第06讲 正多边形和圆（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年九年级数学上册（苏科版）

第第页第06讲正多边形和圆了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．知识点1圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.知识点2与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。知识点3正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。【题型1正多边形与圆求角度】【典例1】（2023•青羊区校级模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，∠ADB的度数是（）A．20° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解答】解：连接OB，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴∠AOB＝＝60°，∴∠ADB＝∠AOB＝×60°＝30°．故选：B．【变式1-1】（2023•周村区二模）正八边形的中心角的度数为（）A．36° B．45° C．60° D．72°【答案】B【解答】解：正八边形的中心角的度数＝360°÷8＝45°，故选：B．【变式1-2】（2023•舒城县二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，Q是的中点，则∠CPQ的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，∴，，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴，故选：C．【变式1-3】（2023•怀宁县一模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠CDF的度数是（）A．18° B．36° C．54° D．72°【答案】A【解答】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴，，∠BAE＝∠BCD＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，∵∠BCD＝108°，BC＝CD，∴∠BDC＝108°＝（180°﹣108°）＝36°，∠CDF＝∠BDF﹣∠BDC＝54°﹣36°＝18°．故选：A．【变式1-4】（2023•仪征市二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上．若∠CDF＝95°，则∠FCD的大小为（）A．38° B．42° C．49° D．58°【答案】C【解答】解：如图，连接OE，OD，CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∵∠CDF＝95°，∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝108°﹣95°＝13°，∴∠FCE＝13°，∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠EOD＝360°÷5＝72°，∴∠ECD＝＝36°，∴∠FCD＝∠FCE+∠ECD＝36°+13°＝49°，故选：C．【变式1-5】（2023•丹阳市模拟）如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则∠ABC的度数为（）A．22° B．23° C．24° D．25°【答案】C【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠BAC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝＝24°，故选：C．【题型2正多边形与圆求线段长度】【典例2】（2023•龙港市二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（）A．2a B． C． D．【答案】B【解答】解：如图，正六边形ABCDEF的外接圆为⊙O，连AE，OA，BE，则点O在BE上，∵正六边形ABCDEF，∴AB＝AF＝EF＝a，∠F＝∠FAB＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BEF中，AB＝a，∠AEB＝×60°＝30°，∴AE＝AB＝a，即b＝a，故选：B．【变式2-1】（2023•武威一模）生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（）A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm，【答案】B【解答】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则R＝4cm，连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD＝CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC＝＝120°，∴∠ABD＝＝60°，∴∠BAD＝30°，AD＝AB•cos30°＝4×＝2，∴a＝2AD＝4cm．故选：B．【变式2-2】（2022秋•武义县期末）如图，一个蜂巢巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为10mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．4mm B． C．5mm D．【答案】C【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如图2，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为10mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA＝OD约为5mm，∴AF＝OA约为5mm，故选：C．【变式2-3】（2023•利州区模拟）一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为（）A．2 B． C． D．8【答案】C【解答】解：如图所示：⊙O的半径为4，∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC＝2×4＝8，∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴AB2+BC2＝64，解得：AB＝4，即⊙O的内接正方形的边长等于4．故选：C．【题型3正多边形与圆求半径】【典例3】（2022秋•巩义市期末）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，则⊙O的半径为（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：连接OB、OC，如图所示，∵⊙O的内接正方形ABCD的边长为1，∴OB＝OC，BC＝1，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OB2+OC2＝2OB2＝BC2＝1，∴OB＝．故选：B．【变式3-1】（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2．故选：C．【变式3-2】（2023•宜春一模）若正方形的边长为8，则其外接圆的半径是．【答案】．【解答】解：如图：过点O作OE⊥BC于点E，∵圆O是四边形ABCD的外接圆，∴∠OBE＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴BE＝CE，∵OE⊥BC，BC＝8，∴，∴．故其半径等于．故答案为：．【题型4正多边形与圆求面积】【典例4】（2022秋•呈贡区期末）正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（）A．48πcm2 B．36πcm2 C．24πcm2 D．27πcm2【答案】D【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵正六边形的边长为6cm，∴六边形ABCDEF是半径为6的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝6cm，∠OAB＝60°，∴OG＝OA•sin60°＝6×＝3（cm），∴边长为6cm的正六边形的内切圆的半径为3cm．该正六边形的内切圆面积为cm2故选：D．【变式4-1】（2022秋•邯山区校级期末）如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于12，则正八边形的面积等于（）A．12 B．20 C．24 D．12【答案】A【解答】解：作出正方形ABCD．如图所示：△AEF中，AE＝x，则AF＝x，EF＝x，正八边形的边长是x．则正方形的边长是（2+）x．根据题意得：x（2+）x＝12，解得：x2＝6（﹣1）．则阴影部分的面积是：2[x（2+）x﹣2×x2]＝2（+1）x2＝2（+1）×6（﹣1）＝12．故选：A．【变式4-2】（2023•衡水二模）如图，BD，DF是正六边形ABCDEF的两条对角线，已知四边形ABDF的面积为8，则阴影部分的面积为（）​A．