(国培计划)谈谈新课程背景下高中数学教学的设计1

谈谈新课程背景下

高中数学课堂教学的设计重庆市渝中区教师进修学院王跃辉

《高中数学课程标准》指出：新一轮数学课程改革从理念、内容到实施，都有较大变化，……，教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。要实现数学课程改革的目标，教师必须首先要转变教学观念，其次要改变教学方式，教师的课堂教学应在课程理念与思想的指导下进行。一、新课程实施过程中高中数学教学存在的主要问题１．新课的引入过于注重情境创设，强调数学的生活化。２．教学不考虑学生的知识经验与知识根底，不考虑学生的能力，片面强调“学生探究”。３．很多公开课都时髦采用“合作学习”、“动手操作”的教学方式进行教学，不考虑其必要性与有效性。二、数学课堂教学设计的前期工作1．理解知识３．理解教材２．了解学生(1)了解知识背景(2)理解知识本身(3)了解知识生成(4)了解知识作用(5)了解学生生活经验(6)了解学生知识经验(7)了解学生方法经验(8)了解学生思维经验(9)了解教材意图(10)理解教材内容(11)了解教材前后联系既要了解知识的形式化内容，又要清楚知识的本质，把握知识的来龙去脉。对学生情况了如指掌，做到心中有数。对教材的理解到达三种境界：１．“懂”：即读懂教材是什么？读懂编者为什么？２．“透”：教材的深刻内涵，即有形与无形的知识。３．“化”：内化与转化，即将教材内容内化为自己的知识内容，把教材内容转化为教学内容．二、数学课堂教学设计的前期工作(1)了解知识背景

所谓了解知识的背景，就是指在教学某个知识时，要清楚所教知识是怎么产生的。它是来源于生活，还是来源于数学本身。如果是来源于生活，就要以生活情境入手；如果是来源于数学本身，就要以数学问题入手。比方：数学归纳法的教学，应该以生活情境入手，还是应该以数学问题入手？数学归纳法的思想可以远推至欧几里得［公元前330-公元前275］．严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的．它是用来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法．1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯在他的《算术》一书中明确提出了这一方法，并且用它证了1+3+……+(2n-1)=n2等；后来法国著名数学家帕斯卡［1623-1662］成认并引用了莫洛克斯这一方法，将其放在了他所著的《三角阵算术》一书中．因此，一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要创造人．1713年J‧伯努利在他的名著《猜度术》中首先采用了表示任意自然数的符号,并运用数学归纳法给出了一些证题的出色例子．“数学归纳法”这个名称及数学归纳法的证题形式是德‧摩根［1806-1871］所提出的．数学归纳法产生的过程(2)理解知识本身

所谓理解知识本身应从两方面着手：一是要清楚所教知识内容是什么？二是要弄清所教知识的本质。只有弄清了这两个问题，教学设计时才能处理好知识的教学方式与方法。这里所说的知识是指《大纲》或《课标》中规定的数学概念、性质、法那么、公式、公理和定理，以及由其中反映的数学思想方法，除此之外，还包括按一定的程序与步骤进行运算、数据处理、绘制图表等根本技能。二、数学课堂教学设计的前期工作集合是一个原始概念如：集合的概念１．把满足某个条件的对象合在一起就构成集合；２．把满足某个条件的对象并在一起就构成集合；３．把具有某个特点的对象看成一个整体就构成集合；４．把具有某个特点的对象集在一起就构成集合；５．把指定的对象看成一个整体就构成集合；６．把指定的对象集在一起就构成集合；又如：数学归纳法1．数学归纳法是一个什么推理方法？推理过程P(n)成立且由P(n)⇒P(n+1)成立一个无穷三段论推理方法演绎法２．数学归纳法的形式是什么？３．数学归纳法的实质是什么？静态的两步程式P(n)成立且由P(n)⇒P(n+1)成立一个无穷循环递推的“动态过程”P(1)成立⇒P(2)成立⇒P(3)成立⇒……⇒P(n-1)成立⇒P(n)成立⇒……4．数学归纳法是定理还是公理？数学归纳法的根底皮亚诺公理和最小自然数原理数学归纳法是定理，不是公理5．高中阶段应怎样来看待数学归纳法？当作公理用生活实例帮助学生理解自明性自明性不明显公理公理特征(3)了解知识生成

所谓了解知识的生成，就是指教师在进行教学设计时，要弄清所教知识是否可以由某些旧知识拓展而得。如果是，那么在进行教学设计时就应从学生已有的这些知识出发。二、数学课堂教学设计的前期工作比方：对数函数对数函数对数指数函数及其性质反函数函数性质函数概念单调函数反函数指数函数单调函数指数函数有反函数单调函数有反函数对数函数(4)了解知识作用

