中考热点问题展播之“格点问题”

精品文档-下载后可编辑中考热点问题展播之“格点问题”随着新教改的逐步向纵深方向推进与发展，中考题型的变化也复杂多样起来，其中“格点问题”是颇受命题者青睐的重要题型之一.所谓“格点问题”就是利用由若干个小正方形组成的“网格”图，每个小正方形的顶点都叫做“格点”，利用这个网格图来解答问题，称为“格点问题”.这类问题格调清新，形式灵活，通常与三角形、四边形、圆等相关图形相结合，显示出了这类问题较为强大的生命力.解答时要充分利用网格的对称性，网格中的垂直、平行以及相关图形的性质.

一、与三角形相结合的格点问题

例1（荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（）

【解析】本题属于中考中的网格问题，本题考察了勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定，根据勾股定理得BC=■，AB=2■，AC=■，根据勾股定理的逆定理可判断ABC为直角三角形，∠ABC=90°，BC∶AB=1∶2，在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1∶2.

【答案】B

【点评】本题属于中考中的网格问题，本题考察了勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定.

例2（泰州）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到A■B■C■，然后将A■B■C■绕点A■顺时针旋转90°得到A■B■C■．

（1）在网格中画出A■B■C■和A■B■C■；

（2）计算线段AC在变换到A■C■的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）

【解析】（1）作已知图形的平移图形，需找准平移方向和距离，再作出图形；将已知图形的旋转，需看清旋转中心、旋转角和旋转方向；（2）观察可知，线段AC变换到A■C■过程中所扫过部分为两个平行四边形和圆心角为45°扇形，求其面积较易．

【答案】（1）画图略；

（2）扫过区域的面积=4×2+3×2+■=14+π

【点评】平移、旋转作图经常在网格中来实现，作图方便，又能体现学生活学活用相关知识的能力，是近几年来新兴的试题．本题主要考查几何变换中的平移与旋转相关知识，只要理解与掌握平移及旋转的定义及性质，作出几何变换后的图形就非常容易了．实际上，图形的变换就是转化为关键点的变换，抓住平移的两要素（平移的方向与距离）与旋转的三要素（旋转中心、旋转方向和旋转角），是解决本题的关键．

二、与四边形相结合的格点问题

例3（鸡西）如图，在网格中有一个四边形图案．

（1）请你画出此图案绕点D顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；

（2）若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A■、A■、A■，求四边形AA■A■A■的面积；

（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．

【解析】根据旋转变换的特点进行准确画图，在画图过程中需要利用网格中隐藏的垂直关系来寻求90°，180°，270°；在进行面积计算时既可以利用网格本身来确定四边形的特殊性（OAC，ABC均为直角三角形），也可以利用“整体法”来求出答案.

【答案】（1）如图，正确画出图案

（2）如图，S■=S■-4S■=（3+5）■-4×■×3×5=34.

故四边形似AA■A■A■的面积为34．

（3）结论：AB■+BC■=AC■或勾股定理的文字叙述

【点评】本题在格点问题中既考查了四边形本身的特性，又巧妙将旋转变换融入进来，综合程度相对较高.变换以后又升级到图形面积的计算和对整个图形的把握高度，设计巧妙，角度新颖.

三、与圆或弧相结合的格点问题

例4（海淀区）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C.

（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；

（3）在（2）的条件下，求证直线CD是M的切线.

【解析】若要确定圆弧的圆心位置，则需要在圆弧上选取恰当的三点，构成两条弦，然后作出这两条弦的中垂线，交点即为圆心，证明切线只需要说明两个条件，即直线经过圆上一点，并且垂直于过该点的半径即可，循着这个思路可以轻松解决.

【答案】（1）如图1，点M即为所求.

（2）点D不在经过A、B、C的抛物线上（过程略）

（3）如图2，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD.

所以CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5

在RtCEM中，∠CEM＝90°

所以MC2=ME2+CE2=42+22=20

在RtCED中，∠CED＝90°

所以CD2=ED2+CE2=12+22=5

所以MD2=MC2+CD2

所以∠MCE＝90°，因为MC为半径，

所以直线CD是M的切线

【点评】该题巧妙的将圆弧、平面直角坐标系和网格相结合，利用网格容易作出线段的垂直平分线，省去了“尺规作图”保留作图痕迹的麻烦，该题不仅仅考查了“作图”的能力，更用到了分析图形，利用图形，利用垂直平分的性质，对学生的要求比较高.

例5如图在8×6的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，A的半径为2个单位长度，B的半径为1个单位长度，要使运动的B与静止的A内切，应将B由图示位置向左平移个单位长度．

【解析】解决该题的关键之处要做到两点：一是理解两圆内切的数量考查标准（d=R-r），二是B与A内切有两种情况（切点在左和在右），该题还可以将“内切”改为“相切”，那么结果应该有四种情况.

【答案】4或6

【点评】将两圆内切问题放到格点中来考查，既方便考生准确画图，又能够便于“观察”图形的移动位置，解题过程中要注意平移的方向和顺序，不能有遗漏.

四、与函数结合的格点问题

例6如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上．

（1）以O为位似中心，将OAB放大，使得放大后的OA1B1与OAB对应线段的比为2∶1，画出OA1B1．（所画OA1B1与OAB在原点两侧）．

（2）求出线段A1B1所在直线的函数关系式．

【解析】解决该题，重点要理解“位似”的本质特征，利用网格比较方便作出位似图形，注意这里的关键词“放大”以及括号内的要求.

【答案】（1）如图，OA1B1就是OAB放大后的图象

（2）由题意得：A1（4，0），B1（2，-4）

设线段A1B1所在直线的函数关系式为y=kx+b（k≠0）

则4x+b=02k+b=-4解得k=2b=-8

函数关系式为y=2x-8

【点评】本题考查的重点是学生的作图和对图形的理解能力，用待定系数法求一次函数解析式的能力，求直线解析式，关键就是要找出该直线上恰当的两个“点”，以“点”来“定”直线是求一次函数问题较为常用的方法.

例7（兰州）在如图的方格纸中，∠1的正切值为．

【解析】根据圆周角定理知∠A=∠1，然后在直角三角形ACD中，求∠CAD的正切值即可．

【答案】解：根据图意，知∠A=∠1（同弧所对的圆周角相等），

tan∠1=tan∠A=CD/AD=1/3

【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正切为对边比邻边．在网格中，首先设法形成直角三角形，再根据三角函数的定义求解．该题将圆周角与网格和直角三角形相