高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答

1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v.

解2u-3V=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)

=5a-11b+7c.

2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平

行四边形.

证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，已知

AM=MC，DM=MB.

故

AB=AM+MB=MC+DM=DC.

即而〃DU且i而I=IDCI，因此四边形ABC堤平行四边形.

3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D2，D3，D4，再把各

分点与点A连接.试以旭工，氏=a表向量D1A,D2A,D3A,D-A.

证如图8-2，根据题意知

111

BDja,DRa,D2D3a,

=5=5

1

D3D4a,

1

故&rA=-(ABBDf)=-a-c

+5

————2

ac

D2Ah（AB-BD2）=­—'

5

D^A=-（AB+=-_a-c

335

———■——4，

DA=-（AB-BD4）=—a-c.

45

4.已知两点Mi（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示

向量MJVC及-22.

解MIM2=（1-0-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.

-2M1M2=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.

5求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量.

a

解向量a的单位向量为_，故平行向量a的单位向量为

lal

+士=」（6,7，一6）=+3,，,^],

|a|11v111111）

其中|a|=郎2+7?+（_6）2=11.

6在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，~4），D（-2，

-3，1）.

解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点

在第三卦限.

7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各

点的位置：

A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D（0,

-1，0).

解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中

至少有一个为零，比如xOy面上的点的坐标为（Xo，yo，0），xOz面

上的点的坐标为（xo，0，a），yOz面上的点的坐标为（0，yo，z。）.

在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少

有两个为零5比如x轴上的点的坐标为（％，0，0），y轴上的点的坐

标为（0，yo，0），z轴上的点的坐标为（0，0，zo）.

A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴

上.

8求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标

原点的对称点的坐标.

解（1）点（a，b，c）关于xOy面的对称点（a，b，-c），为

关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，七，

c）.

（2）点（a，b，c）关于x轴的对称点为（a，-b，-C），关于y

轴的对称点为（-a，b，-c），关于z轴的对称点为（-a，-b，c）.

（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）.

9自点Po（Xo，%，Zo）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各

垂足的坐标.

解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，PoF为点Po关于xOz

5

面的垂线垂足F坐标为（Xo。，Zo）；P0D为点Po关于xOy面的垂

线，垂足D坐标为（X。，y0。）；PoE为点Fb关于yOz面的垂线，垂

足E坐标为（0，y°，z0）.

PoA为点Po关于x轴的垂线，垂足A坐标为（Xo0,0）：PoB为点

Po关于y轴的垂线，垂足B坐标为（0,yo,O）；PoC为点Po关于Z轴的

垂线，垂足C坐标为（O,O,Zo）.

10.过点以Xo，yo，Zo）分别作平行于Z轴的直线和平行于xOy面的

平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？

解如图8-4，过Po且平行于z轴的直线I上的点的坐标，其特

点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.

而过点P。且平行于xOy面的平面“上的点的坐标，其特点是，

它们的竖坐标均相同.

11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，

底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.

2

解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB」a，于是各顶点的坐

2

标分别为A（避a00）>B（（0,—ao））'c（--a，o，0），D

2_22

（o，a，o），E（、2a，o，a），F（o，a，a），G（-丫2a,

2_222

o,a）»H（o）--a，a）.

2

图8-5

12.求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.

解点M到x轴的距离为@=,（—3）2+52=<34，点M到y

2+2

轴的距离为d2=\'45=<4?，点M到z轴的距离为

2+2

d3=x14（-3）=<25=5.

13在yOz面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，

1）等距离的点.

解所求点在yOz面上，不妨设为P（0，y，z），点P与三点A，

，等距离，,3222

BCPA=V+(y_1)+(Z.2),

PB|=(y+2)、(z+2『,

|PC|=J(y_5)"(z_1)2.

M

由

2222

Z-4+y+++

2)2)(Z2)

2

(y5)«1/，_*++

9(y-1)2(Z-2)2-16(y+2)2"(z2)2,

即+一+_=_+一

9(y1)2(z2)2(y5)2(z1)2.

解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为(0，1，-2).

14.试证明以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶

点的三角形是等腰直角三角形

证由

|AB|=1(10-4)2+(-=1)2+(6-9)2=7,

|AC|=V(2-4)2+(4-1)2+(3-9)2=7,

-_--------------2_I--------12+-------2

=

知AB=AC及BCIABIAC.故△ABC为等腰直角三角

形.

