∉fx，则D⊆A从而存在a∈A，使得fa若a∈D，则a∉fa若a∉D，则a∈fa因此，不存在A到B的一一对应，所以A≠【点睛】关键点点睛：压轴数论问题，关键在于理解新的集合有关定义，能想到取特殊函数，并借助函数证明是关键所在，此题难度在考场上基本不能完成.32.（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意A,B⊆R，记A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B，并称A⊕B为集合A,B的对称差．例如：若A=A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=BC．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠【答案】AB【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可.【详解】对于A,因为A⊕B=B，所以B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A=∅，即A正确；对于B，因为A⊕B=∅，所以∅={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，B正确；对于C,因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，即C错误；对于D由于∁R而A⊕B=xx∈A∪B,x∉A∩B故选：AB．33.（2024·北京顺义·二模）已知点集Mn=x1,y1,x2,y2,⋯,xn,ynn≥3满足0≤xi，(1)写出M3=1,1,2,0(2)对于任意点集M3，求证：存在M3的一个优划分A,B，满足(3)对于任意点集Mn，求证：存在Mn的一个优划分A,B，满足XA【答案】(1)A=1,1(2)证明见解析；(3)证明见解析；【分析】（1）根据题中定义写出一个符合的即可；（2）根据题意，以xi（3）根据题意，分类讨论即可；【详解】（1）由题因为M3所以若使XA+YB此时XA（2）根据题意对于任意点集M3=x且0≤xi，yi若xi=1，则0≤y则XA=x若x1≤x2≤1,此时XA=x若x1≤1,1<x2≤此时XA=x若1<x1≤x令A=x此时XA=x所以对于任意点集M3，都存在M3的一个优划分A,B，满足（3）不妨设0≤x若x1若x1则必存在正整数k使得x1则有n+12<x又因为y≤=≤52n+1于是取A=x即可满足XA≤n+1【点睛】思路点睛：利用分类讨论思想，分x1+x34.（2024·北京丰台·一模）已知集合Mn=x∈N∗x≤2n（①a1②ak则称集合Mn为“好集合”，并称数阵T为M(1)已知数阵T=xyz67w12是M4(2)若集合Mn为“好集合”，证明：集合M(3)判断Mnn=5,6是否为“好集合”．若是，求出满足条件【答案】(1)x=8，y=5，z=4，w=3(2)证明见解析(3)M5是“好集合”，满足5∈a1,a2,...,a5【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；（2）可构造恰当的映射，以证明结论；（3）第三问可通过分类讨论求解问题.【详解】（1）由“好数阵”的定义，知x−7=1，y−w=2，z−1=3，x,y,z,w=3,4,5,8，故x=8，z=4，y−w=2，y,z=3,5，进一步得到从而x=8，y=5，z=4，w=3.（2）如果a1a2⋯a从而2n+1−b1,2n+1−故2n+1−b由于a2+b2=2这就说明两数阵a1a2设全体“好数阵”构成的集合为S，并定义映射F:S→S如下：对T=a1a因为由Mn中的元素构成的2×n数阵只有不超过2n2n种，故而F=a这就表明FFT=T，从而F是满射，由S是有限集，知F对“好数阵”a1a2⋯anb同时，对两个“好数阵”T1，T2，如果T2=FT1，则FT2=F最后，对T∈S，由FT≠T，称2元集合T,FT为一个“好对”.对T0∈S，若T0属于某个“好对”T,FT，则T=由于T0,FT0=FT这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.（3）若a1a=b1+1所以2b1+若n=5，设a1a2⋯a故a1由于ak≥bk+1≥2若2∈a1,a2,...,a进一步有b1=1，而ak假设5∈a2,a3,a4,a5由于b5≤a5−5≤5，a1,a2,b1,所以5∈b2,b3,b若2∈b1,b2若3∈a1,a2,...,a5，则a1=3或若a2=3，则b2=1，2∈b3,b4,b若6∈b1,b2若3∈b1,b2,...,b5，则1,2,3∈b对1,2,3∈b1,b2,...,b综上，全部的“好数阵”有29681017345，2610981475其中，满足5∈a1,a2,...,a综上，M5是“好集合”，满足5∈a1,a2,...,若n=6，由于此时n3n+12=57【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏.35.