初高中数学衔接教材

初高中数学衔接教材

现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，

而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方

程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不

等式常用的解题技巧。

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的

重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究

闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作

要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等

式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、

下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视

为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理,

相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

目录

第一章：数与式的运算和因式分解

1.1数与式的运算

1.1.1绝对值1.1.2.乘法公式1.1.3.二次根式1.1.4.分式

1.2分解因式

第二章：方程、函数、方程组、不等式组

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表示方式

2.2.3二次函数的简单应用

2.3方程组不等式

2.3.1二元二次方程组解法2.3.2一元二次不等式解法

第三章：相似形、圆

3.1相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理3.1.2相似形

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”3.2.2儿种特殊的三角形

3.3圆

3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2点的轨迹

1.1数与式的运算

1.1.1.绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对

a,a>0,a(a>0)

值仍是零°即I。1=<0,〃=0,或同=<

-a,a<0.-a(a<0)

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

两个数的差的绝对值的儿何意义：I。-耳表示在数轴上，数〃和数b之间的距离。

例1解不等式：|x-l|+|x-3|>4o

解法一：由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得x=3；/____匕d______

①若x<l,不等式可变为一(％T)-。-3)>4,pCABD

即—2x+4>4,解得*<0,—［：一―［--------总

k

又xVl,Ax<0；Y---)

②若1<x<2,不等式可变为(x-l)-(x-3)>4,即1>4,\x-\\

•••不存在满足条件的X;图LL1

③若xN3,不等式可变为(x—l)+(x—3)>4,

即2x-4>4,解得x>4。

又x23,•*.x>41,

综上所述，原不等式的解为xVO,或x>4。

解法二：

如图1.1-1,卜-1|表示x轴上坐标为x的点〃到坐标为1的点/之间的距离I必|,即

必|二|x—l］；*—3|表示X轴上点尸至挫标为2的点8之间的距离|阳，即|阕=|/一3|。

所以，不等式卜-1|+k-3|>4的几何意义即为|掰+|阳>4。

由=2,可知点P在点。(坐标为0)的左侧、或点尸在点〃(坐标为4)的右侧。

x<0,或x>4。

练习

1.填空：(1)若忖=|一4|,则％=；

(2)如果时+网=5,且a=-1,贝U/?=；

(3)若|l-c|=2,贝Uc=o

2.选择题：下列叙述正确的是()

A、若同=例，则a=bB、若同〉同，则a>b

C、若a<b,则同<wD、若同=同,则a=±匕

3.化简：|x—51—12%—131(5<x<6)o

4、解答题：已知,一3|+j2Y—4+(c+5)2=0,求a+b+c的值。

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+勿(。一份=。2一/；

(2)完全平方公式(4±6)2=二±2"+〃。

【揭示乘法公式的几何意义】

从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形,

上述操作所能验证的等式是()

A、(a+6)(a—b)=a~—b~

B、(a-b)2-a2-2ab+b2

C»(a+/>)~=a~+2ab+b~

D、a2+ab-a(a+b)

完全平方公式：3+6)2=/+2"+。2;

1.将字母看作非负数；

2.平方式构造正方形，底数即为边长；

3.两个字母相乘则构造长方形，两个字母即为长与宽。

【设计与创造】

请在下面正方形内设计一个方案，使之能解释公式：

(a+Z?)2=(a-A)?+4ab

【利用图形探索】

2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个

一模一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的•个大正方形。若直角三角形的较长直角边为。，较短直

角边为从斜边为c,那么你能得到关于必从c的什么等式？

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(a+匕)(/_帅+匕2)=/+〃3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)-a3-b3

(3)三数和平方公式(a+b+c):+/+(?+2(ab+0c+ac)；

(4)两数和立方公式(a+b)3=/+3a%+3ab2+"；

(5)两数差立方公式(。一份3=/一3。28+3"2—/。

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。

例1计算：(x+l)(x-l)(x2-X+1)(X2+X+1)O

解法一：原式=，-1)[*2+1)2一*2]=*2一1),+》2+1)=%6一1。

236

解法二：原式=(X+1)(X~X+1)(X—I)*2+X+1)=(X+1)(/-l)=X-lo

例2已知a+/?+c=4,ab+be+ac-4,^.a2+b2+c2

：a~+Z?~+c~=(a+b+c)~—2(ab+be+tzc)=8。

例3、试探索3+。)，(a+b)4,(a+b)s,(a+b)6,.....