15.设已知两点为Ml（4,、'2，1），M2（3，0，2），计算向量M1M2

的模、方向余弦和方向角.

解向量

M1M2=(3-4，0-v2，2-1)=(-15-\25-1)5

22

其模M1M2=#-1)2(-V2)+1=\/4=2.其方向余弦分

1%/21

另!J为COSct="—，cosP=-------，cos7=—.

222

23n

方向角分别为a=—nP=—nY=—.

343

16.设向量的方向余弦分别满足(1)cosa=0；(2)cosP=1；(3)

COSGPCOSP=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

解(1)由COSa=0得知a=L，故向量与x轴垂直，平行于

-2

yOz面.

(2)由cosp=1得知B=0，故向量与V轴同向，垂直于xOz面.

(3)由cos=C0Sp=0知a=P='，故向量垂直于X轴和y轴，

即与z轴平行，垂直于xOy面.

17.设向量r的模是4，它与u轴的夹角为71，求r在u轴上的投影•

3

1

z

解已知lr|=4,则Prjur=|r|cos=4?cos=4x=2.

32

18.一向量的终点在点B(2，7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影

依次为4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.

解设A点坐标为(x，y，z)，则

AB=(2-x5-1-y，7-z)，

由题意知

2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，

故x=-2，y=3，z=0，因此A点坐标为(-2，-3，0).

19.设m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴

上的投影及在y轴上的分向量.

解a=4m+3n-p=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)

=13i+7j+15k，

a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.

1.设a=3i-j-2k,b=i+2j-k，求

(1)ab及axb；(2)(-2a).3b及ax2b；(3)a,b的夹角的

余弦.

解(1)a.b=(3，-1，-2).(1,2，-1)

=3X1+(-1)X2+(-2)X(-1)=3,

ijk

axb=3_1_2=(5,1,7).

12_1

(2)(_2a)3b=_6(a.b)=_6X3=_18

ax2b=2(axb)=2(5,1,7)=(10,2,14)

ab3

(3cos(a,b)=,=一一一

一丽\苫+(」)’+(_2广\十+2、()广

33

=27^

2.设a,b,c为单位向量，满足a+b+c=0,求ab+bc+c.a.

解已知『卜|bi=|C|=1,a+b+c=0,

Ma+b+c)(a+b+c)=0.

222

即j[+|b|+|C|+2ab+2bc+2c.a=0.因此

12223

abbcca(同上由上g)-

•+•+.=-2IIIIII=2

3.已知Mi(1，-1，2)，M2(3,3,1)M3(3,1,3).求与MiMaMM?

同时垂直的单位向量.

解M1M2=(3-1,3-(-1),1-2)=(2，4，-1)

M2M3=(3-3,1-3,3-1)=(0，-2，2)

由于2XM2M3与而M2M3同时垂直，故所求向量可

取为

±(M1M2XM2M3)

a=_____________________-，

M-|M2xM2M4

ijk

由MW2xM2M3=24一1=(6，-4，-4)，

0-22

M；M^xM7M1=、它+(_4)2+(_4f=®=2、/17

jOp

知a=—(6,_4,_4)一(♦,一刍」).

2V17Vl7VT7Vl7

4设质量为100kg的物体从点M1(3,1,8)沿直线移动到点M2(1,4,2)，

计算重力所作的功(坐标系长度单位为m，重力方向为z轴负方向).

解1VTX^=(1-3,4-1,2-8)=(-2，3，-6)

F=(0,0，-100x9.8)=(0,0'-980)

W=F?MIM2=(0,0-980)?(-2,3-6)=588。J).

5在杠杆上支点。的一侧与点。的距离为xi的点R处，有一与明

成角力的力E作用着；在0的另一侧与点。的距离为X2的点P2处，

有一与6片成角e2的力F2作用着(图8-6)，问M12mX2产步

符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？

解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数

和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为

同Xisin%-尸2,25汨。2=0,

即jFjxiSinOi=|F2|x2Sine2.

