2023-2024学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省郑州四中八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A.笛卡尔心形线 B.阿基米德螺旋线

C.科克曲线 D.赵爽弦图2.已知x<y，则下列不等式成立的是(

)A.x−2>y−2 B.23.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是(

)A.x(x−2)=x2−4.已知点P(3−m,mA. B.

C. D.5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB

A.1.5cm B.2cm C.6.今年2月，某种口罩单价，上涨3元，同样花费120元买这种口罩，涨价前可以比涨价后多买2个，设涨价后每个口罩x元，可列出的正确的方程是(

)A.120x−120x+3=2 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点

A.10 B.12 C.9 D.68.如果不等式组x<8x>m无解，那么A.m>8 B.m≥8 C.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△A.12 B.6 C.62 10.等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG=120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOGA.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.如果分式x2−4x+2的值为0，那么12.如图，∠C=90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△

13.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k<0)的图象与直线y=14.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，将线段D

三、计算题：本大题共1小题，共8分。16.仔细阅读下面例题：

例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式px+n，得x2+5x+m=(x+2)(px+n)，

对比等式左右两边x的二次项系数，可知p=1，于是x2+5x+m=(x+2)(x+n)．

则x2+5x+m=x四、解答题：本题共6小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

先化简，再求值：1−a−1a18.(本小题7分)

在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在“格点”处．

(1)在给定方格纸中，点B与点B′对应，请画出平移后的△A′B′C′；

(2)19.(本小题7分)

某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：实践探究活动记录表活动内容测量湖边A、B两处的距离成员ㅤㅤ组长：××工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C，可测量C处到A、B两处的距离，通过测角仪可测得∠A、∠B、测量数据角的度数∠∠∠边的长度BCAC数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离.于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．

已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，______.(从记录表中再选一个条件填入横线)

求：线段AB的长(为减小结果的误差，若有需要，220.(本小题8分)

2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．

(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？

(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．

①求w与a的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；21.(本小题9分)

如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

(1)判断22.(本小题10分)

综合与实践--探究特殊三角形中的相关问题

问题情境：

某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

(1)初步探究：

勤思小组的同学提出：当旋转角α=______时，△AMC是等腰三角形；

(答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C．

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转1802.【答案】C

【解析】解：A、在不等式x<y的两边同时减去2，不等式仍成立，即x−2<y−2，原变形错误，故本选项不符合题意；

B、在不等式x<y的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2x<2y，原变形错误，故本选不项符合题意；

C、在不等式x<y的两边同时乘以−2，不等式的符号方向改变，即−2x>−2y，在不等式3.【答案】C

【解析】解：A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：C．

根据因式分解的定义逐个判断即可．

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解)4.【答案】A

【解析】解：已知点P(3−m,m−1)在第二象限，

3−m<0且m−15.【答案】B

【解析】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，

∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，

∴AB=BDcos30∘=23cm=AC6.【答案】B

【解析】解：设涨价后每个口罩x元，可列出方程为：

120x−3−120x=2．7.【答案】C

【解析】解：过D作DF⊥AB于F，

∵∠C=90°，

∴DC⊥BC，

∵BD平分∠ABC，CD=3，

∴DF=CD=3，

∵点E为AB8.【答案】B

【解析】解：因为不等式组无解，

即x<8与x>m无公共解集，

利用数轴可知m≥8．

故选：B．

根据不等式取解集的方法，大大小小无解，可知m和8之间的大小关系，求出m的范围即可．

本题考查不等式解集的表示方法，根据大大小小无解，也就是没有中间(公共部分9.【答案】D

【解析】【分析】

此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．

连接B′B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．

【解答】

解：连接B′B，

∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，

∴AC=A′C，AB=A′B′，∠A=∠CA′B′=60°，

∴△AA′C是等边三角形，

∴∠AA′C=60°，

∴∠B′A′10.【答案】B

【解析】解：连接OB、OC，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵点O是三边垂直平分线的交点，

∴OB=OC，

易得OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，

∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，

而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，

∴∠BOD=∠COE，

在△BOD和△COE中，∠BOD=∠COEBO=CO∠OBD=∠OCE=30°,

∴△BOD≌△COE(ASA)，

∴BD=C11.【答案】2

【解析】解：由题意得：x2−4=0，且x+2≠0，

解得：x=2，

故答案为：212.【答案】16c【解析】【分析】

本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．

利用勾股定理求出AB，再利用平移变换的性质，可得结论．【解答】

解：在Rt△ACB中，AB=AC213.【答案】0≤【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k<0)的图象与直线y=13x都经过点A(3,1)14.【答案】50

【解析】解：设∠O=x°，

∵OC=CD=DE，

∴∠O=∠CDO=x15.【答案】2或2【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，

∴AB=2BC=4,AC=3BC=23，

∵AB的垂直平分线MN交AB于E，交AC于点D，

∴MN⊥AB,MA=MB=12AB=2，DB=DA，

在Rt△AMD中，MN⊥AB，∠A=30°，

∴DE16.【答案】−4

−【解析】解：(1)∵(x−3)(x+a)=x2−3x+ax−3a

=x2+(a−3)x−3a

=x2−7x+12．

∴a−3=−7，−3a=12，

解得：a=−4．

(2)∵(2x+317.【答案】解：原式=1−a−1a÷a2−1a(a+2【解析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，算减法，最后代入求出即可．

本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．18.【答案】平行且相等

【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；

(2)由平移可知：线段AA′与线段CC′的关系是平行且相等；

(3)由图可知：线段BC扫过的部分为平行四边形BCC′B′，

∴面积为5×19.【答案】解：：若选择的条件是：BC=40.0米，

过点C作CD⊥AB，垂足为D，

在Rt△BCD中，∠B=45°，BC=40米，

∴BD=BC⋅cos45°=40×22=202(米)，

CD=BC⋅sin45°=40×22=202(米)，

在Rt△ADC中，∠A=30°，

【解析】【分析】

若选择的条件是：BC=40.0米，过点C作CD⊥AB，垂足为D，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；

若选择的条件是：AC20.【答案】解：(1)设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(1−20%)x=0.8x(元)，

根据题意得：320x=3200.8x−4，

解得x=20，

经检验，x=20是原方程的解，且符合实际意义，

0.8x=16(元)，

答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；

(2)①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型(100−a)个，

则w=(35−20)a【解析】(1)设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个(1−20%)x=0.8x(元)，根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根；

(2)21.【答案】解：(1)DE⊥DP，

理由如下：∵PD=PA，

∴∠A=∠PDA，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB=ED，

∴∠B=∠EDB，

∵∠C=90°，

∴∠【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；

22.【答案】60°或15【解析】解：(1)当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形；

∵∠BAC=90°，

∴α=90°−30°=60°，

当AC=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形，

∵∠