数学高考第十单元平面解析几何

第十单元平面解析几何

第一节直线与方程

典例分析

题型一直线的倾斜角和斜率

【例1】直线XCOSQ+5/3y+2=o的倾斜角的范围是()

r57r、

B.37乃）

6

r•八5万r

C.[0,-—]

o*平

解由直线xcosa+V3y+2=0,

所以直线的斜率为k=-竺胃

V3

设直线的倾斜角为P，则tanB=-竺COS等(7

--J3COSa>/3V3,73

X--<——^<—即nn一

3V3333

,5兀、

所以Bcu匕-，乃)

o

举一反三

1.直线xcose+y-l=0(0GR)的倾斜角的范围是）

7t3万

A.[0,n）B

4'T

7171「34、

31乃）

W'ZD吟4

解析设倾斜角为a，则k=tana=-cos。.

0£R,・l<-cos（）Wl,・・・-lWtanaWl,

c兀、「357乃T

・・.ae0,—。[—^,乃）

44

答案D

题型二求直线的方程

【例2】求下列直线/的方程.

3

(1)过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是一；

⑵过点A(2,l),它的倾斜角是直线/1：3x+4y+10=0的倾斜角的一半.

3

解(1)设直线/的倾斜角为a,则sina=《，

所以tana=±3q，故的方程为丫=±彳3*+2,

3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.

(2)设直线/和4的倾斜角分别为a、B,贝ija=2,

2

巾n33八2tana

又tan3="-，故--=tan2a=----------------，

44l-(tana)

解得tan。=3或tana=--(舍去).

3

由点斜式，得y・l=3(x・2),即3x・y・5=0.

举一反三

2.直线过点(・3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线/的方程

解析山于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线在两轴上的截距都存在且不

过原点，故可设为截距式直线方程.

设直线/的方程为-+^=1，则a+b=12.①

ab

一34

又直线/过点(-3,4),则——+—=1②

ab

"a=9,[a=-4,

由①、②解得[或Y

b=3b=16.

故所求的直线方程为±+上=1或—+^=1,

93-416

即x+3y-9=0或4x-y+16=0.

题型三与直线方程有关的最值问题

【例3】直线/过点M(2,l),且分别与x、y轴交于A、B两点，0为原点.求当aAOB面

积最小时，直线/的方程.

解方法一：如图所示，直线/如果

通过一、二、三或一、三、四象限时，AAOB的面积不存在最值，因此只考虑

直线/叮x,y轴正方向相交的情况，这时斜率必为负值.

设直线/的方程为y-l=k(x-2)(k<0),

■I——]—(4+4)=4

当且仅当一4左=」一即1<=-工时，等号成立.

-k2

故直线的方程为y-l=-g(x-2),即x+2y-4=0.

方法二：设过P(2,1)的直线为-+^-=l(a>0,b>0),

ah

21

则—+—=1由基本不等式得

ah

2.2,2+一，即ab，8,

abab

1?11

SWAR--ab>4，当且仅当上=/=彳，即a=4,b=2时,等号成立.

2ab2

故直线方程为t+上=1，即x+2y-4=0.

42

举一反三

3.已知直线/过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求

△ABO的面积的最小值及此时直线/的方程.

解析方法一：设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直

线/的方程为二+2=1

ab

・・・/过点P(3,2),.\-+-=l,b=----，且a>3.

ab。一3

a1

从而^^OAB

22ci—3ci—3

故有

0("3'+6(a-3)+9/八9,

SMBO=------------------------------------=(〃-3)4------F6

4480a-3''a-3

>2j(a-3)-r^-I6-12

"r39

当且仅当a-3=，即a=6时，等号成立.

a—3

区32焉=12,此时八2x泻6=4

0—3

故直线/的方程为二+)=1,即2x+3y-12=0.

64

方法二：依题意知，直线/的斜率存在.

设直线/的方程为y-2=k(x-3)(k<0),

2

则有A(3--,0),B(0,2-3k),

s⑻二茨⑷①-讣加+6㈣+自

>112+2=1(12+12)=12

~2

42

当且仅当-9k=——时，即k=--时，等号成立，

k3

故所求直线的方程为2x+3y-12=0.

