北师大九年下数学教案 第三章圆

第三章圆

§3.1车轮为什么做成圆形

学习目标：

经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的

过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系.

学习重点：

圆及其有关概念，点与圆的位置关系.

学习难点：

用集合的观念描述圆.

学习方法：

指导探索法.

学习过程：

一、例题讲解：

【例1】如图，Rt^ABC的两条直角边BC=3,AC=4,斜

边AB上的高为CD,若以C为圆心，分别以ri=2cm,r2=2.4cm,

r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系.

［例2］如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的

方法.

【例3】已知：如图，OA、OB、0C是。0的三条半径,

ZAOC=ZBOC,M、N分别为OA、0B的中点.求证：MC=NC.

【例4]设。0的半径为2,点P到圆心的距离OP=m,

且m使关于x的方程2x2—2后x+m—1=0有实数根，试确定

点P的位置.

【例5]城市规划建设中，某超市需要拆迁.爆破时,

导火索的燃烧速度与每秒0.9厘米，点导火索的人需要跑

到离爆破点120米以外的安全区域,这个导火索的长度为18

厘米，那么点导火索的人每秒跑6.5米是否安全？

【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些

地区多次受到沙尘暴的侵袭.近来A市气象局测得沙尘暴中

心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动(如

图距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A

市是否会受到这次沙尘暴的影响？

图3-1-5

二、随堂练习

1.已知圆的半径等于5cm,根据下列点P到圆心的距离:

(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm,判定点P与圆的位置关系，

并说明理由.

2.点A在以。为圆心，3cm为半径的。0内，则点A到

圆心0的距离d的范围是.

三、课后练习

1.P为。。内与。不重合的一点，则下列说法正确的是

()

A.点P到。0上任一点的距离都小于。0的半径

B.00上有两点到点P的距离等于。0的半径

C.。。上有两点到点P的距离最小

D.。。上有两点到点P的距离最大

2.若。A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的

坐标为（5,8）,则点P的位置为（）

A.在。A内B.在。A上C.在。A外

D.不确定

3.两个圆心为0的甲、乙两圆，半径分别为n和0，

且nVOAV。，那么点A在（）

A.甲圆内B.乙圆外C.甲圆外，乙圆内

D.甲圆内，乙圆外

4.以已知点0为圆心作圆，可以作（）

A.1个B.2个C.3个

D.无数个

5.以已知点。为圆心，已知线段a为半径作圆，可以

作（）

A.1个B.2个C.3个

D.无数个

25

6.已知。0的半径为3.6cm,线段OA=7cm,则点A

与。0的位置关系是（）

A.A点在圆外B.A点在。0上C.A点在。0

内D.不能确定

7.。。的半径为5,圆心0的坐标为（0,0）,点P的

坐标为（4,2）,则点P与。0的位置关系是（）

A.点P在。0内B.点P在。0上

C.点P在。。外D.点P在。。上

或。0外

8.在aABC中，ZC=90°,AC=BC=4cm,D是AB边的中

点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点

中在圆内的有（）

A.1个B.2个C.3个

D.4个

9.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,

CM为中线，以C为圆心，石cm为半径作圆，则A、B、C、M

四点在圆外的有,在圆上的有,在圆内的

有.

10.一点和。0上的最近点距离为4cm,最远距离为9cm,

则这圆的半径是cm.

11.圆上各点到圆心的距离都等于,到圆心的

距离等于半径的点都在.

12.在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=15cm,BC=10cm,以

A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与。A的位置关系

是.

13.。。的半径是3cm,P是。0内一点，P0=lcm,则点

P到。0上各点的最小距离是.

14.作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm,且

小于或等于2cm的所有点组成的图形.

15.菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆

上，请找出它的圆心和半径.

16.在RtAABC中，BC=3cm,AC=4cm,AB=5cm,D、E

分别是AB和AC的中点.以B为圆心，以BC为半径作。B,

点A、C、D、E分别与（DB有怎样的位置关系？

17.已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm.若

以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且

至少有一点在圆外，求。A的半径r的取值范围.

