第五部分线性代数

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第五部分线性代数

-行列式

1行列式

（1）定义

（2）代数余子式A.=（-l），+；M..

（3）行列式的值D=+ai2Ai2+…+ainAjn或。=aXjAXj+a2jA2j+--+anJAnj

（4）+ai2Aj2H—+ainAjn=0（iHJ）

或%++…+anjAnk=0-j）

2性质

（1）行列互换，行列式值不变

（2）某行（列）公因式可提到行列式之外

（3）互换两行（列）改变符号

（4）某行（列）乘2倍加到另一行（列）上，行列式值不变

（5）某行（列）所有元素均为两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和

3计算

(1)D=即4]+《242+••+%,4或。+"+anj

(2)利用性质,三角形化

(3)拆项（4）归纳法

Q+xaaaX-x00

aa+xaa—G+4aa+xaa

5.1.1计算。=

aaa+xaaaa+xa

aaaa+xaaaa+x

X000

2a+xaa

h+12a2a+xaa

=X2a。+九a

a2aa+xCl

2aaa+x

Cl2aa〃+x

X-x0X00

L+/

1+32aa+xa2X2a3a+xa

2aaa+x2a3aa+x

3。+xa

=X2—x4+4〃/

3aQ+x

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a2+xa3+xa4+x

仇+xb+x%+xb+x

5.1.2f(x)24，生也,c”4是常数,则多项式/(X)的

G+冗+xC3+Xc4+x

&+xd2+x13+xdA+x

次数是[(A)]

(A)0或1次(B)2次(C)3次(D)l至4次均可能

解：把第一行x(-l)分别加至其余各行

at+x%+X%4+x

bi-%b2-a283-。3

/(x)

c\~a\c2-a2Q—C4-a4

4-，d2一a24d4—a4

按第一行展开，/(x)至多为x一次式

2-1X2x

11x-1

5.1.3(1)(03)行列式展开式中的系数是［(A)］

0x20

X0-1一X

(A)2(B)-2(C)1(0-1

2-1x2x

x2x

1x-1

解在中按第•列展开中含一的项只有一x1x-1

0x20

X20

X0-1-X

-1X2x

x2x

32

在1X-1中按第一列展开中含无3项只有X-2X-x

x-1

X20

(2)(04)

a\\a\2a\3_2。][-2%2-2a

aaa=Mw0,则行列式—2%]-2。

设2\2223-2a3233=[(A)]

〃

。31。3233一2七］—2出2-2。23

(A)8M(B)2M(C)-2M(£))一8M

aaaaa

-2%1-2。[2-2%彳\\\2\3w\2。13

=—8aaaaa

解—241_2a32-2。333\3233=82\22。23=8M

—2^22aaa

一2a21—2。232\22。23。3132。33

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abc

(3)(05)设a,b,c是方程/—2x+4=0的三个根，则行列式bca的值等于［(B)］

cab

(A)1(B)0(C)-1(£>)-2

分析：本题是一道综合题，主要考查行列式的性质和二次代数方程根与系数的关系。

解法1：由，。是方程/-2x+4=0的三个根，有

x3-2x+4=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(be+ac+ab)x-abc=0

从而a+b+c=0,于是

abcQ+/7+CQ+/?+Ca+h+c111

bca=hca=(a+Z?+c)bca=0

cabcabcab

解法2：方程为x3-2x+4=(尤+2)(/-2x+2)=0,因是方程/一2x+4=0的

三个根，不妨设。=-2,则瓦c应满足/一2工+2=0,由二次方程根与方程系数关系，

得匕+c=-(-2)=2,因止匕有a+匕+c=0。

abca+b+co+b+ca+Z?+c111

bcabca=(a+/?+c)bca=0

cabcabcab

工101

01X1

(4).(2007)行列式展开式中的常数项为［D)J

1X10

101A'

