第03讲 实数（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年八年级数学上册（苏科版）

第第页第03讲实数 1.了解无理数的含义；2.掌握实数的分类；掌握实数在数轴上的表示，熟练掌握实数的运算的方法3.体会实数间关联.知识点1：无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.知识点2：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.知识点3：实数运算1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。【题型1：无理数的概念】【典例1】（2023春•安徽期末）在下列各数中是无理数的有（）﹣0.333…，，，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解答】解：，3π是无理数，故选：A．【变式1-1】（2022秋•朝阳区校级期末）下列各数中，比3大比4小的无理数是（）A．3.14 B． C． D．【答案】B【解答】解：A、3.14是有理数，不是无理数，故A不符合题意；B、∵9＜12＜16，∴3＜＜4，故B符合题意；C、∵8＜10＜27，∴2＜＜3，故C不符合题意；D、是有理数，不是无理数，故D不符合题意；故选：B．【变式1-2】（2023春•宁明县期中）在和中介于5和6之间的无理数有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵20＜25＜27＜30＜36＜39，∴＜5＜＜＜6＜，∴与介于5和6之间．故选：B．【变式1-3】（2023春•鄂伦春自治旗期末）在实数：3.14159，，1.010010001…（每相隔1个就多1个0），，π，中，无理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：1.010010001…（每相隔1个就多1个0），π是无理数，故选：B．【题型2：实数的分类】【典例2】（2023春•定南县期中）把下列各数分别填入相应的集合中．，，π，3.14，﹣，0，﹣5.12345…，﹣．（1）有理数集合：{，，3.14，﹣，0…}；（2）无理数集合：{π，﹣5.12345…，﹣…}；（3）正实数集合：{，，π，3.14…}．【答案】（1），，3.14，﹣，0；（2）π，﹣5.12345…，﹣；（3），，π，3.14．【解答】解：（1）有理数集合：{，，3.14，﹣，0…}；（2）无理数集合：{π，﹣5.12345…，﹣…}；（3）正实数集合：{，，π，3.14…}；故答案为：（1），，3.14，﹣，0；（2）π，﹣5.12345…，﹣；（3），，π，3.14．【变式2-1】（2023春•永善县期中）若a为实数，则下列式子中一定是正数的是（）A．|﹣a|+1 B．（a﹣1）2 C． D．a2【答案】A【解答】解：A．|﹣a|+1≥1＞0，它一定是正数，则A符合题意；B．（a﹣1）2≥0，它是非负数，则B不符合题意；C．≥0，它是非负数，则C不符合题意；D．a2≥0，它是非负数，则D不符合题意；故选：A．【变式2-2】（2023春•老河口市期中）在，，，π这四个数中，有理数是（）A． B． C． D．π【答案】B【解答】解：在，，，π这四个数中，，，π是无理数，＝2，是有理数，故选：B．【变式2-3】（2023春•杨浦区期末）下列语句错误的是（）A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数 C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数【答案】D【解答】解：A、实数可分为有理数无理数，正确；B、无理数可分为正无理数和负无理数，正确；C、无理数都是无限小数，正确；D、无限不循环小数都是无理数，故错误；故选：D．【题型3：实数的性质】【典例3】（2023春•仙游县校级期中）的相反数是（）A．﹣0.236 B．+2 C．2﹣ D．﹣2+【答案】C【解答】解：﹣2的相反数是2﹣．故选C．【变式3-1】（2023春•永昌县校级期中）的相反数是2﹣，＝3﹣．【答案】2﹣，3﹣．【解答】解：﹣2的相反数是2﹣；|﹣3|＝3﹣．故答案为：2﹣，3﹣．【变式3-2】（2023•太康县一模）计算：|3.14﹣π|＝π﹣0.14．【答案】π﹣0.14．【解答】解：|3.14﹣π|＝π﹣3.14+3＝π﹣0.14．故答案为：π﹣0.14．【变式3-3】（2023春•阳山县期中）如果是a的相反数，那么a的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：是a的相反数，那么a的值是1﹣，故选：A．【题型4：实数与数轴的关系】【典例4】（2023春•讷河市期末）为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点0）到达点A，点A对应的数是（）A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.14【答案】A【解答】解：∵直径为1个单位长度的圆的周长为，∴点A对应的数是π，故选：A．