考点34 空间点、直线、平面之间的位置关系9种常见考法归类-【考点通关】2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（解析版）

考点34空间点、直线、平面之间的位置关系9种常见考法归类

雷,高频考点

考点一平面的概念及基本性质考点六等角定理

考点二证明“点共面”、“线共面”考点七异面直线所成的角

考点三证明“点共线”及“线共点”考点八空间直线与平面位置关系判断

考点四平面基本性质的应用考点九平面与平面位置关系的判断

考点五判断两条直线的位置关系

解题策略

1.平面的几个特点

(1)平面是平的；

(2)平面是没有厚度的；

(3)平面是无限延展而没有边界的

2.三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位

置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“G”或“在”，直线与平面的位置关系只

能用“U”或.

提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

3.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

文字语言符号语言图形语言

A在/上AG/——*——/

•A

A在/外A^l_________1

A在Q内A^a4'A/

•A

A在a外4_/

/与，〃平行l//m

/»加相交于AlC\m=A

1与m异面乐、f/

/在a内lua/__7

/与a平行l//a

1,a相交于AlCia=A

/在a外/a。%/或%K

«,夕相交于/an/?=l

/一/

a与月平行a//!J4______

4.平面的基本性质

(1)基本性质

基本

文字语言图形语言符号语言作用

事实

A,B,C三点不共

基本过不在一条直线上的三

线=存在唯一的确定平面；判定点

事实个点，有且只有一个平

/I"平面a使A,B,线共面

1面

C^a

基本如果一条直线上的两个确定直线在平面

Ae/,Be/,且

事实点在一个平面内，那么内；判定点在平面

BGanlua

2这条直线在这个平面内内

如果两个不重合的平面

基本P^a,且

有一个公共点，那么它判定两平面相交；

事实PG-nB=i,且

们有且只有一条过该点判定点在直线上

3P0

的公共直线

(2)基本事实1与2的推论

推论文字语言图形语言符号语言作用

经过一条直线和这条直线A£/=有且只有一(1)判定若干条直

推论1外一点，有且只有一个平/>y个平面a,使线共面的依据

面lua(2)判定若干平面

8=p=有且只有重合的依据

经过两条相交直线，有且

推论2一个平面a,使(3)判定几何图形

只有一个平面

qua,bua是平面图形的依据

a//。=有且只有一

经过两条平行直线，有且

推论3个平面a,使aua,

只有一个平面口

bua

5.证明点、线共面、点共线、线共点问题的常用方法

证明点、线共面问题(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入

的常用方法法”；

(2)先由其中一部分点、线确定一个平面a,其余点、线确定另一个平面口，再证平面

a与夕重合，即用“同一法”；

(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.

要证明点共线问题

(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公

理3证明这些点都在交线上

(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

证明线共点问题的

证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该

方法

点.而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点.

6.证明三点共线的方法

(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在

两个平面的交线上.

(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.

7.判断四点共线的方法有：

(1)四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；

(2)由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；

(3)若其中三点共线，则此四点一定共面.

8.证明三线共点的步骤

(1)首先说明两条直线共面且交于一点；

(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；

(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点.

9.证明四点共面的基本思路：

一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证

第四个点也在这个平面内即可;

10.空间点、直线、平面之间的位置关系

(1)空间中直线与直线的位置关系

位置关系图形符号共面情况公共点个数

共

相交直线a('b=P在同一个平面内1

1111/^7

直

平行直线在同一个平面内

线a//b0

不同在任何一个

异面直线a^a=0

平面内

(2)空间中直线与平面的位置关系

位置直线在直线与直线与

关系平面内平面相交平面平行

公共点个数无数个10

\/__________________i

//

图形表示//'、、/

符号luaa=P1//a

当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.

(3)空间中平面与平面的位置关系

位置关系两个平面相交两个平面平行

公共点个数有一条公共直线0

符号表示an°=aa//p

4____/

图形表示

/"///

11.平行公理

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

12.等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

13.唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

14.判断空间中两条直线位置关系的诀窍

(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.

(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.

-

空

构

可

间

几

造

两

模

何

直

张

线

型

位

体

方

置

正

或

关

的

方

条

15.判定或证明两直线异面的常用方法：

(1)定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.(证明两条直线既不平行又不相交.)