所谓了解知识的作用，就是指所教知识主要用来做什么，它对学生后继学习有什么帮助。只有知道了知识的作用，才能恰当地对知识的教学进行教学设计。二、数学课堂教学设计的前期工作如：数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法．因此，在教学数学归纳法时，必须让学生明确两点：一是，数学归纳法只能用来证明与自然数n有关的数学命题，与自然数无关的命题就不能用数学归纳法证明；二是，不是所有与自然数有关的命题都能用数学归纳法来证明，它只能解决其中的局部问题。二、数学课堂教学设计的前期工作

所谓了解学生的生活经验，就是指学生在学习某个知识时，是否具有与之相应的生活经历。如果有，那么在教学设计时就可从相应的生活经验入手。如：在教学数学归纳法时，为了说明数学归纳法使用的合理性，教学设计就应考虑哪些生活内容与数学归纳法的处理方式相同，学生是否具有这些生活经验。〔5〕了解学生生活经验〔6〕了解学生知识经验所谓了解学生知识经验，就是指所教的知识是以什么知识为根底，学生是否具有这些相应的知识。如果没有，那么在教学设计时就要有补充相应知识的环节。二、数学课堂教学设计的前期工作如：教材在安排学生学习集合知识时，首先以下面的方式出现：这是为什么？

其理由是：虽然集合概念是一个新知识，但是对于“集合”这个词语学生在初中数学学习中已有接触，所以没有必要把它作为一个全新的知识来教学，而应从学生已有的这些知识出发。又如：第一章的章引言

解决这个问题需要什么知识与方法？学生能解决这个问题吗？学生在小学数学学习：“数的加法”、“最小公倍数”、“最大公约数”等内容时，是用集合的相关思想与方法这解决的，而解答这个问题也可以用相应的这些思想方法，所以学生完全能够解答。由此还可知，教材这样安排还有另一个意图：即希望教师在教学集合概念时，应以此或类似的问题为问题情境。〔7〕了解学生方法经验

所谓了解学生的方法经验，就是指教师在教学某个知识时，学生是否掌握了解决相应问题的数学方法，或者是否能理解解决相应问题的方法的能力。如：学生在数学归纳法时，就要涉及不完全归纳法和递推法。对于递推法，学生应该是掌握得比较好，所以教材采用了直接应用；而对于不完全归纳法，学生会用，但不一定知道由不完全归纳法所推得的结论不一定正确，所以教材通过两问题加以说明。二、数学课堂教学设计的前期工作〔8〕了解学生思维经验

所谓了解学生的思维经验，就是指了解学生在学习某个知识时，是否具有理解所学知识的思维能力。如果没有，那么教师在教学设计时就要有解决学生相应问题的措施。二、数学课堂教学设计的前期工作二、数学课堂教学设计的前期工作

所谓了解教材意图，就是指教师在进行教学设计时，要弄清教材这样编排的目的、意义。只有理解了教材意图，教学设计才能知道如何使用教材，充分发挥教材的作用，教学才会有效。〔9〕了解教材意图如：集合概念教材把学生在初中接触过的几个概念放在前面的意图主要有：一是教师的教学应考虑学生已有的学习经验；二是要求教师教学时应以这些概念为根底引导学生抽象概括出集合的概念；三是让学生通过集合概念的学习，体会数学概念的形成过程；四是高中数学教学要注意初高中知识的衔接。二、数学课堂教学设计的前期工作〔10〕理解教材内容

所谓理解教材内容，就是指教师在进行教学设计时，要理解教材中在处理设计所教知识时，所涉及的所有知识的意义，弄清其中所蕴含的数学思想方法及对学生能力的要求，。只有真正的理解了教材内容，教学设计才能很好地把握教材，有效地利用教材。在这局部教材中，共涉及了如下的知识与数学思想方法：１．等差数列的通项公式及推导方法；２．递推法和不完全归纳法；３．数学归纳法；４．多米诺骨牌及其现象。又如：数学归纳法主要从学生已有知识经验出发，让学生明确：用不完全归纳法得到的结论可能正确。让学生通过具体问题的研究发现，用不完全归纳法得到的结论可能不正确。提出本节课要研究的问题旁批采用这种表述方法，说明“数学归纳法”知识在前，“多米诺骨牌”现象在后，因此“多米诺骨牌”现象只能用来帮助学生理解“数学归纳法”，而不是用来作为“数学归纳法”教学的情境创设。我们要理解教材这样安排的更深层的含义。如果我们仔细研究就可以发现，这个推导过程中就蕴含了“数学归纳法”的两个步骤！因此，教材这样安排的目的就是要求教师在教学数学归纳法时，要从这个问题着手。〔11〕了解教材前后联系

