黑龙江八一农垦大学高数教案

教案课程:高等数学学时:24班级:教师:黑龙江八一农垦大学 第1次课课目课时2目的要求掌握空间直角坐标系的建立方法掌握向量之间的加减法、向量与数的乘法运算重点难点空间两点的距离、向量的概念两向量平行的判定定理教学组织用平面直角坐标引入空间直角坐标的建立，进而给出空间点的坐标，向量坐标，然后给出向量的坐标运算等。主要内容、教学方法、时间分配注释特殊地，点与原点的距离例１设有三点、、，求证是等腰三角形。例２设有两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2），在轴上求与和等距离的点。运算律：交换律：；结合律：负向量：设为一向量，与的模相同但方向相反的向量叫做的负向量，记作，由此我们规定两个向量与的差为。三角不等式：及三、向量与数的乘法(讲授法推证法30分)1、定义：向量与实数的乘积记作，规定是一个向量，它的模为，它的方向当时与相同，当时与相反。当时，，即为零向量，这时它的方向可以是任意的。数与向量的乘积具有下列运算律：结合律：；分配律：；。由于向量与平行，因此我们常用向量与数的乘积来说明两个向量的平行关系。2、定理设向量，那么向量平行于向量的充分必要条件是存在唯一的实数，使。3、单位向量与向量之间的关系：例1在平行四边形中，设=，=，试用和表示向量，这里M是平行四边形对角线的交点。作业：第2次课课目课时2目的要求1、掌握向量在轴上的投影概念及其性质2、掌握向量的分向量、向量的坐标3、掌握数量积、向量积的定义重点难点向量的模与方向余弦的坐标表达式数量积、向量积的性质及其运算律教学组织在点的投影的基础上，逐步给出分向量、向量的坐标的概念。重点讲解数量积与向量积的性质及其运算。主要内容、教学方法、时间分配注释§7.3向量的坐标一、向量在坐标轴上分向量与向量的坐标(讲授法10分)分向量、基本单位向量，向量按基本单位的分解式。，，所以有或设，，则或根据向量的数乘运算可知，若向量且与平行，则，用坐标表示为这就相当于向量与对应的坐标成比例：三、向量的模与方向余弦的坐标表示式(讲授法10分)非零向量的方向角。、及，，与向量同方向的单位向量为：§7.4数量积、向量积两向量的数量积(讲授法推证法25分)数量积：两个向量和的模与它们的夹角（）的余弦的乘积叫做两个向量与的数量积，记作，即。性质：（１）(2)对于两个向量、，如果，那么，反之如果，那么。运算律：交换律；结合律；分配律例1试用向量证明三角形的余弦定理。设向量，，则两向量的数量积的表达式：。这说明，两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积之和。由于，故对两个非零向量和，它们之间夹角余弦的计算公式为例2已知三点、和，求。两向量的向量积(讲授法推证法25分)向量积：两个向量与的向量积是一个向量，它的模为（其中是与的夹角）它的方向垂直于和所决定的平面（既垂直于又垂直于），其指向按右手法则从转向来确定，记为。性质：（1）（２）两个向量平行的充分必要条件是它们的向量积为零向量。运算律：（１）；（２）结合律（是数）；（３）分配律两向量的向量积的表达式。为了便于记忆，可将与的向量积写成如下行列式的形式设例5已知三角形的顶点分别为，、，求三角形的面积。作业：第3次课课目课时2目的要求1、使学生能够熟练的应用点法式方程、一般方程来求平面的方程。2、掌握两平面的夹角计算公式，点到平面的距离公式。3、掌握如何利用空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程来求方程4、掌握两直线的夹角公式、直线与平面的夹角公式。重点难点点法式方程、一般方程，直线参数方程两平面的夹角对称式方程、平面束方程教学组织根据高中的线面垂直定理得出平面的点法式方程，进而推出平面的一般方程，根据概念推出两平面夹角公式。形象化的给出空间直线的一般方程，利用平行定理得出直线的对称式方程，重点讲解两直线的夹角、直线与平面的夹角。主要内容、教学方法、时间分配注释设是平面上一点，是平面的一个法向量下面建立此平面的方程。