苏科版八年级数学上期末复习与强化提优（四）

苏科版八年级数学上期末复习与强化提优(四)

《第四章实数》期末专题复习

重点知识扫描

实数的有关概念

1.数轴

规定了、、的直线，叫做数轴.和数轴上的点是一一对应的.

2.相反数

(I)实数a的相反数为；

(2)a与b互为相反数0；

(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的

距离________

3.倒数

(1)实数a的倒数是:，其中_________；(2)a和b互为倒数0.

d

4.绝对值

在数轴上表示一个数的点离开的距离叫做这个数的绝对值.即一个正数的绝

对值等于它，0的绝对值是。，负数的绝对值是它的

a(a>0)

BP|a|="0(a=0)

「a(a<0)

二.实数的分类

1.按实数的定义分类

正整数

整数《零自然数

〔负整数

有理数＜

实数＜

正分数］有限小数或无

分数负分数j限循环小数

［正无理数］

〔无理数〔负无理数I无限不循环小数

2.按正负分类

正整数

正有理数

正实数正分数

正无理数

实数＜零(既不是正数也不是负数)

负整数

负有理数

负实数负分数

负无理数

三.平方根与立方根

1.若x2=a(a息0),则x叫做a的,记作±\内：正数a的.,叫做算

术平方根，记作,.

2.平方根有以下性质

(1)正数有两个平方根，它们互____________;

(2)0的平方根是0；

(3)负数没有平方根.

3.如果x'=a,那么x叫做a的立方根，记作半.

四.科学记数法与近似数与有效数字

1.科学记数法

把一个数N表示成aXlOpWlalVlO,n是整数）的形式叫科学记数法.当|N|》1时，n

等于原数N的整数位数减1；当|N|<1且N^O时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数

中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）.

2.近似数与有效数字

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第二个不为0

的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.

五.实数的运算

1.实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法，，六种，其中减法转

化为运算，除法、乘方都转化为运算.

2.有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算律有：.

3.在实数范围内运算顺序是：先算,再算,最后算,有括

号的先算同一级运算，从一到—依次进行计算.

六。实数的大小比较

1.在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数;两个负

数比较，绝对值大的反而_____一

2.设a、b是任意两个数，若a—b>0,则a__b；若a—b=0,则a__b；若a—b<0,

则.

3.实数大小比较的特殊方法①开方法：如3>2,则小一也；②商比较法：已知a>0、

b>0,若;>1,则a—b；若土=1，则a_b；若*1,则a_b.③近似估算法；④中间值法.

4.n个非负数的和为0,则这n个非负数同时为0.

如：若忆|+1）2+,=0,则a=b=c=O.

经典例题

例1.已知一个正数的两个平方根是m+3和2m-15.

(1)求这个正数是多少？(2)Vm+5的平方根又是多少？

例2.已知：x,y满足等式Jx-2y—4+(2x-3y-7)2=0,求7x3-8y的平方根.

例3.己知实数x、y满足J2x-16+lx-2逃4|=0,求2x-%的立方根.

0

例4.(1)小明想剪一块面积为25cm，的正方形纸板，请你帮他求出正方形纸板的边长;

(2)如图,若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成一个大正方形，请

你帮他求出这个大正方形的面积.它的边长是整数吗?若不是整数,请估计边长的值在哪两个

整数之间.

3cm3cm

《第四章实数》期末强化提优

（时间：90分钟满分：120分）

一.选择题（共20小题共40分）

a

1.在实数5、米小、,中，无理数是（）

3

A.5B.yC.\[3D.^4

2.下列命题正确的是（）

A.9的平方根是3B.任何数都有倒数C.a的相反数是一aD.若|x|=3,则x=3

3.下列各组数中，互为相反数的是（）

A.|一5|与一gB.—5与小C.|—5|与]D.|-5|与一与（一5）2

4..白砧的立方根是（）

A.±4B.-4C.遍D.在7

5.已知x没有平方根，且|x|=125,则x的立方根为（）

A.25B,-25C.±5D.-5

6.有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数

或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或

0.其中错误的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.在实数范围内定义运算"第"，该运算同时满足下列条件：（l）x第x=8,（xx8）；（2）x辛（y辛z）