练习：

1.填空：(1)-a2--b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4〃？+>=16"/+4〃？+()；

(3)(a+2b-c)2^a2+4b2+c2+()□

2.选择题：(1)若f+Lwr+Z是一个完全平方式，则左等于()

2

A>m~B>—m2C>—tn~—m2

4316

(2)不论a,b为何实数，”2+从一2。一4匕+8的值()

A、总是正数B、总是负数C、可以是零D、可以是正数也可以是负数

3、计算：

(1)103X97(2)19982-1997x1999(3)(l-2x)(l+2x)(1+4x2)(1+16x4)

4、找规律与为什么

观察下列等式：『-()2=1,22-I2=3,32-22=5,42-32=7,....

用含自然数n的等式表示这种规律:

并证明这一规律。

5、观察下列等式：152=225,252=625,352=1225,……

个位数字是5的两位数平方后，末尾两个数有什么规律？

你能证明这一规律吗？

6、一个特殊的式子

2

已知：X+-1=2,求：X“+—1的值。

1"21"

变式：％——=2,求：％十一子的值。

%X

11

再变:％2H—=2,求：xH-的值。

XX

7、公式的拓展

(1)完全平方公式的拓展一

推导(4+A+C)2=____________________________________

练习:(2a_6_3c______________________________

(2)完全平方公式的拓展二

观察下面的式子(I)

1

11

121

1331

14641

(a+6)2=/+2ah+b2,(a+b)3^a3+3a2b+3ab2+b3,(a+h)4a4+4a5b+6a2b2+4ahy+bA

根据前面的规律，(。+份5=____________________________________

(3)平方差公式的拓展

推导(a+b+c)(a-匕一c)=____________________________________

练习：化简(2a~b—3c)(2。­b—3c)

1.1.3.二次根式

一般地，形如G(aNO)的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽方

的式子称为无理式。例如3a+yja2+b+2b,V7寿等是无理式，ffi]V2x2+—x+1,

2

x2+42xy+y2,而等是有理式。

1.分母(子)有理化：把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化。

为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式

相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如及与

夜，3〃与G，也+娓与密-瓜,20-3及与2百+3行，等等。一般地，a&与G,

a>Jx+hy[ya^fx-by[y,与互为有理化因式。

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；

而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运

用公式右后=疝("20*20)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通

过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括

号与合并同类二次根式。

a,cz>0,

2.二次根式A/当的意义=|。|=

-a,a<0.

例1将下列式子化为最简二次根式：(1)同；(2)V^¥(d>0);(3)而7(x<0)。

解：(1)Vi^=2而；(2)7^=14振=4振(aN0);

63i

(3)^4-xy=2^x^y[y=-2xyfy(x<0')o

例2计算：艮(3-底。

G"(3+6)_36+3=3(6+1)=K+l

解法一：V3(3—V3)=

3-V3(3-V3)(3+V3)9-362

百=6=]=百+]也+1

解法二：6十(3—6)=

3-6V3(V3-1)V3-1(V3-1)(73+1)2

例3试比较下列各组数的大小:

(1)vi2->/n^vn-Vio；(2)-7=3—^2V2-V6o

V6+4

(阮-而)(症+而)]