在该平面上任取一点，因为，所以，即它们的数量积为零，即，由于，，所以（１）这就是平面上任一点的坐标所满足的方程。例１求过点，且以为法向量的平面的方程。例２已知平面上的三点、及，求此平面的方程。二．平面的一般方程(讲授法25分)平面的一般方程：若，则表示经过坐标原点的平面；若，则表示与轴平行的平面；同样表示与轴平行的平面，表示与轴平行的平面；若，则表示平行于平面；同样表示平行于平面，表示平行于平面；若，则表示坐标平面；同样表示坐标平面，表示坐标平面；若，则表示经过轴的平面；同样表示经过轴的平面，表示经过轴的平面；例３一个平面通过轴和点的平面的方程。例４求过三点、、的平面的方程（其中为不等于零的常数）一．空间直线的一般方程(讲授法5分)二．空间直线的对称式方程和参数方程(讲授法35分)当直线上的一点和它的方向向量已知时，直线的位置就完全可以确定了。参数方程例1求过点(0,2,4)且于两平面和平行的直线方程。例2求直线的对称式方程和参数方程。三、练习（讲练结合法10分）第4次课课目7.7二次曲面课时2目的要求掌握椭球面、抛物面、双曲面的方程及其图形重点难点椭球面、抛物面、双曲面的方程及其图形椭球面、抛物面、双曲面的方程及其图形教学组织利用教具使二次曲面形象结合，把方程与其图像建立统一关系。主要内容、教学方法、时间分配注释椭球面(讲授法、教具演示法20分)1、椭球面的方程：与坐标面的交线：与平面的交线2、旋转椭球面二、抛物面(讲授法教具演示法20分)1、椭圆抛物面方程：（同号）与平面去截割椭圆抛物面，所得截痕曲线为椭圆若用平行于的平面去截割椭圆抛物面，所得的截痕曲线为抛物线2、旋转抛物面：它被平行于面的平面所截得的截痕是圆3、由方程所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面。三、双曲面(讲授法教具演示法10分)1、单叶双曲面：用平行于平面的平面截曲面所得截痕是中心在轴上的椭圆平行于平面的平面截曲面所得截痕是中心在轴上的双曲线2、双叶双曲面：作业：教材第5次课课目§8.1多元函数的基本概念课时２目的要求1、理解概念：邻域，区域，n维空间，多元函数2、掌握多元函数极限的求法及其连续性。重点难点应用多元函数的连续性求函数的极限。有界闭区域上多元连续函数的性质。教学组织从一元函数出发，引出多元函数的概念及其定义域，多元函数的连续性及其极限，闭区域上的连续性质。主要内容、教学方法、时间分配注释一，区域(讲授法30分) 1，邻域：设p(x)是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点p的距离小于的点全体，称为点p的邻域，记为U(p,). 2,区域：1）内点2）开集3）边界点4）边界5）连通6）区域7）闭区间8）有界点 3，n维空间：1）定义 2）两点距离公式二，多元函数概念(讲授法20分)1）定义1：设D是平面上的一个点集,如果对于每个点p(x,y)D，变量z按照一定法则总有确定的值和它，则称z是变量的二元（或点的函数），记为z=f(x,y).点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变数。 2）定义域及图形三，多元函数的极限(讲授法15分)1）定义2：设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义，p(x是D的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式0=的一切点，都有成立，则称常数为函数当时的极限，记作f(x,y)=A,或f(x,y)A(),.四，多元函数的连续性(讲练结合法35分)1、定义 2、闭区域上多元连续函数的性质 1）最值定理 2）介值定理 3、多元函数的连续性运算 1）四则运算2）复合函数3）初等函数作业：第6次课课目§8.2偏导数§8.3全微分及其应用课时２目的要求1、掌握多元函数偏导数定义及计算法，几何意义。2、掌握偏导数与连续性的关系，高阶偏导数定以及性质。3、掌握全微分的定义及可微的条件。