315358642022届高考数学一轮复习讲义微专题2：对勾函数的性质与图像和高考真题交汇（学生版 教师版）

【学生版】微专题：对勾函数的性质与图像和高考真题交汇1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时,对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数.（1）当同号时,对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当异号时,对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示：2、例析相关的高考真题例1、（2021年乙卷）下列函数中最小值为4的是A．B．C．D．【提示】；【答案】；【解析】；【说明】；例2、（2017年浙江高考题）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】；【解析】；【说明】；例3、（2006年上海数学高考理）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数；（1）如果函数（）的值域为，求b的值；（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．【提示】（1）结合的单调性求得函数的最小值，结合此时的值求得.（2）结合函数的奇偶性以及函数单调性的定义，判断出函数的单调性.（3）结合函数的奇偶性和单调性进行合情推理.结合的单调性求得在区间上的最大值和最小值.高考真题源于教材，素养、能力与思维品质又高于教材。【练习】1、（2014年重庆）若，则的最小值是A． B． C． D．2、（2020年天津）已知，，且，则的最小值为．【教师版】微专题：对勾函数的性质与图像和高考真题交汇1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时,对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数.（1）当同号时,对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当异号时,对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示：2、例析相关的高考真题例1、（2021年乙卷）下列函数中最小值为4的是A．B．C．D．【提示】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项，根据对勾函数与基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项，利用对勾函数与基本不等式求出最值，即可判断选项，利用对勾函数与基本不等式或特殊值验证，即可判断选项；【答案】C；【解析】对于，，所以函数的最小值为3，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项正确；对于，（方法1）由，根据对勾函数的性质与图像，没有最值（方法2）因为当时，，所以函数的最小值不是4，故选项错误．故选：；【说明】本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解与对勾函数的性质与图像，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题；例2、（2017年浙江高考题）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】【解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值所，以，，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或，解得：或；综上可得，实数的取值范围是；【说明】本题利用对勾函数的性质与图像与基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论；例3、（2006年上海数学高考理）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数；（1）如果函数（）的值域为，求b的值；（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．【提示】（1）结合的单调性求得函数的最小值，结合此时的值求得.（2）结合函数的奇偶性以及函数单调性的定义，判断出函数的单调性.（3）结合函数的奇偶性和单调性进行合情推理.结合的单调性求得在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）该函数在上是减函数，在区间上是增函数，理由见解析；（3）在区间上是减函数，在区间上是增函数，最大值，最小值；【解析】（1）依题意可知当时，函数（）取得最小值是，则，故；（2）设，．当时，，函数在上是增函数；当时，，函数在区间上是减函数；又是偶函数，故该函数在上是减函数，在区间上是增函数；（3）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数，当n是奇数时，函数在在上是减函数，在区间上是增函数，在上是增函数，在区间上是减函数；当n是偶数时，函数在区间上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在区间上是增函数；．因此在区间上是减函数，在区间上是增函数；所以，当或时，取得最大值；当时，取得最小值．【说明】能顺利解决本题的源头是函数和函数的图像与性质，因为各小题都是由函数引申出来的研究学习性问题，也就是说在学习各类函数的过程中，对最为原始、最为基本的函数的图像与性质必须掌握牢固、理解透彻，有助于解决各类函数难题；高考真题源于教材，素养、能力与思维品质又高于教材。【练习】1、（2014年重庆）若，则的最小值是A． B． C． D．【提示】利用对数的运算法则可得，，再利用基本不等式即可得出【解析】，，．，，，，．，，则，当且仅当取等号；故选：；【说明】本题考查了对数的运算法