=（x辛y）+z,则2020第2022的值是（）

A.2B.5C.2020D.2022

8.下列命题中：①有限小数是有理数；②无限小数都是无理数；③任意两个无理数的和还

是无理数；④开方开不尽的数是无理数；⑤一个数的算术平方根一定是正数；⑥一个数的

立方根一定比这个数小；⑦任意两个有理数之间都有有理数，任意两个无理数之间都有无

理数.⑧有理数和数轴上的点一一对应；⑨不带根号的数一定是有理数；⑩负数没有立方

根.其中正确的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

9.已筹集抗旱救灾救济资金32亿元，32亿元用科学记数法表示为（）

A.3.2义1。8元B.0.32X10l07CC.3.2X1（）9元口.32X1（/元

10.2008北京奥运会火炬传递的路程约13.7万公里，近似数13.7万是精确到（）

A.十分位B.十万位C.万位D.千位

11.如图,正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,则格点三角形以三角形的顶点均为

小正方形的顶点）中，边长为无理数的边数是（）

A.0B.1C.2D.3

12.、/正的算术平方根是（）

A.4B.±4C.2D.±2

13.比较2、小、历的大小，正确的是（

）

A.2<小〈浙B.2<A/7<V5C.折＜2〈小D.导赤＜2

14.（一夕7+（兀一5）°+、（_2）2的值为（）

A.-1B.-3C.1D.0

15.如果（2+6）2=a+M（a,b为有理数），那么a+b等于（）

A.2B.3C.8D.10

二.填空题（共10小题共20分）

16若将三个数一小、巾、而表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是

-2-1~0~~4~5~

17.若yx_I-Jjx=（X+y）2＞贝！Jx—y的值为-

18.已知710201=10.1,则V1.0201=.

19.一个实数的两个平方根分别是a+3和2a-5,则这个实数是.

20.若4万+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为.5

21.△ABC的三边是a,b,c,且而二J+b2—4b+4=0,则C的取值范围是

22.若C=1.38,V^=13.8,则b=.

23.在数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是百和-1,则点C所对

应的实数是

'a+h.、./3+2

24.对于任意不相等的两个实数a,b.定义运算※如下：aXb=----，如3^2=

a-b3^2

=V5,那么8X4=.

25.在数轴上，点A表示实数V7-V8，点B表示实数V6-V7，那么A,B两点中离原点较

远的点是.

26.如图，点。在数轴上表示的数为0,48两点表示的数分别为-3,3,以4?为底边，作腰长为4

的等腰三角形ABC,连接OC,以。为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M,则点，"表示的数

为.

27.若＜x+y—l+（y+39=0,则x—y的值为.

28.若（a+也六与|b+1|互为相反数，则a-b的值为.

29.计算板一^^一配的结果是

30.如图，数轴上与1、也对应的点分别为A、B,点B关于A的对称点为C,设点C表示

qdp

的数为x,则lx—陋|+[=.01万

三.解答题（共8小题共60分）

31.已知一个正数的两个平方根是m+3和2m-15.

（1）求这个正数是多少？（2）Vm+5的平方根又是多少？

32.已知：x,y满足等式Jx-2y-4+（2x-3y-7「=0,求7x3—8y的平方根.

33.若m是169的正的平方根，〃是121的负的平方根，求:

(1)m+n的值；(2)(m+n)2的平方根.

35.若整数m满足条件［(m+1),=m+1且m〈事,求m的值.

36.在数轴上点A表示的数是行.

(1)若把点A向左平移2个单位得到点为B,则点B表示的数是什么？

(2)点C和(1)中的点B所表示的数互为相反数，点C表示的数是什么？

(3)求出线段OA,OB,0C的长度之和.

37.阅读理解下面内容，并解决问题：

据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂

志上有一道智力题：一个数是59319,希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，

邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘.

(1)由1()3=1000,1003=100000(),你能确定即59310是几位数吗?

V1000<59319<1000000,­，-10<3/593jQ<10°-，郎59310是两位数;

(2)由59319的个位上的数是9,你能确定石西。的个位上的数是几吗？

：只有个位数是9的立方数是个位数依然是9,...痴泣的个位数是9；

(3)如果划去59319后面的三位319得到59,而3?=27,43=64,由此你能确定痴杀的

十位上的数是几吗？•••27V59V64,.匕。〈闹杀＜40....痢而)的十位数是3.