(A)4(B)2(C)1(D)0

分析：本题考查行列式按行按列展开的性质。

解法1：

X10101

101

01x1[3|+[4]x(-l)01X1按第例展开

=1X1

1x100x0-x=

X0-X

101X101x

101101

上式中，X展开后每一项均含X,且1X1=x1X1展开后每•项也

x0-x10-1

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X101

01x1

含X,因此常数项是0。

1X10

101x

x101010

01x0101

解法2的常数项是它在X=O的值，即，此行列式的第一行

1x101010

101x1010

二矩阵

1矩阵

(1)定义

(2)运算①加法②数乘

③矩阵的乘法AmxsB„n=G.X.，其中g=£%也

hl

④分块矩阵的乘法4(%,。2,…。，)=(4%,4。2,…AaJ

2伴随矩阵：设A“*“，％的代数余子式构成的矩阵

A1〕乙…A,”

4*_A242A"？

A2n4”

3逆矩阵的求法

①用定义AB=BA=E,4一|=5(E是单位阵)

4*

②用伴随矩阵^T=

彳亍初等变换

③用行初等变换(A|E):(E|A-1)

4逆矩阵的证法

①|A|wO②R(A)=n

5特殊矩阵

①单位矩阵E(/)②对角矩阵

③初等矩阵：单位矩阵经过•次初等变换得到的矩阵

④对称矩阵A，=A⑤反对称矩阵Ar=—A

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6初等变换

7秩

①定义：非0子式的最高阶数

用定义

②求法《

初等变换不改变矩阵的秩

8重要结论

(1)4,8是〃阶方阵,则=

⑵A可逆o|A|wOor(A)="04=4鸟…£(其中E是初等矩阵)。

(3)r(A)=r,则A有r个线性无关的行(列)向量，而其它的行(列)向量都可由这r个

向量线性表出，即r(A)=r=行秩=列秩

9公式

(1)加法、数乘矩阵、矩阵的乘法

(2)转置

①(4，尸=4②(4+B)，=A7+B，

③(以尸=kAT④(ABy=BTAT

(3)可逆

①(AT=A②(")t=-A-'

k

③(附一1=田弘④(A')T=(AT)7

(4)伴随矩阵

①A4*==同£②(fc4)*=D

-1tAT**T

③(4*『=(1)*=n④(H)*=(A*)T

(5)〃阶矩阵行列式

①|A[=|A[②\kA\^k"\A\③|A5|=|Ap|

④⑤⑷=『

(6)矩阵秩的性质

①r(A)=r(AT)②r(A+B)<r(A)+r(B)

(3)r(/lB)<min{r(A),r(B)}

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④P,Q可逆，r(PA)=r(AQ)=r(A)

n,当r(A)=n

⑤r(A*)=«l,当R(A)=〃-1

0,当/•(4)<〃-1

201100

5.2.1已知4030*B0-10,若X满足

202000

AX+2B^BA+2X，求X、

(A—2E)X=3(A—2E)X=(A-2E)”(4—2E)

001、

A-2E01'0可逆

2

007

(A-2£|£)

2000

100

011

(A-2后尸

/J

00100"001、000

2

X0100-1001'00-10

100000,200001

7

000

X4010

001

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100

5.2.2A0-20,A*8A=2BA—8E,求8。

001

解A可逆，2R4—A*氏4=8E23-A*3=8E4T=81

8=8(2七一4*)-|k=8[A(2E—A*)]T=8[2A-AA*「=8[2A-\A\E]-'

]_

4

=8[2A+2E『=80

0

5.2.3

1-1

110

(1)(03)设A20，B,则必有[(。)]

231

31

(A)AB=BA(B)AB=BTA

(C)忸2-8(D)|阴=0

解A6是3x3矩阵,A4是2x2矩阵，所以不选(4)

-1-2-1X’-1-2-P

AB220220,R(A)=2,所以卜同=0。

561,4

740,

(2)(03)设A为4阶非零方阵,其伴随矩阵A"的秩r(A*)=0,则秩r(A)=[(A)]

1或2(B)1或3

(C)2或3(D)3或4

第3行第2

列的元素是(8)

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113

⑷5⑻-(C)1⑷I

2

1001

解A、0-0,C-'1

2

0

00-

L3j

C32T=0x0+lx」+3x0」

3222

(4)(05)已知X为〃维单位向量，X，为X的转置，E为,单位矩阵，若G=XX?，则G?

