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文档简介

2.5.1直线与圆的位置关系

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学

习直线与圆的位置关系。

学生在初中的几何学习中已经接触过直线与圆的位置关系,本章已经学习了直线与圆的方程、点到直

线的距离公式、点与圆的位置关系等内容,因此本节课是对已学内容的深化何延伸;另一方面,本节课对

于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几

何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系,把点和坐标、曲线和

方程联系起来,实现了形和数的统一。

政学目标与被心素善

课程目标学科素养

A.能根据给定直线、圆的方程,判断直线1.数学抽象:直线与圆的位置关系

与圆的位置关系.

2.逻辑推理:判断直线与圆的位置关系

B.能用直线和圆的方程解决一些简单的数

3.数学运算:判断直线与圆的位置关系

学问题与实际问题.

4.数学建模:直线和圆的方程解决实际问题

重占难占

重点:判断直线与圆的位置关系

难点:直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题

课前发爸

多媒体

敢学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

“海上生明月,天涯共此时。”,表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在

海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑

通过具体的情

袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的

景,帮助学生回顾初

风采.

中几何中学习过的

这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过直线与圆的位置关

程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.系,同时提出运用方

程思想解法问题的

在平面几何中,我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系,

方法。

前面我们学习了直线的方程,圆的方程,已经用方程研究两条直线的

位置关系,下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法,利用

直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。

二、探究新知

直线与圆的位置关系的判断方法

222

直线Ar+By+C=O(A,B不同时为0)与圆(上〃)+(y・b)(r>0)的位置关

系及判断

位置关系相交相切相离

公共点理个二个等个

几何法:设圆心到直线的

距离d=\Aa^Bb±C]_d<rd=rd>r

判y/A2+B-

定代数法:由

方/Az+By~i~C=0,

\(jr-a"+(y-6)2=r2

法△>0△二0△<0

消元得到一元二次方程

的判别式4

点睛:几何法更为简洁和常用.

22

1.直线3x+4y=5与圆x+>'=16的位置关系是()

A.相交B.相切

C.相离D.相切或相交

解析:圆心到直线的距离为d=不为=1<4,所以直线与圆相交.

答案:A

三、典例解析

22

例1已知直线方程=0,圆的方程x+y-4x-2>'+1=0.

当“为何值时,直线与圆

(1)有两个公共点;

(2)只有一个公共点;

通过典例解析,

(3)没有公共点?

帮助学生进一步熟

思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直

悉两种基本方法,判

线的距离,通过与半径比较大小判断.断直线与圆的位置

关系。发展学生数学

解:(方法1)将直线.电1=0代入圆的方程,化简、整理,

运算,数学抽象和数

2222

得(1+团)x-2(/??+2/T?4-2)X+/W+4m+4=0.学建模的核心素养。

:Z=4m(3/n+4),・:当J>0,BPm>0或时,直线与圆相交,

即直线与圆有两个公共点;

当/=0,即,〃=0或时,直线与圆相切,即直线与圆只有•个公共点;

当/<0,即2<〃7<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.

(方法2)已知圆的方程可化为(“2)2+0-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2.

圆心(2,1)到直线znr-v-/M-l=0的距离4=用竽=用,

Vl+m2Vl+mz

当d<2,即m>0或4部直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;

当d=2,即胆=0或次、时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;

当d>2,即T<,*<0时,宜线与圆相离,即直线与圆没有公共点.

直线与圆的位置关系的判断方法

直线与圆的位置关系反映在三个方面:

一是点到直线的距离与半径大小的关系;

二是直线与圆的公共点的个数;

三是两方程组成的方程组解的个数.

因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的

方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出

交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.

22

例2过点A(4,-3)作圆C:(x-3)+(>,-1)=1的切线,求此切线的方程.

思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,

进而求出切线方程.

22

解:因为(4-3)+(-3-1)=17>1,所以点A在圆外.

在典例分析和练

(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,

习中掌握求圆的切

则切线方程为y+3=&(A4).

线方程的方法,即:

因为圆心C(3,l)到切线的距离等于半径,半径为1,代数法与几何法。发

展学生逻辑推理,直

所以啤普(=1,即〃2+1,

观想象、数学抽象和

数学运算的核心素

所以炉+弘+16=正+1.解得.所以切线方程为),+3=1(A4),

88

养。

即15x+8),-36=0.

(2)若直线斜率不存在,

圆心C(3,l)到直线x=4的距离也为1,

这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.

综上,所求切线方程为15x+8)'-36=0或x=4.

22

变式探究过点Q(3,0)作圆x+y=4的切线,求此切线方程.

解:容易判断点Q(3,0)在圆外.设切线的方程为厂心-3),

即Ax-y-3A=0.乂圆的圆心为(0,0),半径为2,

所以熹=2,解得上学,

vl+kz5

所以所求切线方程为产空(》-3).