方法三：如图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.

设0=/PAM=/BPN,则

S^AOB=SAPBN+S氏方形NPMO+APMA

=—x3x3xtan^+6+—x2x2x--

22tan。

92

=6+—tan6+----

2tan。

29

>6+2.-------tan。=12,

tan。2

292

当且仅当—-=-tan^，即tanO=q时，(5)=12，

tan623AOASmin

2

此时直线/的斜率为--,其方程为2x+3y-12=0.

题型四应用问题

【例4】(12分)为了绿化城市，拟在区域ABCD内建一个草坪(如图)，另外4EFA内

部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设

计才能使草坪面积最大？

解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0),F(0,20),..............2'

所以线段EF的方程为

上+上=1

(04W30)4

3020

在线段EF上取点P(m,n),

作PQLBC于点Q,PRLCD于点R,设矩形PQCR的面积为S,则

S=|PQIIPRI=(100-m)(80-n)6'

mn<“,m

---1---=1,n=20120--/n,

又3020I303

S=(100-m)(80-20+、)

2/八218050〃、/

=-—[m-5)H------(0<m<30)

所以当01=5时,$有最大值,这时日=亚二9=5:1............10

|叫5

所以当草坪矩形的两边在BC、CD±,一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5：

1时，草坪面积最大...........................12'

举一反三

4.美丽的呼伦贝尔大草原的一条公路旁边，在某镇北偏西60°且距该镇30km处有A

村，在镇东北50km处有B村，要在公路旁修一车站C,从车站C向A、B两村修公路，

问：车站C修在公路的什么地方，可使费用最小？(结果保留1位小数)

解析以公路为x轴，该镇为原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则A、B两点坐标分别为A(-15V3,15),B(25a,25叵)，作A点关于x轴的

对称点A'(-15石，-15),连接A'B交x轴于C.：x轴是线段AA'垂直平

分线，...ICAITCA'I,

由两点式,得匕邛=芈吟

x-25V225v2+15V3

人c阳-25后572+3

令y=0,得------尸=—j=——r

X-25yl25V2+3V3

.•.x=^^-(9V3+15V2-15V6-9)«-7.7

41

...车站应修在距该镇的正西方约7.7km处.

易错警示

【例】已知直线/过点P(l,2)且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交，求直线/的斜

率的取值范围.

错解设PA与PB的倾斜角分别为。，8,

⑴kpA=tana=3^躅=tan0=-1,

则3

所以直线/的斜率k的取值范围为-IWkW*.

3

错解分析不清楚倾斜角和斜率的关系，尤其是忽略了当倾斜角为90。时，斜率不存在

这种情况.

正解设PA与PB的倾斜角分别为a,B,

kpn=tana=-,kpli=tan>9=-1,

则抬3PBp

当直线/由PA变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角由a增至90°,

故斜率的取值范围为[3,+8)：

3

当直线/由与y轴平行的位置变化到PB的位置时，它的倾斜角由90。增至

B,此时斜率的取值范围为.

综上，斜率的取值范围为(-8,-1]U[-,+8).

3

考点演练

10.(2009•广东湛江)曲线y=x，2x+4在(1,3)处的切线的倾斜角为——.

解析y，=3/一)曲线在(1,3)处的切线斜率为>L=i=l，设倾

斜角为0,且0°W0<180°0=45°.

答案45°

11.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线的方程.

解析设所求直线的方程为土+2=1.

ab

-22

丁A(-2,2)在直线上，----F—=1,①

ab

又•・•直线与坐标轴围成的三角形面积为1

A-IaI-IbI=1.②

2

a-b=l,「a-b=-1,

由①②可得，(1)[或(27

ab=2,ab=-2.

a=2,a=-1,

<Y

由⑴解得〔或一

方程组(2)无解.

b=lb=-2,

故所求的直线方程为二+工=1

21

即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.

12.设直线/的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aGR).

(1)若/在两坐标轴上截距相等，求/的方程；

(2)若/不经过第二象限，求实数a的取值范围.

解析(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等,；.a=2,即方程

为3x+y=0.

当直线不过原点时，又截距存在且相等，则微距均不为0,

Q—2

:.-------=Q—2,即a+l=l,♦、a=0,即方程为x+y+2=0.