18.如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且NQPN=30°,

点A处有一所中学，AP=160m.假设拖拉机行驶时，周围100m

以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向

行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影

响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间

为多少秒？

19.在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC二AB,D

为BC的中点，以BC为直径作。D,问：（1）顶角A等于多

少度时，点A在。D±?（2）顶角A等于多少度时，点A

在。D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在。D外部？

20.如图，点C在以AB为直径的半圆上，ZBAC=20°,

NBOC等于（）

21.如图，直角梯形ABCD中，AD/7BC,AB±BC,AD=4,

BC=9,AB=12,M为AB的中点，以CD为直径画圆P,判断点

M与。P的位置关系.

22.生活中许多物品的形状都是圆柱形的.如水桶、热

水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种

管道等等.你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道

理.

§3.2圆的对称性(第一课时)

学习目标:

经历探索圆的对称性及相关性质的过程.理解圆的对称

性及相关知识.理解并掌握垂径定理.

学习重点：

垂径定理及其应用.

学习难点：

垂径定理及其应用.

学习方法：

指导探索与自主探索相结合。

学习过程：

一、举例：

【例1】判断正误：

(1)直径是圆的对称轴.

(2)平分弦的直径垂直于弦.

【例2】若。0的半径为5,弦AB长为8,求拱高.

【例3】如图，。0的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,

EB=2cm,ZCEA=30°，求CD的长.

【例4】如图，在。。中，弦AB=8cm,OC_LAB于C,0C=3cm,

求。0的半径长.

.0

【例5】如图1,AB是。0的直径，CD是弦，AE±CD,垂足

为E,BF±CD,垂足为F,EC和DF相等吗？说明理由.

如图2,若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、

B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什

么？

如图3,当EF〃AB时，情况又怎样？

如图4,CD为弦，EC±CD,FD±CD,EC、FD分别交直径AB

于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？

二、课内练习：

1、判断：

⑴垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（）

⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一

条弧.（）

⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）

⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（)

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所

对的弧.（）

2、已知：如图，。0中，弦AB〃CD,AB

<CD,

直径MN±AB,垂足为E,交弦CD于点F.

图中相等的线段有，

图中相等的劣弧有.

3、已知：如图，。0中，AB为弦，C为AB的中点，0C

交AB于D,AB=6cm,CD=1cm.求。0的半径0A.

4.如图，圆0与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.

5.储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面

宽AB=600mm,求油的最大深度.

6.“五段彩虹展翅飞”，

我省利用国债资金修建

的，横跨南渡江的琼州大

桥（如图3-2-16）已于

今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱,

如图（1）.最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如

图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为米.

三、课后练习：

1、已知，如图在以O为圆心的两个同心

圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，

求证：AC=BD

2、已知AB、CD为。O的弦，且AB±CD,

AB将CD分成3cm和7cm两部分，求:

圆心O到弦AB的距离

3、已知：。。弦AB〃CD求证：AC-BD

4、已知：。。半径为6cm,弦AB与直

径CD垂直，且将CD分成1：3两部分,

求：弦AB的长.

5、已知：AB为。O的直径，CD为弦,

CE±CD交AB于EDF1CD交AB于

F求证：AE=BF

c

..D

6、已知：△ABC内接于(DO,边AB过

圆心O,OE是BC的垂直平分线，交。O"''/oT

Q1鲁E

于E、D两点，求证，隹=”©

7、已知:AB为(DO的直径,CD是弦,BE_LCD于E,AF±CD

于F,连结OE,OF求证：⑴OE=OF「

(2)CE=DF\J)

B

8、在。O中，弦AB//EF,连结OE、OF交AB于C、D

求证：AC=DB

9、已知如图等腰三角形ABC中，AB=

AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距

离为3cm,求ABC的长

10、已知：（DO与。O'相交于P、Q,过P点作直线交。O

于A,交。O'于B使OO'与AB平行求证：AB=2OO,

H、已知：AB为。O的直径，CD为弦，AE±CD于E,

BF_LCD于F求证：EC=DF

§3.2圆的对称性（第二课时）

学习目标：

圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理.

学习重点：

圆心角、弧、弦之间关系定理.

学习难点：

“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆“

条件的理解及定理的证明.

学习方法：

指导探索法.

学习过程：

一、例题讲解：

【例1】已知A,B是。0上的两点，NA0B=1200,C是的

中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.

【例2】如图，AB、CD、EF都是。0的直径，且N1=N

2=Z3,弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于。0外一点P,

直线PAB经过圆心0,请你根据现有圆形，添加一个适当的

条件：,使N1=N2.