4、理解可微、连续、偏导之间的关系。重点难点有关偏导数的计算法，偏导数与连续性的关系;全微分的定义、可微分、连续、偏导之间的关系求高阶偏导数;全微分的定义、可微分、连续、偏导之间的关系。教学组织从一元函数的导数为例导入多元函数的偏导数，重点讲多元函数的偏导数的求法，强调指出高偏导数与连续性的关系。根据一元函数微分学中增量与微分的关系，得出全微分的概念。强调指出全微分与可微分的区别与联系，重讲解可微与连续、偏导之间的关系主要内容、教学方法、时间分配注释一、偏导数定义及计算法(讲练结合法5分)1.定义:f或f或2．偏导函数(讲授法5分)如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在，那么此偏导数仍是的函数，它就称为函数对自变量的偏导函数，记作或类似地，可以定义函数对自变量的偏导函数，记作或从偏导函数的概念可知，在点处对的偏导数就是偏导函数在点处的函数值；就是偏导函数在点处的函数值。从偏导函数的概念我们还可以看出，求的偏导数，实质上还是求一元函数的导数，例如求时，只要把看作常量而对求导数，求时，只要把看作常量而对求导数。3．几何意义（讲授法5分)）表示曲线在点处切线对轴的斜率（如图8-6），同理偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处切线对轴的斜率。4．偏导数与连续的关系。（讲授法5分)） 1）一元函数与多元函数的区别（可导性） 2）Z=f(x,y)= 偏导数存在，函数不一定连续。讲授法15分)例1求在点处的偏导数。例２求的偏导数。例3求的偏导数。二、高阶偏导数(讲练结合法15分) 1、定义： 2、定理：若函数的二阶混合偏导数连续 3、应用举例例５求函数的二阶偏导数。例6验证函数满足方程。一、全微分的定义(讲授法推证法20分) 1.偏增量、偏微分、全增量。 2全微分定义： 则z=f(x,y)在点（x,y）可微，且其全微分为dz=A3函数在区域D内可微4可微和连续关系：函数可微则其必连续，但函数连续不一定可微二、可微的条件(推证法10分只正一必要条件)1、必要条件：可微可导且dz=2、充分条件：偏导连续可微分 函数可微但其偏导数不一定连续。 举例：f(x,y)=三、迭加原理(讲练结合法20分)二元：dz= 三元：du=四、应用举例例１计算函数的全微分。例２计算函数在点处的全微分。作业： 第7次课课目§8.4多元复合函数的求导法则课时２目的要求1、掌握多元复合函数的求导法则并能灵活应用2、掌握全微分形式的不变性。重点难点多元复合函数的求导法则求多元复合函数的高阶偏导。教学组织直接给出第一个定理的内容，然后逐步推广到其它几种不同的情形，详细的讲解复合函数的高阶偏导。主要内容、教学方法、时间分配注释一、中间变量是一元函数(讲练结合法20分)1、在t可导，z=f(u,v)在（u,v）偏导连续，则 2、在t可导，z=f(u,v,w)偏导连续，则 +二、中间变量时多元函数(讲练结合法50分) 1、 在（x,y）偏导存在，z=f(u,v)在（u,v）偏导连续,则 2、 在(x,y)偏导存在，z=f(u,v,w)偏导连续，则+ +3、Z=f,则 例１设，而，，求和。设，求和。设，而，求和。设，而，，求。三、复合函数的高阶偏导数(讲练结合法30分)1、 2、全微分形式不变性dz==例6、求的全微分。作业：第8次课课目§8.5隐函数的求导公式课时２目的要求1、能够灵活的运用隐函数的求导公式。2、掌握隐函数存在定理的灵活应用。重点难点三个隐函数存在定理应用。方程组中隐函数的求法。教学组织介绍隐函数存在定理，并根据多元函数复合函数的导法来导出隐函数的导数公式。重点练习求导公式。主要内容、教学方法、时间分配注释一、情形一(讲练结合法20分)1、F(x,y)=0 F(x,y)满足：1 2）F(x)=0 3)F则存在点p(x的U(p),有唯一确定的单值连续且有连续导数的函数，y=f(x),y),例1、验证方程在点（0，1）的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时y=1的隐函数y=f(x)，并求这函数的一阶与二阶导数在x=0的值。