所以，#59310的立方根是方，已知整数50653是整数的立方，求为0653的值，

38.观察下列各式及其验证过程:

(2)针对上述各式反映的规律，写出用a(a为任意自然数，且a22)表示的等式，并给出

验证.

教师样卷

重点知识扫描

一.实数的有关概念

1.数轴

规定了原直、正方向、单位长度的直线,叫做数轴.实数和数轴上的点是一一对应的.

2.相反数

(1)实数a的相反数为二2；

(2)a与b互为相反数U>a+b=O；

(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的

距离相等.

3.倒数

(1)实数a的倒数是;，其中aWO；(2)a和b互为倒数㈡ab=l.

4.绝对值

在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫做这个数的绝对值.即一个正数的绝对值等

于它本身,0的绝对值是。，负数的绝对值是它的相反数.

a（a>0）

即|a|=<0（a=0）

「a（a<0）

二.实数的分类

1.按实数的定义分类

（正整数］

卜自袋数

整数J零J

有理数1〔负整数

实数<

（正分数］有限小数或无

分数（

II负分数I限循环小数

［正无理数］

〔无理数［负无理数I无限不循环小数

3.按正负分类

正整数

正有理数

正实数〈正分数

〔正无理数

实数〈零（既不悬正数也不是负数）

负整数

负有理数

负实数负分数

负无理数

三.平方根与立方根

1.若x2=a（a三0）,则x叫做a的平方根,记作4；正数a的正的平方根叫做算术平

方根，记作

2.平方根有以下性质

(1)正数有两个平方根，它们互为相反数;

(2)0的平方根是0；

(3)负数没有平方根.

3.如果x3=a,那么x叫做a的立方根，记作编.

四.科学记数法与近似数与有效数字

1.科学记数法

把一个数N表示成aXl()n(lW|a|V10,n是整数)的形式叫科学记数法.当|N|21时，n

等于原数N的整数位数减1；当|N|V1且NW0时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数

中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零).

2.近似数与有效数字

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第二个不为0

的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.

五.实数的运算

1.实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法，塞左，开方六种,其中减法转化为

加法运算,除法、乘方都转化为乘法运算.

2.有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算律有：加法交换律、加法结合

建、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.

3.在实数范围内运算顺序是：先算乘方(或开方),再算乘除,最后算加减,有括号的

先算括号内的.同一级运算,从左到五依次进行计算.

六。实数的大小比较

1.在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；两个负数

比较，绝对值大的反而小.

2.设a、b是任意两个数，若a—b>0,则a^b；若a—b=0,贝ija三b；若a—b<0,

则a<b.

3.实数大小比较的特殊方法①开方法：如3>2,则小田总；②商比较法：已知a>0、

b>0,若曰>1，则a^b；若,=1，则a=b；若£<1，则a5b.③近似估算法；④中间值法.

4.n个非负数的和为0,则这n个非负数同时为0.

如：若|a|+b2+,=0,则a=b=c=0.

经典例题

例1.已知一个正数的两个平方根是m+3和2m-15.

(1)求这个正数是多少？(2)Vm+5的平方根又是多少？

解：(1)解：•••m+3和2m-15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数.

即：(m+3)+(2m-15)=0解得m=4.则这个正数是(m+3)2=49.

(2)Vm+5=3,则它的平方根是土73.

例2.已知：X,丫满足等式-4+(2x-3y—7产=0,求7x3—8y的平方根.

【答案】解：由题意可得1，二平方根为±8.

2x-3y-7=0[y=-}

例3.己知实数x、y满足，2x-16+lx-2y+4|=0,求2x-日拙立方根.

,,.44

解：由非负数的性质可知：2x-16=0,x-2y+4=0,解得：x=8,y=6./.2x---y=2X8---

33

4

X6=8.，2x-^y的立方根是2.

