直线与圆的位置关系

2.5.1直线与圆的位置关系

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学

习直线与圆的位置关系。

学生在初中的几何学习中已经接触过直线与圆的位置关系，本章已经学习了直线与圆的方程、点到直

线的距离公式、点与圆的位置关系等内容，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对

于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几

何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和

方程联系起来，实现了形和数的统一。

政学目标与被心素善

课程目标学科素养

A.能根据给定直线、圆的方程，判断直线1.数学抽象：直线与圆的位置关系

与圆的位置关系.

2.逻辑推理：判断直线与圆的位置关系

B.能用直线和圆的方程解决一些简单的数

3.数学运算：判断直线与圆的位置关系

学问题与实际问题.

4.数学建模：直线和圆的方程解决实际问题

重占难占

重点：判断直线与圆的位置关系

难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题

课前发爸

多媒体

敢学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在

海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑

通过具体的情

袋，然后冉冉上升,和天际线相连，再跃出海面，越来越高,展现着迷人的

景，帮助学生回顾初

风采.

中几何中学习过的

这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过直线与圆的位置关

程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.系，同时提出运用方

程思想解法问题的

在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，

方法。

前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的

位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用

直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。

二、探究新知

直线与圆的位置关系的判断方法

222

直线Ar+By+C=O(A,B不同时为0)与圆(上〃)+(y・b)(r>0)的位置关

系及判断

位置关系相交相切相离

公共点理个二个等个

几何法：设圆心到直线的

距离d=\Aa^Bb±C]_d<rd=rd>r

判y/A2+B-

定代数法：由

方/Az+By~i~C=0,

\(jr-a"+(y-6)2=r2

法△>0△二0△<0

消元得到一元二次方程

的判别式4

点睛：几何法更为简洁和常用.

22

1.直线3x+4y=5与圆x+>'=16的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相离D.相切或相交

解析:圆心到直线的距离为d=不为=1<4,所以直线与圆相交.

答案:A

三、典例解析

22

例1已知直线方程=0,圆的方程x+y-4x-2>'+1=0.

当“为何值时，直线与圆

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

通过典例解析，

(3)没有公共点？

帮助学生进一步熟

思路分析:可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直

悉两种基本方法，判

线的距离,通过与半径比较大小判断.断直线与圆的位置

关系。发展学生数学

解:(方法1)将直线.电1=0代入圆的方程，化简、整理，

运算，数学抽象和数

2222

得(1+团)x-2(/??+2/T?4-2)X+/W+4m+4=0.学建模的核心素养。

：Z=4m(3/n+4),・：当J>0,BPm>0或时，直线与圆相交，

即直线与圆有两个公共点；

当/=0，即，〃=0或时,直线与圆相切，即直线与圆只有•个公共点；

当/<0,即2<〃7<0时,直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.

(方法2)已知圆的方程可化为(“2)2+0-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2.

圆心(2,1)到直线znr-v-/M-l=0的距离4=用竽=用，

Vl+m2Vl+mz

当d<2,即m>0或4部直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点；

当d=2,即胆=0或次、时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

当d>2,即T<，*<0时,宜线与圆相离，即直线与圆没有公共点.

直线与圆的位置关系的判断方法

直线与圆的位置关系反映在三个方面：

一是点到直线的距离与半径大小的关系；

二是直线与圆的公共点的个数；

三是两方程组成的方程组解的个数.

因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的

方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出

交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.

22

例2过点A(4,-3)作圆C:(x-3)+(>,-1)=1的切线，求此切线的方程.

思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，

进而求出切线方程.

22

解:因为(4-3)+(-3-1)=17>1,所以点A在圆外.

在典例分析和练

(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,

习中掌握求圆的切

则切线方程为y+3=&(A4).

线方程的方法，即:

因为圆心C(3,l)到切线的距离等于半径,半径为1,代数法与几何法。发

展学生逻辑推理，直

所以啤普(=1,即〃2+1,

观想象、数学抽象和

数学运算的核心素

所以炉+弘+16=正+1.解得.所以切线方程为)，+3=1(A4),

88

养。

即15x+8)，-36=0.

(2)若直线斜率不存在，

圆心C(3,l)到直线x=4的距离也为1,

这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4.

综上，所求切线方程为15x+8)'-36=0或x=4.

22

变式探究过点Q(3,0)作圆x+y=4的切线，求此切线方程.

解:容易判断点Q(3,0)在圆外.设切线的方程为厂心-3),

即Ax-y-3A=0.乂圆的圆心为(0,0),半径为2,

所以熹=2,解得上学，

vl+kz5

所以所求切线方程为产空(》-3).

切线方程的求法

1.求过圆上一点P(x°,)o)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率

匕则由垂直关系，切线斜率为力由点斜式方程可求得切线方程.若k=0

或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y^b或x=a

2.求过圆外一点Pa。,)，。)的圆的切线时，常用几何方法求解

设切线方程为丫-稣=%。5),即fcr-j/Xo+y;。,由圆心到直线的距离等于

半径，可求得&，进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条，

若求出的％值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可通过数

形结合求出.