（2024·北京石景山·一模）已知集合Sn=XX=x1,x2,⋅⋅⋅,x(1)已知A=1,1,1,0∈S4，写出所有的(2)已知I=1,1,⋅⋅⋅,1∈Sn，若A,B∈S(3)设集合P⊆Sn，P中有mm≥2个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为t【答案】(1)0,1,1,0、1,0,1,0、1,1,0,0、1,1,1,1；(2)dA,B(3)见解析【分析】（1）根据题中定义可得B的所有情形；（2）分2p≤n、2p>n两种情况，利用绝对值三角不等式可求得dA,B（3）表示出P'={c1,c2,⋯,cn−t+1|【详解】（1）已知A=1,1,1,0∈S4，所以，B的所有情形有：0,1,1,0、1,0,1,0、1,1,0,0、1,1,1,1；（2）设A=a1,因为dI,A=i=1同理可得b1当n≥2p时，dA,B当n<2p时，dA,B当A=1,1,⋯,1p个综上所述，dA,B（3）记P'我们证明P'=P．一方面显然有P'≤假设他们满足a1=b与P中不同元素间距离至少为t相矛盾．从而a1这表明P'中任意两元素不相等．从而P又P'中元素有n−t+1个分量，至多有2从而m≤2【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质.08函数新定义问题针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.36.（2024·浙江宁波·二模）定义：对于定义在区间a,b上的函数，若存在实数c∈a,b，使得函数在区间a,c上单调递增（递减），在区间c,b上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称c为最优点.已知定义在区间a,b上的函数fx是以c为最优点的单峰函数，在区间a,b上选取关于区间的中心a+b2对称的两个试验点x1,x2，称使得fxi−fci=1,2较小的试验点xi为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点c与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间a,b分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为a1,b1，再对区间a1,b1重复以上操作，可以找到新的存优区间a2,b2，同理可依次找到存优区间a3,b3,a(1)求证：函数fx(2)已知c为函数fx的最优点，d为函数g（i）求证：c+d<π（ii）求证：xε注：2≈1.414,【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）根据单峰函数的定义，求导确定fx（2）（i）令t=π−d，则t∈0,π2，令ℎx=gπ−x【详解】（1）因为f'x=cosx−因为x∈0,π2，则F'x又因为f'由零点存在定理知，存在唯一的c∈0,π2x∈0,c时，f'x所以fx在0,c上递增，c,π2（2）（i）令t=π−d，则t∈0,因为d为gx在π2,π上的最优点，所以t为ℎx所以ℎ't=0，结合最优点的定义知，t为f又由（1）知，fx在0,c递增，c,π2所以由零点存在性定理知在区间0,π2存在唯一的t∈c,即π−d=t>c，所以c+d<（ii）第一次操作：取x1=1−ω则存优区间为0,ωπ2，第二次操作：x1另一个试验点x3与x1关于区间0,ωπ又因为前两次操作，每次操作后剩下的存优区间长度与操作前的比值为ω.若x3>x1，即若x3<x1，即ω<23，则1−ωω则操作5次后的精度为ε5xε5≥d−c−xε5又ω2所以ω5所以xε【点睛】关键点点睛：本题属于函数新定义问题，求解本题第二问得关键点在于对“单峰函数”、“优美存优区间常数”、“合规近似值”的理解，结合函数的单调性、绝对值不等式的进行结论的证明.考查学生的分析与计算，属于难题.37.（2024·安徽池州·模拟预测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数fx，存在一个点x0，使得fx0=x0，那么我们称fx为“不动点”函数．若fx存在nA．fx=1−lnC．fx=4【答案】D【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程fx=x有根或对应函数【详解】对于A，令fx=1−ln因为y=x+lnx−1满足y'=1+1所以fx对于B，令fx=5−ln易判断y=x+lnx+e所以fx对于C，由fx=4易知当x<0时，f'x<0,fx单调递减，且fx<0，所以当当0<x<1时，f'x<0,f当x>1时，f'x>0,fx单调递增．