等于[(A)]

(A)G(B)±G(O1(D)E„

分析：本题考查特殊矩阵的乘法运算。

解法1：注意到X为〃维单位向量，所以有X「X=1。

因G=XX\所以G?=(XX「)(XXT)=X(XTX)XTXXT=G。

0

解法2：特殊值代入法。令X,则G=XX「=

0

0

所以G2=Go

0

(\0r

(5)(06)设A=02o.,E为三阶单位矩阵，若三阶矩阵。满足关系

,10b

AQ+E=A2+Q，则。的第一行的行向量是[(C)]

(A)(101)(B)(102)(C)(201)(D)(202)

10r’001、01、

由A=020得A—E=010A+E030,显然A-E可逆。

0J00,102

由AQ+E=A?+。得AQ-Q=A2—E,即(A-E)Q=(A—E)(A+E)。

第一:部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第9页共23页

01)

由A—E可逆，得。=4+E=030,因此。的第一行的行向量是(2，°，1)。

02,

10、

(6)(07)4*是4=011的伴随矩阵，若三阶矩阵X满足A*X=A,则X的第3

J0b

行的行向量是[(C)]

八11、/1,、

(A)(2,1,1)(B)(1,2,1)(C)(D)(2524)

"110、

因4=011,所以|A|=2,从而A可逆。由A*=|AgT=2AT,有

J。1,

AA

(4*尸=备=三。又由题设A*X=A,得

同2

I10、**

A21oYi

(A*)TA*X=(A*)-A,于是，x=rr=-011011***

H24]_1

,10101

22>

1-1-2

(7)(08)设/是三维列向量,仍是0的转置，若即丁-112,夕月=[(B)]。

-224

(A)4(B)6

(C)8(D)12

设£=b,则，'=(«bc),所以

、

a2abac-1-2、

b2

郎b|(a力,c)=babe?-112

cacbc-「224,

7

Z77>=(a,b,c)|b|

a2+b2+c2=l+l+4=6

三向量、方程组

第：部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第10页共23页

1向量

(1)向量的定义

(2)线性表示(线性组合)

对于向量月必，如果存在一组数占，&，…J使得夕=匕/+%2a2+…+攵。.，

称万可由名,%，…%线性表出，或月为名,见，…%的线性组合。

(3)向量组线性相关和线性无关

设有〃维向量组％,。2,…4，如果存在不全为0的数L,左2,…儿使

k乌+k2a2+…+左。、=0，则称向量组%,。2,…％线性相关，否则称称向量组

内,。2,…《线性无关。

(4)向量组的极大线性无关组

a

若叫i,a,2，…jr是向量组•••«„,(r<in)的部分组，满足a}i,aj2,---ajr线性无关,

而任意r+1个向量线性相关，称叫］,％2,…%r为向量组％，…的一个极大线性无关

组。

(5)向量组的秩

向量组名,…a“的极大线性无关组所含向量个数，记“a”%,…a“)，设

A=(«］，«2,•••«„),则厂(A)=7(%,。2,…%)=A的行秩或列秩。

2线性方程组

a\\a\2*U\n仇

AX=8,(*)非齐次方程

b2

Q21a22,,,«2„x2

A=,X=,B=,AX=0,(*)'齐次方程

A=(AB)增广矩阵

_a,n\a,"2■"a,nn_A.

(1)解的判断

①(*)有解Or(A)=r(A)o当r(A)=r(A)=〃时，(*)有唯•■解，当r(A)=厂(A)<n

时，(*)有无穷多解，«A)N“不)时，(*)无解。

②(*)'永远有。解。(*)'只有0解=r(A)=〃。r(A)<〃o(*)'有无穷多解(有非0解)

