第14讲 函数的值域与最值（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册上海专用）

第14讲函数的值域与最值第14讲函数的值域与最值知识梳理与应用类型一：分式类型函数最一般形式：常见的为：分子分母中至多有一个为2次多项式基本思路：1.换元：分子或分母为一次多项式时，可换元；复合函数，外层为分式函数时，内层可换元；2.分离整式：即可得到反比例函数形式、对勾函数形式或蝴蝶函数形式；3.单调性或基本不等式：如果满足平均值不等式的使用条件可直接应用求最值；若不满足可根据单调性求值域/最值；示例： （1）即可判断单调性 （2） 亦可换元： 令，则即可使用平均值不等式或判断单调性； （3） 定义域：且，换元：令则且, ， 时，；（注意分类讨论，0不能做除数） 时，即可判断单调性【例1】（2018·上海普陀区·曹杨二中高三月考）★☆☆☆☆函数，的值域是________.【答案】；【详解】,因为,故，故.【例2】（2017·上海市洋泾中学高一月考）★★☆☆☆已知，函数的值域为___________.【答案】.【详解】.因为，所以，当且仅当时取“”.所以.故答案为：.【例3】（2019•复旦附中高一上期末10）★★★★☆对于函数，若对于任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是．【答案】，【解答】解：不妨设，由题意可得恒成立分离整式：由于，单调性：①当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．②当，在上是减函数，值域为由，可得，解得．③当，在上是增函数，值域为，由，可得，解得．综上可得，，故实数的取值范围是，.【练习】（2017·上海市松江二中高一月考）★★★☆☆函数的值域为_________________．【答案】[－1,1)【解析】由题可得，由易得0<≤2，故y∈[－1,1)，所以函数的值域为[－1,1)．【练习】（2021·上海杨浦区·复旦附中高一期末）★★★☆☆若函数的值域为，则实数的取值范围是__________.【答案】【详解】由题意，当，即时，函数在单调递增，故，值域为恒成立；当，即时，，当且仅当，即时取等，又在单调递增，且，若值域为，则有，解得，综上所述，的取值范围为，故答案为：.

类型二：含绝对值类型函数含有绝对值的函数，一般都可以通过写成分段函数去绝对值来解决问题.但有些特殊的形式出在客观题位置时，可以直接应用结论：，形式若，开口向上，有最小值，为；若，开口向下，有最大值，为；若，就最大值为，也有最小值为，形式若,最大值为，最小值需判断和的位置关系若,最小值为，最大值需判断和的位置关系证明： 不妨设则所以图像如下， ，【例4】（2021·上海市大同中学高一期末）★★★☆☆函数的最大值为3，则的取值范围为______________.【答案】【详解】解法一：根据上述结论，最大值为，则，解得.解法二：当时，；当时，；当时，；所以函数式可化为函数图象如图所示：因为时最大值为3，又当时，，当时，；由图知，.【例5】（2021·上海黄浦区·高三二模）★★★★☆已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.【答案】【详解】分以下三种情况讨论：①若时，即当时，，所以，函数在上单调递减，且，当时，，此时，函数无最小值；②若时，即当时，，当时，，当时，.，所以，，整理可得，，解得（舍去）；③当时，即当时，，当时，，当时，.因为，所以，，整理可得，，解得或（舍去）.综上所述，实数的取值集合为.故答案为：.【练习】（2020华师大二附中高二期末）★★★☆☆已知的最小值为，则的值__________.【答案】【详解】解：，根据上述结论，其最小值为.得，，得，舍去.故.【练习】（2019·上海位育中学高二期末）★★★☆☆已知函数，若当时，函数都能取到最小值，求实数的取值范围.【答案】【详解】当时，，若函数都能取到最小值，则不是的子集，当是的子集时，，解得，因为不是的子集，所以或；同理：当时，，因为不可能是的子集，所以此时函数都能取到最小值当时，，其在时明显有最小值，综上所述：的取值范围是.类型三：含根式类型函数【例6】（2015·上海理工大学附属中学高一月考）★★★☆☆函数的值域是____________.【答案】【详解】解：由得，即函数的定义域为，设，则，且，即，则原函数等价为，，，即函数的值域为，故答案为：【例7】（2018·上海市市西中学高三期中）★★★☆☆函数的值域是________.【答案】【详解】由题，又故的值域是，故答案为：.【练习】（2018·上海浦东新区·高三三模）★★★☆☆的值域是_________.【答案】.【详解】令，则令，，则，或，所以值域为，故答案为.【练习】（2019·上海市第二中学高二期末）★★★☆☆已知函数，，则函数的值域______．【答案】【详解】解：因为函数，，所以，又且，解得：，即，，则，又，则，即，又，即，即函数的值域为，故答案为：.

1、（2019秋•控江中学高一上期末）★★★☆☆已知常数，函数，若的最大值与最小值之差为2，则．【答案】【解答】解法一：定义域：，换元：令，，则分离整式：时，；时，基本不等式：在时恒大于0，且值域为在时恒小于0，且值域为所以的值域为所以的最大值为，最小值为由题意有，解得解法二：（判别式法：使用条件较为苛刻，需定义域为）注意到本题，故可使用判别式法令，所以题目转化为求的范围使得该关于的