切线方程的求法

1.求过圆上一点P(x°,)o)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率

匕则由垂直关系,切线斜率为力由点斜式方程可求得切线方程.若k=0

或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y^b或x=a

2.求过圆外一点Pa。,),。)的圆的切线时,常用几何方法求解

设切线方程为丫-稣=%。5),即fcr-j/Xo+y;。,由圆心到直线的距离等于

半径,可求得&,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,

若求出的%值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数

形结合求出.

22

例3求直线/:3x+y-6=0被圆C:x+y-2y-4=0截得的弦长.

思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解

法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.

解法一由';6=0-得交点A(1,3),B(2,0),

+yz-2y-4=0,

故弦AB的长为|4B|=J(2-1)2+(0-3)2=V10.

,(3x+y-6=0,

解法二由2,20/

2y-4=0n,

消去),,得/-3x+2=0.

设两交点A,B的坐标分别为A(Xim),B(X2,)2),

则由根与系数的关系,得M+X2=3/rX2=2..:

2z

|AB|=J(%2-X1)2+(y2-yi)=N10[(^1+X2)-4x1x2]=

J1OX(32-4x2)=VTo,

即弦AB的长为au.

解法三圆C-^+y^-lyA-O可化为/+。-1y=5,

其圆心坐标(0,1),半径片西,

点(0,1)到直线/的距离为"=黑等=零,

V3Z+1Z2

所以半弦长为等=必不=J诋2一噜

所以弦长|A8|=,IU.

求直线与圆相交时弦长的两种方法

(1)几何法:如图①,直线/与圆C交于A,8两点,设弦心距为",圆的半径

为r,弦长为|明,则有(")2+心=/,即|A8|=2VF中.

图①

(2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两

22

交点分别是A(xi,yi),B(X2,y2),则\AB\-J(Xi-x2)+(yi-y2)=

VT+Fki-^I=Ji忑|),「闻(直线I的斜率左存在).

图②

跟踪训练1已知直线/经过直线2x-y-3=0和4片3卜5=0的交点,且

与直线x+y-2-O垂直.

(1)求直线/的方程;

(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线/被该圆所截得的弦长为2V2,求圆

C的标准方程.

解:⑴由己知得:£^5=】。解得

.:两直线交点为(2,1).

设直线1的斜率为k7:7与x+y-2=0垂直,.:&=1,

VI过点(2,1),.:/的方程为y-l=x-2,即x-y-l=0;

(2)设圆的半径为7•,依题意,

通过与直线与圆

圆心(3,0)到直线x-y-}=0的距离为登=V2,

位置关系的应用问

题,提升学生数学建

则由垂径定理得产=(a产+(e)2=4,."=2,

模,数形结合,及方

.:圆的标准方程为(X-3)2+V=4.程思想,发展学生逻

辑推理,直观想象、

例3.如图,台风中心从4地以每小时20千米的速度向东北方向(北

数学抽象和数学运

偏东45。)移动,离台风中心不超过300千米的地区为危险区域.城市8

算的核心素养。

在4地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系,解决以下问

题:

(1)求台风移动路径所在的直线方程;

(2)求城市8处于危险区域的时间是多少小时?

----B

【解析】(1)以B为原点,正东方向为x轴建立如图所示的平面直角

坐标系

f

-r—fc

则台风中心4的坐标是(-400,0),台风移动路径所在直线斜率为:k=

tan45°-1

••・台风移动路径所在的直线方程为:y=x+400

(2)以B为圆心,300T米为半径作圆,圆和直线丁=光+400相交

于4,&两点,则台风中心移到4时,城市B开始受台风影响(危险区),

直到&时,解除影响

•••点B到直线y=x+400的距离:d=200企

2210

\ArA2\=2^300-(200V2)=200,又詈=(小时)

B城市处于危险区内的时间是10小时

三、达标检测

22通过练习巩固本

1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)+(y+l)=9的位置关系是()

节所学知识,通过学

A.过圆心B.相切

生解决问题,发展学

C.相离D.相交但不过圆心生的数学运算、逻辑

推理、直观想象、数

解析:圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离介叫磊坦=小

学建模的核心素养。

答案:D

22

2.若直线x+y+m=O与圆x+y=加相切,则m的值是()

A.0或2B.2C.V2D.&或2

解析:/直线x+y+m=O与圆x2^y2=m相切,,:圆心。(0,0)到直线的距

离居=解得根=2(舍去0).故选B.

答案:B

3.经过点M(2,l)作圆x+;=5的切线,则切线的方程为_________.

解析:易知点M在圆上,所以M为切点,切点和圆心连线斜率k=1,

则切线斜率为2切线方程为y-1=-2(x-2),

BP2A•+y・5=0.

答案:2x+y・5=0

22

4直.线y=x+\与圆x+y+2y-3=0交于AyB两点,则|A8|=__________.

解析:圆的方程可化为1+&+1)2=4,故圆心C(0,-l),半径r=2,

圆心到直线产x+1的距离仁也浮=V2,

所以弦长依8|=2。产M2=2V^=2企.

答案:2夜

5.如图所示,一座圆拱(圆的一部分)桥,当水面在图位置m时,拱顶

离水面2m,水面宽12m,当水面下

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