二、课内练习:

1、判断题

(1)相等的圆心角所对弦相等()

(2)相等的弦所对的弧相等()

2、填空题

中，弦丝的长恰等于半径，则弦四所对圆心角是

________度.

3、选择题

如图，0为两个同圆的圆心，大圆的弦

四交小圆于G〃两点，0E1AB,垂足为£,

若47=2.5cm,被=1.5cm,6M=5cm,贝!J

四长度是.

A、6cmB、8cmC、7cmD、7.5cm

4、选择填空题

如图2,过。。内一点尸引两条弦被

CD,使AB=CD,

求证：0P平分4BPD.

证明：过。作加_丝于M0N1CD千N.

AB=CD()

()>==0N>=。尸平分/即公

()()

AOM±PBBOM±ABCON±CDDON±PD

三、课后练习：

1.下列命题中，正确的有()

A.圆只有一条对称轴

B.圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C.圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D.圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的

对称轴

2.下列说法中，正确的是（

A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦

相等

C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对

的圆心角相等

3.下列命题中，不正确的是（）

A.圆是轴对称图形B.圆是中心对称

图形

C.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D.以上都

不对

4.半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（）

A.#RB.当RC.QRD.2QR

5.如图L半圆的直径AB=4,0为圆心，半径OE_LAB,

F为0E的中点，CD/7AB,则弦CD的长为（）

A.2后B.V3C.V5

D.275

6.已知：如图2,。。的直径CD垂直于弦AB,垂足为

P,且AP=4cm,PD=2cm,则。0的半径为（）

A.4cmB.5cmC.4后cm

D.273cm

7.如图3,同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D,已

知AB=4,CD=2,AB的弦心距等于1,那么两个同心圆的半

径之比为（）

A.3：2B.Vs：2C.Vs：V2

D.5：4

8.半径为R的。0中，弦AB=2R,弦CD=R,若两弦的

弦心距分别为OE、OF,则OE：0F=（）

A.2：1B.3：2C.2：3

D.0

9.在。。中，圆心角NA0B=90°,点。到弦AB的距离

为4,则。0的直径的长为（）

A.4V2B.872C.24D.16

10.如果两条弦相等，那么（）

A.这两条弦所对的弧相等B.这两条弦所

对的圆心角相等

C.这两条弦的弦心距相等D.以上答案都

不对

11.。。中若直径为25cm,弦AB的弦心距为10cm,则

弦AB的长为.

12.若圆的半径为2cm,圆中的一条弦长2gcm,则此

弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为.

13.AB为圆0的直径，弦CD±AB于E,且CD=6cm,0E=4cm,

则AB二.

14.半径为5的。。内有一点P,且0P=4,则过点P的

最短的弦长是,最长的弦长是.

15.弓形的弦长6cm,高为1cm,则弓形所在圆的半径

为cm.

16.在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为

cm.

17.一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角

为.

18.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是,

弦所对的圆心角是.

19.如图4,AB、CD是。0的直径OEJLAB,0F1CD,则

NEODNBOF,ACAE，ACAE.

20.如图5,AB为。0的弦，P是AB上一点，AB=10cm,

0P=5cm,PA=4cm,求(DO的半径.

21.如图6,已知以点0为公共圆心的两个同心圆，大

圆的弦AB交小圆于C、D.

(1)求证：AC=DB；

(2)如果AB=6cm,CD=4cm,求圆环的面积.

22.00的直径为50cm,弦AB〃CD,且AB=40cm,CD=48cin,

求弦AB和CD之间的距离.

23.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧

相等吗？为什么？

24.已知一弓形的弦长为4后，弓形所在的圆的半径为

7,求弓形的高.

25.如图，已知。01和。是等圆，直线CF顺次交这

两个圆于C、D、E、F,且CF交0Q2于点M,CD=EF,0加和

02M相等吗？为什么？

§3.3圆周角和圆心角的关系(第一课时)

学习目标：

(1)理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理

的内容及简单应用；

(2)继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推

理的能力；

(3)’渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数

学思想方法.

学习重点：

圆周角的概念和圆周角定理

学习难点：

圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法

和完全归纳法的数学思想.

学习方法：

指导探索法.

学习过程：

一、举例：

1、已知。0中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和

圆心角的度数.