令f'x=1，得4x−1ex−2x所以直线y=x与曲线fx=4对于D，fx=2sinx+2cos即2sinx+2cos故选：D.【点睛】方法点睛：根据“不动点”函数的定义，转化为方程fx38.（多选）（2023·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α (0<α≤90°)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“A．存在90°旋转函数B．80°旋转函数一定是70°旋转函数C．若g(x)=ax+1x为45°D．若ℎ(x)=bxex为【答案】ACD【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将45°旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.【详解】对A，如y=x满足条件，故A正确；对B，如倾斜角为20°的直线是80°旋转函数，不是70°旋转函数，故B错误；对C，若g(x)=ax+1x为45°旋转函数，则根据函数的性质可得，g(x)=ax+1x逆时针旋转45°后，不存在与x轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45°的直线与g(x)=ax+1x的函数图象有两个交点.即y=x+bb∈当a=1时，−bx+1=0最多1个解，满足题意；当a≠1时，a−1x2−bx+1=0的判别式Δ=b2−4对D，同C，ℎ(x)=bxex与y=x+aa∈R的交点个数小于等于1，即对任意的a，a=又g'1=−1，故b即y=ex图象在y=−bx−1上方，故−b≥0当y=ex与y=−bx−1相切时，可设切点x0,ex0，对y=ex求导有故选：ACD39.（2024·浙江金华·模拟预测）设全集为U，定义域为D的函数y=fn(x)是关于x的函数“函数组”，当n取U中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为R的函数fn(x)=nx，当U=N∗时，有f1(x)=x,f2(x)=2x⋯若存在非空集合(1)设U=Z,D=(−∞,2]，若函数fn(x)=2(2)设fn(x)=4nx3−(6n+1)x2+2x,D=(1,+∞(3)设U=N∗，fn(x)为A上的“跳跃函数”，D=(1,+∞（i）证明：A=n（ii）求实数a的最大值，使得对于任意n∈A，均有fn(x)的零点【答案】(1)A={−2,−1,1,2}(2)1(3)（i）证明见解析；（ii）2【分析】（1）将命题等价转化为求使得fn(x)=2x−n2在(−∞,2]上有零点的全体n（2）将命题等价转化为求使得fn(x)=4nx3−(6n+1)（3）先用数学归纳法证明fn(x)=−1−xnx+n，然后将（i）等价转化为证明对n∈N∗，fn(x)在(1,+∞)上有零点当且仅当n是偶数，再分类讨论证明；之后，先证明f2nx在(1,+∞【详解】（1）根据题意，所求的A为使得fn(x)=2x−由于fn(x)=2x−n2在(−∞,2]上有零点等价于关于x的方程2x=n2在(−∞,2]上有解，注意到当x∈(−（2）根据题意，不存在集合A使fn(x)为A上的“跳跃函数”，当且仅当对任意的n∈U，fn这表明，全体满足条件的U的并集，就是使得fn(x)在D上不存在零点的全体从而我们要求出全部的n，使得fn(x)=4nx3−(6n+1)x2+2x在该方程在(1,+∞)上可等价变形为4nx设gx=2n2x2−3x−x+2当n≤118时，由于g32=−32+2=12>0当n>12时，由于g1=2n2−3−1+2=1−2n<0，g32=−当118<n≤1g=2n=2n=4n=4n=4n=4n≥≥0，由于两个不等号的取等条件分别是x=34+18n和n=12，而这无法同时成立（否则将推出x=34综上，使得gx在(1,+∞)上没有零点的n构成的集合为1（3）首先用数学归纳法证明：对任意正整数n，有fn当n=1时，有−1−x假设结论对n=k成立，即fkf=−=−=−=−1−xk+1x综上，对任意正整数n，有fn（i）命题等价于，对n∈N∗，fn(x)在当n为奇数时，对x∈1,+∞，有fn(x)=−1−x当n为偶数时，对x∈1,+∞，有fn(x)=−1−xnx+n=−x−1nx+n，而综上，对n∈N∗，fn(x)在（ii）我们需要求实数a的最大值，使得对于任意n∈A，均有fn(x)的零点根据（i）的讨论，fn(x)在(1,+∞)上有零点当且仅当n是偶数，所以我们需要求实数a的最大值，使得对于任意n∈A，均有我们现在有f2n(x)=−x−12nx+2n，由于当1<x≤2时，有f2n而对任意给定的a>2，我们定义函数gu=−a−1取u0=ln2alna−1lna−1，则当u>u0时，有g'取正整数N，使得N>12gu0，且N>12u0，则我们有f2Na=−a−12Na综上所述，a的最大值是2.