(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

用符号语言可表示为/Ua,Aia,BGa,8空/今AB与/是异面直线(如图).

(3)推论法：一条直线上两点与另一一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.

(4)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.

16.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法.

证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、

定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立.

17.直线与平面位置关系的判断

(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解

决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面a内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与

平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.

18.平面与平面的位置关系的判断方法

(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点.

(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点.

19.常见的平面和平面平行的模型

(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.

20.异面直线所成的角

(1)定义：设“，是两条异面直线，经过空间任一点O作直线"〃小b'//b,把〃与〃所成的锐角或直

角叫作异面直线a,6所成的角(或夹角).

(2)范围：

21.求异面直线所成的角的方法

(1)求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线

平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形

中进行.

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问

题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

7T

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,二］,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.

(2)向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角

根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a,b,则两异面直线所成角。满足cos0=■!——!■.

Ia||h|

I考点精析

考点一平面的概念及基本性质

1.(2023•全国♦高三专题练习)下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50m,宽为20m；③平

面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为.

【答案】I

【分析】根据平面的定义判断.

【详解】平面是无限延展的，没有长度、厚度，通常用平行四边形表示平面，但平面不是平行四边形.题

中只有③正确.

故答案为：1.

2.（2023春•高三课时练习）下面说法中正确的是（）

A.任何一个平面图形都是一个平面

B.平静的太平洋面是平面

C.平面就是平行四边形

D.在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面

【答案】D

【分析】根据平面的概念，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确；

对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确；

对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确；

对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确.

故选：D.

3.（2023•全国•高三对口高考）一个平面把空间分为部分；两个平面把空间分为部

分；三个平面把空间分为部分.

【答案】23或44或6或7或8

【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可；

【详解】一个平面把空间分为2部分；

两个平行平面将空间分成3部分，两个相交平面可以将空间分成4部分，

故两个平面将空间分成3或4部分；

当三个平面互相平行时，将空间分成4部分，如图1所示；

当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成6部分，如图2所示；

当三个平面两两相交于条直线时，可以把空间分成6部分，如图3所示：

当三个平面两两相交，且三条直线互相平行时，将空间分成7部分，如图4所示；

当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交，

即三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，此时可将空间分成8部分，如图5所示;

综上可得三个平面把空间分为4或6或7或8部分.

4.（2023•高三课时练习）已知4、B、C为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有个.

【答案】1或无数

【分析】根据三点的位置关系，结合确定平面的依据，即可判断.

【详解】当三点A、B、C不共线时，则经过三点的平面有1个，当三点A、B、C共线时，则经过三点的平

面有无数个.

故答案为：1或无数

5.（2023・高三课时练习）一条直线和直线外三点最多可以确定个平面.

【答案】4

【分析】分情况讨论每种可能的结果，最后再取最多的那个即可.

【详解】（1）如果直线外三点共线，且所在直线与已知直线平行，可确定1个平面；如果直线外三点共线，

且所在直线与已知直线相交，可确定1个平面；

（2）如果直线外三点共线，且所在直线与己知直线异面，可确定3个平面；如果直线外三点不共线，连

接任意两点的3条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线平行，可确定3个平面；如果直

线外三点不共线，连接任意两点的3条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知直线相交，可确定

3个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的3条直线中，两条与已知直线均异面，第三条与已知

直线相交，可确定3个平面；如果直线外三点不共线，连接任意两点的3条宜线中，一条与已知宜线均

异面，其它两条与已知直线相交，可确定3个平面；

（3）如果直线外三点不共线，且任意两点所在直线与已知直线均异面，可确定4个平面；

综上所述，最多可确定4个平面.

故答案为：4

考点二证明“点共面”、“线共面”

6.（2023•全国•高三对口高考）给出下列命题：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线都与另一条直线

相交，则这四条直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④每两条都相交并且交点全部不同的四条直

线共面.其中正确的命题为.

【答案】①②④

【分析】根据平面的基本性质，逐项判断选项即可得出结论.