6求向量a=(4-3,4)在向量b=(2,2,1)上的投影.

ab(4,3,4)(221)6

7设a=(3,5,-2),b=(2,1,4)，问入与P有怎样的关系，能使

九a+pb与z轴垂直？

解za+nb=z(3,5，-2)生(2,1,4)

=(3九+2以,5入+N,_2入+4R).

要,a+集与z轴垂直，即要(za+Mb)1(o,o,i)，即

(N+M?(0，o,i)=o，

亦即(32n,52.4口)?(0,0,1)=0，

A+r*AT+I—人干r*

故(2,+4)=0，因此2时能使.a-ub与z轴垂直.

8试用向量证明直径所对的圆周角是直角.

证如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证NACB?，

只要证明ACBG0即可.由

•=

AGBG=(AOOG)(BQOG)

_______________________________2

=A0BO+AOOC+OCBO+OC

____2一一—一..2

=-AOAOOC-AOOC+OC=0.

故AC，BC,NACB为直角.

图8-7

9已知向量a2i3jk,bij3k和ci2j，计算:

=—+=—+=—

(1)(ab)c(ac)b(2)(ab)(bc)(3)(ab)c

.+X+X

解⑴2b(2,3,1)(1,1,3)8，

♦=­♦—=

mc(2,3,1)(1,2,0)8，

(ab)c(a：)b一8(1,一2,0)8(1,1,3)(0,8,24)

8i24k.

———

⑵ab=(2，-3,1)+(1，-1,3)=(3，-4,4)，

+

bc=(I，-1,3)+(1，-2,0)=(2，-3,3)，

+

'Jk

(ab)(bc)344(0,1,1)jk.

2一33;

231

(3)(a，b)c=1-13=2.

1-20

10.已知OA=i+3k,OB=j+3k，求AOAB的面积.

解由向量积的几何意义知

x

SA0A6=—|OAOB,

__ijk

OAXOB=103=(-3,-3,1)，

013

OA-O曰=J(-3)2+(-3)2+1=Vt9SAOAB=乎

=

11.已知@=(2*,2丫，22)加=(bx,bv,bz),c(cx,cv,cz)，试利用

行列式的性质证明：

(axb)-c=(bxc)a=(cxa)b

HxSyazbxbybz

证因为（a*b）c=bxbybz,(b,c)a=CxCyCz

CxCyCZ3xayaz

c

Cxyc2

(cxa)-b=

axayaz

bxbybz

而由行列式的性质知

axayazbxbybzCxCyCz

,故

bxbybzCxCyCzSyaz

CxCyCzHxSyazb::bybz

(a>：b)c=(bxc)a=(c，a)b.

12.试用向量证明不等式：

冏印+a2b+a3b，

2

其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意实数.并指出等号成立的条件.

5

证设向量a(ai5a2]a3)b(Dbh).

由abUUcos(a,b)Ub'，从而

++I<J2+2+2J2+2+2

&ibia2b2a3b3aia?a3bib2b3

=a?=23

当a*i,a2,a3与bhbz’bs成比例，即时，上述等式成立.

bib2b3

1.求过点（3,0，-1）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方

程.

解所求平面与已知平面3x-7y+5z-12=0平行.因此所

求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为

3x_7y+5z+D=0.

将点（3，0，-1）代人上式得D=-4.故所求平面方程为

3x_7y+5z_4=0.

2.求过点Mo（2，9，-6）且与连接坐标原点及点Mo的线段OMo垂

直的平面方程.

解=（2,9,_6）.所求平面与。忖!下垂直，可取5

设所求平面方程为

2x+9y一6z+D=0.

将点Mo（2，9，-6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为

2x9y6z1210.

+一一=

3.求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.

x1y1z1

——+

解由2121210，得x3y2z0，

111121

———十

即为所求平面方程.

注设M（x,y,z）为平面上任意一点，Mi（为，%,4）。1,2,3）为

平面上已知点.由（MiM2M1M3）0,即

X

X-Xiy-yiz-Z1

x2-xiy2-yiZ2-4=0,

x3-xiy3-yiz3-zi

它就表示过已知三点Mi(i=1,2,3)的平面方程.

4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：

(1)x=0;(2)3y-1=0;

(3)2x-3y-6=0;(4)x-J3y=0;

(5)y+z=1;(6)x-2z=0;

(7)6x+5y-z=0.

