第6讲 函数的单调性与最值-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

第六讲函数的第六讲函数的单调性与最值 教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.函数的单调性与单调区间数学抽象水平1水平21.理解函数的单调性的定义，会用函数单调性的定义判断一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间2.理解函数最值的概念，会求某些简单函数的最值。3.了解函数的增减性及最值与定义区间有关，掌握一些简单函数的单调性，会求它们在某一区间上的最值。【考查内容】判断函数的单调性，求单调区间，讨论含参函数的单调性求参数，求函数在区间上的最值。【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5-10分2.函数的最大值和最小值数学运算水平2水平23.函数单调性中的几个重要结论数学推理水平1水平14.函数的单调性与最值直观想象水平1水平2知识通关知识通关知识点1增函数与减函数设函数的定义域为I，对任意知识点2函数的单调区间如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点3函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的，都有存在，使得结论称M是函数的最大值称M是函数的最小值几何意义图象上最高点的纵坐标图象上最低点的纵坐标题型一求函数的单调区间规律方法（1）根据函数的图象求函数单调区间的方法①①作出函数图象；②把函数图象向轴作正投影；③图象上升对应增区间，图象下降对应减区间（2）常见函数的单调性①一次函数①一次函数：当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减。②反比例函数：当时，的单调递减区间是；当时，的单调递增区间是。③二次函数：当时，的单减区间是的单增区间是当时，的单减区间是的单增区间是例1、（1）如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．（2）画出函数的图象并写出函数的单调区间．解析：（1）观察图象可知，的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．答案[－2,1][3,5][－5，－2][1,3](2)即函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．【变式训练1-1】如图（1）、（2）分别为函数和的图像，试分别写出函数和的单调增区间。解析：由图（1）可知，在内，是单调递增的，所以的单调递增区间是；由图（2）可知，在内，是单调递增的，所以的单调递增区间是。【变式训练1-2】（1）下列四个函数中，在上为增函数的是（）A.B.C.D.（2）函数的增区间是（）A.B.C.D.（3）函数的单调减区间是________解析：（1）根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：在上均为减函数；在上为减函数，在上为增函数；在上为增函数，故选C（2）根据题意，由函数是二次函数，开口向上，且对称轴为，可知在对称轴的右侧是单调递增的，故增区间为，选D（3）的图象可由函数的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案（1）C（2）D（3）(－∞，1)，(1，＋∞)题型二证明函数的单调性规律方法利用定义证明函数单调性的步骤例2、设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数。证明：设且，∵，∴又∵∴∴，即∴函数在区间上是减函数。【变式训练2-1】已知函数求证：在上是单调递增函数解析：设则，∵∴∴在上是单调递增函数。【变式训练2-2】判断函数的单调性。解析：任取，且，则当时，∴原式>0，即∴，即在上是减函数；当时，，∴原式<0，即，∴即在上是增函数。同理可得，当时，是减函数；当时，是增函数。综上所述，在上是增函数，在上是减函数。题型三用单调性解不等式规律方法利用函数的单调性解不等式的方法当函数当函数的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．例3、已知函数在定义域上是减函数，且，求实数的取值范围．解析：由题知解得，即所求的取值范围是.【变式训练3】已知函数是定义在区间上的减函数，解关于的不等式：解析：由题意得解得.答案题型四用图象法和函数的单调性求函数的最值规律方法1.图象法求最值的步骤2．利用函数的单调性求最值的两个易错点(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行．(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行．(2)求函数在闭区间上的最值，易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入，认为是函数的最值．例4、(1)函数在区间上的最大值为，最小值为；(2)函数的最大值为解析：（1）画出函数的图像（图像略），根据函数图像可知在区间上单调递减，故函数在区间的两个端点处分别取得最大值与最小值，最大值为，最小值为；（2）当时，函数单调递增，且有，无最大值；当时，函数单调递减，则在处取得最大值，最大值为5.答案（1）3；（2）5【变式训练4】求函数在区间上的值域。解析：在区间上任取实数，且令，则∵，∴，∴，即题型五二次函数的最值规律方法含参数的二次函数最值问题的解法解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为的形式，再依的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴得出顶点的位置，再根据的定义区间结合大致图像确定最大值或最小值。对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：①区间固定，对称轴变动（含参数），求最值；②对称轴固定，区间变动（含参数），求最值；③区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数。通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．例5、已知函数的最小值为，试写出的函数表达式。