2 B．4 C． D．【答案】B【解答】解：如图，连接AD，则AD过正六边形ABCDEF的外接圆的圆心O，连接OB，由对称性可知，S△ABD＝S△FAD＝S四边形AFDB＝4，S△BCD＝S△DEF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB＝＝60°，BC∥AD，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝BC，∴S△BCD＝S△BOD＝S△AOB，∴S阴影部分＝S△ABD＝4，故选：B．【变式4-3】（2023•桓台县一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径为：，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，∴OH＝OB•sin∠OBC＝3×＝，∴＝，∴，故选：D【题型5正多边形与圆求周长】【典例5】（2023•钦州一模）如图，若一个正六边形的对角线AB的长为10，则正六边形的周长（）A．5 B．6 C．30 D．36【答案】C【解答】解：如图，连接CD、EF，则点O是正六边形ACEBDE的中心，∵正六边形ACEBDE，∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝∠BOD＝∠DOF＝∠FOA＝＝60°，∵OA＝OC＝OE＝OB＝OD＝OF，∴△AOC是正三角形，∴AC＝AB＝5，∴正六边形ACEBDF的周长为5×6＝30，故选：C．【变式5-1】（2022秋•开封期末）一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】D【解答】解：∵经过多边形的一个顶点有4条对角线，∴这个多边形有4+3＝7条边，∴这个正多边形的周长是7×3＝21，故选：D．【变式5-2】（2022秋•盘龙区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径是1，则正六边形ABCDEF的周长是（）A． B．6 C． D．12【答案】B【解答】解：如图，连接OA，OB．在正六边形ABCDEF中，OA＝OB＝1，∠AOB＝＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB＝OA＝1，∴正六边形ABCDEF的周长是1×6＝6．故选：B．【题型6正多边形与直角坐标系综合】【典例6】（2023•西和县一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（）A．（4，2） B．（4，4） C． D．【答案】C【解答】解：连接OB，OA，如图所示：∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，∵AB＝4，∴AM＝BM＝2，∴OM＝，∴点B的坐标为：（2，2），故选：C．【变式6-1】（2023•洛龙区一模）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）​A．） B． C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，∴点C的坐标为（2﹣2，3），故选：B．【变式6-2】（2022秋•绵阳期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（）A． B． C． D．（2，4）【答案】A【解答】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，∵正六边形OABCDE的边长是4，∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°，∴MO＝2OH＝4，∴∴点M的坐标为：故选：A．1．（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（）A．60° B．90° C．180° D．360°【答案】B【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，故选：B．2．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为（）A．30° B．45° C．36° D．60°【答案】B【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，∴∠COD＝∠DOE＝＝60°，∠DOQ＝∠EOQ＝∠DOE＝30°，∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，∴∠CPQ＝∠COQ＝45°，故选：B．3．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（）A．60° B．54° C．48° D．36°【答案】D【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故选：D．4．（2023•自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°，∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，设这个正多边形为正n边形，则＝150°，解得n＝12，经检验n＝12是原方程的解，即这个正多边形是正十二边形，故选：D．5．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（）（2﹣2，3）B．（0，1+2）C．（2﹣，3） D．（2﹣2，2+）【答案】A【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，∴点C的坐标为（2﹣2，3），故选：A．6．（2022•雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A．3 B． C． D．3【答案】C【解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周长等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故选：C．1．（2023•长沙县二模）正六边形的半径为4，则它的边心距是（）A．2 B．4 C．2 D．2【答案】C【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OA＝4，∠AOG＝30°，∴OG＝OA•cos30°＝4×＝2，故选：C．2．（2022秋•中山区期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠CDB的度数是（）A．72° B．54° C．36° D．30°【答案】C【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠COB＝×360°＝72°，∴∠CDB＝∠COB＝×72°＝36°，∴∠CDB的度数是36°，故选：C．3．（2022秋•江津区期末）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为2，则正方形ABCD的边长为（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：连接OA、OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠AOD＝×360°＝90°，∵⊙O的半径为2，∴OA＝OD＝2，∴AD＝＝＝2，∴正方形ABCD的边长为2，故选：D．4．（2022秋•南开区校级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为2，则边心距OM的长为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB＝OA＝2，∵OM⊥AB，∴，∴，故选：A．4．（2023•顺庆区校级二模）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【答案】B【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M，N分别为边CD，BC的中点，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故选：B．5．（2023•张家口四模）如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【解答】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，∴CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，∴∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠FEG＝90°，∵EF＝4，∴EG＝EF＝，∴△GEF的面积＝EF•GE＝4×＝．故选：C．6．（2022秋•河西区校级期末）如图，一个亭子的地基是半径为4m的正六边形，则该正六边形地基的面积是（）A．24m2 B． C．48m2 D．【答案】B【解答】解：如图，连接OB，OC，则OB＝OC＝4m，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝CO＝BO＝4m，，∴．故选：B．7．（2023•忻州模拟）大自然中有许多小动物都是“小数学家”