【点睛】关键点点睛：在（3）的（ii）中，我们先证明f2nx在(1,+∞)上的零点必定大于2，再证明当a>2时，必存在正整数N使得f2Nx在(1,+∞)上有一个满足40.（2023·上海浦东新·二模）设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=fx的图象．若过点P恰能作曲线Γ的k条切线k∈N，则称P是函数y=fx(1)判断点O0,0与点A2,0是否为函数(2)已知0<m<π，gx=sinx(3)求函数y=x【答案】(1)O0,0是函数y=lnx的一个1度点；A(2)证明见解析(3)a,bb=−a或【分析】（1）求出曲线y=lnx在点t , （2）求出y=sinx在点t , （3）求出切线方程，得到y=x3−x的一个2度点当且仅当关于t的方程b−t3−t=3t【详解】（1）设t>0，则曲线y=lnx在点t 则该切线过点O当且仅当−lnt=−1，即t=e．故原点O该切线过点A(2,0)，故−ln令wt=tlnt−t+2，则w't=1+lnt−1=故wt=tlnt−t+2在wt=tlnt−t+2在故−lnt=1t2−t（2）设t>0，y'则曲线y=sinx在点t 则该切线过点0 , 设Gt=sint−tcost−π，则当0<t<π因此当0<t<m<π时，Gt<Gπ=0，（*）恒不成立，即点（3）y'对任意t∈R，曲线y=x3−x在点t故点a , b为函数y=x设ℎt=2t3−3at2若a=0，则ℎt=2t若a>0，因为ℎ'由t<0或t>a时ℎ't>0得y=ℎt严格增；而当0<t<a时故y=ℎt在t=0时取得极大值ℎ0=a+b，在t=a又因为ℎ−3a+b所以当ℎ0>0>ℎa时，由零点存在定理，y=ℎt在−∞当0>ℎ0>ℎa时，y=ℎ当ℎ0>ℎa>0时，故y=ℎt两个不同的零点当且仅当ℎ0=0若a<0，同理可得y=ℎt两个不同的零点当且仅当ℎ0=0综上，y=x3−x的全体2度点构成的集合为a,b【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.09集合、函数与数列结合新定义问题关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.41.（2024·河北石家庄·二模）设集合M是一个非空数集，对任意x,y∈M，定义ρ(x,y)=|x−y|，称ρ为集合M的一个度量，称集合M为一个对于度量ρ而言的度量空间，该度量空间记为(M,ρ).定义1：若f:M→M是度量空间(M,ρ)上的一个函数，且存在α∈(0,1)，使得对任意x,y∈M，均有：ρ(f(x),f(y))≤αρ(x,y)，则称f是度量空间(M,ρ)上的一个“压缩函数”.定义2：记无穷数列a0,a1,a2,⋯为ann=0+∞，若ann=0+(1)设f(x)=sinx+12，证明：(2)已知f:R→R是度量空间(R,ρ)上的一个压缩函数，且a0∈R，定义an+1=fan，【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由正弦函数的性质可知：f(x)在12,π2上的值域，进而得出f是从12,2到12（2）先由压缩函数的定义得到：必存在α∈(0,1)，使得对任意x，y∈R，f(x)−f(y)≤αx−y，进而得到ak+1−ak【详解】（1）由正弦函数的性质可知：f(x)=sinx+1在π2,2上单调递减，所以f(x)f(x)max=sinπ2+所以f是从12,2到另一方面，我们证明存在α∈(0,1)，对任意x,y∈12,2取α=cos12，则对任意x,y∈①当sinx≤siny时，令F(x)=αx−所以F(x)在12,2上单调递增，因为x<y，所以F(x)<F(y)，即所以siny−sinx<αy−αx②当sinx>siny时，令G(x)=αx+所以G(x)在12,2上单调递增，因为x<y，所以G(x)<G(y)，即所以sinx−siny<αy−αx综上所述，对任意x,y∈12,2所以f是度量空间12（2）证明：因为f:R→R是度量空间(R,ρ)上的一个压缩函数，所以必存在α∈(0,1)，使得对任意x,y∈R，ρ(f(x),f(y))≤αρ(x,y)即f(x)−f(y)≤α因为an+1=f(a所以ak+1由绝对值三角不等式可知：对任意m>n≥N，有a≤≤α又因为α∈(0,1)，所以αn所以am①当a1=a0时，对任意m>n≥N，有所以对任意ε>0，对任意正整数N，当m>n≥N时，均有ρ(am,②当a1≠a0时，对任意则αN<ε(1−α)则当m>n≥N时，有ρ(am,综上所述，对任意ε>0，都存在一个正整数N，使得对任意正整数N，当m>n≥N时，均有ρ(a故ann=0+【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.42.