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文档简介
2.5.1直线与圆的位置关系
教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学
习直线与圆的位置关系。
学生在初中的几何学习中已经接触过直线与圆的位置关系,本章已经学习了直线与圆的方程、点到直
线的距离公式、点与圆的位置关系等内容,因此本节课是对已学内容的深化何延伸;另一方面,本节课对
于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几
何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系,把点和坐标、曲线和
方程联系起来,实现了形和数的统一。
政学目标与被心素善
课程目标学科素养
A.能根据给定直线、圆的方程,判断直线1.数学抽象:直线与圆的位置关系
与圆的位置关系.
2.逻辑推理:判断直线与圆的位置关系
B.能用直线和圆的方程解决一些简单的数
3.数学运算:判断直线与圆的位置关系
学问题与实际问题.
4.数学建模:直线和圆的方程解决实际问题
重占难占
重点:判断直线与圆的位置关系
难点:直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题
课前发爸
多媒体
敢学过程
教学过程教学设计意图
核心素养目标
一、情境导学
“海上生明月,天涯共此时。”,表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在
海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑
通过具体的情
袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的
景,帮助学生回顾初
风采.
中几何中学习过的
这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过直线与圆的位置关
程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.系,同时提出运用方
程思想解法问题的
在平面几何中,我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系,
方法。
前面我们学习了直线的方程,圆的方程,已经用方程研究两条直线的
位置关系,下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法,利用
直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。
二、探究新知
直线与圆的位置关系的判断方法
222
直线Ar+By+C=O(A,B不同时为0)与圆(上〃)+(y・b)(r>0)的位置关
系及判断
位置关系相交相切相离
公共点理个二个等个
几何法:设圆心到直线的
距离d=\Aa^Bb±C]_d<rd=rd>r
判y/A2+B-
定代数法:由
方/Az+By~i~C=0,
\(jr-a"+(y-6)2=r2
法△>0△二0△<0
消元得到一元二次方程
的判别式4
点睛:几何法更为简洁和常用.
22
1.直线3x+4y=5与圆x+>'=16的位置关系是()
A.相交B.相切
C.相离D.相切或相交
解析:圆心到直线的距离为d=不为=1<4,所以直线与圆相交.
答案:A
三、典例解析
22
例1已知直线方程=0,圆的方程x+y-4x-2>'+1=0.
当“为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
通过典例解析,
(3)没有公共点?
帮助学生进一步熟
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直
悉两种基本方法,判
线的距离,通过与半径比较大小判断.断直线与圆的位置
关系。发展学生数学
解:(方法1)将直线.电1=0代入圆的方程,化简、整理,
运算,数学抽象和数
2222
得(1+团)x-2(/??+2/T?4-2)X+/W+4m+4=0.学建模的核心素养。
:Z=4m(3/n+4),・:当J>0,BPm>0或时,直线与圆相交,
即直线与圆有两个公共点;
当/=0,即,〃=0或时,直线与圆相切,即直线与圆只有•个公共点;
当/<0,即2<〃7<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
(方法2)已知圆的方程可化为(“2)2+0-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2.
圆心(2,1)到直线znr-v-/M-l=0的距离4=用竽=用,
Vl+m2Vl+mz
当d<2,即m>0或4部直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;
当d=2,即胆=0或次、时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;
当d>2,即T<,*<0时,宜线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
直线与圆的位置关系的判断方法
直线与圆的位置关系反映在三个方面:
一是点到直线的距离与半径大小的关系;
二是直线与圆的公共点的个数;
三是两方程组成的方程组解的个数.
因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的
方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出
交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.
22
例2过点A(4,-3)作圆C:(x-3)+(>,-1)=1的切线,求此切线的方程.
思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,
进而求出切线方程.
22
解:因为(4-3)+(-3-1)=17>1,所以点A在圆外.
在典例分析和练
(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,
习中掌握求圆的切
则切线方程为y+3=&(A4).
线方程的方法,即:
因为圆心C(3,l)到切线的距离等于半径,半径为1,代数法与几何法。发
展学生逻辑推理,直
所以啤普(=1,即〃2+1,
观想象、数学抽象和
数学运算的核心素
所以炉+弘+16=正+1.解得.所以切线方程为),+3=1(A4),
88
养。
即15x+8),-36=0.
(2)若直线斜率不存在,
圆心C(3,l)到直线x=4的距离也为1,
这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8)'-36=0或x=4.
22
变式探究过点Q(3,0)作圆x+y=4的切线,求此切线方程.
解:容易判断点Q(3,0)在圆外.设切线的方程为厂心-3),
即Ax-y-3A=0.乂圆的圆心为(0,0),半径为2,
所以熹=2,解得上学,
vl+kz5
所以所求切线方程为产空(》-3).