例4.(1)小明想剪一块面积为25cm，的正方形纸板，请你帮他求出正方形纸板的边长；

(2)如图,若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开,拼成一个大正方形,请

你帮他求出这个大正方形的面积.它的边长是整数吗?若不是整数，请估计边长的值在哪两个

整数之间.

解：.(1)设正方形纸板的边长为xcm,则VN5,所以.所以正方形纸板的边长为5cm.(2)

设大正方形的边长为ycm,则/的以=18,所以尸厚.所以大正方形的面积为18cm2,边长

为屈cm.因为即4（屏＜5,所以大正方形的边长的值不是整数，在4

与5之间.

《第四章实数》强化提优

（时间：90分钟满分：120分）

一.选择题（共20小题共40分）

1.在实数5、亍小、5中，无理数是（）

A.5B.,C/D.A/4

【答案】C【点拨】做此类题的关键是熟练掌握实数的有关概念

2.下列命题正确的是（）

A.9的平方根是3B.任何数都有倒数C.a的相反数是一aD.若|x|=3,则x=3

【答案】C【解析】9的平方根是±3;0没有倒数：冈=3,则x=±3.

3.下列各组数中，互为相反数的是（）

A.1一5|与一gB.-5与小C.I—5|与gD.|-5|与_#（—5尸

【答案】D【解析】互为相反数的两数之和为0,|—5|=5,7（—5）2=一|-5|=5.

4..6W的立方根是（）

A.+4B.-4C.V?D.

【答案】D【分析】先计算出g罚的值，再根据立方根的定义即可求得结果。

门奔必，立方根是L?，故选D.

5.己知x没有平方根，且|x|=125,则x的立方根为（）

A.25B.-25C.±5D.-5

【答案】D解：由题意得，x为负数，又•••|x|=125,，x=-125故可得x的立方根为：

-5.

6.有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数

或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或

0.其中错误的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】B解：①负数有立方根，故错误；②一个实数的立方根是正数、0、负数，故

错误；③一个正数或负数的立方根与这个数同号，故正确；④如果一个数的立方根是这个

数本身，那么这个数是±1或0,故错误.故答案为：B.

7.在实数范围内定义运算"?"，该运算同时满足下列条件：（l）x?x=8,（xx8）；（2）x辛（y辛z）

=（x宇y）+z,则2020第2022的值是（）

A.2B.5C.2020D.2022

【答案】B解：2020第2022=（2020第2022+2022）-2022=2020第（2022享2022）-

2022=2020早8-2017=2020辛（2020年2020）-2022=2020^2020+2020-2022=8-2=5故答

案为：B

8.下列命题中：①有限小数是有理数；②无限小数都是无理数；③任意两个无理数的和还

是无理数；④开方开不尽的数是无理数；⑤一个数的算术平方根一定是正数；⑥一个数的

立方根一定比这个数小；⑦任意两个有理数之间都有有理数，任意两个无理数之间都有无

理数.⑧有理数和数轴上的点一一对应；⑨不带根号的数一定是有理数；⑩负数没有立方

根.其中正确的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】A解：①有限小数是有理数，故①正确；②无限不循环小数是无理数，故

②错误；③任意两个无理数的和是无理数或有理数，故③错误；④开方开不尽的数是无

理数，故④正确；⑤。的算术平方根是0,故⑤错误；⑥0的立方根是0,故⑥错误；⑦

任意两个有理数之间都有有理数，任意两个无理数之间都有无理数，故⑦正确；⑧实数和

数轴上的点一一对应，故⑧错误；⑨n不带根号是无理数，故⑨错误；⑩-1的立方根是-1,

故⑩错误.故答案为：A.

9.已筹集抗旱救灾救济资金32亿元，32亿元用科学记数法表示为（）

A.3.2X10'元B.0.32*1。1°元C.3.2义1。9元口.32X10'元

【答案】C【解析】32亿=32X108=3.2X10X108=3.2X1（）9

10.2008北京奥运会火炬传递的路程约13.7万公里，近似数13.7万是精确到（）

A.十分位B.十万位C.万位D.千位

【答案】D【解析】13.7万共有3个有效数字，其中第3个有效数字在千位上.

“如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,则格点三角形4玄（三角形的顶点均为

小正方形的顶点）中,边长为无理数的边数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

12.、/瓶的算术平方根是（）

A.4B.±4C.2D.±2

【答案】C【解析】，讳=4,而4的算术平方根是2.