（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在m1（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以m1是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记m1=12331I．∀a,b∈G，a∘b∈G；II．∀a,b,c∈G，a∘b∘c=a∘Ⅲ．∃e∈G，∀a∈G，a∘e=e∘a=a；Ⅳ．∀a∈G，∃a−1∈G对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的a−1为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算∘

(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如m1=123①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；②已知H是群G的一个子群，e，e'分别是G，H的单位元，a∈H，a−1，a'分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，e'之间的关系以及③写出群S的所有子群．【答案】(1)答案见解析；(2)①证明见解析；②答案见解析，证明见解析；③证明见解析.【分析】（1）根据给定信息，按旋转变换、对称变换分别求出对应变换，再写出集合S.（2）①根据群的定义条件，逐一验证即得；②按照群定义Ⅲ、Ⅳ分别推理计算即得；③写出S的所有子群即可.【详解】（1）依题意，正三角形R的对称变换如下：绕中心O作120°的旋转变换m1绕中心O作240°的旋转变换m2绕中心O作360°的旋转变换m3关于对称轴r1所在直线的反射变换l关于对称轴r2所在直线的反射变换l关于对称轴r3所在直线的反射变换l综上，S=1（2）①Ⅰ.∀a1a2aⅡ.∀a1a2aa1a==a所以a1a2Ⅲ.∃a1a2而a1a2Ⅳ.∀aa1综上可知，集合S对于给定的新运算*来说能作成一个群.②e=e'，先证明e=e'：由于H是G的子群，取a∈H，则a∈G，根据群的定义，有a∘e=a，a∘e'=a所以a−1a∘e=即e∘e=e∘e'，所以再证明a−1=a'：由于e=e所以a−1∘a=a所以a−1∘e=a③S的所有子群如下：H1H3=1H5H【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.43.（22-23高三下·北京·开学考试）给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T=a−b∣a､b∈S,a≠b，如果minT(1)判断A=−0.1,−1.1,2,2.5、B=(2)任取一个n元规范数集S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minS(3)当S=a1,注：minX、maxX分别表示数集【答案】(1)集合A不是规范数集；集合B是规范数集；(2)证明见详解；(3)1012×1011.【分析】（1）根据n元规范数集的定义，只需判断集合A,B中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可；（2）利用n元规范数集的定义，得到xi+1−xi≥1，从而分类讨论x（3）法一：当a1≥0时，证得an≥n−1+a1，从而得到f≥1011×2023；当a2023≤0时，证得−a法二：利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解.【详解】（1）对于集合A：因为2.5−2=0.5<1对于集合B：因为B=−1.5,−0.5,0.5,1.5又−1.5−(−0.5)=1，−1.5−0.5=2，−1.5−1.5=3，−0.5−0.5=1，所以B相伴数集T=1,2,3，即min（2）不妨设集合S中的元素为x1<x因为S为规范数集，则∀i∈N∗,1≤i≤n−1，则xi+1−当x1则minS+max当且仅当xi+1−x当xn则minS+max当且仅当xi+1−x当x1则minS当且仅当xi+1综上所述：minS（3）法一：不妨设a1因为S为规范数集，则∀i∈N∗,1≤i≤2022，则ai+1−当a1则当2≤n≤2023时，可得an当且仅当ai+1则范数f=a当且仅当ai+1又a1+1+a当且仅当a1故f≥1011×2023，即范数f的最小值1011