③当A为〃阶方阵，AX=0只有0解。国力0。

(2)解的结构

①基础解系：齐次方程(*)'有非零解(r(A)=r<〃)，则其解向量必有〃—r个向量

7，小，-构成一个极大线性无关组，称其为(*)'的基础解系。

第二.部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第11页共23页

②齐次方程（*）'的通解是Y=G7+。2〃2+­•-+c„_rn„_r。

③非齐次方程（*）的解：当r（A）=，（•）=「<〃，（*）有无穷多解

H0+C^+C27]2+---+Cn^n_r,其中%是非齐次方程（*）的一个特解解,

C]7+。2〃2------G-r〃"-r是齐次方程（*）'的通解。

3向量组线性相关（无关）的判断

（1）用定义

（2）r（a[,a2,--aj=m（向量组的秩等于向量组的个数），则向量组一定线性无关，否

则，线性相关。

（3）向量组的所含向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关（注意向量组的所含向

量的个数小于向量的维数，则不确定）。

（4）…区“给出具体数，求矩阵（%,4，…a,"）的秩厂，当r<m,则向量组线性

相关，否则向量组线性无关。

（5）向量组中含有零向量，则向量组线性相关。

（6）向量组中有一部分向量线性相关，则全体向量组线性相关，若全体向量组线性无关,

则任部分向量组线性无关。（注意：全体向量组线性相关，但部分向量组不一定线性相关;

若向量组中向量两两线性无关,但整组不一定线性无关）。

/、*、/、

an"12',•a\

4m阳

«2I〃22«2,„a2la22•,,a2mx2

(7)c线性无关=

4=,«2=，…a,”==0

aa)ao•a

\n\)\n2/i2"nn,?I/J

只有零解。即r（A）=/〃。

（8）〃个〃维向量线性无关o®,%，…,%,卜0

〃个“维向量线性相关。…，%|=。

4线性表示的判断

⑴〃维向量£=（4也,…a）"%=（%”。21，…4I）T，…，=（即.，。2小，

向量/可由a”…,a,“线性表示的充要条件是（名,…,a,“）X=夕有解。

即

'allxl+al2x2+---almxin="

\21'22222有解。亦即a,,,0。

*内+an2x2+---anmxm=b”

第：部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第12页共23页

（2）£线性相关，线性无关，则/可由四，…,a,“线性表出，且表

出唯一。

（3）任一“维向量可由〃维单位向量表出。

（4）向量组｛4,入，…氏｝每一个向量可由向量组｛%，。2,…%｝线性表出。则

，｛夕］，尸2,…⑷4…%｝。

5向量组的等价

（1）设向量组I：｛%,%,…a,｝与向量组^：｛夕］,/?2，…舟｝，如果I中每一个的向量可

由H线性表出，II中每一个的向量可由1线性表出，称此两个向量组等价，记1=11。

（2）等价向量组的秩相等。

5.3.1讨论向量组的线性相关性

/、

%32-1A(\1-4)

213r2x(-l)+r,213

3X3

7x2J2,

\

八X(-2)+r2(\2-412-4、

0-1110-111

(x(-x)+q(03-x2+4x,0035-75

解：即alxi+a2x2+a3x3=笈有解

第：部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第13页共23页

133、

—/.0113

\「3-0019-。

、0003-2)3-6),

当a=2或、=6时a}x]+a2x2+a3x3=有解

%3=9-b

当a=2时＜x2=h-6,J3=(2b-18)/+(。_6)a2+(9—b)a3

X]=28-18

当b=6时"a总有$=—6,X2=0,/=3/3-—6%+3%

1

1

T

5.3.3A=1X=(XI，X,XY,b=(-1-1,0,-2),已知AX=b有解,

123

3

^

则行列式的值|A.=[(B)]

(A)-1(B)0(C)1(D)2

AX=b有解=乩4)=厂(啡)r(A)<3<4(46)是四阶方阵n厂(啡)<4

n|A4=0

5.3.4

(1).(03)设A为mx〃的非零矩阵，方程组4X=0只有零解的充分必要条件是[(A)]