解析：①当定义域处于对称轴的左边时，即此时在定义域上单调递减，∴；②当定义域处于对称轴的右边时，即时，此时在定义域上单调递增，∴；③当定义域横跨对称轴左右两边时，即时，此时在定义域上先减后增，故一定在对称轴处取得最小值，∴综上所述，【变式训练5】已知函数，(1)求在[0,1]上的最大值；(2)当时，求在闭区间[t，t＋1]()上的最小值．解析：(1)由题意，可知图像对称轴为①当对称轴处于定义域的左边时，即此时在定义域上单调递增，所以②当对称轴处于定义域的右边时，即此时在定义域上单调递减，所以③当对称轴处于定义域之间且离左端点更近时，即此时在定义域上先减后增，所以④当对称轴处于定义域之间且离右端点更近时即此时在定义域上先减后增，所以综上所述，(2)当时，，其图象的对称轴为①当定义域处于对称轴的左边时，即此时在定义域上单调递减，所以②当定义域处于对称轴的右边时，即时，此时在定义域上单调递增，所以③当定义域横跨对称轴左右两边时，即时此时在定义域上先减后增，所以综上所述思维拓展思维拓展考向一函数的单调性的逆向应用规律方法在函数的单调性的定义中包含三个方面的内容，即只要满足：①任意，②有在函数的单调性的定义中包含三个方面的内容，即只要满足：①任意，②有或，就能推出③是增（减）函数，由这三方面知二求一，即：（1）（2）（3）例6、已知函数在内单调递减，则的取值范围是（）A.B.C.D.解析：由题意得解得，故选C答案C【变式训练6】若函数在R上是单调增函数，则实数的取值范围是？解析：由题意得解得答案【探究1】若函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数的取值范围是________．答案(－∞，0)【探究2】已知函数在区间(－∞，1]上是减函数，则实数的取值范围是________．解析：函数的图象开口向上，对称轴为，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则，即.答案(－∞，－1]考向二抽象函数的单调性规律方法①在所证区间上设出任意①在所证区间上设出任意②利用题设条件向已知区间上转化③运用函数单调性的定义解决问题例7、设是定义在R上的函数，对，恒有，，，且当时，（1）求证：；（2）求证：当时，恒有；（3）求证：在R上是减函数解析：（1）由题意，令，可得∵，∴（2）由题意知时，当时，当时，，∴∵，∴∴∵当时，∴当时，恒有（3）任取，且，则∴由（2）知又∴故故在R上是减函数【变式训练7】已知函数对于任意，都有，并且当时，。（1）求证：是R上的增函数；若，解不等式解析：（1）设，且，则，∴∴∴∴是R上的增函数（2）∵对任意，有∴∴∴∵是R上的增函数，∴解得考向三复合函数的单调性的讨论规律方法（1）复合函数的单调性的确定方式（同增异减）函数单调性增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减函数减函数增函数（2）求复合函数单调性的步骤①确定定义域；①确定定义域；②将复合函数分解成基本初等函数，；③分别确定这两个基本初等函数的单调区间；④若这两个基本初等函数同增或同减，则为增函数；若这两个基本初等函数一增一减，则为减函数。例8、已知函数试求函数的单调区间。解析：令，由可知：当时，是减函数；当时，是增函数，且。由可知：当时，是增函数；当时，是减函数。（1）当时，即解得，故当时，是减函数；当时，为增函数。（2）当时，即，解得，故当时，是减函数；当时，是增函数。综上可知，的单调增区间为，；单调减区间为。【变式训练8-1】已知函数在定义域上单调递减，求的递减区间。解析：∵的定义域为，∴即令，则当时，是减函数，则是增函数；当时，是增函数，则是减函数。故的递减区间为。答案【变式训练8-2】函数的单调增区间是，单调减区间是。解析：函数的定义域为，而是关于的二次函数，其图像为开口向上的抛物线，且对称轴为直线，故在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数，所以的单调增区间为，单调减区间为。答案；考向四函数最值的实际应用规律方法求解实际问题的四个步骤(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题．(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．例9、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解析：(1)设月产量为台，则总成本为，从而(2)当时，；∴当时，，当时，是减函数，.∴当时，.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【变式训练9】经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间的函数，且销售量近似地满足关系，在前40天内价格为，在后60天内价格为，求这种商品的日销售额的最大值。解析：由题意，设商品的日销售额为，则当时，故当时，；当时，综上所述，这种商品的日销售额最大值为768元。综合训练综合训练A组基础演练A组基础演练一、选择题1．如图1­3­1是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()图1­3­1A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．如0<5，但f(0)>f(5)，故选C.答案C2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝eq\f(1,x) D．y＝－|x|解析：A．y＝3－x＝－x＋3，是减函数，故A错误；B．∵y＝x2＋1，y为偶函数，图象开口向上，关于y轴对称，当x＞0时，y为增函数，故B正确；C．∵y＝eq\f(1,x)，当x＞0时，y为减函数，故C错误；D．当x＞0时，y＝－|x|＝－x，为减函数，故D错误．故选B.答案B3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是()A．y＝eq\f(1,x)＋2B．y＝3x－2C．y＝x2D．y＝1－x解析：选AB、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.答案A4．函数则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对解析：选A当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.答案A5．