。+1

(2)方法一：将的方程化为y=-(a+l)x+a-2,

二(a+l)>0,或「-(a+1)=0,

YY

Ia-2^01a-2^0

.•.aW-L

综上可知，a的取值范围是aW-1.

方法二：将/的方程化为(x+y+2)+a(x-l)=0(aGR).

它表示过乙：x+y+2=0与乙：x-l=0的交点(1,-3)的直线系(不包括x=l).由图象可

知的斜率为-(a+l)20,即当aW-1时，，直线/不经过第二象限.

第二节直线的位置关系

典例分析

题型一两条直线位置关系的判定和应用

【例1】已知直线L:ax+2y+6=0和直线4：x+(a-l)y+a'-1=0.

(1)试判断，与“是否平行；

(2)当2J_，2时，求a的值.

解(1)方法一：当a=l时，4:x+2y+6=0,"：x=0，i不平行于人

当a=0时,/,:y=-3,4：x-y-l=0」i不平行于4；

当aWl且afO时，两直线可化为

Z1:y—-x-3,4y-----x-(a+])

1\〃/2Q

a1

--=-------，

，2

-3工一(〃+1)

解得a=-l,

综上可知，当a=・l时,I]〃/2，否则4与‘2不平行,

方法二：由AB2=0,得a(a・l)・lX2=0,

由AC?-42GW°，得a(«2-D-lX6W0,

a(a-l)-lX2=0,a2-a-2=0,

rr

••4〃,2㈡a

a=-

X.

-1)-1X6^0a(〃2_i)¥6

故当a=-l时，卜〃％,否则4与%不平行・

(2)方法一：当a=l时，乙：x+2y+6=0,l2：x=0,

4与3不垂直，故a=l不成立.

当a#l时，I1：y=--x-3,12:y=--—x-(a+1)

21-a

.6T.112

由（z----）-------=—1=><7=—

21-6Z3

方法二：由A,A2=0，得

2

a+2(a-l)=0=>=—

举一反三

1.已知直线ax+3y+l=0与x+(a-2)y+a=0平行,求a的值.

解析当a-2=0或a=0时两直线显然不平行；

当a・2W0且aWO时.，由一二-----，得a=-l或a=3.

1a-2

o1

若a=-l,则-=--------成立，故a=-l(舍去)，则a=3.

1a-2a

2.已知直线ax-y+2a=0与(2a-1)x+ay+a=O互相垂直,求a的值.

解析由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0.

当a=l时，两方程为x-y+2=0与x+y+l=O,互相垂直;

当a=0时，两方程为y=0与x=0,互相垂直.

所以a=l或a=0即为所求.

题型二距离问题

V2

【例2］求过点A(-l,2),且与原点的距离等于J的直线方程.

2

解•••过点A(-l,2)且垂直于x轴的直线不满足题意，

设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+l),

即kx-y+k+2=0.

•••原点到直线的距离等于—,d==Y2

2TPTT2

解得k=-l或k=-7,

即所求直线方程为x+y-l=O或7x+y+5=0.

举一反三

3.与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于的直线方程是.

解析：所求直线与直线/0：2x+3y+5=0平行,

...可设：2x+3y+C=0,由与距离为屈，得

C-5

，4=可，解得C=18或C=-8,

V13

，所求直线/的方程为2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.

答案2x+3y+l8=0或2x+3y-8=0

题型三交点及直线系问题

【例3】求经过直线/]:3x+2y-l=0和乙：5x+2y+l=O的交点且垂直于直线4：3x-5y+6=0

的直线/的方程.

解方法一：由｛3x+2y-l=0,得4,。的交点P(4，2).

5x+2y+l=0,

35

又13的斜率砥=的斜率k=-1,

:y-2=-g(x+1),即5x+3y-l=0.

方法二：由/，乙，可设/：5x+3y+C=0.

V/,,12的交点可以求得为P(-l,2).

Z.5X(-1)+3X2+C=0,二C=-1,

：.l:5x+3y-l=0

方法三：过4,4的交点，

故设/:3x+2y-l+入(5x+2y+l)=0,

即(3+5X)x+(2+2X)y+(-l+X)=0,

之出=—*，解得A=1，代入上式整理得

2+2/135

1:5x+3y-l=0.

