平面向量的数量积 高考数学一轮复习

第五单元平面向量与复数第31课时平面向量的数量积第一部分大单元过关01课前自学02课堂导学目录【课时目标】理解平面向量的数量积，了解平面向量投影的概念以及

投影向量的意义.【考情概述】平面向量的数量积是高考考查的重点内容之一，主要考

查向量的数量积的定义与坐标运算、向量的模、向量的夹角等，常考查

几何图形中向量的数量积的运算，并以选择题、填空题的形式进行考查

居多，难度中等偏下，属于高频考点.

[0，π]

同向反向垂直2.向量的数量积已知两个非零向量

a

与

b

，它们的夹角为θ，则数量

⁠

叫做向量

a

与

b

的数量积（或内积），记作

a

·

b

，即

a

·

b

＝

.规定：零向量与任一向量的数量积为

⁠.｜

a

｜｜

b

｜

cos

θ

｜

a

｜·｜

b

｜

cos

θ

0

3.向量的投影与投影向量

5.平面向量数量积的运算律对于向量

a

，

b

，

c

和实数λ，有（1）

a

·

b

＝

b

·

a

（交换律）；（2）

（λ

a

）·

b

＝λ（

a

·

b

）＝

a

·（λ

b

）（结合律）；（3）

（

a

＋

b

）·

c

＝

a

·

c

＋

b

·

c

（分配律）.6.向量数量积的坐标运算设

a

＝（

x

1，

y

1），

b

＝（

x

2，

y

2），

a

与

b

的夹角为θ.几何表示坐标表示向量的数量积

a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜

cos

θ

a

·

b

＝

⁠

⁠向量的模｜

a

｜＝

｜

a

｜

＝

⁠夹角的余弦值

cos

θ＝

cos

θ＝

⁠

a

⊥

b

的充要条件

a

·

b

＝0

＝0x

1

x

2＋y

1

y

2

x

1

x

2＋

y

1

y

2

几何表示坐标表示｜

a

·

b

｜与｜

a

｜｜

b

｜的关系｜

a

·

b

｜≤｜

a

｜｜

b

｜｜

x

1

x

2＋

y

1

y

2｜≤

·

｜

x

1

x

2＋

y

1

y

2｜≤

回归课本1.判断：（1）

（RA二P21思考改编）已知向量

a

，

b

，

c

，则（

a

·

b

）·

c

＝

a

·（

b

·

c

）.

（

✕

）（2）

（RA二P24习题6.2第20题改编）已知

a

是非零向量，若

a

·

b

＝

a

·

c

，则

b

＝

c

.

（

✕

）（3）

（RA二P61复习参考题6第14题改编）已知

a

，

b

是非零向量，则

a

⊥

b

⇔｜

a

＋

b

｜＝｜

a

－

b

｜.

（

√

）（4）

（RA二教参P88本章学业水平测试题第2题改编）0·

a

＝0.

（

✕

）✕✕√✕

A.3B.－3C.

D.－

3.（RA二P61复习参考题6第13（4）题）若

e

1，

e

2是夹角为60°的两个

单位向量，则

a

＝2

e

1＋

e

2与

b

＝－3

e

1＋2

e

2的夹角为（

C

）A.30°B.60°C.120°D.150°DC4.（多选）（RA二教参P88本章学业水平测试题第3题改编）对于非零

向量

a

，

b

，下列命题正确的是（

CD

）A.

a

·

b

＝0⇒

a

∥

b

B.

a

∥

b

⇒

a

在

b

上的投影向量为－｜

a

｜

e

（

e

是与

b

方向相同的单位向

量）C.

a

⊥

b

⇒

a

·

b

＝（

a

·

b

）2D.｜

a

·

b

｜≤｜

a

｜｜

b

｜CD5.（RA二P61复习参考题6第13（6）题）若平面向量

a

，

b

，

c

两两的夹

角相等，且｜

a

｜＝1，｜

b

｜＝1，｜

c

｜＝3，则｜

a

＋

b

＋

c

｜＝

⁠

⁠.2

或5

A

.－3

B

.－2

C

.2

D

.3

C（2）

若向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝3，｜

a

－

b

｜＝5，

a

·

b

＝1，则｜

b

｜

＝

⁠.

（3）

已知向量

a

＝（1，3），

b

＝（3，4）.若（

a

－λ

b

）⊥

b

，则λ

＝

⁠.

总结提炼

计算向量数量积的三种常用方法（1）

定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求

解，即

a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜·

cos

θ（θ是

a

与

b

的夹角）.（2）

基底法：计算由基底表示的向量的数量积时，运用运算律，最

终转化为基向量的数量积，进而求解.（3）

坐标法：若向量用坐标形式表示，则向量的数量积可运用坐标

的运算进行求解.[对点训练]1.（2024·新乡一模）已知向量

a

＝（1，－1），

b

＝（

m

，2）.若

a

∥

b

，则（

a

－2

b

）·

b

的值为（

D

）A.4B.－2C.－8D.－20解：因为

a

∥

b

，

a

＝（1，－1），

b

＝（

m

，2），所以－

m

＝2，即

m

＝－2.所以（

a

－2

b

）·

b

＝

a

·

b

－2

b

2＝－4－2×8＝－20.2.设向量

a

，

b

，

c

满足｜

a

｜＝1，｜

b

｜＝2，

a

·

b

＝0，

c

·（

a

＋

b

－

c

）＝0，则｜

c

｜的最大值为（

A

）A.

B.1＋

C.2D.1DA

考点二

平面向量数量积的应用考向1

几何图形中的数量积问题

A.－

B.

C.－

D.

A总结提炼

解决几何图形中的数量积问题，通常有以下方法：基底法、坐标

法.一些有特殊角的图形问题，通过建立适当的平面直角坐标系可以轻

松解决.

[对点训练]3.

考向2

向量的夹角例3（1）

已知非零向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝2｜

b

｜，且（

a

－

b

）⊥

b

，则

a

与

b

的夹角为（

B

）A.

B.

C.

D.

B（2）

已知向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝5，｜

b

｜＝6，

a

·

b

＝－6，则

cos

＜

a

，

a

＋

b

＞的值为（

D

）A.－

B.－

C.

D.

D[变式演练]设非零向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝2｜

b

｜，（2

a

－

b

）⊥（

a

＋3

b

），则

a

与

b

的夹角为（

C

）A.30°B.60°C.