解(1)—(7)的平面分别如图8-8(a)-(g).

(1)x=0表示yOz坐标面.

(2)3y-1=0表示过点(0,，°)且与y轴垂直的平面.

3

(3)2x-3y-6=0表示与z轴平行的平面.

(4)x-/3y=0表示过z轴的平面.

(5)y+z=1表示平行于x轴的平面.

(6)x-2z=0表示过y轴的平面.

(7)6x+5y-z=0表示过原点的平面.

5.求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦.

解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，

yOz，zOx的夹角分别为。1293.则根据平面的方向余弦知

n-k(2,-2,1).(0,0,1)1

COSe=COSY=____

MIN夕(-2r+1713'

ni(2,-2,1).(1,0,0)2

cose2=coSa=———5

313

I叫

n.j(2,-2,1)(0,1,0)2

cose3=COSP=——-

Nil313

6.一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a=（2,1,1"nb=，

试求这个平面方程.

解所求平面平行于向量a和b，可取平面的法向量

iJk

n=axb=211=(1,1,_3).

1_10

故所求平面为1-(x-1)+1(y-0)-3(z+1)=0,即

x+y-3z-4=0.

7.求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的

交点.

解联立三平面方程

x+3y+z=1,

2x_y_z=0,

一x+2y+2z=3.

解此方程组得x=1,y=-1,z=3.故所求交点为（1，-1，3）.

8.分别按下列条件求平面方程：

（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；

（2）通过z轴和点（-3，1，-2）；

（3）平行于x轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.

解（1）所求平面平行于xOz面，故设所求平面方程为

By+D0.将点（2，-5，3）代入，得

，即

—5B+D=0D=5B.

因此所求平面方程为

By5B0，即y50.

⑵所求平面过Z轴，故设所求平面为AxBy0.将点（-3，1，

+=

-2）代入，得

3AB0,即B3A.

一+==

因此所求平面方程为

Ax3Ay0，即x3y0.

+=+=

⑶所求平面平行于X轴，故设所求平面方程为By+Cz+D=0.

将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得

-2c+D=0及B+7C+D=0.

C=—,8=一号D.

22

因此，所求平面方程为

9D

__Dy+2z+D=0，

22

即9y_z_2=0.

9.求点（1,2,1）到平面x+2y+2z_10=0的距离.

解利用点Mo（x（）,y0,z。）到平面Ax+By+Cz+D=0

的距离公式

Ax。+By0+Czo+D

_______二cc____

-VTV_+B+C

x-3yz-1

1.求过点(4，-1，3)且平行于直线----=-=------的直线方程.

215

解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量

s=(2,1,5)，直线方程即为

x-4y+1z-3

-------=-------=--------.

215

2.求过两点1\/11(3,-2,1)和乂2(-1,0,2)的直线方程.

解取所求直线的方向向量

s=(_1_3,0_(_2),2_1)=(_4,2,1)，

因此所求直线方程为

x3y_2z1

=-2-=~1~'

3.用对称式方程及参数方程表示直线

x_y+z=1,

Y2x+y+z=4.

解根据题意可知已知直线的方向向量

ijk

s111(2,1,3).

211

-yz1,35

取X=o，代入直线方程得-J+=解得y,z.这

y+z4.=2=2

35

样就得到直线经过的一点(0,,).因此直线的对称式方程为

22

35

x-0丫2Z2

TT=1=3

参数方程为

「x=_2t,

-2

注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式

方程或参数方程得表达式也可以是不同的.

4.求过点(2,0，-3)且与直线

x2y4z70,

-3x5y2z10

垂直的平面方程.

解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即

iik

ns124(16,14,11),

352

故所求平面方程为16(x2)14(y0)11(z3)0.即

_一+一++=

16x14y11z650.

5x3y3z90,2x2y230,

5.求直线-+_=与直线+-z+

3x2yz103x8yz180

的夹角的余弦.

解两已知直线的方向向量分别为

ijkijk

S1=5-33=(3,4,-1),S2=22-1=(10,-5,10),

3-21381

因此，两直线的夹角的余弦

Si-S2

=(COSSES?)=

COS0丽

3x10-4x5-1x10

存+42+(一1)、而"+(_5『+1。2

rx+2y_z=7,r3x+6y_3z=8,

6.证明直线-与直旅平

L-2x+y+z=72x-y-z=0

行.