(A)A的列向量线性无关(8)A的列向量线性相关

(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关

分析：本题考查齐次方程组AX=0只有零解的充分必要条件和向量组的线性无关性与矩阵

秩的关系。

由AX=0只有零解的充分必要条件是r(A)=n。

当机<〃，若A的行向量线性无关，r(A)=m,当机<〃，AX=0一定有非零解，

此时，A的行向量组线性无关不能保证AX=0只有零解。

只有A的列向量组线性无关时，r(4)=〃，这正是AX=0只有零解的充分必要条件。

(2)(04)若a,民/线性无关，而向量a+2£,2月+k7,3y+a线性相关，则上=[(D)|

(A)3(B)2(C)-2(0-3

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」0P

{a+2/3,2/3+ky,3y+«)=(«,/7,/)220

、°k3,

由题设，a,夕,/线性无关，向量1+2夕,2£+0,37+。线性相关，可得矩阵(a,夕，力的

01、

秩等于3,矩阵(。+2尸,2夕+女/,3/+。)的秩小于3,因此矩阵220的秩必小于3

k3,

(否则,矩阵(a+2夕,2/7+什,3y+a)的秩等于3),从而有

101

220=0,解得上=—3。

0k3

解法2：特殊值代入法

把a,看作三维单位向量,

2—小.小向量组………线性

120

相关，所以02k=0,解得左=一3。

103

(3).(06)已知向量组a,夕,7线性无关,则3*1是向量组a+S/+O，a—y线性无

关的[(C)]

(A).充分必要条件(B).充分条件，但非必要条件

(C)必要条件，但非充分条件(D).既非充分条件也非必要条件

'101、

因(a+k/,0,+ky,a-/)=(a,0,y)k10,

、。k-I

‘101、

设4=k10,则=A2—1,

、°k7

当向量组&+3,/7+。以一/线性无关时，阂=左2一1力0,即女=±1。

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所以火是向量组a+S，£+线性无关的必要条件。

当出力1但火=—1时⑶=0,向量组a+k£,£+/线性相关，所以

k#怀是向量组a+kp,j3+ky,a-y线性无关的充分条件。

(4).(05)

的一个极大线性无关组是［（。）］

(A)4，%(B)at,a2,a3,a4

(C)at,a3,a4(D)ava2,a4

r0-110、fl-10-1、

2-1-10[4]T1]、J■*-10

1-101

U-10-1J10-11

‘1-10-f‘1-1o-T

[2]+[l]x(-2)01_j2

[4]+[2)01-12

(3]+(i00020002

k0-110；、0002,

ri-10-1、

|4M3]x(-l)、01-12

=B,因8中有三个非零的行,乂因非零行的第个不等

0002

000;

于零的数分别在1,2,4歹U，所以是向量组因，。2，。3，。4的一个极大线性无关组。

r

(5)(08)若向量组为=(1,0,1,1)T,a2=(0,-11,21，a3=(0,2-2,-4),

。4=(2,1网一2,0)7的秩为2,贝|*=[。)]»

(A)1(B)0

(C)-1(D)-2

第：部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第16页共23页

由于向量组%,12，03，。4的秩为2，线性无关，所以

%要线性相关，从而对应分量成比例，所以f=l.

-22

(6)(04)设矩阵A=-26x,三阶矩阵8H0,且满足48=0,贝加(A)]

30-6

(A)x=—8,3的秩=1(B)x=—8,B的秩=2

(C)x=8,5的秩=1(£>)x=8,B的秩=2

"0,AX=O有非0解,一定有r(A)<3。

1-221-221-22

A=-26x[2]+5x(2),02x+402x+4

[31+|l]x(-3)

30—606-1201-2

当2_x+4

即x=—8,r(A)=2<3»

x=-8时"A)=2,此时4X=0的基础解系中含3-2=1个解向量,B的列向量都是

AX=O的解，因此8的秩等于1。

(7)(06)三阶矩阵A的秩/'(A)=1,7=(—130)7,%=(2-11)7,

%=(506T是方程组AX0的三个解向量,则常数k=[(D)]

(A)-2(B)(C)2(D)3

’7、'-130、-130、

%2-11051,因r(A)=l,所以AX=0的基础解系含有

儿,50015

两个线性无关的解向量，因而7，〃,,〃3线性相关，从而有9=■!■,即A=3。

15k

故正确选项为(D)。

也可由7=(—130)7,%=(2-11)T,/=(50A)，线性相关，从而

第：部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第17页共23页

-125

3-10=15—5左=0,解得々=3。

01k

11

(8)(08)若线性方程组1-1有无穷多解，则a=[(C)

-1a

(A)1或4(B)1或-4(D)-1或-4

解法1：方程组有无穷多解,即

11a

-22-a

-12(a+l)(a-4)=0

11

-1a1

所以a=-1或a=4.