【详解】对于①，由于梯形为平面图形，故四个顶点在同一平面内，所以①正确；

对于②，不妨设a//》//d,ca=A,cb=B,c「d=C,则。、b唯一确定一个平面a,

所以Aea,Bwa,所以A8ua,又Aec,Bec,所以cua,

所以Cwa,乂a//d,〃ua,所以dua,故三条平行直线都与另一条直线相交，则这四条直线共面，所

以②正确；

对于③，当这三点共线时，两个平面可以不重合，故③不正确；

对于④，因为两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，

所以由直线在平面内的判定性质知满足条件的第四条直线必在该平面内，故④正确.

综上①②④正确.

故答案为：①②④.

7.（2023•全国•高三专题练习）已知空间四个点，则”这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一

平面内”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；”这四个点在同一平面内''时，可能

有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立.

【详解】“这四个点中有三点在同一直线上“，则第四点不在共线三点所在的直线上，

因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内“，从而充分性成立；

“这四个点在同一平面内''时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从

而必要性不成立，

所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.

故选：A.

8.【多选】（2023•全国•高三专题练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说

法中正确的是（）

A.直线8与直线G”共面B.直线CO与直线EF异面

C.直线A8与直线EF共面D.直线GH与直线E尸异面

【答案】ACD

【分析】作出正方体的直观图，逐项判断可得出合适的选项.

【详解】如图，点C与点G重合，则C£＞与GH相交，故A正确；

在正方体中，CE//DF旦CE=DF,故四边形8庄为平行四边形，二CO〃防,

则以＞、EF共面，故B错误；

因为=故A8、EF共面，故C正确;

由图可知，EF、G”不在同一个平面，且EF、G”既不平行也不相交,

:.EF、GH为异面直线，故D正确.

故选：ACD.

9.（2023•吉林•长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体ABC。-A8cp中，直线与平面AAQ

的交点为为线段qR的中点，则下列结论错误的是（）

A.AM,O三点共线B.M,。,4,8四点异不共面

C.B,q,O,M四点共面D.B，A，C,M四点共面

【答案】C

【分析】由长方体性质易知A，A，G，C四点共面且耳是异面直线，再根据M与AC、面ACGA、

面ABtD］的位置关系知M在面ACGA与面ABR的交线上，同理判断O、.A,即可判断各选项的

正误.

因为AA,HCCX.

则A4，C”C四点共面.

因为MeAC，

则Me平面ACC0,

又Me平面ABQ,

则点M在平面ACGA与平面的交线上，

同理，O、A也在平面ACCM与平面4BQ的交线上,

所以AM,O三点共线；

从而M,O，A，*A四点共面，都在平面ACC.A内，

而点8不在平面ACC,内，

所以M,0，A，8四点不共面，故选项B正确；

B,BVO,三点均在平面BBRD内，

而点A不在平面88QO内，

所以直线A。与平面B4RD相交旦点。是交点，

所以点M不在平面BBRD内，

即B,B「O,M四点不共面，

故选项C错误；

BC0[A,][BC=D、A,

所以BCAA为平行四边形，

所以CA1m共面，

所以B，A，C,M四点共面，

故选项D正确.

故选:c.

10.（2023・全国•高三对口高考）如图，正方体中，E、尸分别是AA、CG上的点，并且4E=C尸.求证:

B、E、R、尸共面.

【分析】根据正方体的性质以及已知，AB=D{C{,AE=FG.然后结合图象，即可得出AE=FG，进而得

根据正方体的性质可知，AB=DtCl,AA.//CQ,AE//CtF.

又因为AE=GF,所以，AE=FCt.

因为BE=AE_AB—£）|£=CQ「C、F=FDi,

显然区不共线，所以BE//FR,

所以，B、E、2、F共面.

11.（2023・四川绵阳•统考模拟预测）如图所示，在直四棱柱ABC。-A8CQ中，CD//AB,AB=AA,=3,

CD=2,P为棱AB上一点，且BP=f（几为常数），直线与平面P4G相交于点2则线段。。的

长为.

7J

【分析】根据题意作辅助线，根据平行关系可得E而，取RQ=GE,根据平行关系可得CO/e

进而可知点Q即为直线DtD与平面PAC,的交点,即可得结果.