解:(i)

g群叵F7i2+vnVi2+Vii

vn一厢(而ynj)(vn+厢)i

VTI-V10

1-VTT+Tio-VTT+Vio

xVi2+vn>vn+vio.VT2-A/TT<VTT-VH)0

(20-厢(2亚+厢_2

(2)V2V2-V6=

2亚-2V2+V6

又4>2啦，，m+4>m+2班,:,*〈2邑娓。

例4化简：(6+四产.(6-0产。

解：(6+V2)2004.(V3-V2)2005=(V3+V2)2004.(V3-V2)2004.(V3-V2)

=[(G+V2)-(A/3-V2)]2004-(V3-V2)=l2om-(V3-V2)=V3-V2o

例5化简：(1)79-4>/5；(2)KH—5—2(0<X<1)o

22

解：(1)原式=>/5+4逐+4=J(⑹2+2x2x6+22=7(~^5)=|2-V5|=V5-2O

(2)原式=x—,°；0<x<1,—>1>X,所以，原式=—Xo

XX

例6已知x=—噌,y=«+噌,求3/一5孙+3>2的值。

V3+V2V3-V2

解：•；x+y=9-？++噌=«—6)S+叵Y=0

J3+J2V3-V2

xy=£一g+噂=],3/-5移+3)7=3(x4-y)2-1=3x102-11=289。

J3+J2J3-J2

"1)益=

练习；(2)4724-6754+3796-2V150

(3)若J(5—x)(x—3)2=(x—3)VT^,则x的取值范围是

⑷若x等Jx+1-Jx-1+Jx+1+dx-1

则

Jx+1+Jx-1J%+1-yjX-1

2.选择题：等式「^=工^成立的条件是（

)

Vx-27x72

(A)"2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

3.若6=正三通三，求”+b的值。

a+1

4.比较大小：2-小亚一:（填“>或"V”)o

化简+。

5、

孙一）厂xylx-yyly

6、解答：设X=求代数式—+盯+1的值

V3—2J3+2x+y

1.1.4.分式

6A

1.分式的意义：形呜的式子，若中含有字母,且8/0,则称刍为分式。

B

A

当，后o时，分式a具有下列基本性质:AAxMA

；

B~B~BxM书—B+M°

a

2.繁分式：像工智士“这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

c+d2m

〃+p

.5x+4AB

例1若----二—+，求常数48的值。

x(x+2)xx+2

..A,BA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4二广解得A=2

解:•--r

Xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)8=3

1_1111

例2(1)试证:（其中〃是正整数）；（2）计算:+•■•+—

〃(/i+l)n〃+lb72M9x10

上1111

(3)证明：对任意大于1的正整数有---+----+•••+一<一o

2x33x4n(n+1)2

1.111

(1)证明：•/__1_=5+1）一〃（其中〃是正整数）成立。

n〃+l〃(〃+l)〃(〃+l)〃(〃+1)n〃+1

(2)解：由(1)可知----1------1---1------(1--)+(---)+•­•+(---)=1--=—

1x22x39x102239101010

11_.11..11、_LJ_)J_L,

(3)证明：-：—+—+■■■+^71i=(2-i)+(i-4)+•••+

2x33x4nn+12n+1

又“22,且A是正整数，.•.—7一定为正数，.•.」一+」-+…+—^V：。

〃+12x33x4〃（〃+1）2

例3.设夕=£,且P>1,2c2-5ac+2a2=0,求P的值。

a

解：在2c2—5ac+2〃=0两边同除以2a2,得2夕？一52+2=0,

(2p—1)(p—2)=0,/.p=1<1(舍去)，或夕=2。p=2O

练习1.填空题：对任意的正整数〃，一?一=—(--——)；

n(ji+2)nn+2

选择题：若主2=2,则土=()(A)1(B)-4

2.(D)

x+y3y45t

3.正数满足V-y2=2D，求匕的值。

x+y

4xab

4、若-z---=-------------则/+/的值是

x~—4x+2x—2

计算上+111

5、-----1----+-…+

2x33x499x100

习题L1A组

1.解不等式：⑴k一1|>3；

(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-l|+|x+1|>6o

2.已知x+y=l,求+y3+3村的值。

3.填空：(1)(2+G*(2—⑨9=

(2)若皿-4。+皿+4=2,则“的取值范围是

1]]]]