【变式4-1】（2023春•魏县期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（）A． B． C．2.2 D．﹣1【答案】A【解答】解：由勾股定理，得斜线的长为，由圆的性质，得点A表示的数为，故选：A．【变式4-2】（2023•金乡县一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．c﹣b＞0 B．|a|＞4 C．ac＞0 D．a+c＞0【答案】A【解答】解：A选项，∵c＞b，∴c﹣b＞0，故该选项正确，符合题意；B选项，观察数轴，|a|＜4，故该选项错误，不符合题意；C选项，∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，故该选项错误，不符合题意；D选项，∵a＜0，c＞0，|a|＞|c|，∴a+c＜0，故该选项错误，不符合题意．故选：A．【变式4-3】（2023春•固镇县期末）如图，在数轴上表示实数+1的点可能是（）A．P B．Q C．R D．S【答案】B【解答】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴3＜+1＜4，∴在数轴上表示实数+1的点可能是Q．故选：B．【题型5：利用数轴化简】【典例5】（2023春•莒南县期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则|a+b|﹣2（a﹣b）＝（）A．﹣a+3b B．﹣3a+b C．﹣3a﹣3b D．﹣a﹣b【答案】B【解答】解：由题意得，a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴|a+b|﹣2（a﹣b）＝﹣（a+b）﹣2a+2b＝﹣a﹣b﹣2a+2b＝﹣3a+b，故选：B．【变式5-1】（2023春•海林市期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|a﹣c|﹣|a﹣b|的结果是（）A．2a﹣b﹣c B．b﹣c C．﹣b﹣c D．﹣2a﹣b+c【答案】A【解答】解：由数轴可得c＜a＜0＜b，则a﹣c＞0，a﹣b＜0，那么|a﹣c|﹣|a﹣b|＝a﹣c﹣（b﹣a）＝a﹣c﹣b+a＝2a﹣b﹣c，故选：A．【变式5-2】（2023•西区校级一模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a+b|+|a+1|的结果为（）A．b﹣1 B．﹣2a﹣b﹣1 C．1﹣b D．﹣2a+b﹣1【答案】B【解答】解：由a、b在数轴上的位置可得：a+b＜0，a+1＜0，∴|a+b|+|a+1|＝﹣（a+b）﹣（a+1）＝﹣a﹣b﹣a﹣1＝﹣2a﹣b﹣1，故选：B．【变式5-3】（2023春•鼓楼区期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣11 D．无法确定【答案】A【解答】解：根据图示，可得4＜a＜8，∴a﹣2＞0，a﹣9＜0，∴＝a﹣2+（9﹣a）＝a﹣2+9﹣a＝7．故选：A．【题型6：实数的运算】【典例6】（2023春•中山市校级期中）计算：．【答案】．【解答】解：＝﹣1+2+27+﹣2＝．【变式6-1】（2023春•庆阳期末）计算：++．【答案】2．【解答】解：原式＝2﹣3+3＝2【变式6-2】（2023春•博罗县期末）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝＝＝．【变式6-3】（2023春•东洲区期末）计算：．【答案】+1．【解答】解：原式＝+3﹣2＝+1．【题型7：估算无理数范围】【典例7】（2023春•蒙城县期末）满足的整数x可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣1＜2＜＜3，∴整数x可以是﹣1，0，1，2，故选：C．【变式7-1】（2023•泗洪县模拟）估算的值（）A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．无法确定【答案】A【解答】解：∵，∴，故在2和3之间．故选：A．【变式7-2】（2023春•东港区期末）估算的值，下列结论正确的是（）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间【答案】A【解答】解：∵，∴，∴，即在0和1之间，故选：A．【题型8：无理数的整数和小数部分问题】【典例8】（2023春•抚远市期中）已知a是的整数部分，b﹣1是100的算术平方根，则a+b的值为15．【答案】15．【解答】解：∵a是的整数部分，b﹣1是100的算术平方根，∴a＝4，b﹣1＝10，则a＝4，b＝11，那么a+b＝4+11＝15，故答案为：15．【变式8-1】（2023春•邗江区期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b＝6﹣．【答案】6﹣．【解答】解：∵4＜5＜9，2＜＜3，∴的整数部分是2，即a＝2，b＝﹣2，2a﹣b＝2×2﹣（﹣2）＝6﹣．故答案为：6﹣．【变式8-2】（2023春•宣化区期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则2a﹣b＝24﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵8＜＜9，∴a＝8，b＝﹣8，∴2a﹣b＝2×8﹣（﹣8）＝24﹣．