举一反三

4.已知两直线A:x+2=0,l2:4x+3y+5=0,定点A(-l,-2),求过4,12的交点

且与点A的距离等于1的直线/.

解析方法一：6，12的交点为(-2,1).

若直线/斜率存在，设所求的直线方程为y-l=k(x+2),

即kx-y+2k+1=0.①

•••所求直线与点A(-1,-2)的距离为1,

\-k+2+2k+]\4

J——1--------[=1,得k=-，代入①，得

3

所求直线的方程为4x+3y+5=0.

若直线斜率不存在，即判断过点(-2,1)且与y轴平行的直线x=-2是否

符合所求直线的条件.

•.•点A(-1,-2)到直线x=-2的距离为1,

直线x=-2,即x+2=0也符合直线/的要求,

故所求直线/的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.

方法二：4的交点为(-2,1),

过A，。交点的直线系方程是(x+2)+入(4x+3y+5)=0,

人是参数，化简得(1+4入)x+3入y+(2+5、)=0,②

|-lx(l+4A)+(-2)x32+(2+52)|

HI---------/=--------=],行人=0.

[1+44)2+(34)2

代入方程②，得x+2=0.

又•.•直线系方程②中不包含乙，

,应检验4是否也符合所求/的条件.

1-4-6+51

•.•点(-1,-2)到年的距离为।,1=1

<42+32

••」2也符合要求，

故所求直线/的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.

题型四对称问题

【例4】(12分)光线沿直线"：x-2y+5=0射入，遇直线/:3x-2y+7=0后反

射，求反射光线所在的直线方程.

J3x-2y+7=0,Cx=-l,

解方法一：由I得y

x-2y+5=0,y=2,

即反射点M的坐标为(-1,2)..............................2'

又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设点P关于直线/的对称点为P(乙,汽)

2_-()

由PP'1/，可知.尸....................................4'

3x0+5

而PP'的中点Q的坐标为(也二

2

又Q点在/上，，3x包二^—2x九+7=0

22

%2f=_17

%+53解得,°13

联立

332

-(xo-5)-yo+7=O

1732

即P'点坐标为(----,----).............1.0.'.........

1313

1732

反射光线过M(-l,2)和P'(------,-------)

1313

根据直线的两点式方程，可得

反射光线所在的方程为29x-2y+33=0...........................................12

方法二：设直线x-2y+5=0上任意一点P(%yo)关于直线的对称点

P'(x,y),则比>..........................................................3'

x0-x3

又PP'的中点。(廿①，'+)'°)在/上，

22

小可-詈+7=。

%一)'=2

x—x3

由0

x+x

3x-----0一(y+y())+7=o

2

—5x+12y-42

/=

=><13

12x+5y+28

13

.............................................................................................9

代入方程x-2y+5=0中，化筒得29x-2y+33=0,

即所求反射光线所在直线方程为29x-2y+33=0.........................12'

举一反三

5.已知A(7,-4)关于直线/的对称点为B(-5,6),则直线/的方程是()

A.5x+6y-ll=0B.6x-5y-l=0

C.6x+5y-l1=0D.5x-6y+l=0

解析：AB的中点(1,1)在直线/上，

又=--，即所求直线的斜率k=g,

65

，所求直线/的方程为y-l=((x-1),即6x-5y-l=0.

答案B

易错警示

【例】已知一直线经过点P(l,2)且与点A(2,3)和B(0,-5)距离相等，求此直线的方

程.

错解方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-l),

即kx-y-k+2=0,

即3—+2|_|0+5左+2|

，即Ik-l|=|k-7I,

解得k=4,.•.所求直线方程为4x-y-2=0.

方法二：由已知/〃AB,又左48=3旨=4

I:y-2=4(x-l),即4x-y-2=0.

错解分析方法•中忽视了斜率可能不存在的情况，方法二中忽视

了可以过AB中点的情况.

正解方法一：当/斜率不存在时，直线方程为x=l,满足条件.

当斜率存在时，解法同错解中“方法一

方法二：当/过AB中点时，直线方程为x=l.