证已知直线的方向向量分别是

ijkijk

Si=12,1=(3,1,5),s2=36_3=(_9,-3,-15),

,2112_1_1

由S2=_3sl知两直线互相平行.

7.求过点（024）且与两平面x+2z="^ny_3z=2平行的直线

方程.

解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量

可取

ijk

x

s=nin2=102=（-2,3,1）,

01-3

故所求直线方程为

x-0y-2z-4

231

注本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可

视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线

为

「x+2z=a,

-y_3z=b.

将点（o，2，4）代入上式，得a=8,b=_10.故所求直线为

x+2z=8,

-y_3z=_10.

8.求过点（3，1，-2）且通过直x-4_yv+3_z的平面方程•

线=T

X-4_y+3_Z的平面束方程

解利用平面束方程，过直线—5~=-2一=T

j心g_z）”

522

将点（3，1，-2）代人上式得九=卫•因此所求平面方程为

20

口=7=U（T.z）=0,

52202

即8x-9y-22z-59=0.

9.求直线[x+y+3z-°,与平面x_y_z+1=。的夹角.

x-y-z=0

«jk

解已知直线的方向向量s=113=(2,4,-2),平面

1-1-1

的法向量n=

设直线与平面的夹角为华，则

sin*=icos(n,s)|=『1+4(-1)+(-2)•(-1)]

222

1胴^2+4+(-2)7?*(-1)^(-1)'

即中=0.

10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系；

x+3y.4z一仁

（1）_^=和4x_2y_2z=3;

_2-73

xyz

（2）_=_=_和3*_2y+7z=8；

3-27

X_2y+2Z_3工

（3）=2=和x+y+z=3.o

31-4

解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n，直线与平面

的夹角为Q,且

sin*=|cos(n,s)i_|­|.

।加

(1)s=(_2,_7,3),n=(4,_2,_2),

加=_|(-2)-4+(一7).(：2)+3(-2)|=°

2)2+(-7)2+32飞42+(-2)2+(-2)2'

则9=。.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A(-3，-4，

0)代入平面方程，方程不成立.故点A不在平面上，因此直线不在平

面上，直线与平面平行.

(2)s=(3,_2,7),n=(3,_2,7),由于s=n或

.|3.3+(_2).(_2)+7.7|

sing)—I二二一二1二=1，

=\丁+(一2广+77君+(一2)二+7

知cp.1，故直线与平面垂直.

2

(3)s=(3,1,_4),n=(1,1,1),由于s,n=0或

_3.1+1.1+(_4).1

/32r(.4)2.ji2rr

AV++++

知*=0,将直线上的点A(2，-2，3)代入平面方程，方程成立，即

点A在平面上.故直线在平面上.

11.求过点(1,2,1)而与两直线

x2yz10,2xyz0,

+-+=和=平行的平面

xyz10xyz0

_—+—=_+=

的方程.

解两直线的方向向量为

ijkijk

si121(1,2,3),S2211(0,1,1),

11-1==111

iJk

取n=SiS2=1-2-3=(-1」厂1),

0-1-1

则过点（1,2,1），以n为法向量的平面方程为

-1（x-1）+1（y-2）-1（z-1）=0,

即x-y+z=0.

12.求点（-1,2,0）在平面x+2y-z+1=。上的投影.

解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交

点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面x+2y—Z+1=0垂

直的直线为

x+1y_2z_0

将它化为参数方程x=_1+t,y=2+2t,z=_t,代入平面方程得

_1+t+2(2+2t)_(_t)+1=0,

2

整理得t=__.从而所求点(12,0)在平面x+2y_z+1=0上的

3

投影为（522

35353

x+y_z+1=0,

13求点P(3，-1，2)到直线,的距离.

2x_y+z_4=0

ijk

解直线的方向向量s=11_1=(0,,3,_3).

2_11

在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方

程形式

x=1,y=-2_3t,z=_3t.(1)

又，过点p(3，-1，2)，以5=(0,-3,-3)为法向量的平面方程为

-3(y+1)-3(z-2)=0,

即y+z-1=0.(2)

113

将式(1)代入式(2)得1=__于是直线与平面的交点为(1,——,—)，

222

故所求距离为

d二2隹5了.(213、/2

2

14.设M。是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向

量为S，试证：点Mo到直线L的距离

MM-9

d_011.