(3)

1+V2V2+V3V3+V4V4+V5V5+V6

B组1.填空：(1)a=Lb=-hill3a_二ab_

23'3a2+5ab-2b2

(2)若,+xy_2y2=0,则—=__________

x2+r

2.已知：x=—,y=->求,-f——l的值。

2-3y/x-yfy«+6

C组1.选择题：(1)若。-a-b-2Jab=J~~b—J—a，则)

(A)a<b(B)a>h(C)a<b<0(D)b<a<0

(2)计算ag等于()

(A)J—a(B)\[u(C)7-a(D)—y[ci

2.解方程2。2+二)一3(x+」)—1=0。

厂X

1111

3.计算:----+-------F----+■••+

1x32x43x59x11

1111

4.试证：对任意的正整数----------1F,••H<4

1x2x32x3x4-------〃("+1)(〃+2)

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应

了解求根法及待定系数法。

1、提取公因式法

例2分解因式：(1)a2(b-5)+a(5-b)(2)x3+9+3x2+3x

解：(1)a2(h-5)+a(5-h)=a2(b-5)-a(b-5)=a(b-5)(a-i)

323222

(2)x+9+3x+3x=(x+3x)+(3x+9)=x(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x+3)0

或1+9+3/+3》=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]=(X+3)(/+3)

课堂练习:

一、填空题：1、多项式6x?y-2x)P+4xyz中各项的公因式是。

2、m(x—y)+〃(y-x)=(x—y)・。

3、m[x-j)2+n(y-x)2=(x-y)2・。

4、m[x-y-z)+«(>,+z-x)=(x-y-z)•□

5、m\x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)•0

6、-13afe2x6-39aVx5分解因式得。

7.计算99?+99=

二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上"X”)

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bm+m=m(a+b)()

3、-3x3+6x2-15x=-3x(x2+2x-5)()4、xn+xn-'=x"-'(x+l)()

2、公式法

例3分解因式：（1）-a4+16(2)(3x+2y)2_(x_y)2

解：(1)-a4+16=42-(a2)2=(4+o2)(4-a2)=(4+«2)(2+a)(2-a)

(2)(3x+2y)2—(x—y)2=(3x+2y+x-y)(3x+2y—x+y)=(4x+y)(2x+3y)

课堂练习

一、a2-2ab+h2,a~—b2,的公因式是□

二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上"X”)

1、#一0.01=旨]_(0.1)2=(|x+0.1)旨—0.1)()

2、9a2-8/=(3”_(4-2=(3a+4")(3a-4b)()

3、25a2_®=(5a+48)(5"4»()

4、-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)()

5、a?―(b+c)2=(a+6+c)(a-b+c)()

五、把下列各式分解

1、—9(m-n)2+(m+n)22、3x2--

3

3、4-(X2-4X+2)24、X4-2X2+1

3、分组分解法

2

例4(1)-盯+3y-3x(2)2x+x>>-/-4x+5y-60

解：(1)x2-xy+3y-3x=(x2-xy)+(3y-3x)=x(x-y)-3(x-y)=(x-y)>(x-3)

或一—盯+3y-3%=(，―31)+(_*丫+3y)=x(x-3)-y(x-3)=(x-3)<(x-y)