×2023；当a2023则当1≤n≤2022时，可得an当且仅当ai+1−a则范数f=a1+当且仅当ai+1又2022−a2023+2021−当且仅当a2023故f≥1011×2023，即范数f的最小值1011×2023；当∃m∈N∗,1≤m≤2022，使得a当2023−2m≥0，即m≤20232，即则当m+1≤n≤2023时，可得an当且仅当ai+1则当1≤n≤m时，可得am+1当且仅当ai+1则范数f==≥==≥m对于y=m2−2022m+1011×2023所以ymin所以范数f的最小值为1012×1011；当2023−2m<0，即m>20232，即则当m+1≤n≤2023时，可得an当且仅当ai+1则当1≤n≤m时，可得−a当且仅当ai+1则范数f==≥==>m对于y=m2−2024m+1012×2023所以ymin所以范数f>1012×1011；综上所述：范数f的最小值1012×1011.法二：不妨设a1因为S为规范数集，则∀i∈N∗,1≤i≤2022，则ai+1−所以对于Sj=aj,⋯,由（2）的证明过程与结论minS+maxS≥n−1即a1+a2023≥2022所以范数f==2022+2当且仅当a2012所以范数f的最小值1012×1011.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解n元规范数集的定义，得到xi+144.（2024·福建厦门·二模）设集合A=−1,0,1，B=x1,xA．60 B．100 C．120 D．130【答案】D【分析】明确集合B中满足1≤x【详解】由题意知集合B中满足1≤x即指x1故满足条件的元素的个数为C5故选：D45.（2024·湖南益阳·模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组a1,a2表示；三维空间向盘可用三元有序数组a1,a2,a3表示．一般地，n维空间向量用n元有序数组a1,a2,⋯,a(1)若空间向量a1,a2,(2)对于空间向量a1,a2,⋯,an．若1(3)若空间向量a1,a2,a3【答案】(1)A5=4,7,8(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由Am和Am的定义，求A5（2）由Aai≥1，有1Aai≤1（3）由已知有ak=ak−1+【详解】（1）由a1,a所以A5=4,7,8（2）依题意，Aai≥1，i=1,2,⋯,n所以1Aa1+1Aa2+⋯+1Aan故∀i,j∈1,2,⋯,n，若i≠j，则a（3）由Aak−2+ak−1=由a1=aa1a2a3......a以上各式相加，得a1由a1=a2=1及①所以a1即a1【点睛】方法点睛：解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!10函数新考点问题46.（2024·浙江宁波·二模）已知集合P=x,y|x4+ax−2024=0且xy=2024，若PA．−∞,−2023∪C．−∞,−2024∪【答案】A【分析】依题意可得a=−x3+2024xy=2024x，令fx=−x【详解】依题意集合P即为关于x、y的方程组x4+ax−2024=0xy=2024所以a=−x3+2024x由y=2024xy=2024x，解得x=1即函数y=2024x与y=2024x的交点坐标为1,1和又f−x=−x因为y=−x3与y=2024所以fx=−x3+2024x依题意y=a与y=−x3+2024x只需a>f1或a<f−1，即a>2023或所以实数a的取值范围为−∞故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为y=a与y=−x3+2024x47.（2024·广西·二模）记函数y=fx的导函数为y'，y'的导函数为y″，则曲线y=fxA．23 B．22 C．23【答案】C【分析】根据定义求解y'和y″，由曲率的定义求出曲率【详解】函数y=lnx的定义域为0,+∞，y所以曲线y=lnx的曲率∴K'=当0<x<22时，K'>0，当K在(0,22)所以当x=22时，曲率K取得最大值故选：C.48.（2024·山西吕梁·二模）已知函数fx的图象关于点1,0中心对称，也关于点0,−1中心对称，则f1,f【答案】20232/【分析】根据题意整理出fx+2−fx=2，求出f0【详解】由fx的图象关于点1,0中心对称，也关于点0,−1得fx两式相减得f2−x−f−x由x=1时，由fx+f2−x由x=0时，由fx+f−x又由fx+2−fx=2，结合所以f1,f2,f3所以f2024所以f1,f2故答案为：20232【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是判断出f149.