【详解】：所―=3,所以八百

分别过G，"作垂足分别为F,E,分别过E,F作EN_LA8,nW，A8,垂足分别为

N,M,

可得CQEF,MNEF均为平行四边形，则CQ=EF=MN=3,

过点P作尸。〃AP,交直线A。于点。，则ZMBP:/XFEG,

一由PBAB3/1

可得宝二五’即mGE=^^=A±1^=2£,

AB32+1

72

在DQ上取点。，使得AQ=GE=3,

4+1

'：EN//例，①〃DDt,则EN//DDt,

可知：D.Q//EG,D,Q=EG,即O©GE为平行四边形,

/.GQ//DtE,GQ=DtE,

又"为平行四边形，则C尸〃RE,C,F=D,E,

可得GQ〃C/，GQ=C,F,

故C.QGF为平行四边形，则CQMGF,

又：人2〃AP,则GQ〃”，

即A,P,ct,Q四点共面，故点。即为直线R。与平面PAG的交点,

22

:.D.Q=——

'2+1

24

故答案为:

4+1

【点睛】方法点睛：在处理截面问题时，常常转化为平行关系问题，根据线、面平行关系的判定定理以及

性质定理分析判断.

12.（2023•河南•校联考模拟预测）如图，已知四棱锥A8CD的底面ABC。为平行四边形，M是棱。。

上靠近点。的三等分点，N是的中点，平面交CR于点，，则，煞=.

【分析】将四棱锥补为二棱柱ADR-BCE,由RMaCEH求解.

【详解】解：如图所示：

补全四棱锥为三棱柱，作RE〃/1B,且。E=AB,

因为A8CO为平行四边形，所以45〃CO,

则D.EHABUCD,flRE=AB=CD,

所以四边形ABED,和四边形DQCE都是平行四边形,

因为N为中点，则延长4V必过点E,

所以A,N,E,H,M在同一平面内,

因为力R//CE,所以DtMHCEH,

乂因为例是棱。〃上靠近点。的三等分点,

D、HD、M_2DXH_2

所以~HC~CE~3

2

故答案为：j

13.（2023・广东•高三专题练习）图1是由矩形ADEB,n△ABC和菱形6FGC组成的一个平面图形，其中

AB=\,BE=BF=2,ZFBC=60°,将其沿A8,8C折起使得8E与8尸重合，连接。G,如图2.

（2）求图2中的直线CE与平面ACG所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵3

4

【分析】（1）证明AD〃CG即可证得A,C,G,。四点共面，根据证明A5工平面

BCGE,再根据面面垂直的判定定理即可得证：

（2）连接EC,取3c的中点“，连接E4，根据面面垂直的性质证明.平面A8C,以点”为坐标原点

建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）在图2中，由题意得A£）〃8E,CG〃8E,

所以A£）〃CG,

所以图2中的A,C,G,。四点共面,

由已知得

又BEcBC=B,BE,BCu平面BCGE,

所以A3工平面3CGE,

乂因ABu平面ABC,所以平面ABC/平面8CGE；

（2）连接EC,在菱形8EGC中，N£BC=60。，则二E8C为等边三角形，

取8c的中点H,连接则EHJ.BC,

因为平面ABC上平面8CGE,平面4?Cc平面BCGE=8C,mu平面8CGE,

所以E〃_L平面A3C,

如图，以点”为坐标原点建立空间直角坐标系，

则A（T,l,0）,C（l,0,0）,E（0,0,月）,G（2,0,^）,

则CG=（1,O,G）,AC=（2,-l,0）,CE=（-l,0,百），

设平面ACG的法向量〃=（x,y,z）,

n-CG=x+耶＞z=0

则有，可取〃二(3,6,-6),

n-AC=2x-y=0

则cos(%CE)nCE_-6一旦

|/?||CE|-2x46"V

所以直线CE与平面ACG所成角的正弦值为曲.

14.（2023•全国•高三专题练习）在棱长为1的正方体AMCQ—A8CD中，M为底面A8CD的中心，Q是

棱AQ上一点，且，Q=/IAA，2€[0，“，N为线段AQ的中点，给出下列命题，其中正确的是（）

A.CN与QM共面;

B.三棱锥A-OMN的体积跟，的取值无关；

C.当2时，AM1QM-

4

D.当时，过A,Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为逑士2姮.

【答案】ABD

【分析】对于选项A：可得MN//CQ,可判断；

对于选项B：点N到平面A8CD的距离为定值3，且zMDM的面积为定值可判断；

对于选项C：分别求出AM,QM,4Q的长，验证是否满足勾股定理，从而判断；

对于选项D：先将过A,Q,〃的截面分析做出，再求周长可判断.

