2023-2024学年江苏省南通市海门中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南通市海门中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列{an}中，已知a3+A.45 B.60 C.90 D.1802.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥βA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.过点(−1,3)且平行于直线A.x−2y+7=0 B.4.(2+x)4(A.7 B.23 C.−7 D.5.已知点A(m,n)在焦点为F的抛物线x2=A.4 B.8 C.12 D.166.已知a>0，b>0，若直线x−y−4A.9 B.12 C.14 D.167.文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为(

)A.720 B.1440 C.2400 D.28808.已知圆D：(x−a)2+y2=r2(r>0)与x轴相交于A、BA.65 B.125 C.89二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若A.q=2

B.数列{Sn+2}的通项公式为Sn+210.已知F1，F2为双曲线C：x23−y2=1的左、右焦点，过F2A.若PQ=23，则△PF1Q的周长为83

B.弦FQ长的最小值为2311.甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用A1，A2，A3表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用B表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则A.P(A1)=27 B.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个口袋内装有7只不同的白球和1只黑球，从口袋内取出3只球，其中必有1只黑球，则不同的取法共有______种.13.已知函数f(x)=x3−(a+1)x，∀14.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知递增的等比数列{an}满足a3=4，且a2，a3，a4−2成等差数列．

(1)求16.(本小题15分)

已知函数f(x)=32x2−(a+3)x+a17.(本小题15分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面ABB1A118.(本小题17分)

已知An=(1+x)n(n∈N*)．

(1)当n≥7时，若An的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中x3的系数；

(2)设i=19.(本小题20分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为2，点B为(0,b)，直线BF2与圆7x2+7y2−12=0相切．

(1)求双曲线E方程；

(2答案和解析1.【答案】C

【解析】解：a3+a7=20，

则S9=9(a1+2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基础题．

由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m//β，所以不一定能得到m⊥β．

【解答】

解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，

反之，α⊥β时，若m平行于α和β3.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查了直线方程的求解，属于基础题．

由题意可先设所求的直线方程为x−2y+c【解答】

解：由题意可设所求的直线方程为x−2y+c=0，

∵该直线过点(−1,3)，

代入可得−4.【答案】A

【解析】解：根据(2+x)4的展开式Tr+1=C4r⋅24−r⋅xr(r=0,1,2,3,4,)；

根据(35.【答案】B

【解析】解：∵抛物线x2=4y的准线方程为y=−1，

∵|AF|=3，∴n−(−1)=36.【答案】D

【解析】解：设切点坐标为(x0,y0)，则x0−4a=1+ln(x0+b−1)，

又y′=1x+b−1，∴y′|x=7.【答案】B

【解析】解：根据题意，先将学生节目进行全排列共有A55=120种排法，

又教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，

则将教师的2个节目插入到中间4个空中，

则共120×A42=1440种方法．8.【答案】B

【解析】解：圆D：(x−a)2+y2=r2(r>0)的圆心D(a,0)，半径为r，

圆C：x2+(y−5)2=9的圆心C(0,5)，半径为3，

因为圆C与圆D相外切，所以a2+25=3+r，所以a2=r2+6r−16，

且圆D与x轴交于(a−r,0)，(a+r,0)，不妨记A(a−r,0)，B(a+r,0)，

因为圆C关于y轴对称，点(a,0)与点(−a,9.【答案】AB【解析】解：在等比数列{an}中，a2a3=a1a4=32，a2+a3=12，

所以a2=4，a3=8或a2=8，a3=4，

，而公比q为整数，于是得a2=4，a3=8，q=2，a1=210.【答案】AB【解析】解：由双曲线C：x23−y2=1，可得a=3，b=1，

结合双曲线的定义，可得△PF1Q的周长为4a+2|PQ|=43+43=83，故A正确；

由双曲线的焦点弦的性质，可得过焦点垂直于x轴的弦的长度最小，即为2b2a=233，故B正确；

设P(m,n11.【答案】AC【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，甲箱中有2红球，3个白球和2个黑球，则P(A1)=27，A正确；

对于B，若事件A2发生，即从甲箱中随机摸出一个白球放入乙箱中，则乙箱中有3个红球和3个黑球和1个白球，

则P(B|A2)=1−C32+C32C72=1−621=1521，B错误；

对于C，若事件A3发生，即从甲箱中随机摸出一个黑球放入乙箱中，则乙箱中有3个红球和4个黑球，则P(12.【答案】21

【解析】解：从口袋内取出3只球，其中必有1只黑球，则只需从7只不同的白球中取2只白球，

所以不同的取法共有C72=21．

故答案为：21．

由题意可知，只需从7只不同的白球中取13.【答案】(−【解析】解：根据题意，设g(x)=f(x)+1，

函数f(x)=x3−(a+1)x，则g(x)=x3−(a+1)x−x=x3−(a+2)x，

有g(−x)=(−x)3−(a+2)(−x)=−[x3−(a+214.【答案】3【解析】解：由题意可得A(0,b)，F2(c,0)，F1(−c,0)，

则直线AF1的方程为x−c+yb=1，

即y=bcx+b，代入椭圆的方程可得：b2x2+a2(bcx+b)2=a2b2，

整理可得：b2(a2+c2)c2x2+2a2b2cx=0，

可得x15.【答案】解：(1)因为a2，a3，a4−2成等差数列，

所以2a3=a2+a4−2，

所以2×4=a1q+a1q3−2，即a1q+a1q3=10，

又a1q2=4，所以4q+【解析】(1)由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解；

(2)先求出16.【答案】解：(1)函数f(x)=32x2−(a+3)x+alnx(a∈R)，定义域x∈(0,+∞)，

则f′(x)=3x−a−3+ax=3x2−(a+3)x+ax=(x−1)(3x−a)x，

由f′(x)【解析】(1)求导可知f′(x)=(x−1)(3x−a)x，由当x=1时，f(x)取极大值，可知a17.【答案】(1)证明：连接BC1，∵底面ABCD和侧面ABB1A1均为正方形，

∴四边形BCC1B1为菱形，

则BC1⊥B1C，

由底面ABCD和侧面CDD1C1均为正方形，得C1D1⊥B1C1，C1D1⊥CC1，

∵B1C1∩CC1=C1，

∴C1D1⊥平面BCC1B1，

又B1C⊂平面BCC1B1，∴C1D1⊥B1C，

∵BC1∩C1D1=C1，∴B1C⊥平面BC1D1，

又BD1⊂平面BC【解析】(1)根据已知条件证出B1C⊥平面BC1D18.【答案】解：(1)由题Cn2=Cn7，所以n=9，所以A9=(1+x)9，所以Tr+1=C9rxr，所以C93=84；

(2)由题意得，(1+x)1【解析】(1)直接利用二项式的展开式求出结果；

(2)①直接利用组合数的应用求出结果；19.【答案】解：(1)不妨设直线BF2的方程为bx+cy−bc=0，

因为直线BF2与圆x2+y2=127相切，

所以圆心(0,0)到直线BF2的距离d=127，

即|−bc|b2+c2=127，

整理得12b2+12c2=7b2c2，①

因为双曲线E的离心率为2，

所以ca=2，②

又c2=a2+b2，③

联立①②③，

解得a2=1，b2=3，c2=4，

则双曲线E的标准方程为x2−y23=1；

(2)①不妨设直线l的方程为x=my+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立x=my+2x2−y23=1，消去x并整理得(3m2−1)y2+12my+9=0，

由韦达定理得y1+y2=1