故答案为：24﹣．【题型9：实数大小比较】【典例9】（2023春•铁东区校级月考）比较大小：＜．（天“＞”“＜”或“＝”）【答案】＜．【解答】解：∵，，676＜1331，∴，故答案为：＜．【变式9-1】（2023春•抚远市期中）当0＜a＜1时，a，a2，，之间的大小关系是＞＞a＞a2（用“＞”连接）．【答案】＞＞a＞a2．【解答】解：∵0＜a＜1，∴＞1＞＞a＞a2＞0，即＞＞a＞a2，故答案为：＞＞a＞a2．【变式9-2】（2023春•文昌期中）比较下列各数的大小：（填“＞”、“＜”、“＝”）（1）＜；（2）﹣2＞﹣．【答案】（1）＜；（2）＞．【解答】解：（1）∵2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＜；故答案为：＜；（2）∵2＜，∴﹣2＞﹣．故答案为：（1）＜；（2）＞1．（2023•南通）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上【答案】C【解答】解：∵3＜＜4，而数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，∴表示数的点应在线段CD上，故选：C．2．（2023•丽水）实数﹣3的相反数是（）A．﹣ B． C．3 D．﹣3【答案】C【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：C．3．（2023•济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b【答案】D【解答】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误；（2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误；（3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误；（4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，所以选择D；答案为：D．4．（2023•巴中）下列各数为无理数的是（）A．0.618 B． C． D．【答案】C【解答】解：∵＝﹣3，∴0.618；；均为有理数，是无理数．故选：C．5．（2023•宁夏）估计的值应在（）A．3.5和4之间 B．4和4.5之间 C．4.5和5之间 D．5和5.5之间【答案】C【解答】解：∵4.52＝20.25，52＝25，且20.25＜23＜25，∴4.5＜＜5，故选：C．6．（2023•长春）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）A．a B．b C．c D．d【答案】B【解答】解：由图可知：实数b在数轴上的对应点到原点O的距离最小，所以在这四个数中，绝对值最小的数是b．故选：B．7．（2023•徐州）如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（）A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|【答案】C【解答】解：由数轴可得点A离原点距离最远，其次是D点，再次是B点，C点离原点距离最近，则|a|＞|d|＞|b|＞|c|，其中值最小的是|c|，故选：C．8．（2023•菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞0【答案】C【解答】解：由数轴可得a＜0＜b＜c，则b﹣a＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，c+b＞0，那么c（b﹣a）＞0，b（c﹣a）＞0，a（b﹣c）＞0，a（c+b）＜0，则A，B，D均不符合题意，C符合题意，故选：C．9．（2023•扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【答案】C【解答】解：∵3＜4＜5，∴＜＜，即＜2＜，则a＞b＞c，故选：C．10．（2023•台州）下列无理数中，大小在3与4之间的是（）A． B．2 C． D．【答案】C【解答】解：∵4＜7＜8＜9＜13＜16＜17，∴＜＜＜＜＜＜，即2＜＜2＜3＜＜4＜，那么在3和4之间，故选：C．11．（2023•临沂）设m＝5﹣，则实数m所在的范围是（）A．m＜﹣5 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣4＜m＜﹣3 D．m＞﹣3【答案】B【解答】解：m＝5﹣＝﹣3＝﹣3＝﹣2＝﹣，∵16＜20＜25，∴＜＜，即4＜＜5，那么﹣5＜﹣＜﹣4，则﹣5＜m＜﹣4，故选：B．12．（2023•安徽）计算：+1＝3．【答案】3．【解答】解：原式＝2+1＝3．故答案为：3．13．（2023•广安）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b＝+．若2※（﹣2）＝1，则（﹣3）※3的值是﹣．【答案】﹣．【解答】解：∵2※（﹣2）＝1，∴＝1，∴x﹣y＝2．