2、如图，OA、OB、OC都是圆0的半径,

ZA0B=2ZB0C.求证：ZACB=2ZBAC

3、如图，已知圆心角NA0B=100°,求圆周角

NACB、NADB的度数？

4、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数?

5、已知AB为。0的直径，AC和AD为弦，AB=2,AC=/，AD=L

求NCAD的度数.

6、如图，A、B、C、D、E是。。上的五个点，则图中共有

一个圆周角，分别是.

7、如图，已知AABC是等边三角形，以BC为直径的。。交

AB、AC于D、E.(1)求证：ADOE是等边三角形；(2)如

图3-3-14,若NA=60°,ABWAC,则①中结论是否成立？

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？

A

8、已知等圆。Oi和。O2相交于A、B两点，。01经过。2,点

C是AQ8上任一点（不与A、。2、B重合），连接BC并延长交

于D,连接AC、AD.求证：.

（1）操作测量：图a）供操作测量用，测量时可使用刻

度尺或圆规将图（a）补充完整，并观察和度量AC、CD、AD

三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎

样的关系？

（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补

充完整的图（a）中进行证明）

（3）如图b）,若C点是8Q的中点，AC与0Q2相交于E

2

点，连接0£,02c.求证：CE=0102•E02.

二、课外练习:

1、。0的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定

是（）.

(A)30°(B)150°(C)30°或150°(D))60°

2、△ABC中，ZB=90°,以BC为直径作圆交AC于E,

若BC=12,AB=12后，则的的度数为().

(A)60°(B)80°(C)100°(D))1

20°

3、如图，ZkABC是。0的内接等边三角形，D是AB上一

点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有

()个.

(A)3(B)4(C)5(D)6

4、如图，ZkABC内接于。0,ZOBC=25°,则NA的度

数为()

(A)70°(B)65°(C)60°(D))50°

5、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5,那么这

个三角形内角的度数分别为.

6、如图，AB是。0的直径，CDJLAB于D,AD=9cm,DB=

4cm,求CD和AC的长.

（第6题）

7、已知：如图，aABC是。0的内接三角形，。。的直径

BD交AC于E,AF±BD于F,延长AF交BC于G.求证：3=BG.BC

（第7题）

§3.3圆周角和圆心角的关系（第二课时）

学习目标：

掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运用推论解决

问题.

学习重点：

圆周角定理几个推论的应用.

学习难点：

理解几个推论的〃题设〃和〃结论〃.

学习方法：

指导探索法.

学习过程：

一、举例：

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,

根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半

圆环形?

［例2］如图，已知。0中，AB为直径，AB=10cm,弦

AC=6cm,ZACB的平分线交。0于D,求BC、AD和BD的长.

［例3］如图所示，已知AB为。0的直径，AC为弦,

0D/7BC,交AC于D,BC=4cm.

(1)求证：AC±OD；

(2)求0D的长；

(3)若2sinA-l=0,求。0的直径.

【例4】四边形ABCD中，AB/7DC,BC=b,AB=AC=AD=a,

如图3-3-15,求BD的长.

【例5】如图1,AB是半。。的直径，过A、B两点作半

00的弦，当两弦交点恰好落在半。0上C点时，则有AC-AC

+BC・BC=AB2.

(1)如图2,若两弦交于点P在半。0内，则AP-AC

+BP・BD=AB?是否成立？请说明理由.

(2)如图3,若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=

.参照(1)填写相应结论，并证明你填写结论的正确

性.

AA-

EO

图1图2

二、练习：

1.在。0中,同弦所对的圆周角()

A.相等B.互补C.相等或互补

D.都不对

2.如图，在。0中，弦AD二弦DC,则图中相等的圆周

角的对数是（）/会

A.5对B.6对C.7对D.8对位

3.下列说法正确的是（）

A.顶点在圆上的角是圆周角"

B.两边都和圆相交的角是圆周角

C.圆心角是圆周角的2倍

D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

4.下列说法错误的是（）

A.等弧所对圆周角相等B.同弧所对圆周角相等

C.同圆中，相等的圆周角所对弧也相等.D.同圆中,

等弦所对的圆周角相等

5.如图4,AB是。0的直径，NAOD是圆心角，NBCD是

圆周角.若NBCD=25°,贝!!NAOD=.

