第11讲 函数的奇偶性（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册上海专用）

第11讲函数的奇偶性第11讲函数的奇偶性知识梳理与应用主要考察一：奇偶性的定义与判断1、轴对称图形与中心对称图形轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.性质：对称点的连线被对称轴垂直平分.中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.性质：对称点的连线被对称中心平分.2、偶函数与奇函数偶函数：关于原点对称，；奇函数：关于原点对称，；偶函数等价形式：关于原点对称，；奇函数等价形式：关于原点对称，； 定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件.若定义域不关于原点对称，则函数必为非奇非偶函数.3、函数运算与函数复合的奇偶性 运算或复合后定义域依然关于原点对称的情况下运算：奇奇=奇；偶偶=偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶；复合：奇（奇）=奇；奇（偶）=偶；偶（奇）=偶；偶（偶）=偶.4、常见的奇偶函数模型常见的奇函数模型：奇次幂函数及其线性组合：；定义域关于原点对称，函数是奇函数；指数复合：；对数复合：，；；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~常见的偶函数模型：偶次幂函数及其线性组合：；定义域关于原点对称，函数是偶函数；自变量加绝对值：；指数复合：；

基础1：判断函数的奇偶性【例1】（编者精选）★★☆☆☆写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）；；（2）；（3）；（4）；（5）【答案】答案见解析【详解】（1）此函数的定义域为R，，∴此函数为奇函数．（2），∴此函数的定义域为∴此函数为偶函数（3），∴此函数的定义域为，∴此函数为偶函数（4），∴此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数（5），，∴此函数的定义域为∴此函数既是奇函数又是偶函数【例2】（2021·上海徐汇区·高三二模）★★★☆☆已知函数．针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．【答案】当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．【详解】函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；又当a＝0时，，则；对任意x∈[﹣1，1]都成立，综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．【练习】（2020·上海市建平中学高一月考）★★☆☆☆已知，判断并证明的奇偶性.【答案】奇函数．证明见解析．【详解】为奇函数，证明：函数的定义域为关于原点对称．，又.，为奇函数．

基础2：根据函数的奇偶性求参数【例3】（2021·上海市建平中学高一期末）★★☆☆☆若函数是偶函数，则实数的值是（）．A．-1 B．0 C．1 D．不唯一【答案】C【详解】因为函数是偶函数,所以,即,解得:a=1故选:C.【例4】（2020·上海市新场中学高三月考）★★★☆☆已知函数，若函数为奇函数，则实数为（）.A． B． C． D．【答案】B【详解】由为奇函数，且，可得时，，所以，令，经检验满足故选：B.【练习】（2020·上海崇明区·高三月考）★★★☆☆函数为偶函数的充要条件是（）.A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，则，则函数为偶函数的充要条件是的定义域不为空集，且关于原点对称，不等式有解，即有解，，.故选：C.主要考察二：函数的奇偶性的应用基础1：根据奇偶性求函数值【例5】（2021·上海高一期末）★★★☆☆若是定义在R上的奇函数，当时，，则__________．【答案】【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，又由当时，，则，所以.【例6】（2021·上海市大同中学高三月考）★★★☆☆定义在上的函数，其中是奇函数，满足且，则___________.【答案】【详解】为奇函数，，，解得：，.【例7】（2020·华东师范大学第一附属中学高一月考）★★★☆☆已知，若，则________.【答案】-7【详解】因为令，则.所以，.【练习】（2019·上海市七宝中学高一月考）★★★☆☆已知函数是奇函数，且，则________.【答案】-5【详解】函数是奇函数，即，由，所以.故答案为：-5【练习】（2015·上海市南洋模范中学高三月考）★★★☆☆设为定义在上的奇函数，当时，fx=2x+2x+m，则【答案】【详解】由题意，因为函数是上的奇函数，则，解得，即当时，函数，又由.故答案为：.

基础2：根据奇偶性画函数图像【例8】（2016·上海松江区·高一期末）★★☆☆☆已知函数;（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）画出函数的图像；【答案】（1）；（2）是偶函数；（3）图像见解析.【详解】解：（1），，解得．函数的定义域为．（2），函数是偶函数．（3）由（2）知当时，，当时，，且，先作出时，的图象，再由偶函数的图像关于轴对称的性质作出时，的图像，由此能画出函数的图像，如下图所示．【例9】（2019·上海市高桥中学高一期末）★★☆☆☆定义在上的奇函数在轴右侧的图象如图所示：（1）将该函数图像补完整;（2）求不等式的解集.【答案】（１）见解析（２）见解析【详解】（１）根据函数的奇偶性可得该函数图像：（２）设点Ａ点坐标为，点Ｂ点坐标为，其中由图像可知不等式的解集为：．【练习】（2020·上海市杨浦高级中学高一期中）★★★☆☆设函数（1）求定义域D；（2）在平面直角坐标系中画出函数的图像；（3）试说明函数图像关于y轴对称；（4）解不等式．【答案】（1）；（2）图像见解析；（3）答案见解析；（4）．【详解】根据题意得，所以所以函数的定义域由当且时，，当且时，其图像如下:设，则所以函数为偶函数，则图像关于y轴对称.（4）若时，，即，解得，所以若，，则恒成立，所以无解，若，，则恒成立，所以成立，综上，的解集是．进阶1：根据奇偶性求解析式【例10】（2015·上海市七宝中学高一期中）已知定义在上的奇函数，当时，，则的解析式是________.【答案】【详解】因为是定义在上的奇函数，所以：当时，，当时，，，又有，所以，所以.故答案为：.【练习】（2019·上海复旦附中高一期中）★★★☆☆设函数为定义在上的奇函数，且当时，.求函数的解析式；【答案】；【详解】（1）令则，由于函数为奇函数，故.所以函数的解析式为.进阶2：根据奇偶性求函数最值相关问题【例11】（2020·上海高一专题练习）★★★★☆若，都是奇函数，在上有最大值，则在上有（）.A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值【答案】C【详解】因为、为奇函数，∴为奇函数．又有最大值5，∴在上有最大值3，∴在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．故选：C【例12】（2020·上海高三其他模拟）★★★★☆函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.【答案】【详解】因为设，所以；则是奇函数，所以在区间上的最大值为，即，在区间上的最小值为，即，∵是奇函数，∴，则.故答案为：2．【练习】（2019·宝山区·上海交大附中高一期中）★★★★☆已知、是常数，且，若函数的最大值为10，则的最小值为_____.【答案】【详解】函数，设，其定义域，则所以为奇函数，可得的最大值点和最小值点关于原点对称，，所以，所以.故答案为：.

1、（2021·上海黄浦区·高三一模）★★★☆☆已知实数是常数，函数.求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；【答案】（1）定义域为，为偶函数，理由见解析；【详解】（1）实数是常数，函数，由，解得.函数的定义域是.对于任意，有,，即对都成立(又不恒为零)，∴函数是偶函数.2、（2016·上海上外附中高一期末）★★★☆☆已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求当