函数得单调递增区间是（）A． B．C．D．解析：令：（），单调递减区间是。答案D6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2解析：∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2.∴f(x)在[0,1]上单调递增．又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.答案C7．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－(x－eq\f(19,2))2＋30＋eq\f(192,4)，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．答案C二、填空题8．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．解析：函数f(x)＝2x2－3|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－3xx≥0,2x2＋3xx<0，))图象如图所示，f(x)的单调递减区间为和答案和9．函数y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上的最小值为________．解析：作出图象可知y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上是减函数，ymin＝eq\f(1,3－1)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)10．函数y＝eq\f(1－3m,x)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________. 解析：∵函数y＝eq\f(1－3m,x)在区间(0，＋∞)上是增函数，∴1－3m＜0，解得m＞eq\f(1,3).答案11．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0得f(x)是R上的单调递增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．答案f(－3)>f(－π)三、解答题12．证明：函数y＝eq\f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．证明：设x1>x2>－1，则y1－y2＝eq\f(x1,x1＋1)－eq\f(x2,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1).∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝eq\f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数．答案见解析13．已知函数f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)用定义证明函数在区间[1，＋∞)上是增函数；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值．解析：(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1).∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，∴f(x)max＝f(4)＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5)，f(x)min＝f(2)＝eq\f(2×2＋1,2＋1)＝eq\f(5,3)答案（1）略（2）14．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：P＝eq\f(x,5)，Q＝eq\f(3,5)eq\r(x).今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解析：设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，根据题意得y＝eq\f(1,5)x＋eq\f(3,5)eq\r(3－x)(0≤x≤3)．令eq\r(3－x)＝t，则x＝3－t2,0≤t≤eq\r(3).所以y＝eq\f(1,5)(3－t2)＋eq\f(3,5)t＝－eq\f(1,5)(t－eq\f(3,2))2＋eq\f(21,20)，t∈[0，eq\r(3)]．当t＝eq\f(3,2)时，ymax＝eq\f(21,20)，此时x＝0.75,3－x＝2.25.由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．答案为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．B组提升突破B组提升突破一、选择题1．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A. B.C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象是开口方向朝上，以直线x＝eq\f(2a－1,－2)为对称轴的抛物线，又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤eq\f(2a－1,－2)，解得a≤－eq\f(3,2)，故选B.答案B2．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.答案C3．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞25解析：由y＝f(x)的对称轴是x＝eq\f(m,8)，可知f(x)在上递增，由题设只需eq\f(m,8)≤－2，即m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.故选A.答案A4．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A． B． C． D．解析：，二次函数的对称轴方程为,对于定义域为,值域为,由二次函数的性质可知.答案C5．若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（）A．B．C．