(2)2x~+xy—y~-4x+5y—6=2尸+(y—4)x—+5y-6

~2厂+(y—4)x—(y—2)(y—3)=(2x—y+2)(x+y—3)o

或2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

=(2x—y+2)(x+y—3)o

课堂练习：用分组分解法分解多项式

(1)x2-y2+a2-b2+2ax+2by(2)a2-4ab+4b2-6a+12b+9

4、十字相乘法

例1分解因式：(1)x2—3x+2；(2)x2+4x—12；(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)

xy-l+x-yo

解：(1)如图1.1-1,将二次项/分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1

与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3必就是，-3x+2中的一次项，所

以，有——3x+2=(x—1)(x—2)o

<1:X；

X-21-21/ox—by

图1.1-1图1.1-2图1.1-3图1.1—4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.1-1中的两个x用1

来表不(如图1.1—2所小)。

x+6)。A"X^"1

(2)由图1.1—3,得X2+41-12=(x—2)(

y/、1

图1.1-5

(3)由图1.1—4,Wx2-(«+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)

(4)xy-l+x-y=xy+(x—y)—1=(x—1)(k1)(如图1.1—5所示)。

课堂练习

一、填空题：1、把下列各式分解因式:

(1)x1+5x-6=0(2)x1-5x4-6=

(3)x2+5x+6=0(4)厂—5x—6=

(5)%2一(a+l)x+a=_o(6)/一llx+18=_

(7)6x2+7x+2=0(8)4/772—12/71+9=

(9)5+7x-6/=□(10)ilx1+xy-Gy2

、X2-4x+____________=(x+3*x+_________)

3、若X2+ax+b=(x+2、x-4)则a=,b-

二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)

1、在多项式(1)x2+7x+6(2)x2+4x+3(3)X2+6X+8(4)X2+7X+10,(5)x2+15x+44

中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式1+8帅-33/得()

A>(a+ll)(a-3)B、(a+llb)(a-3b)C、(a-Ub)(a-3b)D、(a-llb)(a+3b)

3、(a+by+8(a+b)—20分解因式得()

A、(a+b+10)(a+/>-2)B、(a+Z?+5)(a+b-4)

C>(a+6+2)(a+b-10)D>(a+b+4)(a+b-5)

4、若多项式x?-3x+a可分解为(无一5)(x-〃)，则a、匕的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,b=—2C、a=—10,b=—2D、a=-10,b=2

5、若x?+znx-10=(x+a)(x+b)其中a、A为整数，则机的值为()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

1、6(2p-q)2-1l(q-2P)+32、«3-5a2b+6ab2

3、2y2-4y-64、b4-2b2-8

5、关于x的二次三项式ax2+8x+c(aW0)的因式分解。

若关于x的方程ax?+云+c=0(aR0)的两个实数根是$、x2,

则二次三项式ax?+6x+c(aW0)就可分解为。。-王乂刀-々)°

2

例5把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)?+2x-l；(2)x+4xy-4/o

解：(1)令/+2x—l=0,则解得玉=一1+0，x2=-l-V2,

x~+2x-l=1+V2)J—(—1—V2)J=(x+1—y[^)(x+1+V2)o

(2)令J+4肛一4y2=0,贝lj解得A,=(—2+20)y,石=(一2—2五)y,

，X2+4Ay-4/=[x+2(l-V2)j][x+2(l+V2)j]。

练习1.选择题：多项式2/-xy-15)，2的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)4+6x+8=(2)8a3一少=

(3)Y~2X—1(4)4(x-y+l)+y(y-2x)。

习题1.21.分解因式：

(1)a3+1=

(2)4X4-13X2+9；(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2.在实数范围内因式分解：

(1)x2-5x+3；(2)x2-2y[2x-3；

(3)3x2+4xy-y2；(4)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12□

3.A4BC三边a,h,c^J^a2+b2+c2^ab+bc+ca,试判定AABC的形状。

22

4.分解因式：xx—(a—a)o

1.2分解因式

1.B2.(1)(x+2)(x+4)(2)(2a—。)(4〃+246+/)(3)(x-1-V2)(x-1+V2)

(4)(2-y)(2x-y+2)。

习题1.21.(1)(a+l)(tz2-a+l)(2)(2x+3)(2x-3)(x+l)(x-l)