6.如图5,。。直径MN_LAB于P,ZBMN=30°,则N

AON=.

7.如图6,AB是。0的直径，BC=BD,ZA=25°,则

NBOD=.

8.如图7,A、B、C是。0上三点，NBAC的平分线AM

交BC于点D,交。0于点M.若NBAC=60。，ZABC=50°,

贝!]NCBM=,ZAMB=.

9.中，若弦AB长2&cm,弦心距为&cm,则此弦

所对的圆周角等于

10.如图8,。0中，两条弦AB_LBC,AB=6,BC=8,求

00的半径.

11.如图9,AB是。0的直径，FB交。0于点G,FD±

AB,垂足为D,FD交AG于E.求证：EF•DE=AE-EG.

12.如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD±AB,交AC

于点D,垂足为0,。。的半径为4,0D=3,求CD的长.

13.如图，。。的弦AD_LBC,垂足为E,ZBAD=Za,

3i

NCAD=NB,且sina=y,cosB=§,AC=2,求(1)EC的

长；(2)AD的长.

14.如图，在圆内接aABC中，AB二AC,D是BC边上一

点.

(1)求证：AB2=AD•AE；

(2)当D为BC延长线上一点时，第(1)小题的结论

还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

15.如图，已知BC为半圆的直径，0为圆心，D是AC的

中点，四边形ABCD对角线AC、BD交于点E.

(1)求证：△ABEs/j)BC；

(2)已知BC=g,CD号求sinNAEB的值；

(3)在(2)的条件下，求弦AB的长.

16.如图，以aABC的BC边为直径的半圆交AB于D,

交AC于E,过E点作EF_LBC,垂足为F,且BF：FC=5：1,

AB=8,AE=2,求EC的长.

A

§3.4确定圆的条件

学习目标：

通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，

了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一

直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形

的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题

的策略.

学习重点：

1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.定理

中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理

解为“有且只有”.

2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接

圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角

形.只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确

定了.

学习难点:

分析作圆的方法，实质是设法找圆心.过已知点作圆的

问题，就是对圆心和半径的探讨.

学习方法：

教师指导学生自主探索交流法.

学习过程：

一、举例：

【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）

①经过三点一定可以做圆；

②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外

接圆；

③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内

接三角形；

④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.

A.4个B.3个C.2个

D.1个

【例2】在aABC中，BC=24cm,外心0到BC的距离

为6cm,求△ABC的外接圆半径.

【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一

座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长

度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由.

【例4】阅读下面材料：对于平面图形A,如果存在

一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个

圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.

如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的

四边形被两个圆所覆盖.

（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖,

r的最小值是—cm.

（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所

覆盖，r的最小值是—cm.

（3）边长为2cm,1cm的矩形被两个半径都为r的图所

覆盖，r的最小值是cm,这两个圆的圆心距是cm.

【例5】已知R17\ABC的两直角边为a和b,且a,b

是方程X2-3X+1=0的两根，求RtAABC的外接圆面积.

【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它

分成面积相等的两部分.

二、随堂练习

一、填空题

1.经过平面上一点可以画个圆;经过平面上两点A、

B可以作个圆，这些圆的圆心在.

2.经过平面上不在同一直线上的三点可以作一个圆.

3.锐角三角形的外心在；直角三角形的外心

在;钝角三角形的外心在.

二、选择题

4.下列说法正确的是（）

A.三点确定一个圆B.三角形有且只

有一个外接圆

C.四边形都有一个外接圆D.圆有且只有

一个内接三角形

5.下列命题中的假命题是（）

A.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

B.三角形的外心到三角形三边的距离相等

C.三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上

D.三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的

外心

6.下列图形一定有外接圆的是（）

A.三角形B.平行四边形C.梯形

D.菱形

三、课后练习

1.下列说法正确的是（）

A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点

B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上

C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点

D.过四点A、B、C、D的圆不存在

2.已知a、b、c是三边长，外接圆的圆心在4

ABC一条边上的是（）

A.a=15,b=12,c=lB.a=5,b=12,

c=12

C.a=5,b=12,c=13D.a=5,b=12,

c=14

3.一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是

（）

A.任意三角形B.直角三角形C.锐角三角形

D.钝角三角形

4.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它

的外心与顶点C的距离为（）

A.5cmB.6cmC.7cm

D.8cm

5.等边三角形的外接圆的半径等于边长的（)

倍.