解法2：本题也可以从系数矩阵的秩考虑，为使方程组有无穷多解,

11a

须取a，使得系数矩阵1-12的秩小于未知量的个数3。

-1a1

11a1-121-12

1-12WT2])11a[2]+川x(-|))02a-2

[3MU

-1a1-1a10a-13_

1-12

2a-2

要使02a-2的秩小于3,必须——=-----，即(a—4)(。+1)=0,

a-\3

0G-1

所以a=-1或a=4.

故正确选项为(C).

'11a

(9)(07)设4=01-1,l=,则当a=[(D)]时方程组AX=b无

Ja'T,

解。

(A)-2(B)-1(C)1(D)2

第：部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第18页共23页

’11a-1、’11a-1、

[3]+[l]x(-l)

(坳=01-1-101-1-1

T

Ja?-1a)、0a2-l一1+a,

’11-V11a-1

[3]+[2]x(-3)

当a=2时，得01-101-1-1

T

、033,0006

这时，R(A)wR(W),方程组AX=b无解。

四矩阵的特征值与特征向量

1矩阵的特征值与特征向量

（1）定义A是〃阶矩阵，/I是常数，a是非0向量，若Aa=/la,则称/I是A的特征

值，a是A的属于丸的特征向量。

（2）计算

①|A—/lE|=0n求出4（特征方程的根）。

②把不同的特征值4代入方程（A—/IE）X=0中，求出其非0解，用基础解系表示，即为

相应的特征向量。

2性质

（1）A与A7■有相同的特征值。

（2）%,乙，…儿“为A的不同特征值，乂］,*2/一乂,“是乙，/12，一》„1的特征向量，则

X「X2,…X,“线性无关。

（3）4是A的特征值，X是A的属于；I的特征向量，则

①仍是A的属于4特征向量。

②k/l仍是A的特征值，X是&A的属于A/1的特征向量。

③X'是4"的特征值，X是A"的属于r的特征向量。

④若A可逆，则/IwO,且l是的特征值，X是A"的属于1的特征向量。

2A

⑤若A可逆，?|A|是A*的特征值，X是A*的属于:同的特征向量。

4/t

（4）若4,%，…，为A的特征值，贝IJ

①'乙=£。"②自儿=4&…鼠=小

I=1i=li=l

2矩阵相似对角化问题

（1）定义设A,8均为〃阶矩阵，若存在”阶可逆矩阵P,使=则称A与8

第：部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第19页共23页

相似，记4~8。

(2)性质：设4~3,贝U

①A与8有相同的特征值，相同的对角元素之和；②间=固。

3矩阵对角化条件和方法

4000、

o,­.00

①定义：A与一个对角阵A=相似。

001­.0

1000

②A可对角化=A有”个线性无关的特征向量。

③A可对角化。A的每一个特征值的重数等于这个特征值对应线性无关特征向量的个

数。

④方法

(a)求A的特征值乙,乙,…九(不同的特征值对应的特征向量线性无关)

(b)求儿"2,…九对应的特征向量X「X2,…X“

’4000、

.000

(c)令P=(X-X2,…X“)，则P%P=

000

.0002n>

‘4-22、

5.4.1求A=202求其特征值与特征向量,并将其对角化。

C1L

4-2-22

解：①|A—之目=2-/I2=(/1-2)2(1-2),令|4-/1目==0

-111-2

得4=丸，-2,4=1

'2-2

②当4=4=2,对应齐次方程2-2

~11

第一:部分线性代数CreatedbyLiuqinghua第20页共23页

'2-22、(\-1r

2-22-000r-1X|—々+/=0