切线方程的求法
1.求过圆上一点P(x°,)o)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率
匕则由垂直关系,切线斜率为力由点斜式方程可求得切线方程.若k=0
或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y^b或x=a
2.求过圆外一点Pa。,),。)的圆的切线时,常用几何方法求解
设切线方程为丫-稣=%。5),即fcr-j/Xo+y;。,由圆心到直线的距离等于
半径,可求得&,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,
若求出的%值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数
形结合求出.
22
例3求直线/:3x+y-6=0被圆C:x+y-2y-4=0截得的弦长.
思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解
法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.
解法一由';6=0-得交点A(1,3),B(2,0),
+yz-2y-4=0,
故弦AB的长为|4B|=J(2-1)2+(0-3)2=V10.
,(3x+y-6=0,
解法二由2,20/
2y-4=0n,
消去),,得/-3x+2=0.
设两交点A,B的坐标分别为A(Xim),B(X2,)2),
则由根与系数的关系,得M+X2=3/rX2=2..:
2z
|AB|=J(%2-X1)2+(y2-yi)=N10[(^1+X2)-4x1x2]=
J1OX(32-4x2)=VTo,
即弦AB的长为au.
解法三圆C-^+y^-lyA-O可化为/+。-1y=5,
其圆心坐标(0,1),半径片西,
点(0,1)到直线/的距离为"=黑等=零,
V3Z+1Z2
所以半弦长为等=必不=J诋2一噜
所以弦长|A8|=,IU.
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法:如图①,直线/与圆C交于A,8两点,设弦心距为",圆的半径
为r,弦长为|明,则有(")2+心=/,即|A8|=2VF中.
图①
(2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两
22
交点分别是A(xi,yi),B(X2,y2),则\AB\-J(Xi-x2)+(yi-y2)=
VT+Fki-^I=Ji忑|),「闻(直线I的斜率左存在).
肝
图②
跟踪训练1已知直线/经过直线2x-y-3=0和4片3卜5=0的交点,且
与直线x+y-2-O垂直.
(1)求直线/的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线/被该圆所截得的弦长为2V2,求圆
C的标准方程.
解:⑴由己知得:£^5=】。解得
.:两直线交点为(2,1).
设直线1的斜率为k7:7与x+y-2=0垂直,.:&=1,
VI过点(2,1),.:/的方程为y-l=x-2,即x-y-l=0;
(2)设圆的半径为7•,依题意,
通过与直线与圆
圆心(3,0)到直线x-y-}=0的距离为登=V2,
位置关系的应用问
题,提升学生数学建
则由垂径定理得产=(a产+(e)2=4,."=2,
模,数形结合,及方
.:圆的标准方程为(X-3)2+V=4.程思想,发展学生逻
辑推理,直观想象、
例3.如图,台风中心从4地以每小时20千米的速度向东北方向(北
数学抽象和数学运
偏东45。)移动,离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市8
算的核心素养。
在4地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系,解决以下问
题:
(1)求台风移动路径所在的直线方程;
(2)求城市8处于危险区域的时间是多少小时?
----B
【解析】(1)以B为原点,正东方向为x轴建立如图所示的平面直角
坐标系
f
-r—fc
则台风中心4的坐标是(-400,0),台风移动路径所在直线斜率为:k=
tan45°-1
••・台风移动路径所在的直线方程为:y=x+400
(2)以B为圆心,300T米为半径作圆,圆和直线丁=光+400相交
于4,&两点,则台风中心移到4时,城市B开始受台风影响(危险区),
直到&时,解除影响
•••点B到直线y=x+400的距离:d=200企
2210
\ArA2\=2^300-(200V2)=200,又詈=(小时)
B城市处于危险区内的时间是10小时
三、达标检测
22通过练习巩固本
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)+(y+l)=9的位置关系是()
节所学知识,通过学
A.过圆心B.相切
生解决问题,发展学
C.相离D.相交但不过圆心生的数学运算、逻辑
推理、直观想象、数
解析:圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离介叫磊坦=小
学建模的核心素养。
答案:D
22
2.若直线x+y+m=O与圆x+y=加相切,则m的值是()
A.0或2B.2C.V2D.&或2
解析:/直线x+y+m=O与圆x2^y2=m相切,,:圆心。(0,0)到直线的距
离居=解得根=2(舍去0).故选B.
答案:B
3.经过点M(2,l)作圆x+;=5的切线,则切线的方程为_________.
解析:易知点M在圆上,所以M为切点,切点和圆心连线斜率k=1,
则切线斜率为2切线方程为y-1=-2(x-2),
BP2A•+y・5=0.
答案:2x+y・5=0
22
4直.线y=x+\与圆x+y+2y-3=0交于AyB两点,则|A8|=__________.
解析:圆的方程可化为1+&+1)2=4,故圆心C(0,-l),半径r=2,
圆心到直线产x+1的距离仁也浮=V2,
所以弦长依8|=2。产M2=2V^=2企.
答案:2夜
5.如图所示,一座圆拱(圆的一部分)桥,当水面在图位置m时,拱顶
离水面2m,水面宽12m,当水面下
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