∴（﹣3）※3＝＝﹣（x﹣y）＝2＝﹣．故答案为：﹣．14．（2023•益阳）计算：|﹣1|﹣（﹣）2﹣12×（﹣）．【答案】．【解答】解：原式＝﹣1﹣3+4＝．15．（2023•衡阳）计算：|﹣3|++（﹣2）×1．【答案】3．【解答】解：原式＝3+2+（﹣2）＝3+2﹣2＝3．1．（2023春•苍溪县期末）下列实数是无理数的是（）A． B． C． D．﹣3.14【答案】B【解答】解：A、，是整数，是有理数，不符合题意；B、是无限不循环小数，是无理数，符合题意；C、是分数，是有理数，不符合题意；D、﹣3.14是有限小数，是有理数，不符合题意．故选：B．2．（2023春•商城县期末）如图，数轴上，AB＝AC，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：设点C所表示的数是m，∵数轴上，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，∴，∵AB＝AC，点A表示的实数是，点C在点A的右侧，∴，∴．∴点C所对应的实数是．故选：B．3．（2023春•宣化区期末）下列说法正确的是（）A．﹣9的立方根是﹣3 B．±7是49的平方根 C．有理数与数轴上的点一一对应 D．算术平方根是9【答案】B【解答】解：﹣9的立方根是，故A不符合题意；B、±7是49的平方根，故B符合题意；C、实数与数轴上的点一一对应，故C不符合题意；D、算术平方根是3，故D不符合题意；故选：B．4．（2023•枣庄二模）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】A【解答】解：∵，∴观察数轴，点M符合要求，故选：A．16．（2023•南开区四模）估计的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【答案】A【解答】解：∵，∴，∴，∴的值在2到3之间．故选：A．5．（2022秋•封丘县校级期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则必有（）A．a+b＞0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．＜0【答案】D【解答】解：从数轴可知：b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a+b＜0，a﹣b＞0，ab＜0，＜0，即只有选项D正确，选项A、B、C都错误；故选：D．6．（2023•盐都区一模）若一正方形的面积为20，边长为x，则x的值介于下列哪两个整数之间（）A．2，3 B．3，4 C．4，5 D．5，6【答案】C【解答】解：∵正方形的面积为20，边长为x，∴x＝，∵4＜＜5，∴x的值介于4和5之间，故选：C．7．（2023春•岚山区期末）一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长（）A．在3cm与4cm之间 B．在4cm与5cm之间 C．在5cm与6cm之间 D．等于10cm【答案】B【解答】解：设正方体的棱长为xcm，由题意可知x3＝100，解得，由于43＜100＜53，所以．故选：B．8．（2023春•巴东县期末）与无理数最接近的整数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：∵5＜＜6，且5.62＝31.36，∴与无理数最接近的整数是：6．故选：C．9．（2023•沭阳县模拟）﹣的倒数是（）A． B． C． D．﹣【答案】D【解答】解：﹣的倒数是﹣＝﹣＝﹣，故选：D．10．（2022秋•昌图县期末）下列说法，正确的是（）A．所有无限小数都是无理数 B．所有无理数都是无限小数 C．有理数都是有限小数 D．不是有限小数就不是有理数【答案】B【解答】解：A、0.是无限小数，不是无理数，故A错误；B、所有无理数都是无限小数，故B正确；C、有理数5是整数，不是有限小数，故C错误；D、有理数5是整数，不是有限小数，是有理数，故D错误．故选：B．11．（2023•东兴区校级二模）实数m、n在数轴上的位置如图所示，化简|n﹣m|﹣m的结果为（）A．n﹣2m B．﹣n﹣2m C．n D．﹣n【答案】D【解答】解：由实数m、n在数轴上的位置可知，n﹣m＜0，所以|n﹣m|﹣m＝m﹣n﹣m＝﹣n，故选：D．12．（2023春•龙江县期末）下列说法正确的有（）（1）带根号的数都是无理数；（2）立方根等于本身的数是0和1；（3）﹣a一定没有平方根；（4）实数与数轴上的点是一一对应的；（5）两个无理数的差还是无理数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解答】解：（1）无限不循环小数都是无理数，故（1）不符合题意；（2）立方根等于本身的数是0和1、﹣1故（2）不符合题意；（3）﹣a可能有平方根，故（3）不符合题意；（4）实数与数轴上的点是一一对应的，故（4）符合题意；（5）两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故（5）不符合题意；故选：A．13．（2023春•谷城县期中）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且C，B两点