二、情形二1、F(x,y,z)=0 F(x,y,z)满足：1 2）F(x,z)=0 3)F则方程F(x,y,z)=0在某U(p恒能唯一确定单值连续且有连续偏导数的函数z=f(x,y),满足z=(x 并有 例2、设求，作业：第9次课课目§8、8多元函数的极值及其求法课时２目的要求掌握极值定义，极值的必要条件和充分条件。会求二元函数的极值3、掌握拉格郎日乘法确定条件极值重点难点多元函数的极值及最值拉格朗日乘数法教学组织用实例得出多元函数的最大值、最小值概念，并以二元函数为例讲解多元函数的极值与最值。主要内容、教学方法、时间分配注释一．极值的概念及确定(讲授法60分)1、定义：多元函数的极值2、必要条件1）定理１：设在偏导存在，且在处有极值，则，2）驻点：使，同时成立的点。3、充分条件定理：设函数在点的偏导数存在，且点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又，，令则在点处是否取得极值的条件如下：(1)时有极值，当时有极大值，当时有极小值。(2)没有极值。(3)时，极值不存在。4、二元函数极值的确定１）步骤：(1)令，，求解出驻点 (2)、求 (3)、根据的符号判定例４求函数的极值。在实际问题中，通常会遇到这种情况：已知函数的最大值和最小值一定在的内部取得，而函数在内只有一个驻点，那么可以肯定该点处的函数值就是函数在上的最大值或最小值。例5某工厂用钢板制造容积为２立方米的有盖长方体水箱，问怎样选取长、宽、高才最省钢板？二、条件极值、拉格朗日乘数法(推证法40分)1、条件极值的定义。2、确定：１）转化成无条件极值 ２）拉格朗日乘数法3、拉格朗日乘数法求在条件下的极值(1)构造辅助函数(2)求并令其为零 (3)解三元一次方程组 解该方程组得到的就有可能是所求的极值点这种方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形，例如，要求函数在条件（６）下的极值，可以先构成函数其中为待定常数，再求出对自变量的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程（６）联立起求解，这样得出的与就是可能极值点的坐标。例7求表面积为而体积为最大的长方体的体积。作业： 第10次课课目§9.1二重积分的概念与性质课时２目的要求1、掌握二重积分概念与性质2、灵活运用可加性，不等式与估值定理。重点难点二重积分概念与性质二重积分概念的理解。教学组织从曲顶柱体体积的求法过程中，得出二重积分的概念并运用原始的概念推出二重积分的各种性质。主要内容、教学方法、时间分配注释一、二重积分的概念(讲授法50分)引例：1）、曲顶柱体的体积 2）、平面薄片的质量 1、定义：2、二重积分存在条件3、几何意义。二、二重积分的性质(讲授法50分)1、2、线性：3、可加性：若4、的面积，5、不等式：若在上，则6、绝对值不等式：7、估值定理：若则8中值定理：设作业： 第11次课课目§9.2二重积分的计算法课时２目的要求1、掌握二重积分化二次积分的方法。2、掌握直角坐标与极坐标转化。重点难点二重积分化二次积分积分限的确定及如何应用正确的坐标来解题。教学组织介绍二重积分化为两次单积分计算方法，重点在于学生练习应用二重积分的计算方法。主要内容、教学方法、时间分配注释一、直角坐标中二重积分的计算(讲授法50分)复习：1）二重积分的概念及几何意义。 2）二重积分的性质。1、型区域，2、，3、若积分区域既不是型区域又不是，可先其分成几个型区域或，然后运用积分区域的可加性进行运算。4、：又若，且f（x，y）可分离变数，例1计算，其中D是由直线y＝1、x＝2及y=x所围成的闭区域．例2计算其中D是由直线所围成的闭区域．例3计算，其中D是由抛物线所围成的闭区域．例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立的体积．二、极坐标计算二重积分(讲授法50分)1、两坐标转化：2、计算公式：