当/〃AB时,解法同错解中“方法二”.

综上，直线/的方程为x=l或4x-y-2=0.

考点演练

10.(2009•青岛模拟)平行四边形两邻边方程是x+y+l=0和3x-y+4=0,对

角线交点为(3,3),则另两边的方程为——和——.

解析方法一：所求直线与已知直线关于(3,3)中心对称，故方程为

(6-x)+(6-y)+l=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,HPx+y-13=0和3x-y-16=0.

方法二：所求直线与已知直线分别平行，且过已知两直线的交点关于(3,3)的对称点.

设/[:x+y+c)=0,l2:3x-y+。2=°♦两已知直线的交点坐

x+y+l=0,

标满足J

3x-y-t4=0,

51

即z

(2923

「的对称点为(二，二)

\4/(3,3)

44

将z

(2.92-3

\44

\，解得G=-13,c2=-16.

所以所求直线乙：x+y-13=0,l2:3x-y-16=0.

答案x+y-13=03x-y-l6=0

11.已知正方形的中心为直线2x・y+2=0与x+y+l=0的交点，正方形一边所

在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形的其他三边所在的直线方程.

解析设与直线/：x+3y・5=0平行的边所在的直线方程为

6:x+3y+c=0.

px-y+2=0,

由(得正方形的中心坐标P(-l,0),

x+y+l=0

|-1-5||-l+c|

由点P到两直线4，/的距离相等，得后手彳百

解得c=-5或c=7(-5不合题意，舍去)，

:./]:x+3y+7=0.

又・・,正方形另两边所在直线与垂直，

・••设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.

•••正方形中心到四条边的距离相等,

\-3+a\_|-1-5|

"+32,解得a=9或a=-3,

/.正方形的其他两条边所在的直线方程为

3x-y+9=0,3x-y-3=0.

...正方形的其他三边所在的直线方程为

3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.

12.光线从A(-3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y

轴反射，这时反射线恰好过点D(-1,6),求BC所在直线的方程.

解析方法一：如图所示，依题意，B点在原点O左侧，设其坐标为(a,0),由反射角

等于入射角，得/l=N2,N3=/4,

,,kAB——^BC

4-04

又看ABE3)

-3-a

4

，即BC所在直线方程为

3+a

y='一(x-a),所以C点坐标为|0,-4a

3+aIa+3

418+10〃〃“日7

y••k=-k-

♦**BC2CD5**----=--------，解得a=--

3+a3+a5

代入BC的方程，得5x-2y+7=0.

方法二：A关于x轴的对称点A'(-3,-4),

D关于y轴的对称点D'(1,6),

由光学知识知,A'、B、C,D'四点共线，且心

则BC所在的直线方程为5x-2y+7=0.

第三节圆的方程

典例分析

题型一求圆的方程

【例11求过两点A(l,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)

与圆的关系.

解方法--:设圆的标准方程为x-a)"+(y-/?)-=r~

•.•圆心在y=0上，Ab-O,

.♦.圆的方程为+

又；该圆过A(l,4)、B(3,2)两点，

22

(l-o)+16=r,a=-1,

.,/、解得《

(3-4+4”,r2=20,

故所求圆的方程为(x+1)2+>2=20

方法二：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O,因为圆心在x轴上,

E

则■—=0,即E=0.

2

又该圆过A(1,4)和B(3,2),所以

D+17+F=0,D=2,

3D+13+F=0,解彳|F=-19.

，E=0,

所以圆的方程为/+;/+2x-19=0.

方法三:•.•圆过A(l,4)、B(3,2)两点,

•••圆心C必在线段AB的垂直平分线I上，

4-2

又：kAB=——=-1，，/的斜率为L

AB1-3

又AB的中点为(2,3),

故AB的垂直平分线的方程为y-3=x-2,

即x-y+1=0.

又知圆心在直线y=0上，，圆心坐标为C(-l,0).

半径r=IACI=J(l+l)2+42-=V20

J2

即所求圆的方程为(x*1)一+丁=201

又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为

d=IPCI=J(3+I)+4-=5>r,

所以点P在圆

举一反三

1.求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.