【详解】对选项A：在ACQ中，因为“，N为AC,AQ的中点，

所以MN//C0,所以C7V与QM共面，所以A正确;

=

对选项B：由^A-DMN^N-ADM，

因为N到平面板D的距离为定呜，目.3的面积为定值入

所以三棱锥A-OWN的体积跟;I的取值无关，所以B正确;

,4。2=际+4。2=1+白卷

取的中点分别为ME,连接EMEM,则EM?=MN?+EN2=1+1

4

在直角三角形“照中，Q"=ME2+EQ2=（；）+（；]+/=曰

贝I]AM：+QM2>AQ"所以AMLQM不成立，所以C不正确.

1UUIMD1uuuin

对选项D：当4时，取A"=—RG，连接"C,则"Q//AG,又AC//AC所以HQ//AC

33

所以A",C,”,。共面，即过A,Q,"三点的正方体的截面为AC"Q,

由A。=C”=Ji+1=—■，则ACHQ是等腰梯形，且QH=；AC1与

所以平面截正方体所得截面的周长为/=近+与+2x=4弋2vH,所以口正确:

故选：ABD.

考点三证明“点共线”及“线共点”

15.（2023・全国•高三对口高考）如图，正方体AG中，。是30中点，AC与截面8。弓交于P,那么C-

【答案】G、P、o是平面AACG和平面8OG的公共点，所以它们共平面AACG与平面的交线

【分析】确定G、P、平面A4CG，a、尸、Oe平面8。a,得到结论.

【详解】。是BO中点，则O是AC中点，故Oe平面A4CG，

AC与截面8DG交于尸，故PeAC，故Pe平面A4CG，又G©平面AACC-

故C1、p、Oe平面AACG，又C、P、Ow平面BDG，

故C1、P、O在平面AACC1和平面BOG的交线上.

故答案为：G、p、。是平面AACG和平面BDG的公共点，所以它们共平面AACG与平面BDG的交线.

16.（2023・高三课时练习）在空间四边形A8CZ）的各边AB、BC、CD.D4上分别取E、F、G、H四点，

若EFCGH=P,则点P（）

A.一定在直线BO上B.一定在直线AC上

C.既在直线AC上也在直线8。上D.既不在直线AC上也不在直线BO上

【答案】B

【分析】由题意可得PC平面A8C,尸C平面ACQ,又平面A8CC平面ACO=AC,则尸eAC,可得答案.

【详解】如图，

P

TEFu平面4BC,GHu平面4C£）,EFCGH=P,

.♦.PC平面48C,PG平面AC£）,

又平面ABCC平面ACD=AC,

：.P^AC,即点P一定在宜线AC上.

故选：B.

17.（2023•北京朝阳•高三专题练习）在长方体ABCD-AMG”中，A6与平面相交于点M,则下列

结论一定成立的是（）

A.AMYBDB.A^M1BD

C.AM=^MCtD.MB=MD

【答案】C

【分析】根据平面交线的性质可知AN。AG=M，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD可

根据长方体说明不一定成立.

【详解】如图，连接AC,B。，交于N,连接AG，AN,

在长方体中，平面ACGA与平面ABO的交线为AN.

而AC|U平面ACGA，且A£c平面=M,

所以MeAN,

又AN〃AG，AN」AG，

所以AM=：MG，故C正确.

对于A,因为长方体中AC与3。不一定垂直，故推不出故A错误；

对于B,因为长方体中与4田不一定相等，故推不出故B错误；

对于D,由B知，不能推出AN与BO垂直，而AN是中线，所以推不出MB=MD,故D错误.

故选：C

18.（2023・全国•高三对口高考）已知JWC在平面a外，三边A3、BC、。所在的直线分别与平面a交

于P,Q,R.求证：P,Q,R共线.

【答案】证明见解析

【分析】推导出P,Q,R都在平面A8C与平面a的交线上，即可证明.

【详解】；A3ce=P,PeAB<Pw平面a.

又ABu平面ABC,平面ABC.

...由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面a的交线匕

同理可证。,R也在平面A8C与平面a的交线上，

二P,Q,R共线.