所谓了解教材的前后联系，就是指教师在进行教学设计时，要弄清所教知识与教材前后知识间的关系。只有对教材的前后联系有了一个清楚的认识，教学设计才能把握知识的来龙去脉，才能知道教学应从何做起。二、数学课堂教学设计的前期工作抛物线及其标准方程与教材的前后联系是：1．抛物线及其标准方程是学生学习圆锥曲线内容的最后一个知识，在此之前学生已经学习了椭圆和双曲线。３．在这两个例题的根底上，教材又给出了椭圆和双曲线的第二定义。我们知道，椭圆的离心率为0<e<1,双曲线的离心率为e>1，而抛物线的离心率为e=1，所以教师在进行抛物线及其标准方程的教学设计时，应从椭圆和双曲线的第二定义出发，引导学生通过对两曲线离心率的研究开始。２．学生在椭圆和双曲线的学习过程中分别研究过如下两个例题：如：抛物线及其标准方程三、教学设计应注意哪些问题？1．数学概念教学设计应注意的问题概念教学的设计要注意揭示概念的本质，注重概念形成过程，培养学生抽象概括的能力。直接出示概念概念辨析概念应用反对几个例子一次性归纳如：集合的概念具体实例研究构成集合的元素可以是什么？有什么特点？定义集合概念应用三、教学设计应注意哪些问题？１．数学定理、性质教学设计应注意的问题定理、性质教学设计要注意揭示其背景、发生开展过程。反对直接给出定理定理证明定理应用如：直线与平面垂直的判定定理由直线与平面垂直定义探索直线与平面垂直的判定方法给出定理生活经验定义有限一条条两数学问题又如：数学归纳法探索规律形成结论三、教学设计应注意哪些问题？１．数学方法教学设计应注意的问题

数学方法教学的设计应该返璞归真，使学生获取的方法成为在教师引导下的“再创造”过程，提高学生的探索能力、创造能力和创新意识。反对直接给出方法方法应用如：抛物线的画法设计特点分析教学过程中丰富学生的学习方式是高中数学课程追求的根本理念，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流是学习数学的重要方式，通过这些方式引导学生探求抛物线的轨迹，让学生完整经历数学知识产生、形成和开展的过程，不但加深了对知识的理解和掌握，而且还能培养学生的问题意识，孕育创新精神。对于数学归纳法教学，教师们为了在教学中表达“数学来源于生活，反过来又为生活效劳”这一课程理念，常以生活经验——“多米诺骨牌”等现象作为本节课的引入。四、教学设计应恰当表达课程理念如：数学归纳法的教学五、数学教学的结构设计方法１．从整体上设计教学结构所谓从整体上设计教学结构，就是撇开具体内容，主要考虑一节课的教学程序的几个环节。设计时应注重对过程教学的思考：即在对知识的教学时，应注意其来龙去脉及前后联系，注意让学生经历人类获取知识的一个根本思维过程的设计；在对方法的教学时，应注意让学生获得其方法的过程的设计。【范例１】抛物线及其标准方程设计特点分析●关注学生经验〔从学生已有知识经验出发〕；●注意教材的前后联系；●表达知识的生成性〔新知识是旧知识的引申与开展〕；●把握了知识的内部结构〔考虑了初高中数学知识间的关系，注意了知识的系统性〕；●注重过程教学〔注意知识的来龙去脉和和概念的形成过程〕；●注重培养学生“数学地研究问题”的方法和能力。２．从局部设计教学结构所谓从局部设计教学结构，就是撇开具体内容，在整体设计的根底上考虑每一个环节的教学程序的几个步骤。设计时也应注重对过程教学的思考：即在对某个问题的处理上，应注意对知识本质、知识的呈现过程的设计。五、数学教学的结构设计方法【范例１】抛物线及其标准方程设计特点分析在学生已有的知识经验的根底上，由实数分类的完备性，自然提出当e=1时的轨迹问题，使学生形成认知冲突。这样引入新课，既有利于激活学生的原有认知，激发学生的求知欲，又有利于培养学生思维的严密性，提高学生数学地思考问题的能力。这种设计有利于发挥学生学习的主动性，让学生不仅在思维上积极主动地参与教学活动，而且让学生在行为上也能积极地参与教学活动。【范例１】抛物线及其标准方程设计特点分析这六个环节构成了教师对抛物线概念教学的整个过程，环环紧扣，它表达了解析几何问题研究的一种思路与方法。这个过程也可简述为如下：反思→猜测→验证猜测→形成概念。这个过程也正是我们数学学科研究问题的一个完整的思维过程。３．对教学行为的设计

所谓教学法行为的设计，就是老师对每一个环节进行课堂教学的模拟设计，即撰写每一个教学环节的具体内容，描述教师的教和学生学的详细过程。设计时应注意：在对知识本质的教学时，要注重知识的内在联系、规律的形成过程、方法的提炼过程；在知识的呈现方式与处理策略上，要注意对学生获取该知识与方法的有效性。五、数学教学的结构设计方法课堂引入探究轨迹的画法探究轨迹的方程抛物线的定义【范例１】抛物线及其标准方程谢谢！初中课标内容与大纲的比照代数局部删除的内容1．立方和公式与立方差公式2．因式分解中的十字相乘法(只要求学生会分解二次项系数为1的代数式)分组分解法3．含有字母的方程4．三元一次方程组5．根式的分母有理化、最简根式,根式化简6．画频率分布直方图代数局部删除的内