22

例3求直线/:3x+y-6=0被圆C:x+y-2y-4=0截得的弦长.

思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式，解

法三利用几何法作出直角三角形，三种解法都可求得弦长.

解法一由'；6=0-得交点A(1,3),B(2,0),

+yz-2y-4=0,

故弦AB的长为|4B|=J(2-1)2+(0-3)2=V10.

,(3x+y-6=0,

解法二由2,20/

2y-4=0n,

消去)，，得/-3x+2=0.

设两交点A,B的坐标分别为A(Xim),B(X2,)2),

则由根与系数的关系，得M+X2=3/rX2=2..：

2z

|AB|=J(%2-X1)2+(y2-yi)=N10[(^1+X2)-4x1x2]=

J1OX(32-4x2)=VTo,

即弦AB的长为au.

解法三圆C-^+y^-lyA-O可化为/+。-1y=5,

其圆心坐标(0,1),半径片西，

点(0,1)到直线/的距离为"=黑等=零,

V3Z+1Z2

所以半弦长为等=必不=J诋2一噜

所以弦长|A8|=，IU.

求直线与圆相交时弦长的两种方法

(1)几何法:如图①，直线/与圆C交于A,8两点，设弦心距为"，圆的半径

为r,弦长为|明,则有(")2+心=/，即|A8|=2VF中.

图①

(2)代数法:如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两

22

交点分别是A(xi,yi),B(X2,y2),则\AB\-J(Xi-x2)+(yi-y2)=

VT+Fki-^I=Ji忑|)，「闻(直线I的斜率左存在).

肝

图②

跟踪训练1已知直线/经过直线2x-y-3=0和4片3卜5=0的交点，且

与直线x+y-2-O垂直.

(1)求直线/的方程；

(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线/被该圆所截得的弦长为2V2，求圆

C的标准方程.

解:⑴由己知得：£^5=】。解得

.：两直线交点为(2,1).

设直线1的斜率为k7：7与x+y-2=0垂直,.:&=1,

VI过点(2,1),.：/的方程为y-l=x-2,即x-y-l=0;

(2)设圆的半径为7•，依题意，

通过与直线与圆

圆心(3,0)到直线x-y-}=0的距离为登=V2,

位置关系的应用问

题，提升学生数学建

则由垂径定理得产=(a产+(e)2=4,."=2,

模，数形结合，及方

.:圆的标准方程为(X-3)2+V=4.程思想，发展学生逻

辑推理，直观想象、

例3.如图，台风中心从4地以每小时20千米的速度向东北方向(北

数学抽象和数学运

偏东45。)移动，离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市8

算的核心素养。

在4地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系，解决以下问

题：

(1)求台风移动路径所在的直线方程；

(2)求城市8处于危险区域的时间是多少小时？

----B

【解析】(1)以B为原点，正东方向为x轴建立如图所示的平面直角

坐标系

f

-r—fc

则台风中心4的坐标是(-400,0),台风移动路径所在直线斜率为：k=

tan45°-1

••・台风移动路径所在的直线方程为：y=x+400

(2)以B为圆心，300T米为半径作圆，圆和直线丁=光+400相交

于4,&两点，则台风中心移到4时，城市B开始受台风影响(危险区)，

直到&时，解除影响

•••点B到直线y=x+400的距离：d=200企

2210

\ArA2\=2^300-(200V2)=200，又詈=(小时)

B城市处于危险区内的时间是10小时

三、达标检测

22通过练习巩固本

1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)+(y+l)=9的位置关系是()

节所学知识，通过学

A.过圆心B.相切

生解决问题，发展学

C.相离D.相交但不过圆心生的数学运算、逻辑

推理、直观想象、数

解析:圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离介叫磊坦=小

学建模的核心素养。

答案:D

22

2.若直线x+y+m=O与圆x+y=加相切，则m的值是()

A.0或2B.2C.V2D.&或2

解析：/直线x+y+m=O与圆x2^y2=m相切，,：圆心。(0,0)到直线的距

离居=解得根=2(舍去0).故选B.

答案:B

3.经过点M(2,l)作圆x+；=5的切线，则切线的方程为_________.

解析:易知点M在圆上，所以M为切点，切点和圆心连线斜率k=1,

则切线斜率为2切线方程为y-1=-2(x-2),

BP2A•+y・5=0.

答案:2x+y・5=0

22

4直.线y=x+\与圆x+y+2y-3=0交于AyB两点，则|A8|=__________.

解析:圆的方程可化为1+&+1)2=4,故圆心C(0,-l),半径r=2,

圆心到直线产x+1的距离仁也浮=V2,

所以弦长依8|=2。产M2=2V^=2企.

答案：2夜

5.如图所示，一座圆拱(圆的一部分)桥，当水面在图位置m时，拱顶

离水面2m,水面宽12m,当水面下