解析：圆经过点A(5,2),B(3,2),圆心在x=4上，又圆心在2x-y-

3=0上，.•.圆心为(4,5),可设圆的方程为(X—4)2+(>—5)2=产，又

圆过B(3,2),即(3—4)0(2—5)匕/，，产=]0,

圆的方程为(x—4)2+(y—5)2=10

题型二与圆有关的参数问题

【例2】(2009・威海模拟)已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2^0

解若F+y2+ax+2y+a2=。表示圆，则应满足

a2+4-4a2>0,B|J4-3a2>0,①

又点A应在圆外，WiJl2+22+a+2x2+6!2>0

即<72+a+9>0,②

由①②得一空<a<正

(262⑺

故a的取值范围是

要使过定点A(1,2)的圆的切线有两条.求a的取值范围.

举一反三

2.已知圆的方程/+》2+分+2>+/=0，要使圆的半径不大于且过定点

A(1,2)的圆的切线有两条，求a的取值范围.

a2>1,

4-3a2>0,

a2+a+9>0,

所以a的取值范围为(-——,-l]U[l,—).

33

题型三与圆有关的最值问题

【例3】已知实数x、y满足方程—+>2-4X+1=O.

(1)求上的最大值和最小值；

X

(2)求y・x的最大值和最小值；

(3)求V+y2的最大值和最小值.

解原方程可化为(工一2『+产=3,表示以(2,0)为圆心，6为半径的圆.

(1)-的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设工=工即丫=1«.

XX

当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时、什。=6

(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵

截距b取得最大值或最小值，此时上誉1=百，解得b=-2土后.如图2,所

V2

以y-x的最大值为-2+V6,最小值为-2-V6.

(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点

与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值，如图3.

27

又圆心到的原点的距离为A/(2-0)+(0^0)^2

所以，/+/的最大值为(^+6)2=7+4百

/+V的最小值为(2-6『=7—46

举一反三

3.已知圆C：(x—3)，(y—4)2=1,点A(-1,O),B(1,O),点P为圆上的动

点，求d=|PA『+|PB的最大值、最小值及对应的P点坐标

解析设尸(%,%)

22

则d=\PAf+|P8-=(x°+1)+年+(x0-l)+媪

=2(/2+4)+2

22

欲求d的最值，只需求3=x0+y0的最值，即求圆C上的点到原点距离平

方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点耳,巴即为所求.

设过0,C两点的直线交圆C于鸟两点,

则必加=（|℃卜1）2=16=|。周2

此时4血=2x16+2=34,“1216

T'T

练”=（|。。|+1丫=36=|。国2

此时d111aX=2x36+2=74,6传图

题型四与圆有关的简单的聂迹间毓

【例4】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+疔+)2=4上

运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

因为M是线段AB的中点，且B（4,3）,

_x0+4

<2f

、，一%+3fxo=2x-4

所以P=2，所以3①

又点A在圆（x+l『+y2=4上运动，

所以（%+1）2+靖=4②

把①代入②，得(2x-4+iy+(2y-3)2=4

整理得口一目+［得）=1-

（33、

所以点M的轨迹是以一,一为圆心，半径为1的圆.

、22）

举一反三

4.已知圆f+y2=4上一定点A（2,0）,P为圆上的动点.求线段AP中点

的轨迹方程.

解析设AP中点为M（x,y）,由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2,2y）.

：P点在圆/+y2=4±,Z.（2x-2）2+（2y）2=4

故线段AP中点的轨迹方程为（x—l『+y2=1

题型五圆的方程的实际应用

【例5】（12分）在气象台A正西方向300千米处有一台风中心B,它以每小时40千米的

速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响，问：从现在起，

大约多长时间后，气象台A所在地将受台风影响？持续多长时间？

解以气象台为坐标原点，正东方向为X轴正方向，

正北方向为y轴正方向建立直角坐标系，

如图，则现在台风中心B的坐标为(-300,0).

根据题意可知,t小时后B的坐标为

(-300+40tcos45°,40tsin45°),

即(-300+200t,20V2t).......................3'

因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受台风影响，所

以气象台A在圆上或圆内时，将受台风影响，所以令IABI

W250,即(-300+20"『+(20"『42502...................6,

整理得16j-120V2t+275W0,..........................8'

解得15后一5%/5员56..............................。

44

举一反三

5.有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之购得商品

后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知A、B两地距离为

10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低.求P

地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在的曲线方程，并指出曲线上、曲

线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.

