极限知识拓展

极限知识拓展【知识拓展】收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：证明：假设数列有两个极限a与b，即与，根据数列极限定义，对于任意的ε>0分别有：存在自然数当时，有；存在自然数，当时，有．取，当n>N时，同时有与，于是当n>N时，有因为a与b是常数，2ε是任意小的正数，所以只有a=b，上述不等式才能成立，即数列的极限是惟一的．定理2：（有界性）若数列收敛，则有界，即存在正数M，对任意自然数n有证明：设，根据数列极限的定义，取定（ε可以根据需要任意选取），存在自然数N，当n>N时，有因为，所以当n>N时，有或即…．在数列中不满足不等式的项充其量不过是前N项：.令．于是，对任意自然数n，有定理2指出收敛的数列必有界．反之，有界数列不一定收敛．例如，已知数列是有界的，但它却是发散的．换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件．2．什么是有界数列?定义：若存在两个数A，B(设A<B)，数列中的每一项都在闭区间[A，B]内，亦即，则称为有界数列．这时A称为它的下界，B称为它的上界．关于有界数列有下面几点说明．(1)如果B是数列的上界，那么B＋1，B＋2，B+α(α>0)都是的上界．这表明上界并不是惟一的，下界也是如此．(2)对于数列，如果存在正整数N，当n>N时，总有,我们就说数列往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项之前只有有限多个数在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设，δ>0，使当时，f(x)>g(x)．证明：取那么存在当时，有；同时又存在，当时，有，现在，令，那么当时，就有性质2．若且存在δ>0，使当时，f(x)<g(x)，则A≤B．性质3．若而A>B(A<B)，则存在δ>0，使当时,f(x)>B(f(x)<B)．性质4．若则A=B，这说明了函数极限的惟一性．证明：采用反证法，如果A≠B，不妨设A>B，由性质1知道，存在δ>0，当时，有f(x)>f(x)矛盾，这就证明了A=B性质5．若存在δ>0，使当时，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且则性质6．(局部有界性)若，则存在着δ>0，使得f(x)在区间和内有界，亦即在不等式所表示的区间内有界．[注：若函数f(x)在某个区间Z内满足A≤f(x)≤B，其中A，B是两个常数，我们称f(x)在Z内有界，并称A是f(x)在Z内的下界，B是f(x)在Z内的上界．显然，对任何α>0，A-α都是f(x)的下界，同样对任何β>0，B+β都是f(x)的上界．这个定义也可以这样叙述：设函数f(x)在某个区间Z内满足|f(x)|≤M，其中M是一个正实数，我们就称f(x)在Z内有界．以上两种说法显然是等价的．]证明：取—个固定的ε，譬如说取ε=1，由知道，存在δ>0，当时，有A-1<f(x)<A+1，这就证明了f(x)在和内有界．要注意的是，由极限存在，只能断定函数在相应的某个去心邻域内有界，而不能断定它在整个定义域内有界．例如,它的定义域是(-∞，1)和(1，+∞)，由前面的例子知道．根据性质6，存在某个δ>0，在(1-δ，1)和(1，1+δ)内，有界．但是这个函数在它的定义域内有，它的图形是一条抛物线，但除去x=1，可见在(-∞，1)和(1，+∞)内是无界的．6．连续函数有哪些性质?若函数f(x)和g(x)均在点处连续，则函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，f(x)/g(x)在点处也连续．若函数y=f(u)在点处连续，在点连续，且，则复合函数在点连续．若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调、连续，且f(a)=α，f(b)=β，则其反函数在区间[α，β]或[β，α]上单调、连续．基本初等函数(包括幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数与对数函数)在它们各自的定义域上皆连续.由函数在一点处连续的定义及，有．这就是说，对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换，例求思路启迪由于函数y=sinx是初等函数，所以它在其定义域(-∞，+∞)上是连续函数，这样就可以利用这个等式．规范解法因已知y=sinx在实数域上的任意一点都连续，所以有有时我们只讨论函数f(x)在的左侧或