13.比较2、小、折的大小，正确的是（）

A.2＜小＜折B.2Vse小C.折＜2（小D.序历＜2

【答案】C【解析】：7＜8,...折〈诋，即能＜2.而4＜5,；.木＜木,即2＜小，故折＜2＜小.

15.（一11+（兀一小）。+、（一2）2的值为（）

A.-1B.-3C.1D.0

【答案】C【解析】原式=-2+1+2=1.

15.如果（2+也）2=a+X@a,b为有理数），那么a+b等于（）

A.2B.3C.8D.10

【答案】D【解析】；（2+也）2=6+4W=a+M，；.a=6,b=4,Aa+b=6+4=10.

二.填空题（共10小题共20分）

16若将三个数一小、巾、E表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是

-2-1~0~~4~5~

【答案】巾【解析】一巾＜0,迎＞3,而0＜1＜市＜3.

17.若qx-i—j]_x=（x+V）、则x—y的值为-

【答案】2

18.已知710201=10.1,则V1.0201=.

【答案】1.01解：..•知710201=10.1,A71.0201=1.01；故答案为：1.01.

19.一个实数的两个平方根分别是a+3和2a-5,则这个实数是.

【答案】12通解：根据题意得：（a+3）+（2a—5）=0解得2=羽则a+3=l如，

则这个数时（11/3）2=123/9,故答案为：121y9.

20.若JH+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为.5

【答案】5

21.ZViBC的三边是a,b,c,且八二j+b2—4b+4=0,则c的取值范围是

【答案】l<c<3

22.若般=138,V^=13.8,则b=.

【答案】b=1000解：由\[a=1.38,〃石=13.8,可得\[b=10,根据立方根

b=1000,

23.在数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是6和-1,则点C所对

应的实数是.

【答案】2石+1解：设点C所对应的实数是X.则有x-J5=V3-(-1),解得

X=2A/5+1.故答案是：273+1.

24.对于任意不相等的两个实数a,b.定义运算※如下：aXb=,如3派2=

=后,那么8X4=.

【答案】V3解：根据题中的新定义得：8派4=代，

25.在数轴上，点A表示实数77-78，点B表示实数V6-V7，那么A,B两点中离原点较

远的点是.

【答案】B.解：先取倒数再比较绝对值较大，所以离原点较远的点是点B.故答案为：B.

26.如图，点。在数轴上表示的数为0,48两点表示的数分别为-3,3,以为底边，作腰长为4

的等腰三角形ABC,连接阳以。为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,则点物表示的数

为.

【答案】V7

27.若、x+y-1+(y+3)2=0,则x-y的值为.

fx+y—1=0[x=4

【答案】7【解析】由题意得,解得.".x—y=4—(―3)=4+3=7.

ly+3=0[y=-3

28.若(a+也产与|b+l|互为相反数，则a-b的值为.

Lr-,fa+啦=0a=一啦

【答案】1一也.【解析】由题意知：(a+啦产+|b+l|=0,,解得，

b+l=0b=-1

.♦.a-b=一/一(一1)=一6+1=1-啦.

29.计算物一纣可一血的结果是

［答案］5一&.［解析］亚一|\^一遮=35一；乂3啦-2s=3小一啦_2小=小一

也.

30.如图，数轴上与1、也对应的点分别为A、B,点B关于A的对称点为C,设点C表示

,q,p

的数为X,则|x—/|+1=.o'iAr

22

【答案】3也【解析人=1一（也一1）=1一6+1=2-6，伙一啦|+7=|2-啦一也|+1小

=|2一2啦|+（2+&）=2/-2+2+啦=3也

三.解答题（共8小题共60分）

31.已知一个正数的两个平方根是m+3和2m-15.

（1）求这个正数是多少？（2）7m+5的平方根又是多少？

【答案】（1）解：•；m+3和2m-15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数.

即：（m+3）+（2m-15）=0解得m=4.则这个正数是（m+3）2=49.

（2）解：Vm+5=3,则它的平方根是士V3.

32.已知：x,y满足等式Jx—2y—4+（2x