19.（2023•全国•高三对口高考）如图，在空间四边形4BCD中，E,尸分别是4B,的中点，G,H分别

在BC,C。上，且BG:GC=OH:〃C=1:2.

A

(2)设EG与"/交于点尸，求证：P,A,C三点共线.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据已知条件，可得EF〃BD以及GH〃BD,所以所〃GH,进而得出四点共面;

(2)因为AC是平面ABC和平面AC£＞的交线，只需证明尸点是平面ABC和平面AC。的交点，即可证得

PGAC,进而得到三点共线.

【详解】(1)因为E,尸分别为A8,A。的中点，所以所〃3D

在△BC。中，因为=――=—>所以=y—=—,所以GH//BD,

GCHC2CDCD3

所以EF〃GH.

所以E,F,G,〃四点共面.

(2)因为EGcFH=P,所以PeEG.

由已知可得，EeAB,G&BC,ABu平面ABC,ACu平面ABC,

所以EGu平面A8C,所以尸w平面ABC

同理PwEW,FHu平面ADC,Pe平面ADC.

所以「为平面ABC与平面ADC的一个公共点.

又平面MCr＞平面AOC=AC,所以PeAC,

所以P,A,C三点共线.

20.(2023・全国•高三专题练习)如图所示，在正方体ABC£＞-A£GR中，E,F分别是AB,然的中点.

(1)求证：CE,D,F,OA三线交于点P；

(2)在(1)的结论中，G是。£上一点，若尸G交平面ABCO于点，，求证：P,E,"三点共线.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】(1)连接AB,CD,,可得到EP〃C"目.EFxCR,则EC与"/相交，设交点为R则能得到

Pe平面A8CO,Pw平面A£)Z)1A，结合平面ABCDc平面A£>Q|A=A。，即可得证；

(2)可证明P,E,”都在平面PC。与平面A8CO的交线上，即可得证

【详解】(1)证明：连接40，CD,,EF

正方体ABCD-A4G。中，E,F分别是AB的中点，

/.E尸〃AB且EFwA3

,:CD|//A8且CQ=48,

EFUCD,aEF卡CD,,

...EC与。尸相交，设交点为P,

♦：PGEC,ECu平面ABCQ,二色平面ABC。；

又PeFD、,FD、u平面ADD^,Ape平面ADD}\,

为两平面的公共点，

平面平面ADRA,=AD,：.PeAD,

:・CE、RF、D4三线交于点P：

在(1)的结论中，G是RE上一点，FG交平面ABCD于点H,

则fHu平面PCD,,：.HG平面PCD、,又〃e平面ABCD,

：.He平面PCRc平面ABCD,

同理，尸€平面尸C°c平面A8CD,

Ee平面PCRc平面ABCD,

：.P,E,”都在平面PCq与平面ABC。的交线上，

：.P,E,”三点共线.

21.（2023•全国•高三专题练习）己知，正方体ABCD-A/B/。。/中，点E,F分别为功。，C/B/的中点,

ACHBD=P,4C/nEF=Q.求证：

（1）D,B,E,尸四点共面.

（2）若4c交平面BDEF于点R,则P,Q,R三点共线.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【分析】（1）求证E尸〃8/）,再由两条平行线可以确定平面即可求证；

（2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可.

【详解】（1）连接8/功，如下图所示：

因为E,F分别为D,。,C/B/的中点，

所以E尸〃小。/,乂因为&DJ/BD,

所以EF//BD,

所以EF与BZ）共面，

所以E,F,B,力四点共面.即证.

（2）因为ACnBD=P,所以尸6平面A4/C/CC平面8QEF.

同理，QG平面A4C/CC平面BDEF,

因为4CH平面DBFE=R,

所以Rd平面4A/C/CC平面BDEF,

所以P,Q,K三点共线，即证.

【点睛】本题考查空间中四点共面，三点共线的问题，只需熟练掌握和应用公理即可.

22.(2023•河南•校联考模拟预测)在正四棱柱ABC。-A4G"中，O为CR的中点，且点E既在平面AB©

内，又在平面AC%内.

(1)证明：EeAO：

(2)若A4,=4,AB=2,E为A。的中点，E在底面ABC。内的射影为“，指出”所在的位置(需要说明理

由)，并求线段A4的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)取C。的中点凡连接AF,”为AF的中点，理由见解析，A、H=叵