解析如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直

角坐标系，IABI=10,

.,.A(-5,0),B(5,0),

设P(x,y).P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里).

当由P地到A、B两地购物费用相等时，即

价格+A地运费=价格+B地运费，

3a.J(x+5y+)j；遍-X-"彳J5?

化简整理，得【4'1‘J

故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影晌，大约持续6个半小

时..................................................12'

(1)当P点在以,0)为圆心，?15为半径的圆上时，居民到A地或B地购

4

货总费用相等，故此时到A地或B地购物均可.

(2)当P点在上述圆内时，

[9(x+5)2+9y2-(x-5)2+y2

3加+5『+>2>J(x_5j+y2.

故此时到A地购物合算.

(3)当P点在上述圆外时，

[9(x+5)2+9y2-(x-5)2+y2

3.J(x+5)2+y2>^(x-5)2+y2.

故此时到B地购物合算

考点演练

10.过直线2x+y+4=0和圆/+),2+2x-4y+l=0的交点且面积最小的圆的方

程是——.

解析因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是

解方程组

I2x+y+4=0,

［尤2+J+2x-4y+l=0,

得交点A昼,|）

,B(-3,2).

因为AB为直径，则其中点为圆心，即为

=|M=|V5

所以圆的方程为

答案"同

11.已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线廷2x上，其中0为坐标原

点，设圆C是AOAB的外接圆（点C为圆心），求圆的方程.

解析方法一:设A、B两点坐标分别为

由题设知

解得弘2=%2=12

所以A（6,2V3）,B（6,-2V3）^A（6,-2行）,B（6,26）.

2

设圆心C的坐标为（r,0），则r=—X6=4.

3

因此，圆C的方程为（x—4）2+y2=]6

方法二：设A、B两点坐标分别为（斗，必）,（々,力）

由题设知X：+y：=X：+%2.又yj=2/，=2X2

22

所以x）+2x,=x2+2X2，即（为一4）（玉+Z+2）=0

由X]>0,>0，可知x]=X2，

故A、B两点关于X轴对称，所以圆心C在X轴上.

设C点的坐标为（r,0）,则A点坐标为一八二一〃,

22

\7

于是有（殍r]=2x|r，解得=4,

所以圆C的方程为（x-4）2+：/=16

12.（创新题）设定点M（-3,4）,动点N在圆V+y2=4上运动，以OM、

ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.

解析如图所示，设P（x,y）,N（x0,y。）则线段OP的中

点坐标为仁,2，线段MN的中点坐标为（直针,.

x=x°_3y=>o+4

，从而<

2-2'2-2

汽=y-4.

N(x+3,y-4)在圆上，故(x+3)~+(y-4y=4

因此所求轨迹为圆(x+3『+(y—4)2=4，但应除去两点：

(点P在0M所在直线上时的情况).

第四节直线与圆的位置关系

典例分析

题型一直线与圆的位置关系

【例1】已知圆/+)3-6mx-2(m-l)y+10〃22-2m-24=0(mR).

(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线/上；

(2)与/平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离.

解⑴证明：配方得(x—3机y+[y—(吁1)丁=25

Cx=3m,

设圆心为(x,y)/lj[消去m,得/：x-3y-3=0,

y=m-l,

则不论m为何值，圆心恒在直线/:x-3y-3=0±.

(2)设与平行的直线是4:x-3y+b=0.

则圆心到直线4的距离mW『二嘿

•.•圆的半径为r=5,

.•.当d<r,即-5J15-3Vb<5J1U-3时，直线与圆相交;

当d=i•，即b=±5J16-3时,直线与圆相切;

当d>r,即b<-5jlU-3或b>5厢-3时，直线与圆相离.

举一反三

1.(2009•启东调研)已知圆C：(x+1)~+(y—2y=6，直线/:mx-y+l-m=0.

(1)求证：无论m取什么实数，直线/与圆C恒交于两点;

(2)求直线/被圆C截得的弦长最小时/的方程.

解析(1)证明：I:m