证如图&9,点Mo到直线L的距离为d.由向量积的几何意义知

IVhMx耳表示以此心，S为邻边的平行四边形的面积.而

MoM-Si

X|表示以「为边长的该平面四边形的高，即为点M。到直线

L的距离.于是

M0M.s

dx

=---------------------

「2x-4y+z=0,,

15.求直线-在平面4x-y+z=1上的投

L3x-y-2z-9=0

影直线的方程.

解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直

的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.

厂2x_4y+z=0,

设过直线-一一的平面束方程为

L3x_y_2z_9=0

2x_4y+z+入(3x_y_2z_9)=0,

经整理得(2+3入)x+(_4_Jy+(1_2Jz_9-=0.

由(2+3J.4+(-4_J.(_1)+(1_2J.1=0,

13

得)_.代入平面束方程，得

x-TF

17x+31y_37z_117=0.

因此所求投影直线的方程为

17x+31y_37z_117=0,

二4x_y+z=1.

16.画出下列各平面所围成的立体的图形.

(1)x=0,y=0,z=0,x=2,y=1,3x+4y+2z_12=0;

(2)x=O,z=0,x=1,y=2,z=--

4

解(1)如图8-10(a)；(2)如图8-10(b).

图8-10

1.一球面过原点及A(4，0，0)，B(1，3，0)和C(0，0，-4)三

点，求球面的方程及球心的坐标和半径.

解设所求球面的方程为

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2>

将已知点的坐标代入上式，得

a2+b2+c2=R2,(1)

2222

(a-4)+b+c=R,(2)

2222

(a-1)+(b-3)+c=R,(3)(3)

2222

a+b+(4+c)=R，(4)

联立(1)(2)得a=2,联立(1)(4)得c=-2,将a=2代入

(2)(3)并联立得b=1，故R=3因此所求球面方程为

222

(x_2)+(y-1)+(z+2)=9,

其中球心坐标为(2,1,_2),半径为3.

2.建立以点(1，3，-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程.

解设以点(1，3，-2)为球心，R为半径的球面方程为

222

(x_1)+(y_3)+(z+2)=R2,

球面经过原点，故

2222

RJ01)+(03)+(0+2)=14.

从而所求球面方程为(x1)2Jy3)2+(Z_2)214.

3.方程y2z22x4y2z0表示什么曲面？

X

解将已知方程整理成

(X-1)2+(y+2)2+(z+1)2=(<6)2,

所以此方程表示以(1，-2，-1)为球心，以、用为半径的球面.

4.求与坐标原点。及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成

的曲面的方程，它表示怎样的曲面？

解设动点坐标为(X,y,Z)，根据题意有

222

x；.(x_0)+(y-0)+(z_0)1

-x_2)\(y_3)\(z_4)"2'

化简整理得

2224222

(x+J+(y+D+(z+_)z29).

333、

242

它表示以(__1,__)为球心，以为半径的球面•

333、

2

5.将xOz坐标面上的抛物z=5X绕x轴旋转一周，求所生成的旋

线转曲面的方程.

解以+!y2+Z?代替抛物线方程z?=5x中的Z'得

即yz5x.

+=

注xOz面上的曲线F(x,z)。绕X轴旋转一周所生成的旋转

曲面方程为F(x,产一金)0.

土+=

、22

6.将xOz坐标面上的XZ9绕z轴旋转一周，求所生成的旋

+=

圆转曲面的方程.

ooo

解以yi代替圆方程xz9中的x，得

±+=

(H—亡尸法9,

+J++=

2一\22c

即xyz

+

22

7.将xOy坐标面上的双曲线4x_9y=36分别绕x轴及y轴旋转

一周，求所生成的旋转曲面的方程.

解以士jy+Z代替双曲线方程4x9y2_36中的y，

得该双曲线绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为

4x2-9(ry2+z?)2=36,

即4x2-9(y2+z2)=36.

，/2工~222

以二、X-Z代替双曲线方程4x-9y=36中的X，得该

双曲线绕y轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为

4(士G+z2)2-9y2=36,

即4(x2+Z2)_9y2=36.

8.画出下