（2024·贵州黔西·一模）已知f(x)=f'(1)eex+x【答案】−2,【分析】求导，令x=1求得f'(1)=2e，则f(x)=2ex+x【详解】由题意知，f(x)=f'则f'令x=1，则f'(1)=f'(1)所以f(x)=2ex+又函数y=2e所以函数y=f'(x)所以x∈(−∞,0),f故f(x)因为∀m∈R,f(m)≥2n由2≥2n2+3n，得2即实数n的取值范围为[−2,1故答案为：[−2,【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如fx1、构造函数法：令Fx=fx−gx2、参数分离法：转化为a≥φx或a≤φx恒成立，即a≥φxmax或3，数形结合法：结合函数y=fx的图象在y=g50.（2024·贵州遵义·一模）已知直线nx−y+2=0与函数f(x)=8πcosπ2A．6 B．7 C．8 D．12【答案】C【分析】求f'(x)，再求出f(1)，f'1，由点斜式方程可求出函数f(x)=8πcosπ2【详解】f(x)=8πcosff'所以函数f(x)=8πcosy−1=8x−1，则y=8x−7因为直线nx−y+2=0与直线y=8x−7没有交点，所以直线nx−y+2=0与直线y=8x−7平行，则n=8.故选：C.11多个函数数形结合问题51.（21-22高三上·河南三门峡·阶段练习）已知函数y=axex与y=lnA．(0,1e) B．(0,2e)【答案】A【分析】图象有两个交点可转化为g(x)=aex与【详解】由题意，“函数y=axex与y=lnx+x的图象有两个交点”等价于“方程axex=显然a>0，否则a≤0时，g(x)=aex与另一个临界状态为g(x)=aex与ℎ(x)=ln又g'(x)=aex，ℎ'(x)=1−又x0>0，所以lnx令p(x)=lnx−1+x，则p'故p(x)在(0,+∞)上单调递增，因此x=1是p(x)唯一的零点，所以x0=1，代入aex0=lnx0故选：A.52.（多选）（2024·安徽池州·模拟预测）已知函数fx=1x+1+1x−x，设A．存在实数a，使得x2−x1>1C．存在实数a，使得x3−x2>3【答案】ACD【分析】求出函数导数，讨论函数的单调性后可得函数的图形，结合图象、极限思想可判断AC的正误，利用作差法可判断BD的正误.【详解】函数f(x)的定义域为−∞f'故函数f(x)在−∞故f(x)的图象如图所示，

对于选项AC，由图象有x1考虑到limx→−∞f(x)=+于是存在实数a使得x2−x对于选项BD，f=1因为−1<x2<0，所以所以f1+于是f1+而fx在0,+∞上单调递减，所以即∀a∈Rf=1当x1=−2时，此时f3+此时3+x而函数fx在0,+所以x3故选：ACD.【点睛】关键点点睛：求出函数导数，讨论函数的单调性后可得函数的图形，是解决本题的关键.53.（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程2x+x+3=0和方程log2x+x+3=0的根分别为A．f2=f0C．f3<f2【答案】B【分析】画出y=2x,y=【详解】由2x+x+3=0得2x=−x−3，由所以令y=2设y=2x,y=−x−3交于点B，y=由于y=2x,y=而y=−x−3,y=x的交点为A−32注意到函数fx=x+px+q=且二次函数fx从而f0故选：B.54.（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知函数fx=e【答案】−【分析】设切点坐标，利用导数表示出切线方程，根据切线为同一直线可得其关系，然后分离参数，利用导数可解.【详解】设直线l与函数fx=e因为f'所以切线方程可表示为y−em即y=em所以ema易知，在n=0处g(x)的切线方程为y=0，此时与f(x)不相切，故n≠0，m≠1，所以n=2(m−1)，所以a=记ℎ(m)=em当m<1或1<m<2时，ℎ'(m)<0，ℎ(m)单调递增，当m>2时，ℎ'(m)>0，ℎ(m)单调递减，且当m从左边趋近于1时，ℎ(m)趋近于−∞，当m从右边趋近于1时，ℎ(m)趋近于+∞，当m趋于−∞故a∈−故答案为：−55.（2024·上海金山·二模）设f(x)=x①函数y=f(x)的图象与圆x2②存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数y=f(x)的图象上．则下列说法正确的是（

）．A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确【答案】B【分析】对①：结合函数性质与图象判断即可得；对②：由曲线的对称性，可得要使得正方形存在，则△AOB为等腰直角三角形，利用极限思想可得至少存在两个正方形.【详解】对①：令f'当x∈−∞,−1∪1,+∞时，则f(x)在−∞,−1、1,+∞又f−1=−1+3=2，函数y=f(x)的图象与圆x2故函数y=f(x)的图