A.与B.*C.V3

D-I

6.已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7,最小距

离是5,则该圆的半径是（）

A.2B.6C.12D.7

7.三角形的外心具有的性质是（）

A.到三边距离相等B.到三个顶点距

离相等

C.外心在三角形外D.外心在三角形

内

8.对于三角形的外心，下列说法错误的是（）

A.它到三角形三个顶点的距离相等

B.它与三角形三个顶点的连线平分三内角

C.它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径

D.以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆,

必通过另外两个顶点

9.下列说法错误的是（）

A.过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆

B.任意一个圆都有无数个内接三角形

C.任意一个三角形都有无数个外接圆

D.同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上

10.在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个

端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）

A.菱形B.等腰梯形C.矩形

D.正方形

11.若AB=4cm,则过点A、B且半径为3cm的圆有个.

12.直角三角形三个顶点都在以为圆心，以_

为半径的圆上，直角三角形的外心是.

13.若Rt^ABC的斜边是AB,它的外接圆面积是121

ncm2,贝!|AB=.

14.4ABC的三边3,2,713,设其三条高的交点为H,

外心为0,贝!JOH=.

15.在△ABC中，ZC=90°,AB=6,则其外心与垂心的

距离为.

16.外心不在三角形的外部，这三角形的形状是一

17.锐角^ABC中，当NA逐渐增大时，其外心向

边移动，ZA=90°,外心位置是.

18.z^ABC的外心是它的两条中线交点，则4ABC的形

状为.

19.如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心.

20.求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径.

21.已知线段a、b、c.求作：（1）AABC,使BC=a,

AC=b,AB=c；（2）00使它经过点B、C,且圆心。在AB上.（作

。0不要求写作法，但要保留作图痕迹）

22.已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm,最大距

离为15cm,求该圆的半径.

23.如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于

水生锈残缺了一些，很不美观.为了废物利用，将铁片剪去

一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在

铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？

§3.5直线和圆的位置关系（第一课时）

学习目标：

经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相

交、相切、相离三种位置关系，了解切线的概念，探索切线

与过切点的直径之间的关系。

学习重点：

直线和圆的三种位置关系，切线的概念和性质.

学习难点：

探索切线的性质.

学习方法:

教师指导学生探索法.

学习过程：

一、举例：

【例1】在RSABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,

以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？(l)r=2cm；

(2)r=2.4cm(3)r=3cm.

【例2】已知：如图，Z\ABC中，内切圆I和边BC、CA、

AB分别相切于点D、E、F,若NFDE=70°,求NA的度数.

【例3】小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测

量锅的直径(铅沿所形成的圆的直径)，而小红家只有一把

长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢？小红想了想，采

取了以下办法：如图，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到

两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长，即可求出锅的直径.请

你利用图说明她这样做的理由.

M

【例4】如图3-5-9,已知A8,求作：（1）确定A8的圆

心；（2）过点A且与。0相切的直线.（注：作图要求利用直

尺和圆规，不写作法，但要求保留作图痕迹）

【例5】东海某小岛上有一灯塔A,已知A塔附近方

圆25海里范围内有暗礁，我110舰在0点处测得A塔在其

北偏西60。方向，向正西方向航行20海里到达B处，测得

A在其西北方向.如果该舰继续航行，是否有触礁的危险？

请说明理由.（提示a=1.414,V3=l.732）

二、课内练习：

1.下列直线是圆的切线的是（

A.与圆有公共点的直线B.到圆心的距离

等于半径的直线

C.到圆心距离大于半径的直线D.到圆心的距离

小于半径的直线

2.。。的半径为R,直线i和。。有公共点，若圆心到

直线i的距离是d,则d与R的大小关系是（）

A.d>RB.d<RC.d》RD.d

WR

3.当直线和圆有惟一公共点时，直线和圆的位置关系

是,圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系

为.

4.已知。。的直径为6,P为直线i上一点，0P=3,那

么直线与。0的位置关系

5.已知圆的直径为13cm,圆心到直线i的距离为6cm,

那么直线i和这个圆的公共点的个数是.