(3)9+c)(b+c+2a)(4)(3x-y+4)•(x+2y-1)

2.(1)x_5+占卜_5一即；⑵(%—正—灼(x—a+君)；

(3)3-2)][x+2+3"?；(4)(x-3)(x+l)(x-1-V5)(x-1+V5)o

3.等边三角形4.(x-a+l)(x+a)

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：

(1)X2+2X-3=0；(2)X2+2X+1=0；(3)x2+2x+3=0o}

用配方法可把一元二次方程0?+8%+，=0(aWO)变为(x+2/=生二当上①

2a4a-

?.4<32>0O于是

(1)当IQO时，，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数

根生圾心丝；(2)当斤一4@「=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等

2a

h

的实数根/=/=-2；(3)当^-4ac<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左

A

边(X+2)2一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。

2a

由此可知，一元二次方程a/+8x+c=0(aWO)的根的情况可以由斤一4ac来判定，

我们把毋一4ac叫做一元二次方程尔+1+，=0«/0)的根的判别式，通常用符号

来表示。

综上所述，对于一元二次方程ax?+6x+c=O(aWO),有

(1)当△>()时，方程有两个不相办2+bx+c=0等的实数根/2=TH’、一〃。；

2a

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根，M=、2=—2；

2a

(3)当AV0时，方程没有实数根。

例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方

程的实数根。

(1)x2—3x+3=0；(2)x~—ax-1=0；

(3)x2—ax+(a-1)=0；(4)x2—2x+<a=0o

解：(1)•.•△=32—4XlX3=-3<0,.•.方程没有实数根。

(2)该方程的根的判别式△=a?-4X1X(-l)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等

的实数根为=""三，&呼L

(3)由于该方程的根的判别式为△=3-4XlX(a—l)=才-4a+4=(a-2)2,

所以，①当a=2时，△=(),所以方程有两个相等的实数根为=题=1；

②当aW2时，△>(),所以方程有两个不相等的实数根用=1,x2=a-10

(4)由于该方程的根的判别式为△=22-4XlXa=4-4a=4(l—a),所以

①当A>0,即4(1—a)>0,即aVl时，方程有两个不相等的实数根西=1+"%，

x2=l-vl-a;

②当△=(),即a=l时，方程有两个相等的实数根用=用=1；

③当AVO,即a>l时，方程没有实数根。

说明：

在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题

过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论。

分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运

用这一方法来解决问题。

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

-b±7b2-4ac

若一元二次方程ox2+Ax+c=0（aWO）有两个实数根x1,2

2a

-b+“2-4〃c-b7b2-4〃c-2bb

则有x+x-------------F------------=---=---

x22a2a2aa

_-b+yjb2-4ac-h-yih2-4ac_b2-(h2—4ac)_4ac_c

2a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

b(、

如果ax2+6x+c=0(aWO)的两根分别是苞，/，那么X]+x,=-一，-x=-o这

a2~a

一关系也被称为韦达定理。

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程/+0x+q=O,若花，々是其两根，由韦

=

达定理可知，Xl+x2=­p,Xj-X2=q,即P=一（再+%2），QX{-X2,

所以，方程X?+px+q=0可化为/—（为+了2）x+X]=0,由于X”是一元二次方

程/+0汗+?=0的两根，所以，苟，X?也是一元二次方程/一（X]+%2）x+X]=0。因此有

以两个数为，X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X2—（M+X2）X+X「X2=0。

所以，方程的另一个根为一3,4的值为一7。

5

例2已知方程5%2+H一6=0的一个根是2,求它的另一个根及A的值。

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出A的值，再由方程解出

另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的

一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两

根之和求出力的值。

解法一：是方程的一个根，，5X22+4X2—6=0,.,.4=一7。

a

所以，方程就为5f—7x—6=0,解得范=2,x2=--o

解法二：设方程的另一个根为/，则2/=