三、练习：

1.圆的一条弦与直径相交成30°角，且分直径长1cm和

5cm两段，则这条弦的弦心距为,弦长o

2.如图1,AB是。O的弦，AD是。O的切线，C为弧

AB上任一点，ZACB=108°,ZBAD=。

3.如图2,AB是。O的直径，BC切。O于B,CD切

（DO于D,交BA的延长线于E,若BC=6,EB=8,则

EA=o

4.如图3,在RtZXABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,E,

D分别是AB,BC的中点，过E,D作（DO,且与AB相切

于E,那么。O的半径OE的长为o

5.如图4,已知AB是。O的直径，BC是和（DO相切

于点B的切线，OO的弦AD平行于OC,若OA=2,且

一点，PM及PM的延长线交（DO于B,C,BM=BP=2,

PT=2V5,OM=3,那么（DO的半径为o

7.如图6,2XABC的三边AB、BC、CA分别切。。于

D、E、F,AB=7,AC=5,AD=2,贝!JBC=。

8.如图7,AB、CD是两条互相垂直的直径，E是OD

AB

图5图6

图7

9.如果圆心O到直线，的距离等于半径R,则直线，与

圆的位置关系是（）

（A）相交（B）相切（C）相离斤K

（D）相切或相交8Al

10.如图，（DO的外切梯形ABCD中，若AD〃BC,那

么

ZDOC的度数为（）

A、70°B、90°C、60°D、45°

11.如图，PA为。O的切线，A为切点，割线PBC过

圆心O,ZACP=30°,OC=lcm,则PA的长为（）

（A）V2cm（B）V3cm（C）2cm

p,一__「

（D）3cm

12.如图，PA切。O于点A,PBC

是。O的割线，如果PB=2,PC=8,那么PA的长为（）

(A)2(B)4(C)6(D)2V3

13.如图，已知A、B、C三点在。O上，且NAOB=

100°,则NACB的度数为（）

（A）200°（B）100°（C）60°（D）50°

14.已知：如图，AB、AC分别切。O于B、C,D是。

O上一点，ZD=40°,则NA的度数等于（）

(A)140°(B)120°(C)100°(D)80°

15.如图，直线MN切。O于A,AB是。O的弦，Z

MAB的平分线交。O于C,连结CB并延长交MN于N,

如果AN=6,NB=4,那么弦AB的长是()

(A)T(B)3©

16.。。是4ABC的内切圆，ZACB=90°,ZBOC=105°,

BC=20cm,贝！|AC=()

(A)20cm(B)2073(C)40cm(D)

15cm

三、如图，已知：P为。O外一点，过P作。O的两条割线,

分别交OO于A、B和C,D,且AB是。O的直径，弧AC=

弧DC,连结BD,AC,OCo

(1)求证：OC〃BD；

(2)如果PA=AO=4,延长AC与BD的延长线交于E,求

DE的长。

§3.5直线和圆的位置关系（第二课时）

学习目标:

能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的

切线，会作三角形的内切圆.

学习重点：

切线的判定和画法.

学习难点：

探索圆的切线的判定方法，作三角形内切圆的方法

学习方法：

师生共同探索法.

学习过程：

一、举例：

【例1】如图，已知。0中，AB是直径，过B点作。

0的切线BC,连结CO.若AD〃OC交。0于D.求证：CD是

00的切线.

【例2】已知：如图，同心圆0,大圆的弦AB=CD,

且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线.

【例3】如图，在RtZ\ABC中，NC=90°,AC=5,BC=12,

。0的半径为3.

(1)当圆心0与C重合时,。。与AB的位置关系怎样？

(2)若点。沿CA移动时，当0C为多少时？(DC与AB

[例4]如图，直角梯形ABCD中，ZA=ZB=90°,

AD//BC,E为AB上一点，DE平分NADC,CE平分NBCD,以

AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？

BC

【例5】有一块锐角三角形木板，现在要用它截成一

个最大面积的圆形木板，问怎样才能使圆形木板面积最大？

【例6】设直线i到。。的圆心的距离为d,半径为R,

并使X2-2VJX+R=0,试由关于x的一元二次方程根的情况

讨论i与。。的位置关系.

【例7】如图3-5-15,AB是。0直径，。。过AC的

中点D,DE±BC,垂足为E.

(1)由这些条件，你能得出哪些结论？(要求：不准

标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论

中，不写推理过程，写出4个结论即可)

(2)若NABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能

推出哪些新的正确结论？并画出图形.(要求：写出6个结

论即可，其他要求同(D)

二、练习：

1.若N0AB=30°,0A=10cm,则以0为圆心，6cm为半

径的圆与射线AB的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离

D.不能确定

2.RtZ^ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=6,以C为圆心

作。C和AB相切，则。C的半径长为（）

A.8B.4C.9.6

D.4.8

3.。。内最长弦长为m,直线i与。0相离，设点。到

i的距离为d,则d与m的关系是（）

A.d=mB.d>mC.d>y

D.d<y

4.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，

则该三角形为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形

D.等边三角形

5.菱形对角线的交点为0,以。为圆心，以。到菱形一

边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）

A.相交B.相切C.相离

D.不能确定

6.。。的半径为6,。。的一条弦AB为6g,以3为半

径的同心圆与直线AB的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切

D.不能确定

7.下列四边形中一定有内切圆的是（）

A.直角梯形B.等腰梯形C.矩形

D.菱形

8.已知△ABC的内切圆0与各边相切于D、E、F,那么

点0是4DEF的（）

A.三条中线交点B.三条高的交点

C.三条角平分线交点D.三条边的垂直

平分线的交点

9.给出下列命题：

①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接

圆；

②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接

三角形；

③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切

圆；

④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切

三角形.

其中真命题共有（）

A.1个B.2个C.3个

D.4个

10.如图，在RtZkABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4.若

以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,

则R的取值范围是多少？

AB

11.如图，有一块锐角三角形木板，现在要把它截成半

圆形板块（圆心在BC上），问怎样截取才能使截出的半圆形

面积最大？（要求说明理由）

A

BC

12.如图，直线I］、l2、I3表示相互交叉的公路.现

要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可

选择的地址有几处？

13.如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行,

途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向

北移动，距离台风中心20而）海里的圆形区域（包括边界）

都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A

正南方向的B处，且AB=100海里.

（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会

不会遇到台风？若会，试求轮船初遇台风的时间；若不，请

说明理由.

（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于北偏东60°

方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前到达D

港，问般速至少应提高多少？（提高的船速取整数，旧=3.6）

14、如图3-5-25,等边三角形的面积为S,。0是它的

外接圆，点P是8c的中点.

(1)试判断过C所作的。0的切线与直线AB是否相交,

并证明你的结论；

(2)设直线CP与AB相交于点D,过点B作BE_LCD垂

足为E,证明BE是。。的切线，并求4BDE的面积.

§3.6圆和圆的位置关系

学习目标：

经历探索两个圆位置关系的过程，理解圆与圆之间的位

置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d,半径R和r

的数量关系的联系.

学习重点：

两圆的位置关系，相切两圆的性质.两圆的五种位置关

系的描述性定义，要注意数学语言的严谨性和准确性，必须

注意讲清关键性词语(如谁在谁的外部、内部、惟一公共点

等).圆与圆的位置关系也可以与点和圆、直线和圆的位置

关系类比记忆，每种位置关系可归纳为相离、相交、相切三

类.相切两圆的性质是由圆的对称性决定的，两个圆组成的

图形也是轴对称的，对称轴是连心线.

学习难点：

相切两圆位置关系的性质的理解.

学习方法：

教师讲解与学生合作交流探索法.

学习过程:

一、例题讲解：

【例1】已知。A、OB相切，圆心距为10cm,其中

(DA的半径为4cm,求OB的半径.

【例2】定圆。的半径是4cm,动圆P的半径是1cm.当

两圆相切时，点P与点0的距离是多少？点P可以在什么样

的线上移动？

【例3】已知两个圆互相内切，圆心距是2cm,如果

一个圆的半径是3cm,那么另一个圆的半径是多少？

［例4］已知。01和。的半径分别

为1和5,圆心距为3,则两圆的位置关系、”

是（）

A.相交B.内含C.内切D.外切

【例5】如图，施工工地的水平地面上，有三根外径

都是1m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地

面的距离是.

【例6]一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位

线.若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆

的位置关系是（）

A.相离B.相交C.外切

D.内切

[例7]两圆的圆心坐标分别是3,0）和（0,1）,

它们的半径分别是3和5,则这两个圆的位置关系